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高中数学:推理与证明数学归纳法知识讲解

推理与证明、数学归纳法 【考纲要求】 1.了解合情推理的含义, 能利用归纳和类比等进行简单的推理, 了解合情推理在数学发 现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性, 掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过 程、特点. 5.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. 6.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【知识网络】 归纳 推 理 推 理 与 证 明 证 明 间接证明 【考点梳理】 考点一:合情推理与演绎推理 1.推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断, 这种思维方式叫做推理. 从结构上说, 推理一般由两部分组成, 一部分是已知的事实(或假设)叫做前提, 一部分是由已知推出的判 断,叫做结论. 2.合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的 推理称为合情推理. 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这 些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理. 简言之, 归纳推理是由部分到整体、 个别到一般的推理,归纳推理简称归纳. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另 一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理简称 合情推理 类比 演绎推理 数学归纳法 直接证明 综合法 分析法 反证法 类比. 3.演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.简言之,演绎推理是由一般到特殊 的推理. 三段论是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 要点诠释: 合情推理与演绎推理的区别与联系 (1)从推理模式看: ①归纳推理是由特殊到一般的推理. ②类比推理是由特殊到特殊的推理. ③演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论看: ①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。 (3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物 的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。合情推理的结论需要 演绎推理的验证, 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的; 演绎推理可以验证合情推 理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 考点二:直接证明与间接证明 1.综合法 (1)定义:综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论 的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理, 最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因索果的证明方法,又叫顺推法. (2)综合法的思维框图: 用 P 表示已知条件, Q( 为定义、定理、公理等,Q 表示所要 ,2,3,...,n) i i ?1 证明的结论,则综合法可用框图表示为: (P ? Q1) (Q1 ? Q 2) (Q2 ? Q3) (Qn ? Q) ? ? ?......... 2.分析法 (1) 定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件,定理,定义,公理)为止.这种 证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推法或执果索因法. (2)分析法的思维框图: (Q ? P1) (P1 ? P2) (P2 ? P3) ? ? ?.........得到一个明显成立的条件. 3.反证法 (1)定义:假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设 错误,从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫反证法.反证法是一种间接证明的方法. (2)应用反证法证明数学命题的一般步骤: ①分清命题的条件和结论. ②做出与命题结论相矛盾的假设. ③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果. ④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接 地证明原命题为真. 考点三:数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤: (1)证明当 n 取第一个值 n 0 时结论正确; (2)假设当 n ? k (k ? N *, k ? n0 ) 时结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确, 由(1) (2)确定对 n ? N *, n ? n0 时结论都正确。 要点诠释: 1.在证明过程中 证明了第一步, 就获得了递推的基础, 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步 中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个 正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立; 证明了第二步, 就获得了递推的依据, 但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步 和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论; 2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取: 初始值 n0 就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同,初始值不一定从 n0 ? 1 开始。如,证明不等式 2n ? n 2 ,初始值应从 n0 ? 5 开始. 必须把要把归纳假设用上一次或者多次: 在由假设 n ? k 时命题成立,证明 n ? k ? 1 时命题也成立,必须把要把归纳假设用上一 次或者多次。必须把归纳假设“ n ? k (k ? n0 , k ? N* ) 时命题成立”作为条件来推导出 “ n ? k ? 1 时命题也成立”是第二步的关键,只有通过归纳假设的使用,才达到由 n=k 的 情况递推到 n=k+1 的情况,保证了命题的传递性。此处变形的方法较多,要在不同题型中 逐步去体会,如证明整除问题、几何问题等。 【典型例题】 类型一:合情推理

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