当前位置:首页 >> 数学 >>

指数函数题型汇总


指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考 考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例1 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则 f (b ) 与 f (c ) 的大小关系是_____.
2 x x
x x

分析:先求 b,c 的值再比较大小,要注意 b ,c 的取值是否在同一单调区间内. 解:∵ f (1 ? x) ? f (1 ? x) , ∴函数 f ( x) 的对称轴是 x ? 1 . 故 b ? 2 ,又 f (0) ? 3 ,∴ c ? 3 .

1? 上递减,在 ?1 , ? ∞? 上递增. ∴函数 f ( x) 在 ? ?∞,
若 x ≥ 0 ,则 3
x x

≥ 2x ≥1 ,∴ f (3x ) ≥ f (2x ) ;
x

若 x ? 0 ,则 3 ? 2 ? 1 ,∴ f (3 ) ? f (2 ) .
x x

综上可得 f (3 ) ≥ f (2 ) ,即 f (c ) ≥ f (b ) .
x x x x

评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参 数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知 (a ? 2a ? 5)
2 3x

? (a 2 ? 2a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________.

分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵ a ? 2a ? 5 ? (a ? 1) ? 4 ≥ 4 ? 1 ,
2 2

∴函数 y ? (a ? 2a ? 5) 在 (?∞, ? ∞) 上是增函数,
2 x

∴ 3x ? 1 ? x ,解得 x ?

1 ?1 ? .∴x 的取值范围是 ? , ? ∞? . 4 4 ? ?

评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与 1 的大小,对于含有参数的要注意 对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数 y ? 1 ? 6
x?2
x?2

的定义域和值域.

解:由题意可得 1 ? 6

≥ 0 ,即 6x ?2 ≤1 ,
2? . ∴函数 f ( x) 的定义域是 ? ?∞,

∴ x ? 2 ≤ 0 ,故 x ≤ 2 . 令t ?6
x?2

,则 y ? 1 ? t ,
x?2

又∵ x ≤ 2 ,∴ x ? 2 ≤ 0 . ∴ 0 ? 6 ∴ 0 ≤1 ? t ? 1 ,即 0 ≤ y ? 1 .

≤1 ,即 0 ? t ≤1 .

1? . ∴函数的值域是 ? 0,
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题 -1-

例4

函数 y ? a
x

2x

? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11] , 上有最大值 14,则 a 的值是_______.

分析:令 t ? a 可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后 t 的取值范围. 解:令 t ? a ,则 t ? 0 ,函数 y ? a
x

2x

? 2a x ? 1 可化为 y ? (t ? 1)2 ? 2 ,其对称轴为 t ? ?1 .

, ∴当 a ? 1 时,∵ x ? ? ?11 ?,


1 1 ≤ a x ≤ a ,即 ≤ t ≤ a . a a

∴当 t

? a 时, ymax ? (a ? 1)2 ? 2 ? 14 .

解得 a ? 3 或 a ? ?5 (舍去) ;

, 当 0 ? a ? 1 时,∵ x ? ? ?11 ?,
∴ a ≤ ax ≤

1 1 ,即 a ≤ t ≤ , a a
2

1 ?1 ? ∴ t ? 时, ymax ? ? ? 1? ? 2 ? 14 , a ?a ?
解得 a ?

1 1 1 或 a ? ? (舍去) ,∴a 的值是 3 或 . 3 5 3

评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程 例5 解方程 3
x?2

? 32? x ? 80 .
x 2 x x
2

解:原方程可化为 9 ? (3 ) ? 80 ? 3 ? 9 ? 0 ,令 t ? 3 (t ? 0) ,上述方程可化为 9t ? 80t ? 9 ? 0 ,解得 t ? 9 或 t ? ? ∴ 3 ? 9 ,∴ x ? 2 ,经检验原方程的解是 x ? 2 .
x

1 (舍去) , 9

评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题 例6 为了得到函数 y ? 9 ? 3 ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3 的图象(
x x

) .

A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 分析:注意先将函数 y ? 9 ? 3 ? 5 转化为 t ? 3
x
x?2

? 5 ,再利用图象的平移规律进行判断.

解: ∵ y ? 9?3 ? 5 ? 3
x

x?2

x x ?5, ∴把函数 y ? 3 的图象向左平移 2 个单位长度, 再向上平移 5 个单位长度, 可得到函数 y ? 9 ? 3 ? 5

的图象,故选(C) . 评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变 化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题

1、比较下列各组数的大小:

-2-

(1)若 (2)若 (3)若 (4)若 (5)若

,比较 ,比较 ,比较

与 与 与 ,且 ,且 ; ;



,比较 a 与 b; ,比较 a 与 b.

解:(1)由

,故

,此时函数

为减函数.由

,故



(2)由

,故

.又

,故

.从而



(3)由

,因

,故

.又

,故

.从而



(4)应有 而

.因若

,则 矛盾.

.又

,故

,这样

.又因

,故

.从

,这与已知

(5)应有

.因若

,则

.又

,故

,这样有

.又因

,且

,故

.从而 ,这与已知 矛盾. 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.

2 曲线

分别是指数函数

,



的图象,则

与 1 的大小关系是 (

).

( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 题则是由图到

,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2) 数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域. (1)y=2
1 x ?3

;

(2)y=4 +2 +1.
1 x ?3

x

x+1

解:(1)∵x-3≠0,∴y=2

1 的定义域为{x|x∈R 且 x≠3}.又∵ ≠0,∴2 x ? 3 ≠1, x?3
-3-

1

∴ y =2

1 x ?3
x

的值域为{y|y>0 且 y≠1}.
x+1 x x x+1 x 2 x x 2

(2)y=4 +2 +1 的定义域为 R.∵2 >0,∴y=4 +2 +1=(2 ) +2·2 +1=(2 +1) >1. ∴y=4 +2 +1 的值域为{y|y>1}. 4 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 -9 的最大值和最小值 解:设 t=3 ,因为-1≤x≤2,所以 最小值-24。 5、设 ,求函数 的最大值和最小值.
x x+1 x x x+1

1 ? t ? 9 ,且 f(x)=g(t)=-(t-3) +12,故当 t=3 即 x=1 时,f(x)取最大值 12,当 t=9 即 x=2 时 f(x)取 3
2

分析:注意到 的求法,可求得函数的最值. 解:设 ,由 知,

,设

,则原来的函数成为

,利用闭区间上二次函数的值域

,函数成为



,对称轴

,故函数最小值为

,因端点



距对称轴

远,故函数的最大值为



6(9 分)已知函数 .解:

y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
换元为

y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 1) ,
当a 解得 a=3 (a= -5舍去)

? 1 , t ? a ,即 x=1 时取最大值,略

1 y ? t 2 ? 2t ? 1( ? t ? a) ,对称轴为 t ? ?1 . a

7.已知函数 (1)求 的最小值;

( (2)若

且 ,求

) 的 取值范围.

. 解: (1 )







时, (2 ) 当 当

有最小值为 ,解得 时, 时, ; .

8(10分) (1)已知 (2)画出函数

f ( x) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x


y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3

-1|=k无

解?有一解?有两解? 解: (1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数

y ?| 3 x ? 1 | 的图象无交点,即方程无解; y ?| 3 x ? 1 | 的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
-4-

当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数

当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数

y ?| 3 x ? 1 | 的图象有两个不同交点,所以方程有两解。

9.若函数 .解: 为奇函数,

是奇函数,求

的值. ,





则 10. 已知 9x-10.3x+9≤0,求函数 y=( 解:由已知得(3x)2-10·3x+9≤0 ∴1≤3 ≤9 而 y=(
x



1 x-1 1 ) -4· ( )x+2 的最大值和最小值 4 2

得(3x-9) (3x-1)≤0

故 0≤x≤2

1 x-1 1 1 1 ) -4·( )x+2= 4· ( )2x-4· ( )x+2 4 2 2 2 1 x 1 令 t=( ) ( ? t ? 1 ) 2 4 1 则 y=f(t)=4t2-4t+2=4(t- )2+1 2 1 当 t= 即 x=1 时,ymin=1 2
当 t=1 即 x=0 时,ymax=2 11.已知 解:由 求函数的值域为 12. (9 分)求函数 得 ,求函数 的值域. ,即 ,解之得 ,于是 ,即 ,故所

y ? 2 ? x ?2 x?2 的定义域,值域和单调区间

2

定义域为 R 值域(0,8〕 。 (3)在(-∞, 1〕上是增函数 在〔1,+∞)上是减函数。

13

?1? 求函数 y= ? ? ?3?
分析
u

x 2 ?3 x ? 2

的单调区间.

这是复合函数求单调区间的问题

?1? 可设 y= ? ? ?3?
2 2

?1? ,u=x -3x+2,其中 y= ? ? ?3?
2

u

为减函数

∴u=x -3x+2 的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u=x -3x+2 的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

?1? 解:设 y= ? ? ?3?
当 x∈(-∞,

u

,u=x -3x+2,y 关于 u 递减,

2

3 )时,u 为减函数, 2 3 ∴y 关于 x 为增函数;当 x∈[ ,+∞)时,u 为增函数,y 关于 x 为减函数. 2
-5-

14

a x ?1 已知函数 f(x)= x a ?1

(a>0 且 a≠1).

(1)求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性. 解:(1)易得 f(x)的定义域为{x|x∈R}.

设 y=

a x ?1 y ?1 y ?1 y ?1 ,解得 a =①∵a >0 当且仅当>0 时,方程①有解.解>0 得-1<y<1. x y ?1 y ?1 y ?1 a ?1
x x

∴f(x)的值域为{y|-1<y<1 } .

a ?x ?1 1? a x (2)∵f(-x)= ? x = a ?1 1? ax
(3)f(x)=

=-f(x)且定义域为 R,∴f(x)是奇函数.

(a x ? 1) ? 2 2 =1- x . x a ?1 a ?1
x x

1°当 a>1 时,∵a +1 为增函数,且 a +1>0.



a x ?1 a x ?1 2 2 为减函数,从而 f(x) = 1= 为增函数 .2 °当 0<a<1 时,类似地可得 f(x) = 为减函数. ax ?1 ax ?1 ax ?1 ax ?1

15、已知函数 f(x)=a- (1 ) (2 )

2 (a∈R) , 2 ?1
x

求证:对任何 a∈R,f(x)为增函数. 若 f(x)为奇函数时,求 a 的值。

(1)证明:设 x1<x2 f(x2)-f(x1)=

2(2 x2 ? 2 x1 ) >0 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

故对任何 a∈R,f(x)为增函数. (2)? x ? R ,又 f(x)为奇函数

? f (0) ? 0

得到 a ? 1 ? 0 。即 a

?1
2x 4 x ?1

16、定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

(1)求 f ( x ) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x ) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x ) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解. 解(1)∵x∈R 上的奇函数 又∵2 为最小正周期 ∴

f (0) ? 0

∴ f (1) ? f (2 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0

设 x∈(-1,0) ,则-x∈(0,1) , f ( ? x) ? ∴ f ( x) ? ?

2?x 4 ?x ?1

?

2x 4 x ?1

? ? f ( x)

2x 4 x ?1

? 2x x? (-1,0) ?? x ( 2 4 ?1 ) 设 ? ? f ( x) ? ? 0 x? {-1,0,1} ? x ? 2 x? (0,1) x ? ?4 ?1

0<x1<x2<1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 xx ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

-6-

=

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

?0
∴在(0,1)上为减函数。

(3)∵ f ( x ) 在(0,1)上为减函数。 ∴ f (1) ? f ( x) ? f (0) 即 f ( x) ? ( , )

2 1 5 2

同理 f ( x ) 在(-1,0)时, f ( x) ? (? 又 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 0 ∴当 ? ? (?

1 2 ,? ) 2 5

1 2 2 1 ,? ) ? ( , ) 或 ? ? 0 时 2 5 5 2

f ( x) ? ? 在[-1,1]内有实数解。

函数 y=a

|x|

(a>1)的图像是(

)

分析

本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想.

解法 1:(分类讨论):

?a x       ( x ? 0), ? 去绝对值,可得 y= ? 1 x ( x ? 0). ?( )      ? a
又 a>1,由指数函数图像易知,应选 B. 解法 2:因为 y=a ∴应选 B.
|x|

是偶函数,又 a>1,所以当 x≥0 时,y=a 是增函数;x<0 时,y=a 是减函数.

x

-x

-7-


相关文章:
指数函数题型汇总.doc
指数函数题型汇总 - 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数
指数函数题型归纳精华讲义.doc
指数函数题型归纳精华讲义_数学_高中教育_教育专区。指数与指数函数 题型一 指数
指数函数的题型总结_图文.doc
指数函数题型总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 指数函数题型总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 ...
指数运算与指数函数典型题型.doc
指数运算与指数函数典型题型 - 指数与指数函数 知识点 1、 指数运算 (1)当
指数函数题型归纳.doc
指数函数题型归纳 - 指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 一般地, 函数 2
指数函数及其性质常见题型.doc
指数函数及其性质常见题型 - 习题题型一:与指数有关的复合函数的定义域和值域 1、 含指数函数的复合函数的定义域 (1) 由于指数函数 y ? a x ?a ?...
指数函数要点及常见题型.doc
指数函数要点及常见题型 - 指数函数要点及常见题型 1.指数函数的定义: 函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R...
指数函数题型总结-孟.doc
指数函数题型总结-孟 - 指数函数题型总结: 题型一.比较大小 0 ( 3? ,
指数函数典型例题详细解析.doc
指数函数典型例题详细解析 - 对指数函数这一节的题型,按难易程度,精选10道例题,并将每道例题 配备变式练习,进行了详细的 解答,结合教学进度,后面附加了复合函数...
指数函数各种题型教案.doc
指数函数各种题型教案 - 王广 高中数学讲义 指数函数 典例分析 题型指数函数的定义与表示 【例1】 求下列函数的定义域、值域 求函数 y ? 1 ? 6x?2 的...
(精华)指数函数经典题型 练习题 (不含答案).doc
(精华)指数函数经典题型 练习题 (不含答案) - 本节知识点 1、 根式 n
指数函数习题精选精讲.doc.doc
指数函数习题精选精讲.doc_数学_高中教育_教育专区。指数函数 指数函数是高中...内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨....
指数函数练习题及答案.doc
指数函数练习题及答案 - 指数函数练习题及答案 1- 1.设 y1=40.9,y
历年高考题(指数函数).doc
历年高考题(指数函数) - 1 2 3 4 5... 高一数学| 指数函数| 高考题|历年高考题(指数函数)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1 2 3 4 5 1...
指数函数典型例题分析_图文.ppt
指数函数典型例题分析 - 指数函数典型例题分析 指数函数是中学数学中基本初等函数之一, 是学习函数、不等式等内容的重要工具. ? 指数函数的性质是指数函数 的核心...
指数及指数函数知识点及习题.doc
指数及指数函数知识点及习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。知识点习题 指数及指数函数(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果 x = a ,那么 x...
指数函数习题大全.doc
指数函数习题大全 - 指数函数 一、选择题 1. 函数 f ( x) ? a x
指数和指数函数练习题及答案.doc
指数和指数函数练习题及答案 - 指数和指数函数 一、选择题 1. ( 3 6 1
指数函数题型汇总.doc
指数函数题型汇总 - 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数
指数运算和指数函数经典练习题.doc
指数运算和指数函数经典练习题 - 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质
更多相关标签: