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2017学年高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正弦、余弦函数的单调性_图文


第 2 课时

正弦、余弦函数的单调性与最值

















1.掌握 y=sin x, y=cos x 的最大值与最小 值,并会求简单三角函数的值域和最值. 重点:单调性与最值的 2.掌握 y=sin x,y=cos x 的单调性,并能 利用单调性比较大小. 3.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx +φ)的单调区间. 求法. 难点:求 y=Asin(ωx+ φ)的单调区间.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 正弦函数、余弦函数的性质 函数 图象 定义域 y=sin x y=cos x

R

R

函数 值域

y=sin x

y=cos x

[-1,1]
π 对称轴:x=kπ+ 2

[-1,1]
对称轴:x=kπ (k∈Z); 对称中心:
? ? π ?kπ+ ,0?(k∈Z) 2 ? ?

对称性 (k∈Z); 对称中心:(kπ,0) (k∈Z) 奇偶性

奇函数

偶函数
最小正周期: 2π

周期性 最小正周期: 2π

函数

y=sin x

y=cos x

π π [-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单 在 [- +2kπ, +2kπ](k∈Z) 2 2 在 π 3π 调递增;在 [2kπ,2kπ+π] 单调性 上单调递增;在 [2+2kπ, 2 + (k∈Z) 上单调递减 2kπ](k∈Z) 上单调递减

最值

π 在 x=2kπ(k∈Z) 时,ymax=1; x= +2kπ(k∈Z) 2 在 时,ymax π 在 x=π+2kπ(k∈Z) 时, x =- + 2 k π( k ∈ Z) =1; 在 时, 2 ymin=-1 ymin=-1

[双基自测] 1.下列函数在区间[0,π]上是单调函数的是( A.y=sin x C.y=sin 2x B.y=cos 2x D.y=cos x )

解析:由 y=cos x 的图象知,在[0,π]上递减,选 D.
答案:D

2. 利用函数 y=f(x)与 y=-f(x)的单调性相反, 直接写出 y=-cos x 的单调递减区 间是________;单调递增区间是________.

解析:因为 y=cos x 与 y=-cos x 的单调性相反, 所以 y=-cos x 的单调递减区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z), 单调递增区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).
答案:[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)

3.已知函数 f(x)=2sin x-1,当且仅当 x=________时,f(x)有最大值________; 当且仅当 x=________时,f(x)有最小值________.
π 解析:由正弦函数 y=sin x 的最值可知,当且仅当 x= +2kπ(k∈Z)时, 2 π f(x)=2sin x-1 有最大值 1;当且仅当 x=- +2kπ(k∈Z)时,f(x)=2sin x-1 2 有最小值-3. π 答案: +2kπ(k∈Z) 2

π 1 - +2kπ(k∈Z) -3 2

探究一 [典例 1]

求三角函数的单调区间

求下列函数的单调递增区间.
?π ? ? -2x?; ?4 ? ? π? ?x- ?. 6? ?

(1)y=2cos

(2)y=log 1 sin
2

[解析] =2cos

(1)因为 y=2cos

?π ? ? -2x? ?4 ?

? π? π 3π π ?2x- ?,由-π+2kπ≤2x- ≤2kπ(k∈Z)得- +kπ≤x≤kπ+ (k∈Z), 4? 4 8 8 ? ?π ? ? 3π π? ? -2x?的单调递增区间为?- +kπ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ?4 ? ?

所以 y=2cos

(2)由 sin

? π? ?x- ?>0 6? ?

π 得 2kπ<x- <π+2kπ(k∈Z)①, 6
? π? ?x- ?的单调递减区间, 6? ?

要求原函数的单调递增区间,只需求函数 y=sin

π π 3π 2π 5π 令 +2kπ≤x- ≤ +2kπ(k∈Z)得 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z) 2 6 2 3 3 2π 7 由①②可知 +2kπ≤x< π+2kπ(k∈Z), 3 6 所以原函数的单调递增区间为
?2π ? 7π ? +2kπ, +2kπ?(k∈Z). 6 ?3 ?

②,

求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω≠0)的单调区间的一般步骤: (1)当 ω>0 时, 把“ωx π π +φ”看成一个整体,由 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 x 的范围,即为函 2 2 π 3π 数的单调递增区间;由 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 x 的范围,即为函 2 2 数的单调递减区间.(2)当 ω<0 时,可先用诱导公式转化为 y=-Asin(-ωx-φ), 则 y=Asin(-ωx-φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间, 单调递减区间 即为原函数的单调递增区间.余弦函数 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的单调性讨 论同上.另外值得注意的是,k∈Z 这一条件不能省略.

?π ? 1.求函数 y=2sin ?4-x?的单调递增区间. ? ? ?π ? ? π? 解析:y=2sin ?4-x?=-2sin ?x-4?, ? ? ? ?

π 令 z=x- ,则 y=-2sin z. 4 因为 z 是 x 的一次函数,所以要求 y=-2sin z 的递增区间, π 3π 即求 sin z 的递减区间,即 2kπ+ ≤z≤2kπ+ (k∈Z). 2 2 π π 3π 3π 7π ∴2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z),2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 4 4 ∴函数 y=2sin
?π ? ? 3π 7π? ? -x?的递增区间为?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ?4 ? ?

探究二 [典例 2]

比较三角函数值的大小

比较下列各组数的大小.

(1)sin 194° 与 cos 160° ; 3 1 7 (2)cos ,sin ,-cos ; 2 10 4 (3)sin
? ?sin ? ? 3 ? 3 ? ?cos π?. π? 8 ?与 sin ? 8 ?

[解析]

(1)sin 194° =sin(180° +14° )=-sin 14° ,

cos 160° =cos(90° +70° )=-sin 70° . ∵0° <14° <70° <90° ,函数 y=sin x 在区间(0° ,90° )内是增函数, ∴sin 14° <sin 70° ,∴-sin 14° >-sin 70° , ∴sin 194° >cos 160° .
?π ? 1? 7? 1 7 (2)sin =cos ?2-10?,-cos =cos ?π-4?, 10 4 ? ? ? ?

7 π 1 3 ∵0<π- < - < <π,函数 y=cos x 在(0,π)上是减函数, 4 2 10 2 ∴cos
? ?π 7? 1? ?π- ?>cos ? - ?>cos 4? ? ?2 10?

3 , 2

7 1 3 即-cos >sin >cos . 4 10 2

?π π? 3π π ? ? (3)cos =cos 2-8 =sin . 8 8 ? ? ? π? π 3π π ∵0< < < ,函数 y=sin x 在?0,2 ?内是增函数, 8 8 2 ? ?

π 3π 3π 3π ∴sin <sin ,∴cos <sin . 8 8 8 8 3π 3π 而 0<cos <sin <1,函数 y=sin x 在(0,1)内是增函数, 8 8 ∴sin
? ?cos ? ? 3π? 3π? ?<sin ?sin ?. 8? 8? ?

(1)比较同名三角函数值的大小, 首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三 角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小. (2)对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后利用 (1) 比较大小.

2.比较下列各组数的大小. (1)sin
? 37 ? ?- π?与 6 ? ?

sin

?49 ? ? π ?; ?3 ?

(2)cos 870° 与 sin 980° .
解析:(1)sin sin
? 37 ? ? ? π? π? ?- π?=sin ?-6π- ?=sin ?- ?, 6 ? 6? ? ? ? 6?

?49 ? ? π? ? π?=sin ?16π+ ?=sin 3? ?3 ? ?

π , 3

∵y=sin x ∴sin

? π π? 在?-2,2 ?上是增函数, ? ? ? 37 ? π 49 ? ? ,即 sin - 6 π <sin π. 3 3 ? ?

? π? ?- ?<sin ? 6?

(2)cos 870° =cos(720° +150° )=cos 150° ,sin 980° =sin(720° +260° )=sin 260° = sin(90° +170° )=cos 170° , ∵0° <150° <170° <180° , ∴cos 150° >cos 170° ,即 cos 870° >sin 980° .

探究三 [典例 3]

求三角函数的最值

求下列函数的最大值和最小值.
? π? ?2x+ ?; 3? ?

(1)y=3+2cos

(2)y=3-sin2x-4cos x.

[解析] (1)因为-1≤cos 当 cos
? π? ?2x+ ?=-1 3? ?

? π? ?2x+ ?≤1,所以当 3? ?

cos

? π? ?2x+ ?=1 3? ?

时,ymax=5;

时,ymin=1.

(2)因为 y=3-sin2x-4cos x =3-(1-cos2x)-4cos x=cos2x-4cos x+2 =(cos x-2)2-2 因为-1≤cos x≤1, 所以 ymin=(1-2)2-2=-1,ymax=(-1-2)2-2=7.

三角函数最值问题的常见类型及求解方法 (1)y=asin2x+bsin x+c(a≠0),利用换元思想设 t=sin x,转化为二次函数 y=at2 +bt+c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定. (2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得 ωx+φ 的范围,然后求得 sin(ωx+φ) 的范围,最后得最值. (3)y=loga(Asin(ωx+φ)),设 t=Asin(ωx+φ),由定义域求 t 的范围,然后求值域.

3.求下列函数的最值: 3sin x-1 (1)y= ; sin x+2 π π π (2)y=3-4cos(2x+ ),x∈[- , ]. 3 3 6

3?sin x+2?-7 7 解析:(1)y= =3- . sin x+2 sin x+2 7 2 ∴当 sin x=1 时,ymax=3- = ; 3 3 当 sin x=-1 时,ymin=3-7=-4.

π π (2)∵x∈[- , ], 3 6 π π 2π 1 π ∴2x+ ∈[- , ],从而- ≤cos(2x+ )≤1. 3 3 3 2 3 π π π ∴当 cos(2x+ )=1,即 2x+ =0,即 x=- 时, 3 3 6 ymin=3-4=-1; π 1 π 2π π 当 cos(2x+ )=- ,即 2x+ = ,即 x= 时, 3 2 3 3 6 1 ymax=3-4×(- )=5. 2

求三角函数的单调区间 [典例] (本小题满分 12 分)求函数 y=2sin
由 y=2sin
?π ? ? -2x?,得 ?3 ?

?π ? ? -2x?的单调递增区间. ?3 ?
? π? ?2x- ?,………………3 3? ?

[规范解答]

y=-2sin



∴要求函数 y=2sin

?π ? ? -2x?的单调递增区间,只需求出函数 ?3 ?

y=2sin

? π? ?2x- ?的单 3? ?

调递减区间即可.…………………………6 分

π π 3 令 +2kπ≤2x- ≤ π+2kπ,k∈Z,…………………………9 分 2 3 2 5 11 解得 π+kπ≤x≤ π+kπ,k∈Z. …………………………10 分 12 12 ∴原函数的单调递增区间为
?5 ? 11 ? π+kπ, π+kπ?k∈Z. 12 ?12 ?

…………………………12 分

[规范与警示]

求三角函数 y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)或 y=Acos(ωx+

φ)(A≠0,ω≠0)的单调区间时,一定要注意函数中 A 与 ω 的符号,一般来说, 对于 y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),如果 ω<0,那么可将函数变形为 y=-Asin(-ωx-φ), 再求函数的单调区间; 对于 y=Acos(ωx+φ)(A≠0, ω≠0), 如果 ω<0,那么可以将函数变形为 y=Acos(-ωx-φ),再求函数的单调区间.所 有的这些变形都是为了使 x 前面的系数为正值.

[随堂训练] 1.下列关系式中正确的是( A.sin 11° <cos 10° <sin 168° B.sin 168° <sin 11° <cos 10° C.sin 11° <sin 168° <cos 10° D.sin 168° <cos 10° <sin 11° 解析:∵sin 168° =sin(180° -168° )=sin 12° ,cos 10° =sin 80° ,
sin 11° <sin 12° <sin 80° ,∴sin 11° <sin 168° <cos 10° .

)

答案:C

?π ? 2.下列函数,在?2,π?上是增函数的是( ? ?

)

A.y=sin x C.y=sin 2x

B.y=cos x D.y=cos 2x
?π ? 在?2,π?上都是减函数,所以排除 ? ?

解析:因为 y=sin x 与 y=cos x π 因为 ≤x≤π,所以 π≤2x≤2π. 2

A,B.

因为 y=sin 2x 在 2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除 C.
答案:D

π π 3.求函数 y=cos(x- )在[0, ]上的单调递增区间. 4 2 π 解析:由 2kπ-π≤x- ≤2kπ(k∈Z), 4

3π π 得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 π π ∵x∈[0, ],∴0≤x≤ , 2 4 π 即所求的单调递增区间为[0, ]. 4


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