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高二数学(苏教版)《直线与圆锥曲线》同步测试(2)


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高二数学同步测试直线与圆锥曲线 高二数学同步测试直线与圆锥曲线
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.如果 A(3,1), B ( ?2, k ), C (8,11) 三点在同一条直线上,那么 k 的值是( ) A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 2.有 5 辆 6 吨的汽车和 4 辆 4 吨的汽车,要运送最多货物,完成这项运输任务的线性目标 函数是 ( ) A. z = 5 x + 4 y B. z = 6 x + 4 y C. z = 5 x + 6 y D. z = 4 x + 4 y

x2 y2 x2 y2 3.曲线 + = 1 与曲线 + = 1(m < 9) 一定有 25 9 25 ? m 9 ? m
A.相等的长轴 B.相等的焦距 C.相等的离心率
o





D.相同的准线

4.将直线 2 x ? 3 y ? 6 = 0 绕着它与 y 轴的交点逆时针旋转 45 的角后,在 x 轴上的截距是 ( )

2 5 5 C. D. 5 2 4 2 2 x y 5.在同一坐标系中,方程 2 + 2 = 1与ax + by 2 = 0(a > b > 0) 的曲线大致是( a b
A. B.

4 5



6.双曲线的渐近线为

x y ± = 0 ,且过点 ( 3 ,2) ,则此双曲线的共轭双曲线的方程为 3 2
( ) B.

x y ? =1 2 3 7. 已知直线 ax + by + c = 0(abc ≠ 0)与圆x 2 + y 2 = 1 相切, 则三条边长分别为 | a |, | b |, | c | 的
A. C. D. 三角形 A.是锐角三角形 B.是直角三角形
2

x y ? =1 9 4

2

2

x y ? =1 3 2

2

2

x y ? =1 4 9

2

2

2

2

C.是钝角三角形

( D.不存在



8.一动圆圆心在抛物线 x = ?8 y 上,且动圆恒与直线 y ? 2 = 0 相切,则动圆必过定点 ( ) A. ( 4,0) B. (0,?4) C. ( 2,0) D. (0,?2) 9.已知 α ∈ (π , π ) ,直线 l1 :x + y 1 ? cos α + b = 0 , 直线 l 2 :x sin α + y 1 + cos α ? a

= 0 , l1 与 l 2 的位置关系是(
A.平行
2 2

3 2

) C.重合 D.相交但不垂直

B.垂直

10.椭圆 ( A. )

x y + 2 = 1 的两个焦点 F1 , F2 三等分它的两条准线间的距离,那么它的离心率是 2 a b
B.

3 2

3 3

C.

6 3

D.

6 6

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11.已知抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,则式子
2

y1 y 2 的值一定等于( x1 x 2
A. 4

) B. ? 4 C. p 2 D. ? p

12.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0), 直线 y = x ? 1 与其相交于 M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ? A.

x2 y2 ? =1 3 4

2 , 则此双曲线的方程是( ) 3 x2 y2 x2 y2 B. ? =1 C. ? =1 4 3 5 2

D.

x2 y2 ? =1 2 5

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线 x ? y + 2 = 0 上,则此抛物线方程为__________________.

x2 y2 + = 1 的左、右焦点, a2 b2 点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 的正三角形,则 b 2 的值是 . 15.若直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 一个单位后,又回到原来的位置,那么直线 l 的斜率为 ________________ .
14. 如图,F1,F2 分别为椭圆

x2 y2 ? =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距 16.给出问题:F1、F2 是双曲线 16 20
离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下: 双曲线的实轴长为 8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确 的结果填在下面空格内. _____________________________________________________________________________. 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点为 F1 (0,?1) 和 F2 (0,1) ,直线 y = 4 是椭圆的一条 准线. (1)求椭圆的方程; (2)又设 P 在此椭圆上,且 | PF1 | ? | PF2 |= 1 ,求 tan ∠F1 PF2 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x 2 + y 2 ? 4 x ? 14 y + 45 = 0 , (1)若 M 为圆上任一点, Q ( ?2,3) ,求 MQ 的最大值和最小值; (2)求 u = x ? 2 y 的最大值和最小值; (3)求 v =

y ?3 的最大值. x+2

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19. (本小题满分 12 分)已知点 A( 2,0) 、 B (0,6) , O 为坐标原点. (1)若点 C 在线段 OB 上,且 ∠BAC = ,求 ?ABC 的面积; 4 (2) 若原点 O 关于直线 AB 的对称点为 D , 延长 BD 到 P , | PD |= 2 | BD | .已知直线 l : 且

π

ax + 10 y + 84 ? 108 3 = 0 经过点 P ,求直线 l 的倾斜角.

20. (本小题满分 12 分)如图, F 为抛物线 y 2 = 2 px 的焦点, A( 4,2) 为抛物线内一定点,

P 为抛物线上一动点,且 | PA | + | PF | 的最小值为 8. (1)求该抛物线方程; (2)如果过 F 的直线 l 交抛物线于 M 、 N 两点, 且 | MN |≥ 32 ,求直线 l 倾斜角的取值范围.

y
P A O F

x

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21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要 求通行车辆限高 4.5 米,隧道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱 宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设 计拱高 h 和拱宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的 土方工程量最最小? (半个椭圆的面积公式为 S =

π
4

lh ,柱体体积为:底面积乘以高.)

22. (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 6 分. 在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A( 4,?3) 为 ?OAB 的直角顶点.已知 | AB |= 2 | OA | ,且 点 B 的纵坐标大于零. (1)求向量 AB 的坐标; (2)求圆 x 2 ? 6 x + y 2 + 2 y = 0 关于直线 OB 对称的圆的方程; (3)是否存在实数 a ,使抛物线 y = ax 2 ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存 在,说明理由:若存在,求 a 的取值范围.

直线与圆锥曲线(五) 参考答案 直线与圆锥曲线(
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 D B B B A 6 B 7 B 8 D 9 B 10 B 11 B 12 D

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二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
2 2 13. y = ?8 x 或 x = 8 y

14. 2 3

15. ?

1 3

16. | PF2 |= 17

三、解答题(74 分) 17. (1)

y2 x2 4 + = 1; (2) tan ∠F1 PF2 = 。 4 3 3 18. (1) | MQ |min = 2 2 , | MQ |max = 6 2 ; (2) umax = 2 10 ? 10 , umin = ?2 10 ? 10 ;

(3) vmax = 2 + 3 19. (1)解:设 C (0, c ) ,则 k AB = ?3, k AC = ?
? c +3 2 = 1 ? c = 1,∴ S ? ABC = 5 ; 3c 1+ 2

π c ,因为 ∠BAC = ,故 4 2

(2)

π

3
p 的距离为 d ,由抛物线的定义知 d =| PF | , 2
p + 4 (3 分) 2

20.(1)解:设 P 点到抛物线的准线: x = ? (1 分)

∴ (| PA | + | PF |) min = (| PA | + d ) min = ∴

p +4=8? P =8 2 ∴ 抛物线的方程为 y 2 = 16 x .(4 分) (2)解法一:由(1)得 F ( 4,0) ,设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 4) ,显然, k ≠ 0 把直
线方程代入抛物线,得 k 2 x 2 ? (8k 2 + 16) x + 16k 2 = 0 ,

∴| MN |= 1 + k 2 × ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 1 + k 2 × ( = 1+ k 2 × =

8k 2 + 16 2 ) ? 64 k2

64k 4 + 16 2 k 2 + 16 2 ? 64k 4 1+ k 2 = × 16 1 + k 2 4 2 k k

16(1 + k 2 ) ≥ 32 k2 ∴ k 2 ≤ 1 即 ? 1 ≤ k ≤ 1 ,(10 分) ∴ 直线 l 斜率的取值范围为 [?1,0) U (0,1] ,
所以,直线 l 倾斜角的取值范围为 (0,

π
4

]U[

3π , π ) .(12 分) 4 x2 y2 + = 1. a2 b2

21.[解](1)如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5) 椭圆方程为 , 将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程,得 a = 的拱宽约为 33.3 米. (2)[解一] 由椭圆方程

44 7 88 7 , 此时 l = 2 a = ≈ 33 .3 .因此隧道 7 7

x2 y2 112 4.5 2 + 2 = 1 ,得 2 + 2 = 1. a2 b a b
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112 4.5 2 2 × 11 × 4.5 因为 2 + 2 ≥ 即 ab ≥ 99, 且 l = 2 a , h = b, ab a b π πab 99π 所以 S = lh = ≥ . 4 2 2 112 4.5 2 1 9 2 当 S取最小值时 , 有 2 = 2 = , 得 a = 11 2 , b = 2 2 a b 此时 l = 2a = 22 2 ≈ 31.1, h = b ≈ 6.4
故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小. [解二]由椭圆方程

x2 y2 81 a2 112 4.5 2 + 2 = 1 ,得 2 + 2 = 1. 于是 b 2 = ? 2 , 4 a ? 121 a2 b a b 81 2 1212 81 2 2 a b = (a ? 121 + 2 + 242) ≥ (2 1212 + 242) = 81 × 121, 4 4 a ? 121 1212 即ab ≥ 99, 当S取最小值时, 有a 2 ? 121 = 2 , a ? 121 9 2 得 a = 11 2 , b = . 以下同解一. 2

22.[解](1)

? | AB | = 2 | OA | ? u 2 + v 2 = 100 ? ,即 ? 得 设 AB = { u , v }, 则由 ? ? | AB | ? | OA | = 0 ? 4u ? 3v = 0, ?
?u = 6 ?u = ? 6 ,或? .因为 OB = OA + AB = {u + 4, v ? 3}, ? ?v = 8 ?v = ? 8
所以 v-3>0,得 v=8,故 AB ={6,8}. (2)由 OB ={10,5},得 B(10,5) ,于是直线 OB 方程: y =

1 x. 2

(3, -1) 半径为 10 .设圆心 , (3, 由条件可知圆的标准方程为: (x-3)2+y(y+1)2=10, 得圆心 -1)关于直线 OB 的对称点为(x ,y)则

y ?1 ?x + 3 ? 2 ? 2 ? 2 = 0 ?x = 1 ? , 得? , 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. ? y +1 y=3 ? ? = ?2 ?x ?3 ?
(3)设 P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线 OB 对称两点,则

y1 + y 2 ? x1 + x 2 2 = 0 ? x1 + x 2 = ? ? 2 ?2 2 ? ? ? a , 得? , ?y ? y 2 ? 1 ? x x = 5 ? 2a = ?2 ? 1 2 ? 2a 2 ? ? x1 ? x 2 2 5 ? 2a x+ = 0的两个相异实根 , a 2a 2 4 5 ? 2a 3 于是由 ? = 2 ? 4 ? > 0, 得 a > . 2 2 a 2a 3 故当 a > 时,抛物线 y=ax2-1 上总有关于直线 OB 对称的两点. 2 即 x1 , x 2 为方程 x 2 +

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