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2017高考数学-三角函数大题综合训练


三角函数大题综合训练
一.解答题(共 30 小题) 2. (2016?广州模拟)在△ ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知 2 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos A. (I)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 2 解: (I)由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos A,得 2 2cos A+3cosA﹣2=0,﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0. 解得 cosA= 或 cosA=﹣2(舍去) .﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 因为 0<A<π,所以 A= (II)由 S= bcsinA= bc? .﹣﹣﹣﹣(6 分) = bc=5 ,得 bc=20.

又 b=5,所以 c=4.﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 2 2 2 由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 a= 又由正弦定理,得 sinBsinC= sinA? sinA=
2

.﹣﹣﹣(10 分)

?sin A=

2

× = .﹣﹣﹣﹣(12 分)
2

3. (2016?成都模拟)已知函数 f(x)= cos x﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)取得最大值时 x 的集合;

sinxcosx﹣ sin x.

(Ⅱ)设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角,若 cosB= ,f(C)=﹣ ,求 sinA 的 值. 解: (Ⅰ)函数 f(x)= cos x﹣ = ﹣ sin2x+ cos2x= +
2

sinxcosx﹣ sin x=cos x﹣ cos(2x+ ) ,

2

2

sinxcosx+ (cos x﹣sin x )

2

2

故函数取得最大值为

,此时,2x+

=2kπ 时,即 x 的集合为 {x|x=kπ﹣

,k∈Z}. cos(2C+ )

(Ⅱ)设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角,若 cosB= ,f(C)= + =﹣ , ∴cos (2C+ ) =﹣ , 又 A、 B、 C 为锐角三角形 ABC 的三个内角, ∴2C+ =

, ∴C=



∵cosB= ,∴sinB= , ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= + = .

4. (2016?台州模拟) 已知 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 且 c =a +b ﹣ab. (1)求角 C 的值; (2)若 b=2,△ ABC 的面积
2 2 2

2

2

2

,求 a 的值.

解: (1)∵c =a +b ﹣ab,∴cosC= ∵0°<C<180°,∴C=60°; (2)∵b=2,△ ABC 的面积 ∴ = , ,

= ,

解得 a=3. 5. (2016?惠州模拟) 如图所示, 在四边形 ABCD 中, ∠D=2∠B, 且 AD=1, CD=3, cosB= (Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC=2 ,求 AB 的长. .

解: (Ⅰ)因为∠D=2∠B, 所以 因为∠D∈(0,π) , 所以 因为 AD=1,CD=3, 所以△ ACD 的面积

, .…(3 分)

.…(5 分)

.…(7 分)
2 2 2

(Ⅱ)在△ ACD 中,AC =AD +DC ﹣2AD?DC?cosD=12. 所以 .…(9 分) 因为 所以 , ,…(11 分) .

所以 AB=4.…(13 分)

6. (2015?山东) △ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 cosB= = ,ac=2 ,求 sinA 和 c 的值. ,

, sin (A+B)

解:①因为△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 已知 cosB= sin(A+B)= 所以 sinA+ 得 27sin A﹣6 解得 sinA=
2

,ac=2 cosA=

,所以 sinB=

,sinAcosB+cosAsinB=
2 2



,结合平方关系 sin A+cos A=1,

sinA﹣16=0, 或者 sinA=﹣ (舍去) ; 由①可知 sin(A+B)=sinC= ,sinA= ,

②由正弦定理,

所以 a=2 c,又 ac=2 ,所以 c=1. 8. (2015?湖南)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 解: (Ⅰ)证明:∵a=btanA.∴ =tanA, ∵由正弦定理: ∴ = ,又 tanA= ,

,∵sinA≠0,∴sinB=cosA.得证.

(Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ,由(1)sinB=cosA, ∴sin B= ,∵0<B<π,∴sinB= 又∵cosA=sinB= 综上,A=C= ,∴A= .
2

,∵B 为钝角,∴B= ,



,∴C=π﹣A﹣B=

,B=

10. (2015?湖南)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=btanA,且 B 为钝 角. (Ⅰ)证明:B﹣A= ;

(Ⅱ)求 sinA+sinC 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a=btanA 和正弦定理可得 ∴sinB=cosA,即 sinB=sin( +A) = = ,

又 B 为钝角,∴ ∴B=

+A∈( ;

,π) ,

+A,∴B﹣A=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C=π﹣(A+B)=π﹣(A+ ∴A∈(0, ) ,∴sinA+sinC=sinA+sin(
2

+A)= ﹣2A)

﹣2A>0,

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin A =﹣2(sinA﹣ ) + , ∵A∈(0, ) ,∴0<sinA< ,
2 2

∴由二次函数可知

<﹣2(sinA﹣ ) + ≤ , ]
2

∴sinA+sinC 的取值范围为(

11. (2015?四川)已知 A、B、C 为△ ABC 的内角,tanA,tanB 是关于方程 x + px﹣p+1=0 (p∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=3,AC= ,求 p 的值. 2 2 2 解: (Ⅰ)由已知,方程 x + px﹣p+1=0 的判别式:△ =( p) ﹣4(﹣p+1)=3p +4p ﹣4≥0,所以 p≤﹣2,或 p≥ . 由韦达定理,有 tanA+tanB=﹣ p,tanAtanB=1﹣p. 所以,1﹣tanAtanB=1﹣(1﹣p)=p≠0, 从而 tan(A+B)= 所以 tanC=﹣tan(A+B)= =﹣ =﹣ .

,所以 C=60°. = = ,

(Ⅱ)由正弦定理,可得 sinB= 解得 B=45°,或 B=135°(舍去) . 于是,A=180°﹣B﹣C=75°.

则 tanA=tan75°=tan(45°+30°)=

=

=2+



所以 p=﹣

(tanA+tanB)=﹣

(2+

)=﹣1﹣



12. (2015?河西区二模) 设△ ABC 的内角 A, B, C 的内角对边分别为 a, b, c, 满足 (a+b+c) (a﹣b+c)=ac. (Ⅰ)求 B. (Ⅱ)若 sinAsinC= ,求 C.

解: (I)∵(a+b+c) (a﹣b+c)=(a+c) ﹣b =ac, ∴a +c ﹣b =﹣ac,∴cosB= 又 B 为三角形的内角,则 B=120°; (II)由(I)得:A+C=60°,∵sinAsinC= ,cos(A+C)= ,
2 2 2

2

2

=﹣ ,

∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C) +2sinAsinC= +2× = ,

∴A﹣C=30°或 A﹣C=﹣30°, 则 C=15°或 C=45°. 13. (2015?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= ﹣a = c . (1)求 tanC 的值; (2)若△ ABC 的面积为 3,求 b 的值. 解: (1)∵A=
2 2 2 2 2

,b

2

,∴由余弦定理可得: bc﹣c = c .∴ ,即 a= .
2 2

,∴b ﹣a = b= c.可得 ,

2

2

bc﹣c ,

2

又 b ﹣a = c .∴ ∴a =b ﹣
2 2

=

∴cosC=

=

=

.∵C∈(0,π) ,

∴sinC= (2)∵ 解得 c=2 .∴

=

.∴tanC= = =3.

=2. × =3,

15. (2015?江苏)在△ ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin2C 的值. 解: (1)由余弦定理可得:BC =AB +AC ﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3× =7, 所以 BC= . (2)由正弦定理可得: ,则 sinC= = = ,
2 2 2

∵AB<BC,∴C 为锐角, 则 cosC= = = . = .

因此 sin2C=2sinCcosC=2×

16. (2015?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ ABC 的面 积为 3 ,b﹣c=2,cosA=﹣ .

(Ⅰ)求 a 和 sinC 的值; (Ⅱ)求 cos(2A+ )的值. ,△ ABC 的面积为 3 ,可

解: (Ⅰ)在三角形 ABC 中,由 cosA=﹣ ,可得 sinA= 得: ,
2 2 2

可得 bc=24,又 b﹣c=2,解得 b=6,c=4,由 a =b +c ﹣2bccosA,可得 a=8, ,解得 sinC= (Ⅱ)cos(2A+ sin2Asin = ; ﹣ = . asinC

)=cos2Acos

17. (2015?怀化一模)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= ﹣ccosA. (1)求角 A; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 解: (1)由正弦定理 = = 化简已知的等式得:sinC=

sinAsinC﹣sinCcosA,

∵C 为三角形的内角,∴sinC≠0, ∴ sinA﹣cosA=1, 整理得:2sin(A﹣ ∴A﹣ = 或 A﹣ )=1,即 sin(A﹣ = ,解得:A= )= , 或 A=π(舍去) ,则 A= , ;

(2)∵a=2,sinA= ∴ bcsinA= bc=
2 2

,cosA= ,△ ABC 的面积为 ,即 bc=4①;
2 2 2

∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:4=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣12, 整理得:b+c=4②, 联立①②解得:b=c=2. 19. (2015?衡水四模) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 函数 f (x) =2cosxsin (x﹣A)+sinA(x∈R)在 x= (1)当 处取得最大值.

2

2

时,求函数 f(x)的值域; ,求△ ABC 的面积.

(2)若 a=7 且 sinB+sinC=

解:∵函数 f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA

=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA =sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin(2x﹣A) 又∵函数 f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 ∴ ,其中 k∈z,即 ∵ 处取得最大值. ,其中 k∈z, ,∴2x﹣A

(1)∵A∈(0,π) ,∴A= ∴ (2)由正弦定理得到 即
2

,即函数 f(x)的值域为: ,则 sinB+sinC= sinA,

,∴b+c=13
2 2 2

由余弦定理得到 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA 即 49=169﹣3bc,∴bc=40 故△ ABC 的面积为:S= 20. (2015?潍坊模拟)已知函数 f(x)=2cos x+2 (Ⅰ)当 x∈[0,
2

. sinxcosx(x∈R) .

]时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c=3,f(C)=2,若向量 = (1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值. 解: (I)∵ 令 解得 ∵ (Ⅱ)由 而 C∈(0,π) ,∴ ,即 ,∴f(x)的递增区间为 ,得 ,∴ . . ,可得 , . = , , = .

∵向量向量 =(1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,∴ 由正弦定理得: =
2 2

①.
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2ab?cosC,即 9=a +b ﹣ab ②, 由①、②解得 .

21. (2015?济南二模)已知向量 函数 f(x)= .

=(cos(2x﹣

) ,cosx+sinx) ,

=(1,cosx﹣sinx) ,

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)= 求△ ABC 的面积 S. 解: (Ⅰ)∵向量 =(cos(2x﹣ ) ,cosx+sinx) ,
2 2

,a=2,B=



=(1,cosx﹣sinx) , ) ) ,

∴函数 f(x)= ? =cos(2x﹣ +cos2x= cos2x+ 令﹣ +2kπ≤2x+

)+cos x﹣sin x=cos(2x﹣ sin2x= sin(2x+

sin2x+cos2x= cos2x+ ≤ +2kπ(k∈Z) ,得﹣

+kπ≤x≤

+kπ(k∈Z) ,

则函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ (Ⅱ)由 f(A)= sin(2A+ )=

+kπ,

+kπ](k∈Z) ; )= ,

,得 sin(2A+ ,

∵A 为△ ABC 的内角,由题意知 0<A< ∴ <2A+ < = ,∴2A+ =

,解得:A= = ,∵A=

,又 a=2,B= ,B= , × +



∴由正弦定理

,得 b=

∴sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=snAcosB+cosAsinB= 则△ ABC 的面积 S= absinC= ×2× × = .

×

=



22. (2015?和平区校级三模)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3, b=4,B= +A.

(1)求 cosB 的值; (2)求 sin2A+sinC 的值. 解(1)∵ ,∴cosB=cos( +A)=﹣sinA, ,所以
2 2

又 a=3,b=4,所以由正弦定理得

=



所以﹣3sinB=4cosB,两边平方得 9sin B=16cos B, 又 sin B+cos B=1,所以
2 2

,而

,所以



(2) ∵ =

, ∴

, ∵

, ∴2A=2B﹣π, ∴sin2A=sin (2B﹣π) =﹣sin2B 又 A+B+C=π,∴ , .

∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos B=

2

.∴

23. (2015?洛阳三模)在锐角△ ABC 中, (1)求角 A; (2)若 a= ,求 bc 的取值范围. 2 2 2 解: (1)由余弦定理可得:a +c ﹣b =2accosB, ,∴sin2A=1 且

=



(2)





,∴b=2sinB,c=2sinC, , ,∴ .

bc=2sin(135°﹣C)?2sinC=

24. (2015?河北区一模)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC+1=2sinAsinC. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 , ,求△ ABC 的面积.

解: (Ⅰ)由 2cosAcosC+1=2sinAsinC 得:∴2(cosAcosC﹣sinAsinC)=﹣1, ∴ ,∴ ,又 0<B<π,∴ .

(Ⅱ)由余弦定理得:

,∴



又 ∴



,∴

,故 .



25. (2015?云南一模) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边, 且 = (sinA+sinB+sinC, sinC) , =(sinB,sinB+sinC﹣sinA) ,若 (1)求 A 的大小; (2)设 为△ ABC 的面积,求 的最大值及此时 B 的值.

解: (1)∵ ∥ , ∴(sinA+sinB+sinC) (sinB+sinC﹣sinA)=sinBsinC 根据正弦定理得(a+b+c) (c+b﹣a)=bc, 2 2 2 即 a =b +c +bc, 2 2 2 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 得 cosA=﹣ ,又 A∈(0,π) ,∴A= (2)∵a= ,A= = , = = =2, ;

∴由正弦定理得

∴b=2sinB,c=2sinC, ∴S= bcsinA= ×2sinB×2sinC× ∴S+ cosBcosC= ∴当 B=C 时, 即 B=C= 时,S+ sinBsinC+ = sinBsinC, cosBcosC= . cos(B﹣C) ,

cosBcosC 取最大值

27. (2015?高安市校级模拟)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 sin (A+ )+2cos(B+C)=0,

(1)求 A 的大小; (2)若 a=6,求 b+c 的取值范围. 解: (1)由条件结合诱导公式得,sinAcos 整理得 sinA= cosA, ,∵0<A<π,∴A= ; , +cosAsin =2cosA,

∵cosA≠0,∴tanA= (2)由正弦定理得:

∴ ∴



, = = ,

∵ ∴

, ,即 6<b+c≤12(当且仅当 B= 时,等号成立)

28. (2015?威海一模)△ ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, sin(B﹣A)=cosC. (Ⅰ)求 A,B,C; (Ⅱ)若 S△ ABC=3+ ,求 a,c. 解: (Ⅰ)∵ ,∴ ,



∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB, 得 sin(C﹣A)=sin(B﹣C) . ∴C﹣A=B﹣C,或 C﹣A=π﹣(B﹣C) (不成立) . 即 2C=A+B,得 则 (Ⅱ)∵ 又∵ ,即 , ,或 ,∴ ,∵ (舍去) ∴ , .

∴ . 29. (2015?新津县校级模拟)已知向量 ,函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B)=1,b= 求△ ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵ =(2cosx,1) , =(cosx,2 ∴f(x)= ? =2cos x+2 ∵2x+ ∈[﹣ +2kπ,
2



,sinA=3sinC,

sinxcosx﹣1) , sin2x+cos2x=2sin(2x+ +kπ, ) ,

sinxcosx﹣1=

+2kπ](k∈Z) ,∴x∈[﹣ +kπ,

+kπ](k∈Z) ,

∴函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ (Ⅱ)∵f(B)=2sin(2B+ ∴sin(2B+ )= ,即 2B+ )=1, =
2

+kπ](k∈Z) ;

,即 B=
2 2



∵sinA=3sinC,∴a=3c,∵b=

,b =a +c ﹣2accosB, .

∴a=3,c=1,∵S= acsinB,∴△ABC 的面积为

30. (2015?和平区二模)在△ ABC 中,角 A,B,C 为三个内角,已知 cosA= ,cosB= , BC=5. (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)设 D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 解: (Ⅰ)∵在△ ABC 中, ∴ , , , .…(2 分)

由正弦定理得

,…(4 分) 即

.…(6 分)

(Ⅱ)在△ ABC 中,AC=7,BC=5,
2 2 2



由余弦定理得 AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB,…(8 分) 即
2



整理得 AB ﹣2AB﹣24=0,解得 AB=6.…(10 分) ∵在△ BCD 中,
2 2

,BC=5,
2



∴由余弦定理得 CD =BD +BC ﹣2BD?BC?cosB,…(11 分) 即 .∴ .…(13 分)


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