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2017学年高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时正弦函数、余弦函数的周_图文

1.4.2 第 1 课时

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

















1.了解周期函数、周期、最小正周期的 定义. 2.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y= Acos(ωx+φ)的周期. 3.掌握函数 y=sin x,y=cos x 的奇偶 性,会判断简单三角函数的奇偶性. 重点:正弦函数、余弦函数的 周期性与奇偶性. 难点:正弦函数、余弦函数的 周期性及应用.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 一、函数的周期性 1.对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的 每一个 值 时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫作周期函数,非零常数 T 叫作这个 函数的周期. 2.如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小正数 ,那么这个最小正数叫 作 f(x)的最小正周期.

二、正、余弦函数的周期 正弦函数 y=sin x(x∈R)和余弦函数 y=cos x(x∈R)都是周期函数, 最小正周期为

2π ,2kπ(k∈Z 且 k≠0)是它们的周期.
三、正、余弦函数的奇偶性 正弦函数 y=sin x(x∈R)是 奇 函数,图象关于原点 中心对称; 余弦函数 y=cos x(x∈R)是 偶 函数,图象关于 y 轴 对称.

[双基自测] x 1.若 f(x)=cos ,则 f(x)的最小正周期为( 2 A.2π B.π π C. 2 D.4π )

2π 2π 解析:T= = =4π. |ω| 1 2 答案:D

2.函数 f(x)=xsin x( A.是奇函数

) B.是偶函数 D.是非奇非偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

解析:函数的定义域为 R,且满足 f(-x)=(-x)sin(-x)=x· sin x=f(x), 所以 f(x)=xsin x 是偶函数.

答案:B

3.对于任意的 x∈R 都有 f(x+2)=f(x),则 f(x)的一个周期为________. 解析:由周期函数的定义知 f(x)的一个周期为 2.

答案:2(答案不唯一)

探究一 [典例 1] 求下列函数的周期:

求三角函数的周期

π (1)y=sin(2x+ )(x∈R); 3 (2)y=|sin x|(x∈R).

[解析]

(1)解法一

π 令 z=2x+ , 3

∵x∈R,∴z∈R,函数 y=sin z 的最小正周期是 2π,就是说变量 z 只要且至少 π 要增加到 z+2π,函数 y=sin z(z∈R)的值才能重复取得,而 z+2π=2x+ +2π 3 π =2(x+π)+ ,所以自变量 x 只要且至少要增加到 x+π,函数值才能重复取得, 3 π 从而函数 f(x)=sin(2x+ )(x∈R)的周期是 π. 3

解法二

π f(x)=sin(2x+ )中 ω=2, 3

2π ∴T= =π. |2| (2)作出 y=|sin x|的图象如图:

由图象知,y=|sin x|的周期为 π.

求函数周期的三种方法 (1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数 x 都满足 f(x+T)=f(x)的非零 常数 T.该方法主要适用于抽象函数. (2)公式法:对形如 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)(其中 A,ω,φ 是常数,且 2π A≠0,ω>0),可利用 T= ω 来求. (3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对 值的函数一般可采用此法.

1.函数 f(x)=2sin

? π? ?ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 3? ?

π,则 ω=________.

2π 2π 解析:因为 =π(ω>0),所以 =π,即 ω=2. |ω| |ω|

答案:2

探究二 [典例 2]

判断三角函数奇偶性

判断下列函数的奇偶性.
? 5 ? ?2x+ π?; 2 ? ?

(1)f(x)= 2sin

(2)f(x)= 2sin x-1.

[解析]

(1)因为函数的定义域为 R,且 f(x)= 2· sin

? 5 ? ?2x+ π?= 2 ? ?

2sin

? π? ?2x+ ?= 2? ?

2cos 2x, 所以 f(-x)= 2cos(-2x)= 2cos 2x=f(x), 所以函数 f(x)= 2sin
? 5 ? ?2x+ π?为偶函数. 2 ? ?

? π 5 ? 1 (2)由 2sin x-1≥0,即 sin x≥ ,得函数的定义域为?2kπ+6,2kπ+6π?(k∈Z), 2 ? ?

故定义域不关于原点对称,所以该函数不具有奇偶性,为非奇非偶函数.

利用定义判断函数奇偶性的三个步骤

2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin x|+cos x. (2)f(x)= 1-cos x+ cos x-1.
解析:(1)函数的定义域为 R, 又 f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x), 所以此函数是偶函数. (2)由 1-cos x≥0 且 cos x-1≥0,得 cos x=1,从而 x=2kπ,k∈Z, 此时 f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.

探究三 [典例 3] (1)设函数 f(x)=sin

周期性与奇偶性的综合问题
? π? ?2x- ?,则 2? ?

f(x)是(

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 (2)若函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x-sin x,求当 x<0 时 f(x)的解析式.

[解析] -sin

(1)因为 f(x)=sin
?π ? ? -2x?=-cos ?2 ?

? π? ?2x- ?= 2? ?

2x,

所以该函数的最小正周期为 π,且为偶函数,故选 B. (2)设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x. 又 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=x-sin x(x<0).

[答案]

(1)B

三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解. (2)判断函数 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能 否通过诱导公式转化为 y=Asin ωx(Aω≠0)或 y=Acos ωx(Aω≠0)其中的一个.

3.若 f(x)是以 2 为周期的奇函数,且当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,求
解析:因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以 f
?9? ?9 ? ?1? ? ?=f ? -2×2?=f ? ?. ?2? ?2 ? ?2? ? 1? ?1? ?- ?=-f ? ?. ? 2? ?2?

?9? f?2?的值. ? ?

又 f(x)是奇函数,所以 f

又当 x∈(-1,0)时,f (x)=2x+1. 所以 f
?9? ?1? ? 1? ? ?=f ? ?=-f ?- ?= ?2? ?2? ? 2?

? ? 1? ? -?2×?-2?+1?=0. ? ? ? ?

三角函数变形不等价导致奇偶性判断错误 [典例] cos x?1-sin x? 函数 y= 的奇偶性为________. 1-sin x

[解析]

cos x?1-sin x? 由题意,当 sin x≠1 时,y= =cos x. 1-sin x

π 所以函数的定义域为{x|x≠2kπ+ ,k∈Z} 2 由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.

[答案]

非奇非偶函数

[错因与防范]

此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断,一般不把

函数式化简,若要化简,应注意化简前后的等价性,如本例,若直接将 函数式化为 y=cos x,则易出现判断该函数为偶函数的错误.

[随堂训练] 1.函数 y=cos A.偶函数 C.非奇非偶函数
? π π? x,x∈?- 3,4 ?是( ? ?

) B.奇函数 D.既是奇函数又是偶函数

解析:定义域不关于原点对称,不满足奇偶性定义,故为非奇非偶函数.

答案:C

2.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,
?5π? π 且当 x∈[0, ]时,f(x)=sin x,则 f? 3 ?的值为( 2 ? ?

)

1 A.- 2

3 B. 2

3 C.- 2

1 D. 2
?5π? ? ? ?3?

解析:因为 f(x)的最小正周期为 π 且为偶函数,所以 f π 3 sin = . 3 2

=f

? π? ?π? ?- ?=f ? ?= ? 3? ?3 ?

答案:B

3.作出函数 f(x)= 1-cos2x的图象,并求 f(x)的最小正周期.
解析:将 f(x)= 1-cos2x化为 f(x)=|sin x|, 因为 f(x)=|sin x|
? ?sin x?2kπ≤x<2kπ+π?, =? ? ?-sin x?2kπ+π≤x<2kπ+2π?,

所以作出 f(x)= 1-cos2x的图象如图所示.

由图象可知 f(x)的最小正周期为 π.


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