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江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答


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江苏省 2015 年普通高校专转本选拔考试

高等数学 试题卷
注意事项: 1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分.试题卷共 3 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.必须在答题卡上作答,作答在试题卷上无效,作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置. 3.考试结束时,须将试题卷和答题卷一并交回.

一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,在下列每小题中,选出一个正确答案,请在答 题卡上将所选的字母标号与黑) 1.当 x = 0 时,函数 f ( x) = 1 ? e
sin x

是函数 g ( x) = x 的(

C

) .

A .高阶无穷小
解 lim
x →0

B .低阶无穷小

C .同阶无穷小

D .等价无穷小

f ( x) 1 ? esin x ? sin x = lim = lim = ?1 ,答案:C. → → x 0 x 0 g ( x) x x
B ) .

2.函数 y = (1 ? x) x ( x < 1 )的微分 dy 为(

A . (1 ? x) x [ln(1 ? x) + C . x(1 ? x) x ?1 dx
解 ln y = x ln(1 ? x) ,

x ]dx 1? x

B . (1 ? x) x [ln(1 ? x) ? D . ? x(1 ? x) x ?1 dx

x ]dx 1? x

1 x x y ′ = ln(1 ? x) ? , y ′ = (1 ? x) x [ln(1 ? x) ? ], 1? x 1? x y
x ]dx ,答案:B. 1? x

dy = y ′dx = (1 ? x) x [ln(1 ? x) ?

? 1 ex +1 ? ? 1 3. x = 0 是函数 f ( x) = ? x ? e ?1 ?1 ?
A .无穷间断点

x≠0 x=0

的(

B

) .

B .跳跃间断点

C .可去间断点

D .连续点

解 lim f ( x) = lim ? ?
x →0 x →0

e +1 e ?1
1 x

1 x

f ( x) = lim = ?1 , lim + ?
x →0 x →0

e +1 e ?1
1 x

1 x

= lim?
x →0

1+ e 1? e
A

? ?

1 x 1 x

= 1 ,答案:B.
).

4.设 F ( x) 是函数 f ( x) 的一个原函数,则 ? f (3 ? 2 x)dx = (

1 A . ? F (3 ? 2 x) + c 2

1 B . F (3 ? 2 x) + c 2

C . ?2 F (3 ? 2 x) + c


D . 2 F (3 ? 2 x) + c
1

? f (3 ? 2 x)dx = ? 2 ? f (3 ? 2 x)d(3 ? 2 x) = ? 2 F (3 ? 2 x) + c ,答案:A.
D


1

5.下列级数条件收敛的是(

) .

A.

?
n =1



( ?1)

n 2

?n

n

B.

? (?1)n
n =1

n +1 2n ? 1

C.

? (?1)n
n =1



n! nn

D.

? (?1)
n =1



n

n +1 n2

解 答案:D. 6.二次积分

?

e

1

dy ?
1 ln x ex

1

ln y

f ( x, y ) d x = (

D

) .

A.

?

e

1 1

dx ?

f ( x, y )dy

B. D.
e
x

?

1

0 1

dx ? x f ( x, y )dy
e

e

e 1 1

C.


?
1

0

dx ? f ( x, y )dy
0 1 0 1

?

0

dx ? f ( x, y )dy
1

ex

?

e

1

dy ?

ln y

f ( x, y ) dx = ? dx ? f ( x , y )dy ,答案:D.
1 2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

x 7.设 f ( x) = lim(1 ? ) n ,则 f (ln 2) = n →∞ n
n →∞


? n



解 f ( x) = lim(1 ? ) n = lim{[1 + (? )] x }? x = e? x , f (ln 2) = e ? ln 2 =
n →∞

x n

x n

1 . 2
. y = 3x + 2

? x = t 3 ? 2t + 1 ? 在点 (0 , 2) 处的切线方程为 8.设曲线 ? 3 ? ?y = t +1



dy dy dy dt 3t 2 解 由 y = 2 得 t = 1, , = 3 ,切线方程为 y ? 2 = 3 x ,即 y = 3x + 2 . = = 2 dx dx 3t ? 2 dx t =1 dt ? ? ? ? ? 9.设向量 b 与向量 a = (1, ? 2, ? 1) 平行,且 a ? b = 12 ,则 b = ▲ . (2, ? 4, ? 2)

? ? ? ? ? ? 解 由于 a || b ,所以 b = λ a = (λ , ? 2λ , ? λ ) ,则 a ? b = λ + 4λ + λ = 6λ = 12 ,解得 λ = 2 , ? 因而 b = (2, ? 4, ? 2) .

10.设 f ( x) =

1 ,则 f ( n ) ( x) = 2x + 1



. f ( n ) ( x) =

(?1) n ? 2n n! (2 x + 1) n +1

解 f ( x) =

1 1 1 1 (?1) n n! (?1) n ? 2n n ! , f ( n ) ( x) = . = ? = 2x + 1 2 x + 1 2 ( x + 1 ) n +1 (2 x + 1) n +1 2 2
▲ . y = x2 + x

11.微分方程 xy ′ ? y = x 2 满足初始条件 y x =1 = 2 的特解为 解 由 xy ′ ? y = x 2 得 y ′ ?

y 1 = x ,于是有 p ( x) = ? , q ( x) = x ,则有 x x
1 1

? ? dx ? p ( x )dx p ( x )dx ? dx y=e ? ( ? q( x)e ? dx + c) = e x ( ? xe x dx + c) = x( x + c) , 又 y x =1 = 2 得 c = 1 , 所以 y = x 2 + x

12.幂级数 ?
n =1



2n ( x ? 1) n 的收敛域为 n



1 3 .[ , ) 2 2

2n +1 ∞ n 1 1 3 1 ( ?1) n n + 1 = 2 lim = 2, 解 lim 则有 | x ? 1|< , 解得 < x < , 当 x = 时, 级数 ? 收敛, n n →∞ n →∞ 2 2 2 2 2 n n +1 n =1 n
当x=
∞ 3 1 1 3 时,级数 ? 发散,因而收敛域为 [ , ) . 2 2 2 n n =1

三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)

13. 求极限 lim
x →0

?

x

2e ? x 2 ? 2 x ? 2 = lim

0 x

t arcsin tdt



解 lim
x →0

?

x

2e ? x 2 ? 2 x ? 2

0 x

t arcsin tdt

x arcsin x x2 2x x lim = = lim x = lim = 1 . x → 0 2e x ? 2 x ? 2 x → 0 2e x ? 2 x ? 2 x →0 2e ? 2 x →0 x
x≠0 x=0
,求 f ′( x) .

? x ? sin x ? 14. 设 f ( x) = ? x 2 ? ? 0
解 当 x ≠ 0 时, f ′( x) =

(1 ? cos x) x 2 ? ( x ? sin x)2 x 2sin x ? x cos x ? x = ; x4 x3 1 2 x f ( x) ? f (0) x ? sin x 1 ? cos x 2 =1. lim lim 当 x = 0 时, f ′(0) = lim = lim = = x →0 x →0 x →0 x →0 3x 2 3x 2 6 x x3

? 2sin x ? x cos x ? x ? ? x3 所以 f ( x) = ? 1 ? ? 6 ?

x≠0


x=0

15. 求通过直线

?x ? y + 2z + 3 = 0 x +1 y ?1 z + 2 = = 与平面 3 x + 2 y + z ? 10 = 0 的交点. 且与直线 ? 2 1 5 ?2 x + y ? z ? 4 = 0

平行的直线方程. 解 令

x +1 y ?1 z + 2 = = = t ,则有 x = 2t ? 1 , y = t + 1 , z = 5t ? 2 ,于是有 2 1 5

3(2t ? 1) + 2(t + 1) + (5t ? 2) ? 10 = 0 ,解得 t = 1 ,所以所求直线经过点 (1, 2, 3) ,依题意所求直线的方
? ? ? i j k ? ? ? x ?1 y ? 2 z ? 3 ? 向向量 s = 1 ?1 2 = ?i + 5 j + 3k ,因而所求直线方程为 = = . ?1 5 3 2 1 ?1
16. 求不定积分 ?

x3 9 ? x2

dx . 27sin 3 t 2 ? 3cos t 3cos tdt = 27 ? (1 ? cos t )sin tdt



?

x3 9 ? x2

dx

令x = 3sin t

= 27( ? sin tdt ? ? cos 2 t sin tdt ) = 27( ? cos t + ? cos 2td cos t ) = 9cos3 t ? 27 cos t + c
=?
π

sin t =

x 3

3 1 1 (9 ? x 2 ) 2 ? 9(9 ? x 2 ) 2 + c 3

1 9 ? x 2 ( x 2 + 18) + c . 3

17. 计算定积分 ? 2 ( x 2 + x)sin xdx .
?

π

2



?

π
2 ?

π
2

( x 2 + x)sin xdx = ? 2 x 2 sin xdx + ? 2 x sin xdx = 2 ? 2 x sin xdx
?

π

π

π

π

2

?

π

0

2

= ?2 ? 2 xd cos x = ?2( x cos x ? ? 2 cos xdx) = 2sin x
2 0 0 0

π

π

π

π
2 0

=2.

?2 z x ? ( x)) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 ? 具有连续导数,求 . 18. 设 z = f ( , ?x?y y
解 设u =

?2 z x ?z 1 1 x x? ′( x) ′′ ? ′′ . = ? 2 f1′ ? 3 f11 = f1′ + ? ′( x) f 2′ , , v = ? ( x) ,则 z = f (u , v) , f 21 ?x?y y y y2 ?x y y

19. 计算二重积分 ?? xydxdy ,其中 D 为曲线 y = 4 ? x 2 与直线 y = x 及直线 y = 2 所围成的平面闭
D

区域.



?? xydxdy = ? ydy ?
D

2

y

2

2 1 xdx = ? y ? x 2 4? y2 2 2

y

dy
4? y
2

2

2
2

2 1 = ? y ? ( y 2 ? 2)dy = ( y 4 ? y 2 ) 2 4

2

=1.
2

20. 已知 y = C1e x + C2 e 2 x + xe3 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′ + py ′ + qy = f ( x) 的通解,试 求该微分方程. 解 依题意对应齐次线性方程的特征方程为 (r ? 1)( r ? 2) = 0 ,即 r 2 ? 3r + 2 = 0 ,则对应齐次线性方 程 为 y ′′ ? 3 y′ + 2 y = 0 ; 设 y * = xe3 x , 则 y *′ = e3 x + xe3 x ? 3 = (3 x + 1)e3 x , y *′′ = 3e3 x + (3 x + 1)e3 x ? 3

= 3(3x + 2)e3 x ,于是 f ( x) = y *′′ ? 3 y *′ + 2 y * = (2 x + 3)e3 x ,则该微分方程为 y ′′ ? 3 y ′ + 2 y = (2 x + 3)e3 x
四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 21.设 D 是由曲线 y = x 2 与直线 y = ax (a > 0) 所围成的平面图形,已知 D 分别绕两坐标轴旋转一周 所形成的旋转体的体积相等,试求: (1)常数 a 的值; (2)平面图形 D 的面积.
a a2 1 2π a 5 1 π a4 , Vy = π ? ydy ? π a 4 = . 解 Vx = π a 5 ? π ? x 4 dx = 0 0 3 15 3 6 5 (1)依题意有 Vx = Vy ,解得 a = ; 4

a2

a

a 1 1 1 5 1 5 125 . (2)平面图形 D 的面积 S = ? (ax ? x 2 )dx = ( ax 2 ? x 3 ) = a 3 ,当 a = 时, S = ( )3 = 0 4 2 3 6 6 4 384 0

a

22.设 f ( x) =

1 ax + b 在点 x = 1 处取得极值 ? ,试求: 2 4 ( x + 1)

(1)常数 a , b 的值; ; (2)曲线 y = f ( x) 的凹凸区间与拐点; (3)曲线 y = f ( x) 的渐近线. 解 f ′( x) =

a( x + 1) 2 ? (ax + b) ? 2( x + 1) ? ax + a ? 2b . = ( x + 1) 4 ( x + 1)3

1 ?1 ( a + b) = ? ? ?a = ?1 ?4 4 (1)依题意有 ? ,解得 ? ; ?b = 0 ?? 1 b = 0 ? ? 4
(2) f ′( x) =

x ?1 ( x + 1)3 ? ( x ? 1) ? 3( x + 1) 2 4 ? 2 x , f ′′( x) = ,令 f ′′( x) = 0 ,解得 x = 2 . = 3 ( x + 1)6 ( x + 1) 4 ( x + 1) x f ′′( x)
(?∞ , 2) 2 0
拐点

(2 , + ∞)
?

+

f ( x)



2 (2 , ? ) 9



2 由表可知:曲线在 (?∞ , 2) 是凹的,在 (2 , + ∞) 是凸的,拐点为 (2 , ? ) ; 9
(3) 由于 lim f ( x) = lim
x →∞ x →∞

?x ?x 所以曲线有一条水平渐近线 y = 0 , = 0 ,lim f ( x) = lim =∞, 2 x →? x →? 1 1 ( x + 1) ( x + 1) 2

一条垂直渐近线 x = ?1 . 五、证明题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分) 23. 证明:当 0 < x < 1 时, ( x ? 2) ln(1 ? x) > 2 x . 证明 设 f ( x) = ( x ? 2) ln(1 ? x) ? 2 x , f ′( x) = ln(1 ? x) ?

x?2 x , ? 2 = ln(1 ? x) + 1? x 1? x

f ′′( x) =

?1 1 x + = > 0 ,因而当 x > 0 时, f ′( x) > f ′(0) = 0 ,从而有 f ( x) > f (0) = 0 , 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

即 ( x ? 2) ln(1 ? x) ? 2 x > 0 ,即有 ( x ? 2)ln(1 ? x) > 2 x .

y ) 是 由 方 程 y + z = xf ( y 2 ? z 2 ) 所 确 定 的 函 数 , 其 中 f 为 可 导 函 数 , 证 明 24 . 设 z = z ( x , x ?z ?z +z = y. ?x ?y ?z ?z ?z f ?z ?z ?z 2 xyf ′ ? 1 = x(2 y ? 2 z ) f ′ ,解得 = , , = f ? 2 xzf ′ ,1 + = ?x ?x ?x 1 + 2 xzf ′ ?y 1 + 2 xzf ′ ?y ?y

证明 依题意有

于是有 x

xf z (2 xyf ′ ? 1) xf + 2 xyzf ′ ? z xf + 2 xyzf ′ ? xf + y ?z ?z +z = + = = = y. 1 + 2 xzf ′ 1 + 2 xzf ′ 1 + 2 xzf ′ ?x ?y 1 + 2 xzf ′


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