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金识源专版高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质素材新人教A版必修2

2.3.3
基 础 梳 理

直线与平面垂直性质

1.直线与平面垂直的性质定理. 练习1:正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求证 AC⊥平面 BB1D1D. 证明:由正方体的性质可知 AC⊥BD,BB1⊥平面 AC,所以 BB1⊥AC,因为 BD 与 BB1 相交, 所以 AC⊥平面 BB1D1D. 2.平面与平面垂直的性质定理.

练习2:直线与平面不垂直,那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗?

1

答案:错 ?思考应用 1.垂直于同一平面的两平面平行吗? 解析:不一定.可能平行,也可能相交,如相邻的墙面与地面都垂直,但两墙面相交. 2.两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗? 解析:不一定.只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面.

自 测 自 评 1.若直线 a⊥直线 b,且 a⊥平面 α ,则有(D)

A.b∥α

B.b? α

C.b⊥α

D.b∥α 或 b? α

2.两个平面互相垂直,一个平面内的一条直线与另一个平面(D)

A.垂直 B.平行 C.平行或相交 D.平行或相交或直线在另一个平面内
3.若直线 l⊥平面α ,直线 m? 平面 β ,有下列四个命题: ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m? α ⊥β ④l⊥m? α ∥β 其中正确的命题的序号是(D)

A.①② B.③④ C.②④ D.①③
4.如图,?ADEF 的边 AF 垂直于平面 ABCD,AF=2,CD=3,则 CE= 13.

解析:∵AF∥ED,AF⊥平面 ABCD, ∴ED⊥平面 ABCD.∴ED⊥DC. 在 Rt△EDC 中,ED=2,CD=3, ∴CE= 2 +3 = 13.
2 2

2

基 础 达 标 1.△ABC 所在的平面为 α ,直线 l⊥AB,l⊥AC,直线 m⊥BC,m⊥AC,则直线 l,m 的 位置关系是(C)

A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
解析:
? l⊥AB? ?? l⊥a, ? l⊥AC? ? m⊥BC? ?? m⊥a. ? m⊥AC?

由线面垂直的性质定理得 m∥l,故选 C. 2.如图,PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为矩形,下列结论中不正确的是(C)

A.PB⊥BC C.PO⊥BD

B.PD⊥CD D.PA⊥BD

3.已知平面 α 、β 和直线 m、l,则下列命题中正确的是(D)

A.若 α ⊥β ,α ∩β =m,l⊥m,则 l⊥β B.若 α ∩β =m,l? α ,l⊥m,则 l⊥β C.若 α ⊥β ,l? α ,则 l⊥β D.若 α ⊥β ,α ∩β =m,l? α ,l⊥m,则 l⊥β
解析: 选项 A 缺少了条件: l? α ; 选项 B 缺少了条件: α ⊥β ; 选项 C 缺少条件 α ∩β =m,l⊥m;选项 D 具备了面面垂直的性质定理的全部条件. 4.平面 α ⊥平面 β ,直线 a∥α ,则 a 与 β 的位置关系为__________. 答案:a∥β 或 a? β 或 a 与 β 相交 5.圆 O 的半径为 4,PO 垂直圆 O 所在的平面,且 PO=3,那么点 P 到圆上各点的距离 是________. 答案:5 巩 固 提 升 6.如图所示,平面 α ⊥平面 β ,在 α 与 β 的交线 l 上取线段 AB=4 cm,AC,BD 分 别在平面 α 和平面 β 内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段 CD 的长.
3

解析:连接 AD,在 Rt△ABD 中,BD=12,AB=4, ∴AD= 12 +4 =4 10(cm). ∵AC⊥l,AC? 面 α ,α ⊥β ,α ∩β =l, ∴AC⊥Β . 又 AD? β ,∴CA⊥AD. 在 Rt△ADC 中,AC=3,AD=4 10, ∴CD= 3 +(4 10) = 169=13(cm). 7.已知,△ABC 所在平面外一点 V,VB⊥平面 ABC,平面 VAB⊥平面 VAC.求证:AC⊥BA.
2 2 2 2

证明:过 B 作 BD⊥VA 于 D, ∵平面 VAB⊥平面 VAC, ∴BD⊥平面 VAC, ∴BD⊥AC, 又∵VB⊥平面 ABC, ∴VB⊥AC, 又∵BD∩VB=B, ∴AC⊥平面 VBA, ∴AC⊥BA. 8.如下图(左)所示,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点, AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如下图(右)所示的三 棱锥 ABCF,其中 BC= 2 . 2
4

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF. 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 FDEG 的体积 VF-DEG. 3 解析:(1)在等边三角形 ABC 中,AD=AE, ∴ AD AE = ,在折叠后的三棱锥 ABCF 中也成立, DB EC

∴DE∥BC. 又∵DE?平面 BCF,BC? 平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,所以 AF⊥BC,即 AF⊥CF,① 1 且 BF=CF= . 2 ∵在三棱锥 ABCF 中,BC= ∴BC =BF +CF . ∴CF⊥BF.② ∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)由(1)可知,GE∥CF,结合(2)可得 GE⊥平面 DFG. 1 1 1 1 1 ?1 3 3? 1 ∴VFDEG=VEDFG= × ×DG×FG×GE= × × ×? × ?× = . 3 2 3 2 3 ?3 2 ? 3 324
2 2 2

2 , 2

5

1. (1)直线与平面垂直的性质: ①定义: 若 a⊥α , b? α , 则 a⊥b; ②性质定理: a⊥α , b⊥α ,则 a∥b;③a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β . (2)平面与平面垂直的性质: ①性质定理: α ⊥β , α ∩β =l, m? β , m⊥l, 则 m⊥α .② 如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内. 2.直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质,结合其判定定理,其核心思想是转化思 想,即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化,而且沟通了平行和垂直的内在联 系,实现了平行和垂直的相互转化.

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