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高一数学同步练习——对数函数练习题及解答解析

对数资料(1)
一、 选择题: 1.已知 3 =5 = A,且 (A).15
x a b

对数与对数函数测试题
1 1 + = 2,则 A 的值是( ). a b
(B). 15 (C).± 15 (D).225

2.已知 a>0,且 10 = lg(10a)+lg (A).-1
2

1 ,则 x 的值是( ). a
(C).1 (D).2

(B).0

3.若 x 1 ,x 2 是方程 lg x +(lg3+lg2) lg x+lg3·lg2 = 0 的两根,则 x 1 x 2 的值是( ). (A).lg3·lg2
2

(B).lg6

(C).6

(D).

1 6

4.若 log a (a +1)<log a 2a<0,那么 a 的取值范围是( ). (A).(0,1) (B).(0,

1 ) 2

(C).(

1 ,1) 2

(D).(1,+∞)

5. 已知 x =

1 log 1
2

1 3



1 log 1
5

1 3

,则 x 的值属于区间( ).

(A).(-2,-1)
2

(B).(1,2)

(C).(-3,-2)

(D).(2,3)

6.已知 lga,lgb 是方程 2x -4x+1 = 0 的两个根,则(lg (A).4
a

a 2 ) 的值是( ). b
(D).1

(B).3
b c

(C).2

7.设 a,b,c∈R,且 3 = 4 = 6 ,则( ). (A).

1 1 1 = + c a b

(B).
2

2 2 1 = + c a b

(C).

1 2 2 = + c a b

(D).

2 1 2 = + c a b

8.已知函数 y = log 0.5 (ax +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是( ). (A).0≤a≤1 (B).0<a≤1
7 11 10

(C).a≥1

(D).a>1

9.已知 lg2≈0.3010,且 a = 2 ×8 ×5 的位数是 M,则 M 为( ). (A).20 (B).19
? 1 2

(C).21 为( ). (C).

(D).22

10.若 log 7 [ log 3 ( log 2 x)] = 0,则 x (A).

1 2 3

(B).

1 3 3

1 2

(D).

2 4

11.若 0<a<1,函数 y = log a [1-( (A).增函数且 y>0

1 x ) ]在定义域上是( ). 2
(C).减函数且 y>0 (D).减函数且 y<0

(B).增函数且 y<0
1

12.已知不等式 log a (1-

1 )>0 的解集是(-∞,-2),则 a 的取值范围是( ). x ?2
(B).

(A).0<a< 二、 填空题

1 2

1 <a<1 2

(C).0<a<1

(D).a>1

13.若 lg2 = a,lg3 = b,则 lg 54 =_____________. 14.已知 a = log 0.7 0.8,b = log 1.1 0.9,c = 1.1 15.log
2 ?1
0.9

,则 a,b,c 的大小关系是_______________.

(3+2 2 ) = ____________.
x

16.设函数 f ( x) = 2 (x≤0)的反函数为 y = f 三、 解答题

?1

( x) ,则函数 y = f ?1 (2x ? 1) 的定义域为________.

17.已知 lgx = a,lgy = b,lgz = c,且有 a+b+c = 0,求 x
2

1 1 ? b c

·y

1 1 ? c a

·x

1 1 ? a b

的值.

18.要使方程 x +px+q = 0 的两根 a、b 满足 lg(a+b) = lga+lgb,试确定 p 和 q 应满足的关系. 19.设 a,b 为正数,且 a -2ab-9b = 0,求 lg(a +ab-6b )-lg(a +4ab+15b )的值. 20.已知 log 2 [ log 1 ( log 2 x)] = log 3 [ log 1 ( log 3 y)] = log 5 [ log 1 ( log 5 z)] = 0,试比较
2 3
5
2 2 2 2 2 2

x、y、z 的大小. 21.已知 a>1, f ( x) = log a (a-a ). ⑴ 求 f ( x) 的定义域、值域; ⑶解不等式: f
?1

x

⑵判断函数 f ( x) 的单调性 ,并证明;

( x 2 ? 2) > f ( x) .
2x

22.已知 f ( x) = log 1 [a
2

+2(ab) -b

x

2x

+1],其中 a>0,b>0,求使 f ( x) <0 的 x 的取值范围.

2

参考答案:
一、选择题: 1. (B). 2. (B). 3. (D). 4. (C). 5. (D). 6. (C). 7. (B). 8. (A). 9. (A). 10. (D). 11. (C). 12. (D). 提示: 1.∵3 +5 = A,∴a = log 3 A,b = log 5 A,∴ 故选(B).
a b

1 1 + = log A 3+log A 5 = log A 15 = 2,∴A = 15 , a b

1 1 = lg(10a· ) = lg10 = 1,所以 x = 0,故选(B). a a 1 1 3.由 lg x 1 +lg x 2 =-(lg3+lg2),即 lg x 1 x 2 = lg ,所以 x 1 x 2 = ,故选(D). 6 6 1 1 2 4.∵当 a≠1 时,a +1>2a,所以 0<a<1,又 log a 2a<0,∴2a>1,即 a> ,综合得 <a<1,所 2 2
2.10 = lg(10 a)+lg
x

以选(C). 5.x = log 1
3

1 1 1 1 1 +log 1 = log 1 ( × ) = log 1 = log 3 10,∵9<10<27,∴ 2<log 3 10<3,故选 2 5 2 5 10 3 3 3

(D). 6.由已知 lga+lgb = 2,lga·lgb = 故选(C). 7.设 3 = 4 = 6 = k,则 a = log 3 k,b= log 4 k,c = log 6 k, 从而
a b c

1 a 2 2 2 ,又(lg ) = (lga-lgb) = (lga+lgb) -4lga·lgb = 2, 2 b

1 1 1 1 2 2 1 = log k 6 = log k 3+ log k 4 = + ,故 = + ,所以选(B). c 2 a 2b c a b
2 2

8.由函数 y = log 0.5 (ax +2x+1)的值域为 R,则函数 u(x) = ax +2x+1 应取遍所有正实数, 当 a = 0 时,u(x) = 2x+1 在 x>-

1 时能取遍所有正实数; 2

当 a≠0 时,必有 ?

?a>0 , ? 0<a≤1. ?? ? 4 ? 4a ? .

所以 0≤a≤1,故选(A). 9.∵lga = lg(2 ×8 ×5 ) = 7lg2+11lg8+10lg5 = 7 lg2+11×3lg2+10(lg10-lg2) = 30lg2 +10≈19.03,∴a = 10
19 .03 7 11 10

,即 a 有 20 位,也就是 M = 20,故选(A).
? 1 2 ? 1 2

10.由于 log 3 ( log 2 x) = 1,则 log 2 x = 3,所以 x = 8,因此 x 11.根据 u(x) = (

=8

=

1

8 2 2

=

1

=

2 ,故选(D). 4

1 x 1 x 1 x 1 x ) 为减函数,而( ) >0,即 1-( ) <1,所以 y = log a [1-( ) ]在定义域 2 2 2 2
3

上是减函数且 y>0,故选(C). 12.由-∞<x<-2 知,1-

1 >1,所以 a>1,故选(D). x ?2

二、填空题 13. 提示: 13.lg 54 =

1 3 a+ b 2 2

14.b<a<c.

15.-2.

16.

1 <x≤1 2

1 1 1 3 3 lg(2×3 ) = ( lg2+3lg3) = a+ b. 2 2 2 2
0.9

14.0<a = log 0.7 0.8<log 0.7 0.7 = 1,b = log 1.1 0.9<0,c = 1.1
2

>1.1 = 1,故 b<a<c.
?1

0

15.∵3+2 2 = ( 2 +1) ,而( 2 -1)( 2 +1) = 1,即 2 +1= ( 2 -1) ∴log 16. f
?1



2 ?1

(3+2 2 ) =log

2 ?1

( 2 -1)

?2

=-2.

1 ( x) = log 2 x (0<x≤1=,y = f ?1 (2x ? 1) 的定义域为 0<2x-1≤1,即 <x≤1 为所求函数的 2

定义域. 三。解答题 17.由 lgx = a,lgy = b,lgz = c,得 x = 10 ,y = 10 ,z = 10 ,所以
1 1 ? b c
1 1 ? c a 1 1 ? a b
a b c

(

x

·y

·x

=10

b c c a b a ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a a b b c c

=10

?1?1?1

= 10

?3

=

1 . 1000

18.由已知得, ?

?a ? b ? ? p , ?ab? q .

又 lg(a+b) = lga+lgb,即 a+b = ab, 再注意到 a>0,b>0,可得-p = q>0, 所以 p 和 q 满足的关系式为 p+q = 0 且 q>0. 19.由 a -2ab-9b = 0,得( 令
2 2

a 2 a ) -2( )-9 = 0, b b

a 2 2 = x>0,∴x -2x-9 = 0,解得 x =1+ 10 ,(舍去负根),且 x = 2x+9, b
2 2 2 2

∴lg(a +ab-6b )-lg(a +4ab+15b ) = lg

a 2 ? ab ? 6b 2 x2 ? x ? 6 = lg = a 2 ? 4ab ? 15b 2 x 2 ? 4 x ? 15

lg

(2 x ? 9) ? x ? 6 (2 x ? 9) ? 4 x ? 15
1 ? 10 ? 1 1 3( x ?1) x ?1 10 = lg = lg = lg =- . 2 6( x ? 4 ) 2( x ? 4 ) 10 2(1 ? 10 ? 4)
4

= lg

1 20.由 log 2 [ log 1 ( log 2 x)] = 0 得,log 1 ( log 2 x)= 1,log 2 x = ,即 x = 2 2 ; 2 2 2
由 log 3 [ log 1 ( log 3 y)] = 0 得,log 1 ( log 3 y) = 1,log 3 y =
3 3

1

1 ,即 y =3 3 ; 3 1 ,即 z = 5 5 . 5
1

1

由 log 5 [ log 1 ( log 5 z)] = 0 得,log 1 ( log 5 z) = 1,log 5 z =
5
1 3 2 6 1 6 1 2 3 6

5
1 6

∵y =3 = 3 = 9 ,∴x = 2 = 2 = 8 ,∴y>x,
1 5 1 1 2 1

又∵x = 2 2 = 2 10 = 32 10 ,z = 5 5 = 5 10 = 25 10 ,∴x>z. 故 y>x>z. 21.为使函数有意义,需满足 a-a >0,即 a <a,当注意到 a>1 时,所求函数的定义域为(-∞,1), 又 log a (a-a )<log a a = 1,故所求函数的值域为(-∞,1). ⑵ 设 x 1 <x 2 <1, 则 a-a
x1
x x x

>a-a

x2

, 所以 f (x 1 ) - f ( x 2 ) = log a (a-a

x1

)-log a (a-a

x2

)>0,

即 f (x 1 ) > f ( x 2 ) . 所以函数 f ( x) 为减函数. ⑶易求得 f ( x) 的反函数为 f 由f ∴a
?1 ?1

x ( x) = log a (a-a ) (x<1),

( x 2 ? 2) > f ( x) ,得 log a (a-a
x 2

( x 2 ? 2)

)>log a (a-a ),

x

( x 2 ? 2)

<a ,即 x -2<x,解此不等式,得-1<x<2,

再注意到函数 f ( x) 的定义域时,故原不等式的解为-1<x<1. 22.要使 f ( x) <0,因为对数函数 y = log 1 x 是减函数,须使 a
2
2x

+2(ab) -b
x x 2

x

2x

+1>1,即 ,

a

2x

+2(ab) -b

x

2x

>0,即 a
x x

2x

+2(ab) +b
x x

x

2x

>2b

2x

,∴(a +b ) >2b
x

2x

又 a>0,b>0,∴a +b > 2 b ,即 a >( 2 -1)b ,所以(

a x ) > 2 -1. b
b

当 a>b>0 时,x>log a ( 2 -1);当 a = b>0 时,x∈R;当 b>a>0 时,x<log a ( 2 -1).
b

综上所述,使 f ( x) <0 的 x 的取值范围是: 当 a>b>0 时,x>log a ( 2 -1);当 a = b>0 时,x∈R;当 b>a>0 时,x<log a ( 2 -1).
b b

END

5

对数资料(2)
【例1】 (1) 求函数y = log 1
2

对数函数·例题解析
3x ? 2 的定义域. 2x ? 1

(2) 求函数y =

1 (a> 0,且a≠1) 的定义域. 1 ? log a ( x ? a )
3

(3) 已知函数f(x) 的定义域是[0,1],求函数y = f[log 1 (3-x)]的定义
域.

3x ? 2 ? ? x ?1 ?log 1 2 x ? 1 ≥ 0 ? 3x ? 2 ? 2x ? 1 ≤0 ? 2 x ? 1 ≤1 ? 2 ? ? ? 3x ? 2 1 2 ? 解 (1) 由 ? >0 ? ?(3x ? 2)(2 x ? 1) > 0 ? ?x< 或x> ? 2 3 ? 2x ? 1 ? ? 1 1 ?2 x ? 1≠ 0 ?x≠ ? x≠ 2 ? ? ? 2 ? ?

?1 ? 2 <x≤1 ? 1 2 2 ? ?x< 或x> ? <x≤1 2 3 3 ? 1 ? x≠ ? 2 ?
2 ∴ 所求定义域为{x| <x≤1} 3
解 (2)∵1-loga(x+a)>0,∴loga(x+a)<1. 当 a>1 时,0<x+a<a,∴函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1 时,x+a>a,∴函数的定义域为(0,+∞).

解 (3) ∵f(x) 的定义域为[0,1],∴函数y = f[log 1 (3-x)]有意义,
3

必须满足 0≤log 1 (3-x) ≤1,即log 11 ≤log 1 (3-x) ≤log 1
3 3 3 3

1 1 ,∴ ≤ 3- 3 3

8 8 x≤1,∴ 2 ≤x≤ .故函数y = f[log 1 (3-x)]的定义域为[2 , ]. 3 3 3
10 x 【例2】 已知函数y = ,试求它的反函数,以及反函数的定义域和值域. 1 ? 10 x
10 x 10 x 解 已知函数的定义域为R,∵y = ∴y≠1,由y = 得 1 ? 10 x 1 ? 10 x y (1-y)10 x = y,∴10 x = > 0 ? 0<y<1,即为函数的值域. 1? y

6

由10 x =

y y x 得x = lg ,即反函数f ?1 (x) = lg . 1? y 1? y 1? x

反函数的定义域为(0,1),值域为 y∈R. 【例 3】 作出下列函数的图像,并指出其单调区间. (1)y=lg(-x),(2)y=log2|x+1|

(3)y =|log 1 (x-1)| ,(4)y=log 2 (1-x) .
2

解 (1)y=lg(-x)的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称,如图 2.8-3 所示,单调减区间是(-∞ 0). 解 (2)先作出函数 y=log2|x|的图像,再把它的图像向左平移 1 个单位就得 y=log2|x+1|的图像 如图 2.8-4 所示. 单调递减区间是(-∞,-1). 单调递增区间是(-1,+∞).

解 (3) 把y = log 1 x的图像向右平移1个单位得到y = log 1 (x-1) 的图像,
2 2

保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为

对称轴翻折到x轴上方,就得到y =|log 1 (x-1)| 的图像.如图2.8-5 所示.
2

单调减区间是(-1,2]. 单调增区间是[2,+∞). 解 (4)∵函数 y=log2(-x)的图像与函数 y=log2x 的图像关于 y 轴对称,故可先作 y=log2(-x)的图 像,再把 y=log2(-x)的图像向右平移 1 个单位得到 y=log2(1-x)的图像.如图 2.8-6 所示. 单调递减区间是(-∞,1).

【例 4】 图 2.8-7 分别是四个对数函数,①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx 的图像,那么 a、 b、c、d 的大小关系是 [ ] A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.b>a>d>c D.b>c>a>d 解 选 C,根据同类函数图像的比较,任取一个 x>1 的值,易得 b>a>1>d>c.故选 C.
7

【例 5】 已知 loga3>logb3,试确定 a 和 b 的大小关系. 解法一 令 y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取 x=3 时,y1>y2,所以它们的图像,可能 有如下三种情况: (1)当 loga3>logb3>0 时,由图像 2.8-8,取 x=3,可得 b>a>1. (2)当 0>loga3>logb3 时,由图像 2.8-9,得 0<a<b<1. (3)当 loga3>0>logb3 时,由图像 2.8-10,得 a>1>b>0.

解法二 由换底公式,化成同底的对数.

当log a 3>log b 3>0时,得

1 1 > >0,∴log 3 b>log 3a>0, log 3 a log 3 b

∵函数 y=log3x 为增函数,∴b>a>1.

当log b 3<log a 3<0时,得

1 1 < <0,∴0>log 3 b>log 3a, log 3 b log 3 a

∵函数 y=log3x 为增函数,∴0<a<b.

当log a 3>0>log b 3时,得
即 a>1>b>0.

1 1 >0> ∴log 3a>0>log 3 b, log 3 a log 3 b
a b 、log b 、log b a、log a b的大小 顺序是:________. b a

【例6】 若a 2 >b>a>1,则log a

a b a b 解 ∵a 2 >b>a>1,∴ 0< <1, >1,∴log a < 0,log b > b a b a b b 0, 0<log b a<1,log a b>1.由a 2 >b>a>1得a> >1∴log b <log b a< a a a b 1,故得:log a <log b <log b a<log a b. b a
说明 本题解决的思路,是把已知的对数值的正负,或大于 1,小于 1 分组,即借助 0、1 作桥梁这个技巧,使问题得以解决.

8

【例 7】 设 0<x<1,a>1,且 a≠1,试比较|loga(1-a)|与|loga(1+x)|的大小. 解法一 求差比大小. |loga(1-x)|-|loga(1+x)|

=|

lg(1 ? x) lg(1 ? x) |?| | lga lg a 1 ? (|lg(1 ? x)|?|lg(1 ? x)| |lg a|

1 ( -lg(1-x) -lg(1+x) ( ∵ 0<1-x<1<1+1+x) |lga| 1 =- ·lg(1-x 2 ) > 0 |lg a| =
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二 求商比较大小

|log a (1 ? x)| log a (1 ? x) ?| | |log a (1 ? x)| log a (1 ? x)
=|log(1+x)(1-x)|=-log1+x(1-x) ∵(1+x>1,而 0<1-x<1)

∴原式 = log (1+x)

1 1? x = log (1+x) >log (1+x) (1+x) = 1 1? x 1 ? x2

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|

【例8】 已知函数f(x) = log a (x+ 1 ? x 2 )(a>0,且a≠1) ,判断其 奇偶性.
解法一 已知函数的定义域为 R,则-x∈R

f( -x) = log a ( 1 + x 2 -x) = log a ( 1 ? x 2 ? x)( 1 ? x 2 ? x) 1 ? x2 ? x 1 ? x2 ? x2

= log a = log a

1 ? x2 ? x 1 1 ? x2 ? x

= ? log a ( 1 ? x 2 ? x) ? ? f ( x)
∴f(x)是奇函数. 解法二 已知函数的定义域为 R

由f(x) +f( -x) = log a ( 1 + x 2 +x) +log( 1 + x 2 -x) = log a [( 1 + x 2 ? x)( 1 + x 2 ? x)]
=loga1=0 ∴f(x)=-f(x),即 f(x)为奇函数.
9

【例9】 (1) 已知函数f(x) = log 2
还是减函数?并证明.

x ,那么它在 (0,1) 上是增函数 1? x

(2)讨论函数 y=loga(ax-1)的单调性其中 a>0,且 a≠1. (1)证明 方法一 f(x)在(0,1)上是增函数.

设任取两个值 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2.

∵f(x 1 ) -f(x 2 ) = log 2

x1 x2 -log 2 1 ? x1 1 ? x2

x1 1 ? x1 x (1 ? x 2 ) = log 2 ? log 2 1 x2 x 2 (1 ? x 1 ) 1 ? x2 = log 2 x1 ? x1 x 2 x 2 ? x1 x 2 <log 2 =0 x 2 ? x1 x 2 x 2 ? x1 x 2

(∵0<x1<x2<1,∴x1-x1x2<x2-x1x2). ∴f(x1)<f(x2) 故 f(x)在(0,1)上是增函数.

方法二

x 1 ? ?1 ? 1? x x ?1 1 ∵u = 1- 在 (0,1) 上是增函数,又∵u> 0,y = log 2 u在 (0, x ?1 x +∞ ) 上是增函数,∴f(x) =log 2 在 (0,1) 上是增函数. 1? x 令u =

(2)解

由对数函数性质,知 ax-1>0,即 ax>1,于是,当 0<a<1 时,函数的定义域为(-∞,0),

当 a>1 时,定义域为(0,+∞). 当 0<a<1 时,u=ax-1 在(-∞,0)上是减函数,而 y=logau 也是减函数,∴y=loga(ax-1) 在(-∞,0)上是增函数. 当 a>1 时,u=ax-1 在(0,+∞)上是增函数,而 y=logau 也是增函数,∴y=loga(ax-1)在 (0,+∞)上是增函数. 综上所述,函数 y=loga(ax-1)在其定义域上是增函数. 【例 10】 (1)设 0<a<1,实数 x、y 满足 logax+3logxa-logxy=3,

如果y有最大值

2 ,求这时a与x的值. 4
2 2

(2) 讨论函数f(x) = -log 2 1 x-3log 1 x-2 的单调性及值域.

10



(1) 由已知,得log a x+

log a y 3 ? = 3,∴log a y = log 2 a x- log a x log a x

3 3 3log a x+ 3 = (log a x- ) 2 + . 2 4

∵0<a<1,∴log a y关于y为减函数.即y有最大值

2 时,log a y 4

有最小值log a

2 4

∴当log a x =
3

3 2 3 时,log a = , 2 4 4

∴a 4 ?

3 2 1 1 ,x = a 2 ,得a = ,x = . 4 4 8

解 (2) 设t = log 1 x,则x>0,t∈R,且t = log 1 x是(0,+∞) 上的 减函数.
2 2

3 3 f(t) = -t 2 - 3t- 2 是 ( -∞,- ]上的增函数,是[ - ,+∞ ) 上的 2 2 3 减函数.t = - 时,x = 2 2 2

∴函数f(x) = -log 2 +∞)上是减函数. 1 x- 3log 1 x- 2 在 (0 , 2 2 ]上是增函数,在[2 2 ,
2 2

3 1 1 又∵f(x) = - (t+ ) 2 + ,∴值域是 ( -∞, ]. 2 4 4

END

11

对数资料(3)
例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ;

对数函数典型例题
(2) y ? loga (4 ? x) ; (3) y ? loga (9 ? x 2 ) .

分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域 (0, ??) 求解。
2 解: (1)由 x >0 得 x ? 0 ,∴ 函数 y ? loga x 2 的定义域是 x x ? 0 ;

?

?

(2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 ,∴ 函数 y ? loga (4 ? x) 的定义域是 x x ? 4 ;
2 (3)由 9- ? x ? 0 得-3 ? x ? 3 ,∴ 函数 y ? loga (9 ? x 2 ) 的定义域是 x ? 3 ? x ? 3 .

?

?

?

?

说明:此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。

?1? ?1? 例 2.求函数 y ? ? ? ? 2 和函数 y ? ? ? ?2? ?5?
解: (1) ? ? ? y ? 2

x

x 2 ?1

? 2 ( x ? 0) 的反函数。

?1? ?5?

x

∴ f ?1 ( x) ? log 1 ( x ? 2)
5

(x ? - 2; )
5 ) . 2

?1? (2) ? ? ?2?

x2 ?1

? y-2

∴ f ( x) ? ? log 1 ( x - 2)
-1 2

( 2? x ?

例 4.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log2 3.4 , log2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) loga 5.1 , loga 5.9 . 解: (1)对数函数 y ? log 2 x 在 (0, ??) 上是增函数,于是 log 2 3.4 ? log2 8.5 ; (2)对数函数 y ? log0.3 x 在 (0, ??) 上是减函数,于是 log0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 ; (3)当 a ? 1 时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是增函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 , 当 o ? a ? 1 时,对数函数 y ? loga x 在 (0, ??) 上是减函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 . 例 5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log6 7 , log7 6 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ;
0.9

(2) log3 ? , log2 0.8 ; (4) log5 3 , log6 3 , log7 3 .

解: (1)∵ log6 7 ? log6 6 ? 1 , log7 6 ? log7 7 ? 1,∴ log6 7 ? log7 6 ; (2)∵ log3 ? ? log3 1 ? 0 ,

log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 ,∴ log3 ? ? log2 0.8 .

1.1 (3)∵ 1.1 ∴

0.9

? 1.10 ? 1, log1.1 0.9 ? log1.1 1 ? 0 , 0 ? log0.7 1 ? log0.7 0.8 ? log0.7 0.7 ? 1 , ? log0.7 0.8 ? log1.1 0.9 .
12

0.9

(4)∵ 0 ? log3 5 ? log3 6 ? log3 7 , 例 6.已知 logm 4 ? logn 4 ,比较 m , n 的大小。 解:∵ logm 4 ? logn 4 , ∴

∴ log5 3 ? log6 3 ? log7 3 .

1 1 1 1 ,当 m ? 1 , n ? 1 时,得 0 ? , ? ? log 4 m log 4 n log 4 m log 4 n 1 1 ? ? 0, log 4 m log 4 n

m ? n ? 1.当 0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 时,得 ∴ log4 n ? log4 m , ∴

0 ? n ? m ? 1 .当 0 ? m ? 1 , n ? 1 时,得 log 4 m ? 0 , 0 ? log 4 n , ∴ log4 n ? log4 m , ∴
0 ? m ? 1, n ? 1 , ∴ 0 ? m ?1? n . ∴ 综上所述, m , n 的大小关系为 m ? n ? 1或 0 ? n ? m ? 1 或 0 ? m ? 1 ? n .
例 7.求下列函数的值域:
2 (1) y ? log2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x ) ; (3) y ? loga ( x2 ? 4 x ? 7) ( a ? 0 且 a ? 1 ) .

解: (1)令 t ? x ? 3 ,则 y ? log 2 t ,
2 (2)令 t ? 3 ? x ,则 0 ? t ? 3 ,

t ? 0, ∴ y ? R ,即函数值域为 R . ∵
∴ y ? log2 3 , 即函数值域为 (??,log 2 3] . 当 a ? 1 时, y ? loga 3 , 即值域为 [loga 3, ??) ,

(3)令 t ? x ? 4x ? 7 ? ( x ? 2) ? 3 ? 3 ,
2 2

当 0 ? a ? 1 时, y ? loga 3 , 即值域为 (??,log a 3] . 例 8.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性。 解:∵ x2 ? 1 ? x 恒成立,故 f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f (? x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x)

? ? log 2
函数。

1 x ?1 ? x
2

? ? log 2

x2 ? 1 ? x ( x ? 1) ? x
2 2 2

? ? log 2 x2 ? 1 ? x ? ? f ( x) ,所以, f ( x) 为奇

例 9.求函数 y ? 2log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3

解:令 u ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? ) ?
2 2

3 2

1 3 3 在 [ , ??) 上递增,在 (??, ] 上递减, 4 2 2

x ? 3x ? 2 ? 0 , 又∵
2 2

x ? 2 或 x ? 1, ∴
又∵ y ? 2log 1 u 为减函数,
3

故 u ? x ? 3x ? 2 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减,
2

所以,函数 y ? 2log 1 ( x ? 3x ? 2) 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减。
3

说明:利用对数函数性质判断函数单调性时,首先要考察函数的定义域,再利用复合函数单调性的判断方 法来求单调区间。

13

例 10.若函数 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。 解:令 u ? g ( x) ? x2 ? ax ? a , ∵ 函数 y ? ? log 2 u 为减函数,

?a ? ? 1? 3 ∴ 上 递 减 , 且 满 足 u ? 0 , ∴? 2 ,解得 u ? g ( x) ? x ? ax ? a 在 区 间 (??, 1 ? 3 ) ? g (1 ? 3) ? 0 ?
2

, 2 ? 2 3 ?a ? 2 所以, a 的取值范围为 [2 ? 2 3, 2] .

14

对数资料(4)

高一数学对数与对数函数复习题

一、 选择题 a 1.若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( ) (A)a-2 (B)3a-(1+a)2 (C)5a-2 (D)3a-a2 2.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则 (A)

M 的值为( N



1 4

(B)4

(C)1 (D)4 或 1

3.已知 x2+y2=1,x>0,y>0,且 loga(1+x)=m,loga (A)m+n (B)m-n

1 y ? n, 则 log a 等于( ) 1? x 1 1 (C) (m+n) (D) (m-n) 2 2
) (C)35
1 2

4.如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0 的两根是α 、β ,则α ·β 的值是( (A)lg5·lg7 (B)lg35
?

(D)

1 35

5.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x (A)

等于(

) (D)

1 3

(B)

1 2 3

(C)

1 2 2


1 3 3

6.函数 y=lg(

2 ? 1 )的图像关于( 1? x
(B)y 轴对称

(A)x 轴对称

(C)原点对称 ) ( B) (

(D)直线 y=x 对称

7.函数 y=log(2x-1) 3x ? 2 的定义域是(

2 ,1) ? (1,+ ? ) 3 2 (C) ( ,+ ? ) 3
(A) ( 8.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是(
2

1 ,1) ? (1,+ ? ) 2 1 (D) ( ,+ ? ) 2

) (D)[3,+ ? ]

(A)R
2

(B)[8,+ ? ] (C) (- ? ,-3)
2

9.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为( (A) (1,+ ? ) (B) (- ? , 10.函数 y=(

) (D) (- ? ,

3 1 ] (C) ( ,+ ? ) 4 2
) (B) log 1
2

1 ] 2

1 x 2 +1 ) +2,(x<0)的反函数为( 2
( x ?2)

(A)y=- log 1
2

? 1( x ? 2)

( x ?2)

? 1( x ? 2)

(C)y=- log 1
2

( x ?2)

5 ? 1(2 ? x ? ) 2

(D)y=- log 1
2

( x ?2)

5 ? 1(2 ? x ? ) 2

11.若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是( ) (A)m>n>1 (B)n>m>1 (C)0<n<m<1
15

(D)0<m<n<1

12.loga

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3 2 (A) (0, ) ? (1,+ ? ) 3 2 (C) ( ,1 ) 3


) ( B) (

2 ,+ ? ) 3 2 2 (D) (0, ) ? ( ,+ ? ) 3 3

13.若 1<x<b,a=log bx,c=logax,则 a,b,c 的关系是( ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<b<a (D)c<a<b 14.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) (A)y=log 1 (x+1)(B)y=log2 x 2 ? 1 (C)y=log2
2

1 2 1 (D)y=log (x -4x+5) 2 x


15.下列函数中,同时满足:有反函数,是奇函数,定义域和值域相同的函数是( (A)y=

1? x e x ? e?x (B)y=lg (C)y=-x3 1? x 2

(D)y= x

16.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,2) (D)[2,+ ? ) 17.已知 g(x)=loga x ? 1 (a>0 且 a ? 1)在(-1,0)上有 g(x)>0,则 f(x)=a
x ?1

是( )

(A)在(- ? ,0)上的增函数 (B)在(- ? ,0)上的减函数 (C)在(- ? ,-1)上的增函数 (D)在(- ? ,-1)上的减函数 b a 18.若 0<a<1,b>1,则 M=a ,N=logba,p=b 的大小是( ) (A)M<N<P (B)N<M<P (C)P<M<N (D)P<N<M 2 19. “等式 log3x =2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 20.已知函数 f(x)= lg x ,0<a<b,且 f(a)>f(b),则( (A)ab>1 二、填空题 1.若 loga2=m,loga3=n,a2m+n= 2.函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域是 3.lg25+lg2lg50+(lg2) = 4.函数 f(x)=lg( x 2 ? 1 ? x )是
2



(B)ab<1

(C)ab=1

(D)(a-1)(b-1)>0

。 。 。 (奇、偶)函数。 。

5.已知函数 f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3)与 f(4)的大小关系为 6.函数 y=log 1 (x2-5x+17)的值域为
2

。 。 。

7.函数 y=lg(ax+1)的定义域为(- ? ,1) ,则 a= 8.若函数 y=lg[x2+(k+2)x+

5 ]的定义域为 R,则 k 的取值范围是 4


10x 9.函数 f(x)= 的反函数是 1 ? 10x

16

10.已知函数 f(x)=( g(x)= 三、解答题 。

1 x ) ,又定义在(-1,1)上的奇函数 g(x),当 x>0 时有 g(x)=f-1(x),则当 x<0 时, 2

1. 若 f(x)=1+logx3,g(x)=2log x 2 ,试比较 f(x)与 g(x)的大小。

2. 已知函数 f(x)=

10 x ? 10? x 。 10 x ? 10? x

(1)判断 f(x)的单调性; (2)求 f-1(x)。

3. 已知 x 满足不等式 2(log2x)2-7log2x+3 ? 0,求函数 f(x)=log2

x x ? log 2 的最大值和最小值。 2 4

4. 已知函数 f(x2-3)=lg (1)f(x)的定义域; (3)求 f(x)的反函数;

x2 , x2 ? 6
(2)判断 f(x)的奇偶性; (4)若 f[ ? ( x) ]=lgx,求 ? (3) 的值。

5. 设 0<x<1,a>0 且 a ? 1,比较 loga (1 ? x) 与 loga (1 ? x) 的大小。

6. 已知函数 f(x)=log3

m x2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为[0,2],求 m,n 的值。 x2 ?1

7. 已知 x>0,y ? 0,且 x+2y=

1 ,求 g=log 2

1 2

(8xy+4y2+1)的最小值。

y?
8.求函数

4 ? x2 lg(| x | ? x ) 的定义域.
17

9.已知函数 y ? loga (2 ? ax ) 在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

10.已知 f (x) ? loga (x ? 1 ? a ) ,求使 f(x)>1 的 x 的值的集合.

对数与对数函数
一、选择题 题号 答案 题号 答案 二、填空题 2.{x 1 ? x ? 3 且 x ? 2 } 1 A 11 C 2 B 12 A 3 D 13 D 4 D 14 D 5 C 15 C 6 C 16 B 7 A 17 C 8 C 18 B 9 A 19 B 10 D 20 B

1.12

?3 ? x ? 0 ? 由 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 1 ?
2

解得 1<x<3 且 x ? 2 。

3.2

4 .奇 ? x ? R且f (? x) ? lg( x ? 1 ? x) ? lg

1 x ?1 ? x
2

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x) 为奇函

数。 5. f(3)<f(4) 设 y=log0.5u,u=-x2+4x+5,由-x2+4x+5>0 解得-1<x<5。 又? u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,∴ 当 x ? (-1,2)时,y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减;当 x ? [2,5]时,y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减,∴f(3)<f(4) 6.(- ?,?3 ) ∵x -6x+17=(x-3) +8 ? 8 ,又 y=log
2 2

1u 2

单调递减,∴ y ? ?3

7.-1

8.- 5 ? 2 ? k ? 5 ? 2

5 5 ? y=lg[x2+(k+2)x+ ] 的定义域为 R,∴ x2+(k+2)x+ >0 恒成立, 4 4

则 ? (k+2)2-5<0, 即 k2+4k-1<0, 由此解得- 5 -2<k< 5 -2 9.y=lg

x (0 ? x ? 1) 1? x x 10x y y (0 ? x ? 1) ? 0,? 0 ? y ? 1, 又x ? lg ,? 反函数为 y=lg ,则 10x= x 1? x 1? y 1? y 1 ? 10 1 (-x) 2
已知 f(x)=(

y=

10.-log

1 x 1 1 ) ,则 f-1(x)=log x,∴当 x>0 时,g(x)=log x,当 x<0 时,-x>0, 2 2 2 1 1 ∴g(-x) =log (-x), 又∵g(x)是奇函数,∴ g(x)=-log (-x)(x<0) 2 2
18

三、解答题 1. f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx 时,f(x)>g(x)。

4 4 4 3x 时,f(x)=g(x);当 1<x< 时,f(x)<g(x);当 x> .当 0<x<1 时,f(x)>g(x);当 x= 3 3 3 4

102 x ? 1 , x ? R.设x1 , x2 ? (??,??) ,且 x1<x2, 2. (1)f(x)= 2 x 10 ? 1
f(x1) - f(x2) =

102 x1 ? 1 102 x2 ? 1 2(102 x1 ? 102 x2 ) <0, (∵102x1 <102x2) ∴f(x)为增函数。 ? ? 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 10 ? 1 10 ? 1 (10 ? 1)(10 ? 1)

(2)由 y=

102 x ?1 1? y . 得 102x= 2x 1? y 10 ? 1
1 1? y 1 1? x lg . ? f ?1 ( x) ? lg ( x ? (?1,1) )。 2 1? y 2 1? x
2

∵102x>0, ∴-1<y<1, 又 x=

3. 由

2



log2x



-7log2x+3

?

0





1 2

?

log2x

?

3





f(x)=log2

3 2 1 3 1 x x f(x)取得最小值- ; 当 log2x=3 ? log 2 ? (log 2 x ? 1) (log2x-2)=(log2x- ) - ,∴当 log2x= 时, 2 4 2 4 2 4

时,f(x)取得最大值 2。

x?3 x2 ( x 2 ? 3) ? 3 ? 0 得 x2-3>3,∴ f(x)的定义域为(3,+ ? ) 4. (1)∵f(x -3)=lg 2 ,∴f(x)=lg ,又由 2 。 x?3 x ?6 ( x ? 3) ? 3
2

(2)∵f(x)的定义域不关于原点对称,∴ f(x)为非奇非偶函数。

x?3 3(10 y ? 1) 3(10x ? 1) -1 , 得 x= ( x ? 0) (3)由 y=lg ,? x>3,解得 y>0, ∴f (x)= x?3 10 y ? 1 10x ? 1
(4) ∵f[ ? (3) ]=lg

? (3) ? 3 ? (3) ? 3 ? lg 3 ,∴ ? 3 ,解得 ? (3)=6。 ? (3) ? 3 ? (3) ? 3
lg(1 ? x) lg a
-

5.∵ loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ?

lg(1 ? x) lg a

??

1 lg(1 ? x 2 ) ? 0 ? x ? 1, 则 lg(1 ? x 2 ),? lg a



loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? 0, 即 log a(1 ? x) ? loga (1 ? x)

m x2 ? 8 x ? n y 6.由 y=log3 ,得 3 = 2 x ?1

m x2 ? 8 x ? n y 2 y ,即(3 -m)x -8x+3 -n=0. x2 ?1

y ∵x ? R,? ? ? 64 -4(3y-m)(3y-n) ? 0,即 32y-(m+n)·3y+mn-16 ? 0 。由 0 ? y ? 2 ,得 1 ? 3 ? 9 ,

由根与系数的关系得 ?

?m ? n ? 1 ? 9 ,解得 m=n=5。 m n ? 16 ? 1 ? 9 ?

19

7.由已知 x=

1 1 -2y>0,? 0 ? y ? ,由 g=log 2 4

1 4 1 4 1 1 1 (8xy+4y2+1)=log (-12y2+4y+1)=log [-12(y- )2+ ],? 当 y= ,g 的最小值为 log 1 2 2 2 6 3 6 3 2
? ?4 ? x 2 ? 0 ?? 2 ? x ? 2 ? ? ?| x | ? x ? 0 ? ?x ? 0 ?| x | ? x ? 1 ? 1 ? ?x ? 2 ? 8.解:

1 1 0?x? 或 ?x?2 2 2 ∴
9.解:∵ a 是对数的底数

1 1 (0, ) ? ( , 2] 2 . ∴ 函数的定义域是 2
∴ a>0 且 a≠1 ∵ 函数 y ? loga (2 ? ax ) 是减函数

∴ 函数 u=2-ax 是减函数

∴ a>1( loga u 是增函数)

∵ 函数的定义域是

2 ? ax ? 0 ? x ?

2 a

2 (??, ) a ∴ 定义域是
2 [0, 1] ? ) ? (??, a ∴

∵ 函数在区间[0,1]上有意义是减函数

2 ?1? a ? 2 a ∴

∴ 1<a<2.

10.解:f(x)>1 即
loga (x ? 1 ? a ) ? 1

当 a>1 时
?x ? 1 ? a ? 0 ?x ? a ? 1 ?? ? ?x ? 1 ? a ? a ?x ? 2a ? 1

∴ 解为 x>2a-1 当 0<a<1 时
?x ? 1 ? a ? 0 ?x ? a ? 1 ?? ? ?x ? 1 ? a ? a ?x ? 2a ? 1

∵ a-1<2a-1 ∴ 解为 a-1<x<2a-1 ∴ 当 a>1 时,{x|x>2a-1} 当 0<a<1 时,{x|a-1<x<2a-1}均能使 f(x)>1 成立. END
20

2013-10-30


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