当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学基础知识归类(1)

高中数学基础知识归类——献给 2013 年高三(理科)考生 (1)
一.集合与简易逻辑 { 1.注意区分集合中元素的形式.如: x | y ? lg x } —函数的定义域; y | y ? lg x } —函数的值域; { {( x , y ) | y ? lg x } —函数图象上的点集. 2.集合的性质: ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . ③空集是任何非空集合的真子集; 注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的 情况 如: A ? { x | ax
2

? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ,求 a 的取值.(答: a ? 0 )

?

( ? ( ④ C U ( A ? B ) ? C U A ? C U B , C U ( A ? B ) ? C U A ? C U B ; A ? B) C ? A ? B ? C); ( A ? B) C ? A ? B ? C). ? ( ⑤ A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R .

⑥ A ? B 元素的个数: card ( A ? B ) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B ) . ⑦含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n ;真子集(非空子集)个数为 2 n ? 1 ;非空真子集个数 为 2n ? 2 . 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如:已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ( p ? 2 ) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 [ ? 1,1] 上至少存在一个实数 c ,使
2 2

f ( c ) ? 0 ,求实数 p 的取值范围.(答: ( ? 3, ) )
2

3

4.原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ? p ? ? q ;逆否命题: ? q ? ? p ;互 为逆否的两 个命题是等价的.如: sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 “ 条件.(答:充分非必要条件) 5.若 p ? q 且 q ? ? p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件). 6.注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ? q ;否命题是 ?p ? ?q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ? p 且 ? q ”“ p 且 q ”的否定是“ ? p 或 ? q ”. ; 如: “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是 奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数”. 7.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
p 或q p 且q

否定 一个也没有 至少有两个 至多有 n ? 1 个 至少有 n ? 1 个
?p 且?q ?p 或?q

二.函数 1.①映射 f : A ? B 是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合 A 中的元素必有象且 A 中 不 同元素在 B 中可以有相同的象;集合 B 中的元素不一定有原象(即象集 ? B ).

②一一映射 f : A ? B : ⑴“一对一”的对应;⑵ A 中不同元素的象必不同, B 中元素 都有原象. 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集! 据此可知函数图 像与 x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ? 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 ? 0 ,底 数? 0 且? 1; 零指数幂的底数 ? 0 ); 实际问题有意义; f ( x ) 定义域为 [ a , b ] ,复合函数 f [ g ( x )] 若 定义 域由 a ? g ( x ) ? b 解出;若 f [ g ( x )] 定义域为 [ a , b ] ,则 f ( x ) 定义域相当于 x ? [ a , b ] 时 g ( x ) 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法);③换元法(特别注意新 元的范围). ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑤不等式法⑥单调性法;⑦数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值 域; ⑧判别式法(慎用) :⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵代换(配凑)法; ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、 图 像法等; ⑵ 若 f ( x ) 是 偶 函 数 , 那 么 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f (| x |) ; 定 义 域 含 零 的 奇 函 数 必 过 原 点 ( f (0 ) ? 0 ); ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 或
f (? x) f (x)

? ? 1( f ( x ) ? 0 ) ;

⑷复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. 注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无 数个 (如 f ( x ) ? 0 定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单 调性; ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 如:函数 y ? log ( ? x 2 ? 2 x ) 的单调递增区间是 _____________ .(答: (1, 2 ) )
1 2

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换:左右平移---------“左加右减” (注意是针对 x 而 言) ; 上下平移----“上加下减”(注意是针对 f ( x ) 而言).⑵翻折变换: f ( x ) ? | f ( x ) | ; f ( x ) ? f (| x |) . ⑶对称变换:①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍 在图像上. ②证明图像 C 1 与 C 2 的对称性,即证 C 1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 C 2 上, 反之亦然. ③函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( ? x ) 的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称;函数 y ? f ( x ) 与函数
y ? f ( ? x ) 的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称; ) ④ 若 函 数 y ? f ( x ) 对 x ? R 时 , f ( a ? x) ? f ( a? x或 f ( x ) ? f (2 a ? x ) 恒 成 立 , 则

y ? f ( x ) 图像关

于直线 x ? a 对称; ⑤ 若 y ? f ( x ) 对 x ? R 时 , f ( a ? x ) ? f (b ? x ) 恒 成 立 , 则 y ? f ( x ) 图 像 关 于 直 线
x?
a ? b 2

对称;
b ? a 2

⑥函数 y ? f ( a ? x ) , y ? f ( b ? x ) 的图像关于直线 x ?

对称(由 a ? x ? b ? x 确定); 对称;
f (x) ? A ? f (x) 2

⑦函数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f ( b ? x ) 的图像关于直线 x ? ⑧函数 y ? f ( x ) , y ? A ? f ( x ) 的图像关于直线 y ?
y ? f ( x) , y ? n ? f (m ? x)
A 2

a ? b 2

对称(由 y ?

确定);

⑨ 函 数 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 的 图 像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ; 函 数
m 2 n

的图像关于点 ( , ) 对称;
2
?1

⑩函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f 于
y? x?a

( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称;曲线 C 1 : f ( x , y ) ? 0 ,关

, y ? ? x ? a 的 对 称 曲 线 C2 的 方 程 为 f ( y ? a, x ? a) ? 0 ( 或 f (? y ? a, ? x ? a ) ? 0 ; 曲线 C 1 : f ( x , y ) ? 0 关于点 ( a , b ) 的对称曲线 C 2 方程为: f (2 a ? x , 2 b ? y ) ? 0 . 9.函数的周期性:⑴若 y ? f ( x ) 对x ? R 时 f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) 恒成立,则 f ( x ) 的 期 2 | a | ; 周 为 ⑵若 y ? f ( x ) 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x ) 的周期为 2 | a | ; ⑶若 y ? f ( x ) 奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x ) 的周期为 4 | a | ; ⑷若 y ? f ( x ) 关于点 ( a , 0) , ( b , 0) 对称,则 f ( x ) 的周期为 2 | a ? b | ; ⑸ y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a , x ? b (a ? b ) 对 称 , 则 函 数 y ? f ( x) 的 周 期 为 2 |a ? b |; ⑹ y ? f ( x) 对 x ? R 时 , f ( x ? a) ? ? f ( x) 或 f ( x ? a ) ? ?
2 | a |;
1 f (x)

, 则 y ? f (x) 的 周 期 为

g 10. 对 数 : ⑴ l oa b ?

a

n

lb o ga ? (
n

0 a, ?

1 ? b ,

n0 , ; ⑵ 对 数 恒 等 式 ? R )

?

a

log a N

? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0) ;

⑶ lo g a ( M ? N ) ? lo g a M ? lo g a N ; lo g a
lo g a
n

M N

? lo g a M ? lo g a N ; lo g a M
lo g b N lo g b a
n ?1 1

n

? n lo g a M ;

M

?

1 n

lo g a M ;⑷对数换底公式 lo g a N ?

( a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1) ;

推论: log a b ? log b c ? log c a ? 1 ? log a a 2 ? log a a 3 ? ? ? log a a n ? log a a n .
1 2

(以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a 2 , ? a n ? 0 且 a1 , a 2 , ? a n 均不等于
1) 11.方程 k ? f ( x ) 有解 ? k ? D ( D 为 f ( x ) 的值域); a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? [ f ( x )]最 大 值 ,
a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? [ f ( x )] 最 小 值 .

12.恒成立问题的处理方法: ⑴分离参数法(最值法);⑵转化为一元二次方程根的分布问题; 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两 看法” : 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式: f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) ;②顶点式:

f ( x ) ? a ( x ? h ) ? k ( a ? 0) ; ③零点式: f ( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 )( a ? 0) .
2

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 ? ? 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.复合函数:⑴复合函数定义域求法:若 f ( x ) 的定义域为 [ a , b ] ,其复合函数 f [ g ( x )] 的定 义域可由 不等式 a ? g ( x ) ? b 解出; f [ g ( x )] 的定义域为 [ a , b ] ,求 f ( x ) 的定义域, 若 相当于 x ? [ a , b ] 时,求 g ( x ) 的值域;⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定. 17.对于反函数,应掌握以下一些结论: ⑴定义域上的单调函数必有反函数; ⑵奇函数的反函 数 也是奇函数;⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;⑷周期函数不存在反函数; ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性; y ? f ( x ) 与 y ? f ? 1 ( x ) 互 ⑹ 为 反 函 数 , 设 f (x) 的 定 义 域 为 A , 值 域 为 B , 则 有
f[
?1

f

( ?x )

] x , (f x [ f ( B)] ? x ( x ? A ) . ? x)

?1

18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:
? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 f ( u ) ? g ( x ) u ? h ( x ) ? 0 (或 ? 0 ) ( a ? u ? b ) ? ? (或 ? ); ? f (b ) ? 0 ? f (b ) ? 0

19.函数 y ? 零确定)和 直线 y ?
y ?
b ? dx cx ? a

ax ? b cx ? d

( c ? 0 , a d ? b c ) 的图像是双曲线:①两渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为
c

a c

(由分子、分母中 x 的系数确定);②对称中心是点 ( ?

d c

, a ) ;③反函数为
c


b x

20.函数 y ? ax ?

( a ? 0, b ? 0) :增区间为 ( ? ? , ?
ax ? 1 x ? 2

b a

],[

b a

, ? ? ) ,减区间为 [ ? ,

b a

, 0 ), (0 ,

b a

].

如: 已知函数 f ( x ) ?
( , ? ? ) ).
2 1

在区间 ( ? 2, ? ? ) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 _____ (答:

三.数列 1.由 S n 求 a n , a n ? ? 符合要 单独列出.如:数列 { a n } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ? 1 ?
5 3

? S 1 ( n ? 1) ? ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2, n ? N ) ?
*

注意验证 a 1 是否包含在后面 a n 的公式中,若不

a n ? 1 ,求 a n (答: a n ?

?

4 ( n ? 1) ). n ?1 3 ? 4 (n ? 2)

2.等差数列 { a n } ? a n ? a n ?1 ? d ( d 为常数) ? 2 a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2, n ? N *)
? a n ? a n ? b ( a ? d , b ? a1 ? d ) ? S n ? A n ? B n ( A ?
2

d 2

, B ? a1 ?

d 2

);

3.等差数列的性质: ① a n ? a m ? ( n ? m ) d , d ?
am ? an ? 2a p ;

am ? an m ? n



② m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? a k ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ; 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 有 ③若 { a n } 、 { b n } 是等差数列,则 { ka n ? tb n } ( k 、 t 是非零常数)是等差数列; ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 S m , S 2 m ? S m , S 3 m ? S 2 m , ? ? 仍是等 差数列;

⑤等差数列 { a n } ,当项数为 2 n 时, S 偶 ? S 奇 ? n d , S 奇
S


?

a a

n

;项数为 2 n ? 1 时,
n

n ?1

S 偶 ? S 奇 ? a中 ? a n ( n ? N *) , S 2 n ? 1 ? ( 2 n ? 1) a n ,且 S
S

奇 偶

?

; An
Bn

n ?1

? f (n) ?

an bn

? f ( 2 n ? 1)

.

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解 不等式
? an ? 0 ? an ? 0 (或 ? ).也可用 S n ? A n 2 ? B n 的二次函数关系来分析. ? a n ?1 ? 0 a n ?1 ? 0 ? ?

⑦若 a n ? m , a m ? n ( m ? n ) ,则 a m ? n ? 0 ;若 S n ? m , S m ? n (m ? n ) ,则 S m ? n ? ? ( m ? n ) ; 若 S m ? S n ( m ? n ) ,则 S m+n =0;S 3m =3(S 2m -S m ); S m ? n ? S m ? S n ? m nd . 4.等比数列 { a n } ? 5.等比数列的性质 ① an ? am q 数列; ③S
? n a 1 ( q ? 1) ? n a 1 ( q ? 1) ? ? n ? ? a (1 ? q ) ? ? a1 a1 a 1?a n q n n 1 q ? ( q ? 1) ? ( q ? 1) ? ? ? 1? q 1? q 1? q ? ? 1? q
n?m

a n ?1 an

? q ( q ? 0 ) ? a n ? a n ? 1 a n ? 1 ( n ? 2, n ? N *) ? a n ? a 1 q
2

n ?1

.

,q

?

n?m

an am

;②若 { a n } 、 {b n } 是等比数列,则 { ka n } 、 { a n b n } 等也是等比

;④ m ? n ? l ? k ? am an ? al ak (反

之不一定成 立);S m ? n ? S m ? q m S n ? S n ? q n S m . ⑤等比数列中 S m , S 2 m ? S m , S 3 m ? S 2 m , ? ? (注: 各项 均不为 0) 仍是等比数列. ⑥等比数列 { a n } 当项数为 2 n 时,
n
n

S S

偶 奇

? q ;项数为 2 n ? 1 时,

S



? a1


? q .

S

6.①如果数列 { a n } 是等差数列,则数列 { A a } ( A a 总有意义)是等比数列; 如果数列 { a n } 是等 比数列, 则数列 {log a | a n |}( a ? 0, a ? 1) 是等差数列; ②若 { a n } 既是等差数列又是等比数列,则 { a n } 是非零常数数列; ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新 数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那 么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ④三个数成等差的设法:a ? d , a , a ? d ; 四个数成等差的设法:a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d ;


相关文章:
高中数学基础知识梳理归类.doc
高中数学基础知识梳理归类 - 高中数学基础知识归类 .集合与简易逻辑 1.注意
高中数学基础知识大全(全国新课标版).doc
高中数学基础知识大全(全国新课标版) - 高中数学基础知识大全(新课标版) 第一
高中数学基础知识点梳理(理).doc
高中数学基础知识点梳理(理) - 高中数学基础知识归类献给 20XX 年高三
高中数学:必修1-5基础知识点.doc
高中数学:必修1-5基础知识点 - 必修 1 数学基础知识章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 、 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合...
高中数学(理)基础知识填空.doc
标签: 高三数学| 高中数学| 高中数学()基础知识填空_高三数学_数学_高
高中数学基础知识归类(1).doc
高中数学基础知识归类(1) - 精品高考复习资料 共(4)... 高中数学基础知识归类(1)_数学_高中教育_教育专区。精品高考复习资料 共(4) 高中数学基础知识归类献...
高中数学重点知识.doc
高中数学重点知识 - 高中数学重点知识 精编 (第辑) 目录: 第部分 基本知识框架 第二部分 知识与方法归纳 1,函数 2,数列 3,不等式 4,直线与曲线方程 5...
新人教版高中数学基础知识归类.doc
新人教版高中数学基础知识归类 - 高中数学基础知识归类献给2013届高三理科
高中数学基础知识点梳理(理).doc
高中数学基础知识点梳理(理) - 高中数学基础知识归类献给 2010 年高三
1高中数学基础知识归类献给2010年高三考生.doc
1高中数学基础知识归类献给2010年高三考生_数学_高中教育_教育专区。武汉二中 2010 届高三数学自主复习材料基础知识归类 高中数学基础知识归类献给 2010 ...
人教版高中数学基础知识归类.doc
人教版高中数学基础知识归类 - 高中数学基础知识归类献给 2012 年高三(
[精品]高中数学(理)基础知识梳理归类[经典].doc
x 对称;曲线 C 1 : f ( x , y ) ? 0 ,关于 高中数学(理科)基础知识归类第 1 页(共 8 页) y ? x ? a , y ? ? x ? a 的对称曲线 C 2...
高中数学基础知识归类(4).doc
高中数学基础知识归类(4)_数学_高中教育_教育专区。高考精品复习资料 共(4)
2011高中数学(理)基础知识梳理归类1.doc
2011高中数学(理)基础知识梳理归类1 - 高中数学基础知识归类献给高三(理科) 高中数学基础知识归类献给高三(理科)考生 献给高三 一.集合与简易逻辑 1...
1高中数学基础知识归类献给高三考生.doc
高三数学要点归纳高三数学要点归纳隐藏>> 高中数学基础知识归类
考前指导--高中数学基础知识梳理归类.doc
考前指导--高中数学基础知识梳理归类 - 高中数学基础知识归类献给 2012
高中数学基础知识归类+(文科专用).doc
高中数学基础知识归类+(文科专用) - 高中数学基础知识归类献给 2012
高中数学基础知识归类献给高三(理科)考生.doc
高中数学基础知识归类献给高三(理科) 高中数学基础知识归类献给高三(理科
高中数学选修1-1和1-2知识点(珍藏版).doc
高中数学选修1-11-2知识点(珍藏版) - 高中数学选修 1-1 和 1-2 知识点(珍藏版) 1 / 26 高中数学选修 1-1 知识点总结 目录 第一章 简单逻辑用语....
高中数学知识点总结(最全版).doc
高中数学知识点总结 引言 1.课程内容:必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何...