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2015年高中数学人教版A版一轮复习作业:109离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值与方差
一、选择题 1.若随机变量 X 的分布列如下表,则 E(X)等于( )
X0 1 2 3 45 P 2x 3x 7x 2x 3x x

1

1

A.18

B.9

C.290

D.290

解析 由分布列的性质可得 2x+3x+7x+2x+3x+x=1,∴x=118.∴E(X)=

0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x=40x=290.

答案 C

1 2.某班有4的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名同学,那么其中数

学成绩优秀的学生数 X~B???5,14???,则 E(2X+1)等于(

)

5

5

A.4

B.2

C.3

D.72

解析

因为

X~B???5,14???,所以

5 E(X)=4,所以

57 E(2X+1)=2E(X)+1=2×4+1=2.

答案 D

3.已知随机变量 X+η =8,若 X~B(10,0.6),则 E(η ),D(η )分别是( ).

A.6 和 2.4

B.2 和 2.4

C.2 和 5.6

D.6 和 5.6

解析 若两个随机变量 η ,X 满足一次关系式 η =aX+b(a,b 为常数),当已知 E(X)、D(X)时,则有 E(η )=aE(X)+b,D(η )=a2D(X).由已知随机变量 X+η

=8,所以有 η =8-X.因此,求得 E(η )=8-E(X)=8-10×0.6=2, D(η )=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.

答案 B

4.已知 X 的分布列为

X -1 0 1

P

1 2

11 36

则在下列式子中:①E(X)=-13;②D(X)=2237;

③P(X=0)=13.

正确的个数是( ).

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 E(X)=(-1)×12+1×16=-13,故①正确.

D(X)=???-1+13???2×12+???0+13???2×13+???1+13???2×16=59,故②不正确. 由分布列知③正确.

答案 C 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 率为 c,a、b、c∈(0,1),且无其他得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望 为 1,则 ab 的最大值为( )

1 A.48

1 B.24

C.112

D.16

解析 依题意得 3a+2b+0×c=1,∵a>0,b>0,∴3a+2b≥2 6ab,

即 2 6ab≤1,∴ab≤214.当且仅当 3a=2b 即 a=25,b=35时等式成立.

答案 B

6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种 子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ).

A.100

B.200

C.300

D.400

解析 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设

没有发芽的种子数为 ξ ,则 ξ ~B(1 000,0.1),∴E(ξ )=1 000×0.1=100,

故需补种的期望为 E(X)=2·E(ξ )=200.

答案 B

7.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3

支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( ).

A.5

B.5.25

C.5.8

D.4.6

解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6,

P(X=3)=C136=210,P(X=4)=CC2336=230, P(X=5)=CC2436=130,P(X=6)=CC2536=12.

由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25.

答案 B

二、填空题

8. 某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个人简历,假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为 2 ,得到乙、丙两公司面试的概率为 p ,且
3 三个公司是否让其面试是相互独立的。记? 为该毕业生得到面试得公司个数。若 P(? ? 0) ? 1 ,则随机变量? 的数学期望 E? ?
12

答案 5 3
9.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表,若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=________, b=________.

解析

?a+b+c=1112, ?? 由题意知 -a+c+16=0,

??a+c+13=1,

?a=152, ?? 解得 b=14,
??c=14.

51 答案 12 4

10.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表:

ξ 123

P ?!?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处

字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案

E(ξ )=________. 解析 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1.又 E(ξ )=a+2b+3a=2(2a+ b)=2.

答案 2

11.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回, 现连续取球 8 次,记取出红球的次数为 X,则 X 的方差 D(X)=________.
1 解析 每次取球时,红球被取出的概率为2,8 次取球看做 8 次独立重复试验,
红球出现的次数 X~B???12,8???,故 D(X)=8×12×12=2. 答案 2 12.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取

4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期望 E(ξ )=________.

解析 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35,

连续摸 4 次(做 4 次试验),ξ 为取得红球(成功)的次数,则 ξ ~B???4,35???, 从而有 E(ξ )=np=4×35=152.

答案

12 5

三、解答题

13.某品牌汽车的 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统计,统

计结果如下表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,且 4S 店经销一辆该品牌的

汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万元;分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元;

分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元.用 η 表示经销一辆汽车的利润.

付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期

频数

40

20

a

10

b

(1)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1

位采用分 3 期付款”的概率 P(A);

(2)求 η 的分布列及其数学期望 E(η ).

解析 (1)由题意可知“购买该品牌汽车的 3 位顾客中有 1 位采用分 3 期付款”的

概率为 0.2,所以

P(A)=0.83+C13×0.2×(1-0.2)2=0.896.

a (2)由100=0.2



a=20,

∵40+20+a+10+b=100,∴b=10.

记分期付款的期数为 ξ ,依题意得:

P(ξ =1)=14000=0.4,P(ξ =2)=12000=0.2,P(ξ =3)=12000=0.2,P(ξ =4)

10 =100=0.1,

P(ξ =5)=11000=0.1.

由题意知 η 的可能取值为:1,1.5,2(单位:万元). P(η =1)=P(ξ =1)=0.4, P(η =1.5)=P(ξ =2)+P(ξ =3)=0.4; P(η =2)=P(ξ =4)+P(ξ =5)=0.1+0.1=0.2.

∴η 的分布列为:

η 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2
∴η 的数学期望 E(η )=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元). 14.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时 间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60

L1 的频率

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

L2 的频率

0

0.1

0.4

0.4

0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站.

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的

路径?

(2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择

方案,求 X 的分布列和数学期望.

解析 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件 “乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2.

用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,

由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独立,

∴P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.

∴X 的分布列为

X0

1

2

P 0.04 0.42 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.

15.某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一

年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化

学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任

何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达

到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各

天的满座的概率如下表:

信息技术 生物 化学 物理 数学

周一

1 4

1

1

1

1

4

4

4

2

周三

1 2

1

1

1

2

2

2

2

3

周五

1 3

1

1

1

2

3

3

3

3

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;

(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解析 (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A,

则 P(A)=???1-12??????1-23??????1-23???=118. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5. P(ξ =0)=???1-12???4×???1-23???=418; P(ξ =1)=C14×12×???1-12???3×???1-23???+???1-12???4×23=18; P(ξ =2)=C24×???12???2×???1-12???2×???1-23???+C14×12×???1-12???3×23=274; P(ξ =3)=C34×???12???3×???1-12???×???1-23???+C24×???12???2×???1-12???2×23=13; P(ξ =4)=???12???4×???1-23???+C34×???12???3×???1-12???×23=136;

P(ξ =5)=???12???4×23=214. 所以,随机变量 ξ 的分布列如下:
ξ 01234 5

P

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24

故 E(ξ )=0×418+1×18+2×274+3×13+4×136+5×214=83.

16.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位游客游览这 3 个景点的概率分别是

0.4、0.5、0.6,且游客是否游览哪个景点互不影响,用 X 表示该游客离开该城

市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(1)求 X 的分布列及期望;

(2)记“f(x)=2Xx+4 在[-3,-1]上存在 x0,使 f(x0)=0”为事件 A,求事件 A 的概率.

解析 (1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件 A1、A2、A3,已知 A1、A2、A3 相互独立,且 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.游客游览的景点数可能取值 为 0、1、2、3,相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3、2、1、0,

所以 X 的可能取值为 1、3.则 P(X=3)=P(A1A2A3)+P( A1 A2 A3 )

=P(A1)·P(A2)·P(A3)+P( A1 )·P( A2 )·P( A3 )

=2×0.4×0.5×0.6=0.24. P(X=1)=1-0.24=0.76.

所以分布列为:

X1

3

P 0.76 0.24

∴E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48. (2)∵f(x)=2Xx+4 在[-3,-1]上存在 x0,使得 f(x0)=0, ∴f(-3)·f(-1)≤0,即(-6X+4)(-2X+4)≤0,

解得:23≤X≤2.

∴P(A)=P???23≤X≤2???=P(X=1)=0.76.


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