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一元二次方程--根的判别式韦达定理


一元二次方程
--根的判别式 --根与系数的关系

? 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况: (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当Δ<0时,方程无实数根.
【例】已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0, 当m为何非负整数时: (1)方程只有一个实数根; 当m-2=0即m=2时 x=3/2,成立 当m=3时 x=2,成立 (2)方程有两个不等的实数根. m=0,1

? 要点、考点聚焦
2.根据根的情况,也可以逆推出Δ的情况,这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
2.(2008年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根,则m的取值范围是 (D ) A.m<1 B. m<1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0

? 要点、考点聚焦
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别

为x1,x2,则:x1+x2=-b/a;x1x2=c/a
3.(2008年· 黄冈)下列说法中不正确的是 ( A ) A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18 D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/5

? 要点、考点聚焦
4.若x1,x2是某一元二次方程的两根,则该方程可以

写成:x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
4.(2008年· 沈阳市)请写出一个二次项系数为1,
x2-3x-4=0 两实根之和为3的一元二次方程:



5.能利用一元二次方程根与系数的关系式,确定 方程中字母系数的值或其取值范围.

5.(2008年·广东省)已知x1,x2 为方程x2+px+q=0
的两根,且x1+x2=6,x21+x22=20,求p和q的值.

p=-6,q=8.

? 要点、考点聚焦
6.能把二次三项式或二次函数以及二元二次方程 组等问题转化为根与系数问题加以解决. 6.如果方程组
?y 2 = 4x ? ?y = 2x + m

只有一个实数解,求m值.

解:将②代入①中得 (2x+m)2=4x 即4x2+4(m-1)x+m2=0 Δ =[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16=0 ∴m=1/2

? 典型例题解析
【例1】 已知:a、b、c是△ABC的三边,若方程
a x + 2 b + c x + 2 (b + c ) = 2 a
2 2 2

有两个等根,试判断△ABC的形状.

解:利用Δ =0,得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.

【 例 2 】 已 知 x1 、 x 2 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
4x
2

? 4 ( m ? 1) x ? m

2

? 0 的两个非零实数根,问: x 1 与 x 2

能否

同号?若能同号请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号, 请说明理由。
略解:由 ? ? ? 32 m ? 16 ≥0 得 m ≤
1 2

。 x1 ? x 2 ? ? m ? 1 , x1 x 2 ?

1 4

m

2

≥0

∴ x 1 与 x 2 可能同号,分两种情况讨论: (1)若 x 1 >0, x 2 >0,则 ? ∴ m ≤ 1 且 m ≠0
2

? x1 ? x 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 0

,解得 m <1 且 m ≠0

(2)若 x 1 <0, x 2

<0,则
2

? x1 ? x 2 ? 0 ? ? x1 x 2 ? 0

,解得 m >1 与 m ≤ 1 相矛盾
2

综上所述:当 m ≤ 1 且 m ≠0 时,方程的两根同号。

1.求判别式时,应该先将方程化为一般形式.

2.应用判别式解决有关问题时,前提条件为 “方程是一元二次方程”,即二次项系数不 为0.

3.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两 根之积. (1)容易忘记除以二次项系数; (2)求两根之和时易弄错符号.

4.已知两根,求作一元二次方程时,也容易弄错 一次项系数的符号.
5.应用韦达定理时,注意不要忽略题中的隐含条 件,比如隐含的二次方程必有实数根的条件.

6. 韦达定理的应用非常广泛,解题过程应牢记

(1)其适用的条件即应满足Δ≥0,否则在求字母的 取值范围时会出错; (2)要熟悉有关式子的恒等变形问题,皆转化成以 两根之和与两根之积为整体的形式再代入求值.

? 课时训练
1.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1,
则抛物线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为 ( A )

A.-2
且a≠b,则
b a ? a b

B.2
?

C.3
1 2

D.-1

2.已知:实数a、b满足条件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,
22

3.设x1,x2是方程2x2-3x+m=0的两个实根,且 1 . 8x1-2x2=7,则m的值是 4. 以方程 2 x - x - 4 = 0 的两根的倒数为根的一元二 次方程是 4 x + x - 2 = 0 。
2
2


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