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高一数学上学期期末考试试题 文21

内蒙古赤峰市第二中学 2016 - 2017 学年高一上学期期末考试 文数试题
一、选择题:本大题共 12 个小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U = {1, 2, 3, 4}, 集合 A = {1, 2}, B = {2, 3}, 则?U(A∩B) = A. {1, 3, 4} B. {3, 4} C. {3} D. {4}

2. 下列函数是偶函数的 是
1

A. y = sinx

B. y = xsinx

C. y = x 2

D. y = 2 -

x

1 2x

3. 若函数 f(x) = lnx + 2x - 6 的零点位于区间(n, n + 1)(n ? N)内, 则 n = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 设 f(x) = ? A. 0

? 2e x ? 1 , x ? 2,
2 ?log3 ( x ? 1), x ? 2,

a = f(2), 则 f(a)的值为
D. 3

B. 1

C. 2

5. 已知非零向量 OA , OB 不共线, 且 BM = A.

1 BA , 则向量 OM = 3

1 2 OA + OB 3 3 1 2 OA - OB 3 3

B.

2 1 OA + OB 3 3 1 4 OA - OB 3 3

C.

D.

6. 已知? ? ( A.

1 7

? 3 ? , ?), sin? = , 则 tan(? + )等于 5 2 4 1 B. 7 C. D. - 7 7
π ](k ? Z) 2

7. 函数 y = sinx 和 y = cosx 都递减的区间是

π , 2k?](k ? Z) 2 π C. [2k? + , 2k? + ?](k ? Z) 2
A. [2k? -

B. [2k? - ?, 2k? D. [2k?, 2k? +

π ](k ? Z) 2

8. 若向量 a = (1, 2), b = (1, - 1), 则 2a + b 与 a - b 的夹角等于 A. -

?
4

B.

?
6

C.

?
4

D.

3? 4

9. 边长为 1 的正?ABC 中, BC = a, CA = b, AB = c, 则 a?b + b?c + c?a =

1

A. 0

B. 1

C.

3 2

D. -

3 2

10. 若偶函数 f(x)在(- ∞, - 1]上是增函数, 则下列关系中成立的是

3 ) < f(- 1) < f(2) 2 3 C. f(2) < f(- 1) < f(- ) 2
A. f(11. 下列命题正确的是 A. 函数 y = sin(2x +
4

B. f(- 1) < f(D. f(2) < f(-

3 ) < f(2) 2

3 ) < f(- 1) 2

?
3

)在区间(4

? ?
3
,

6

)内单调递增

B. 函数 y = cos x - sin x 的最小正周期为 2? C. 函数 y = cos(x + D. 函数 y = tan(x +

? ?
3 3

)的图象是关于点(

?
6

, 0)中心对称

)的图象是关于直线 x =

?
6

轴对称形

12. 已知向量 a, b 满足|a| = 3 , |b| = 1, 且对任意 t ? R, 恒有|a + tb| ≥ |a + b|, 设

a, b 的夹角为 θ , 则 sinθ =
A.

2 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

6 3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分, 满分 20 分, 将答案填在答题纸上) 13. 已知 f(x)是定义在[- 2, 0)∪(0, 2]上的奇函数, 当 x > 0 时, f(x)的图象如图所示, 那么 f(x)的值域是 . 3 2 y

O

2

x

14. 已知角?, ?的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, ?, ? ? (0, ?), 角?的终边与 单位圆交点的横坐标是-

1 4 , 角? + ?的终边与单位圆交点的纵坐标是 , 则 cos?= 3 5

.

15. 把函数 f(x) = - 2cos(x + 象,

?

4

)的图象向左平移 φ (φ > 0)个单位得到函数 y = g(x)的图

若函数 y = g(x)是偶函数, 则 φ 的最小值为

.
2

16. 已知函数 f(x) = |log2x|, 正实数 m, n 满足 m < n, 且 f(m) = f(n), 若 f(x)在区间[m , n]
2

上的最大值为 2, 则 m = 三、解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x) = loga(a - 1)(a > 0, a ? 1).
x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a = 2 时, 讨论函数 f(x)的单调性. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = loga(3x + 1)(a > 0, a ? 1). (1)不论 a 取什么值 , 函数 f(x)的图象都过定点 A, 求点 A 的坐标; (2)若 f(x) > f(9)成立, 求 x 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分)已知向量 a = (sin?, cos? - 2sin?), b = (1, 2). (1)若 a//b, 求 tan?的值; (2)若|a| = |b|, 0 < ? < ?, 求?的值. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = a(2cos (1)当 a = 1 时, 求 f(x)的单调递增区间; (1)当 x ? [0, ?]时, f(x)的值域是[3, 4], 求 a, b 的值. 21. (本小题满分 12 分)如图所示, 已知点 A(1, 0), D(- 1, 0), 点 B, C 在单位圆上半部分, 且?BOC =
2

x + sinx) + b. 2

?
3

.

(1)若点 B(

3 4 , ), 求 cos?AOC 的值; 5 5
C y B O A x

(2)若点 B 在第一象限, 求四边形 ABCD 的周长的最大值.

D

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = 4sinω xcosω x + cos2ω x(ω > 0)的最小正周期为 2π , 关于 x 的方程 f(x) = m 在[0, 2?)内有两个不同的解?, ?. (1)求实数 m 的取值范围; (2)证明: cos(? - ?) =

2m 2 - 1. 5

3

内蒙古赤峰市第二中学 2016 - 2017 学年高一上学期期末考试 文数试题 参考答案 一、选择题:ABBCA ACCDD CD

12. 解析: 如图所示, a + tb = OA (或 a + tb = OB ), ∵对于任意实数 t, 恒有|a + tb| ≥ |a + b|, ∴(a + b)?b, 因为|a| = 3 , |b| = 1, 所以 tanα = 2 , tanθ = - 2 , sinθ = 二、填空题 13. [- 3, - 2)∪(2, 3] 14.

6 . 3

3?8 2 15

15.

3? 4

16.

1 2

16. 解析: f(x) = |log2x| = ?

?log 2 x, x ? 1, f(x)在(0, 1] 上递减, 在(1, + ?)上递增, ? ? log 2 x,0 ? x ? 1.
2

∵f(m) = f(n), 且 m < n, ∴mn = 1 且 0 < m < 1, n > 1, 故 f(m ) > f(m). 又 f(x)在[m , n]上的最大值为 2, ∴f(m ) = 2, 即 - log2m = 2, 解得 m = y f(x)=|log2x|
2 2 2

1 . 2

O m1 n 三、解答题
x

x

m2
x

17. 解析: (1)当 0 < a <1 时, 由 a - 1 > 0, 得 x < 0; 当 a > 1 时, 由 a - 1 > 0, 得 x > 0, 所以, 当 0 < a <1 时, f(x)的定义域为(- ?, 0); 当 a > 1 时, f(x)的定义域为(0, + ?). (2) f(x) = log2(2 - 1), f(x)的定义域为(0, + ?).
x

设任意 x1, x2 ? (0, + ?), 且 x1 < x2, 则 1 < 2 1 < 2 2 , ∴log2( 2 1 - 1) < log2( 2 2 - 1), 即 f(x1) < f(x2), ∴f(x)在(0, + ?)上是增函数. 18. 解析: (1)因为当 3x + 1 = 1 时, 即 x = 0 时, f(x) = 0, 所以函数 f(x)的图象过定点 A(0, 0). (2) f(x) > f(9), 即 loga(3x + 1) > loga28. ①当 0 < a <1 时, y = logax 在(0, + ?)上是减函数, 故 0 < 3x + 1 < 28, 解得-

x

x

x

x

1 < x < 9; 3
4

②当 a > 1 时, y = logax 在(0, + ?)上是增函数, 故 3x + 1 > 28, 解得 x > 9.

1 , 9); 当 a > 1 时, x 的取值范围是(9, + ?). 3 1 19. 解析: (1)因为 a//b, 所以 2sin? = cos? - 2sin?, 于是 4sin? = cos?, 故 tan? = . 4
综上, 当 0 < a <1 时, x 的取值范围是((2)由|a| = |b|知, sin ? + (cos? - 2sin?) = 5, 所以 1 - 2sin2? + 4sin ? = 5,
2 2 2

从而- 2sin2? + 2(1 - cos2?) = 4, 即 sin2? + cos2? = - 1, 于是 sin(2? + 又由 0 < ? < ?知,

?
4

)=-

2 2

?

4 3? ? 因此? = , 或? = 4 2
20. 解析: (1) f(x) = 2cos 1. 由-

< 2? +

?

9? ? 5? ? 7? , 所以 2? + = , 或 2? + = . 4 4 4 4 4 4
<

2

x ? + s inx + b = cosx + sinx + b + 1 = 2 sin(x + ) + b + 2 4 3? ? + 2k?, + 2k?](k ? Z). 4 4

?
2

+ 2k? ? x +

? ?
4
?

2

+ 2k?, 解得 f(x)的单调递增区间为[-

(2) f(x) = 2 asin(x +

?
4

) + a + b, x ? [0, ?].



?
4

? x +

?
4

?

5? ? 2 , ∴? sin(x + ) ? 1. 4 4 2

①当 a > 0 时, b ? f(x) ? ( 2 + 1)a + b, ∴ ?

? ? ?b ? 3, ? a ? 2 ? 1, 解得 ? ? ? ?( 2 ? 1)a ? b ? 4, ?b ? 3.

②当 a < 0 时, b ? f(x) ? ( 2 + 1)a + b, ∴ ? ③当 a = 0 时, b ? f(x) ? b, 矛盾. 故 a = 2 - 1, b = 3 或 a = 1 - 2 , b = 4. 21. 解析: (1)∵B(

? ? a ? 1 ? 2, ?b ? 4, ? 解得 ? ? ? ?( 2 ? 1)a ? b ? 3, ?b ? 4.

3 4 3 4 , ), ∴cos∠AOB = , sin∠AOB = ; 5 5 5 5

∴cos∠AOC = cos(∠AOB +∠BOC) = cos∠AOBcos∠BOC - sin∠AOBsin∠BOC =

3 1 4 3 3? 4 3 = . ? - ? 5 2 5 2 10

(2) 设?AOB = x(0 < x <

?
2

), 在等腰三角形 AOB 中, |AB| = 2|OB|sin

x x = 2sin , 2 2

5

2? ? x ?x 在等腰三角形 COD 中, 求得|CD| = 2|OC|sin 3 = 2sin( - ), 3 2 2
设四边形 ABCD 的周长为 y, 则

y = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = 3 + 2sin
由0 < x <

?
2

得,

?

x ? 5? x ? ? ? + < , ∴当 + = , 即 x = 时, y 取得最大值 5. 2 3 2 3 2 3 12 3
<

x x ? ? x + 2sin( - ) = 3 +2sin( + ), 2 2 3 3 2

22. 解析: f(x) = 4sinω xcosω x + cos2ω x = 2sin2ω x + cos2ω x = 5(

2 1 1 2 sin2ω x + cos2ω x) = 5 sin(2ω x + ?), 其中 sin? = , cos? = . 5 5 5 5

2? 1 = 2?, 故? = , ∴f(x) = 5 sin(x + ?). 2? 2 m m (1)依题意, sin(x + ?) = 在区间[0, 2?)内有两个不同的解?, ?, 当且仅当| | < 1, 故 5 5
因为 f(x)的最小正周期为 2?, 且? > 0, 所以

m 的取值范围是(- 5 , 5 ).
(2)因为?, ?是方程 sin(x + ?) =

m 在区间[0, 2?)内的两个不同的解, 5

所以 sin(? + ?) =

m m , sin(? + ?) = . 5 5

当 1 ? m < 5 时, 当- 5 < m < 1 时,

??? ?
2 2
=

2

- ?, ∴? - ? = ? - 2(? + ?); - ?, ∴? - ? = 3? - 2(? + ?);

? ? ? 3?
=

2

所以 cos(? - ?) = - cos2(? + ?) = 2sin (? + ?) - 1 = 2(
2

2m 2 m 2 ) - 1 = - 1. 5 5

解析 2: (1)同解析 1. (2)因为?, ?是方程 sin(x + ?) =

m 在区间[0, 2?)内 的两个不同的解, 5

所以 sin(? + ?) =

m m , sin(? + ?) = . 5 5

当 1 ? m < 5 时, 当- 5 < m < 1 时,

??? ?
2 2
=

2

- ?, ∴? + ? = ? - (? + ?); - ?, ∴? + ? = 3? - (? + ?);

? ? ? 3?
=

2

所以 cos(? + ?) = - cos(? + ?),

6

于是 cos(? - ?) = cos[(? + ?) - (? + ?)] = cos(? + ?)cos(? + ?) + sin(? + ?)sin(? + ?)

m 2 m 2 2m 2 = - cos (? + ?) + sin(? + ?)sin(? + ?) = - [1 - ( )] + ( ) = - 1. 5 5 5
2

7


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