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《小学数学报》历届数学竞赛第一试试题及详解答案


小学数学报第一届数学竞赛第一试试题及答案 一、填充。 1.1990 年全国发电量将达到五千五百亿( )左右;钢材产量将达到 四千四百万( )左右。

3.两个数的最小公倍数是 180,最大公约数是 30。已知其中一个数 是 90,另一个数是( )。 4.顺次写出除以 4 余 2,除以 5 余 3 的三个数: ( )。 5.找规律,填数: 4,7,10,13,( ),( ),( ); 6,12,24,48,( ),( ),( )。 6.一根铁丝长 48 厘米。 如果把它围成一个正方形, 它的面积是 ( ) ; 如果围成长方形,宽是 2 厘米、宽是 5 厘米、宽是 10 厘米,它们的面积 分别是( ),( ),( )。 7.90°的角是( )角;小于 90°的角叫做( )角;大于 90°、小 于 180°的角叫做( )角。

( )左右(整数)。 9.右边算盘图上所表示的多位数(“·”表示个位)应该读作( )。

二、计算。

2.(口算)4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+ 30+32+34+36

三、解答应用题。 1.王新同学期末考试成绩如下:语文和数学平均成绩是 94 分;数学 和外语平均成绩是 88 分;外语和语文平均成绩是 86 分。王新同学语文、 数学、外语各得多少分? 2.苏小牛在菜场买菠菜 5 斤,萝卜 3 斤共付 0.87 元。张老师在菜场 买同样的菠菜 3 斤, 萝卜 5 斤共付 0.81 元。 问菠菜、 萝卜每斤各多少元? 3.第一块麦田有 a 亩,平均亩产 400 斤。第二块麦田有 b 亩,平均亩 产 500 斤。请列出式子表示: (1)两块田共有多少亩? (2)第一块田共产多少斤麦子? (3)第二块田共产多少斤麦子? (4)两块田共产多少斤麦子? (5)这两块田平均亩产多少斤麦子?

式,不计算) 5.求右图中阴影部分面积和平行四边形面积。

6.把 7 个同样大小的苹果平均分给 12 个小朋友。要把几个苹果平均 切成

7.兰兰向妈妈要六分钱买一根冰棒。妈妈叫兰兰从袋子里取硬币。袋 子里有 1 分、 2 分、 5 分硬币各六枚。 兰兰要拿六分钱, 可以有几种拿法, 用算式表示出来。 8.李丽珠有一盒塑料玩具。其中黄三角形 2 个,白三角形 1 个;有红 圆 1 个,黄圆 4 个,蓝圆 1 个;白、红、黄、蓝长方形各 3 个;红正方形 4 个, 蓝、 白、 黄正方形各 5 个。 如果按同一种颜色分类统计各有多少个? 答案

5.16,19,22;96,192,384 6.144 平方厘米,44 平方厘米,95 平方厘米,140 平方厘米。 7.直,锐,钝 8.15 9.五百零六亿零二十四万伍千 二、1.0 2.340 3.100 4.167 三、1.语文 92 分,数学 96 分,外语 80 分。

2.菠菜 0.12 元一斤,萝卜 0.09 元一斤。 3.(1)a+b(2)400a(3)500b(4)400a+500b

6.四个苹果平均切成三块,三个苹果平均切成四块。 7.5 种 1+1+1+1+1+1= 6 2+1+1+1+1 =6 2+2+1+1= 6 2+2+2= 6 5+1= 6 8.黄色 14 个,白色 9 个,红色 8 个,蓝色 9 个。 第二届数学竞赛初赛试题及答案 第一组 填空题 1.下面算式中的两个方框内应填什么数, 才能使这道整数除法题的余 数为最大。 □÷25=104??□

的两段绳子仍是同样长。这两根绳原来长____。 3.右边乘法算式中的“来参加数学邀请赛”八个字,各代表一个不同 的数字。其中“赛”代表 9,“来”代表____,“参”代表____,“加” 代表____, “数”代表______, “学”代表____, “邀”代表____, “请” 代表____。

4.王阿姨用新机器织布。 第一天织布 253.5 米, 以后提高了织布技术, 每天都比前一天多织布 15.5 米。第 7 天她织布__米,7 天共织布__米。

尽可能小,这个新的循环小数是____。 6.右图是由边长 a 的 6 个等边三角形拼成的正六边形。n 个这样的正 六边形的周长是____。

7.甲、乙、丙三个组,甲组 6 人,乙组 5 人,丙组 4 人,现每组各选 1 人一起参加会议,一共有____种选法;如果三组共同推选一个代表,有 __种选法。 8.下图中,∠1、∠2、∠3、∠4 的和是__。 9.把边长 9.5 分米的正方形钢板切割成如图的直角三角形 (两条直角 边的长分别是 4.5 分米和 1 分米)小钢板,最多可切割成____块。

第二组 选择题 1.小数部分最高位是____。 (①十分位 ②万分位 ③亿分位 ④个位) 2.如果一个三角形中两个内角的和等于第三个内角, 那么这个三角形 一定是____。 (①锐角三角形 ②直角三角形 ③等腰三角形 ④钝角三角形) 3.下图是两个面积相等的长方形,图中阴影部分的大小关系是____。

4.18 个小朋友中,____小朋友在同一个月出生。 (①恰好有 2 个 ②至少有 2 个 ③有 7 个 ④最多有 7 个) 5.有红、 黄、 蓝、 白、 黑五种颜色的玻璃球若干, 已知黄的比蓝的多, 比红的少;蓝的比白的多;红的比黑的少,那么____。 (①黑>白 ②黑<白 ③黑=白 ④无法判断) 6.把一个 3°的角扩大 10 倍,它就成为 30°的角,用 10 倍的放大镜 看这个 30°的角,这个角是____。 (①30° ②300° ③3° ④330°) 7.正方形有__条对称轴。 (①1 ②2 ③3 ④4) 8.○+○+○+○=100,(△+△) ×○=100, □+○×△×△=104, □是____。 (①25 ②4 ③1 ④2) 9.右图是由六个正方形重叠起来的,连接点正好是正方形边的中点, 正方形边长是 a,图的周长是____。

(①24a ②14a ③12a ④18a) 第三组 计算题 1.计算(用简便算法并写出运算过程)。 ①999×87.5+87.5 ②199999+19999+1999+199+19 2.计算(只写得数不写过程)。 ①732066×55555×(4-3.2÷0.8)= ②3.49+4.47+3.51+2.38+4.53+2.62= ③0.5×[(5.2+1.8-5.2+1.8)÷(1-0.75)〕= 第四组 应用题 1.用两个三角板画出 75°、135°的角,怎么画?(画图表示) 2.锻工师傅收到五段铁链,每段有三个环(如图)。要求连成一条铁 链,你认为至少打开几个环,才能连成一条铁链?(只写答案,不列式) 答:____。

3.有民兵在操场上列队,只知人数在 90~110 之间,排成三列无余, 排成五列不足 2 人,排成七列不足 4 人,共有民兵多少人?(只写答案, 不列式) 答____。

4.甲乙两人拿出同样多的钱合买一段花布,原约定各拿花布一样多。 结果甲拿了 6 尺,乙拿了 14 尺,这样,乙就给甲 2 元钱。每尺花布单价 多少元?(只写答案,不列式) 答:____。 5.城中小学四年级有四个班。已知四(1)班、四(2)班共 81 人, 四(2)班、四(3)班共 83 人,四(3)班、四(4)班共 86 人,四(1) 班比四(4)班多 2 人,问四个班各有多少人?(只写答案,不列式) 答:____,____,____,____。 6.甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行 12 公 里。甲车行驶四个半小时到达西站后,没有停留,立即从原路返回,在距 离西站 31.5 千米的地方和乙车相遇,甲车每小时行多少千米?(列综合 算式或分步列式) 7.某厂运来一堆煤, 如果每天烧煤 1500 千克, 比计划提前一天烧完; 如果每天烧 1000 公斤,将比计划多烧一天。如果要求按计划规定烧完, 每天应烧煤多少公斤?(用方程和算术两种方法解) 8.筑路队原计划每天筑路 720 米,实际每天比原计划多筑路 80 米, 这样在规定完成全路修筑任务的前 3 天,就只剩下 1160 米未筑。问这条 路全长多少米?(用方程和算术两种方法解) 9.右图是两个正方形,边长分别为 5 厘米和 3 厘米。求阴影部分的面 积。(用两种算术方法解)

10.王大伯从家(A 点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B 点处)。请帮他找一条最短的路线,在右图表示出来,并写出过程。

11.王叔叔、李大伯、周叔叔、林阿姨和张阿姨一起参加会议,开会 前他们相互握手问好。王叔叔和 4 人都握了手,李大伯和 3 人握了手,周

叔叔和 2 人握了手, 林阿姨和 1 人握了手,你能知道张阿姨和哪几个人握 了手吗?(只写答案,不列式) 答______。 12.某市举行家庭普法学习竞赛,有 5 个家庭进入决赛(每家 2 名成 员)。决赛时,进行四项比赛,每项比赛各家出一名成员参赛。第一项参 赛的是吴、孙、赵、李、王;第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周;第三 项参赛的是赵、张、吴、钱、郑;第四项参赛的是周、吴、孙、张、王; 另外,刘某因故四项均未参赛。问谁和谁是同一个家庭的?(只写答案, 不列式) 答:________。 13.下面这张发票被墨汁污损了三处(用黑圆点代表被污损部分), 请算出育英中学买了几块小黑板?(列式计算)

答案 第一组 填空题 1.÷25=104?? 2.这两根绳原来长 1 米。 3.“来”代表 1, “参”代表 2, “加”代表 3, “数”代表 4, “学” 代表 5,“邀”代表 6,“请”代表 7。 4.第 7 天她织布 346.5 米,7 天共织布 2100 米。 6. n 个这样的正六边形的周长是 6na。

7.每组各选 1 人,一共有 120 种选法;三组共同推选一个代表有 15 种选法。 8.∠1、∠2、∠3、∠4 的和是 360°。 9.最多可切割成 36 块。 第二组 选择题 1.十分位 2.直角三角形 3.A=B 4.至少有 2 个 5.黑>白 6.30° 7.4 条 8.□是 4 9.周长是 14a 第三组 计算题 1.(1)999×87.5+87.5 =87.5×(999+1) =87.5×1000=87500 (2)199999+19999+1999+199+19 =200000-1+20000-1+2000-1+200-1+20-1 =222220-5 =222215 2.(1)732066×55555×(4-3.2÷0.8)=0 (2)3.49+4.47+3.51+2.38+4.53+2.62=21 (3)0.5×[(5.2+1.8-5.2+1.8)÷(1-0.75)]=7.2 第四组 应用题 1.

2.至少打开 3 个环。3.共有民兵 108 人。 4.每尺花布单价 0.5 元。 5.四(1)班 43 人,四(2)班 38 人,四(3)班 45 人,四(4)班 41 人 6.31.5÷[(31.5×2)÷12-4.5]=42(千米) 7.解法一 设原计划这堆煤烧 x 天。 1500×(x-1)=1000×(x+1) 1500x-1000x=1000+1500 x=5 [1500×(5-1)]÷5=1200(千克) 解法二 (1500+1000)÷(1500-1000)=5(天) [1000×(5+1)]÷5=1200(千克) 答:按计划每天烧煤 1200 千克。 8.解法一 设原计划 x 天完成。 (720+80)×(x-3)=720x-1160 x=15.5 720×15.5=11160(米) 解法二 [(720+80)×3-1160)÷80=15.5(天) 720×15.5=11160(米) 答:这条路全长 11160 米。 9.解法一 5×5+3×3-〔5×5÷2+(5+3)×3÷2] =25+9-24.5 =9.5(平方厘米) 解法二 (5-3)×5÷2+[(3+5+3)×3÷2-(5+3)

×3÷2] =9.5(平方厘米) 10. 解:过 A 向河作垂线 AC,垂足为 C,延长 AC 到 D,使 AC=CD,连接 BD 与河边相交于 E,连 AE。王大伯沿 AE 走到河边挑水,再沿 EB 到 B 点 这条路最近。

11.张阿姨和王叔叔、李大伯两人握了手。 12.吴、刘一家,孙、钱一家,赵、周一家,李、张一家。 13.(13.66-0.3×40-22.66)÷12.5=8(块) 答:买了 8 块小黑板。

第三届数学竞赛初赛试题及答案 一、填空题(共 37 分) 1.甲乙两数的和是 231,已知甲数的末尾是 0,如果把甲数末位的 0 去掉,正好等于乙数。乙数是( ),甲数是( )。 2.已知 a、b、c 都不等于 0,而且 a>b>c,当 a=____,b=____,

3.将 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 这八个数字填入下面算式中的八个 “□” 内(每个数字只能用一次),使得数最小。 □□.□□-□□.□□

4.从右边表格中各数排列的规律可以看出: ① “☆” 代表____, “△” 代表____;

②81 排在第____行第________列。 5.把 160 支铅笔、 128 本练习簿、96 册故事书最多可以分成____份同 样的奖品,在每份奖品中,有铅笔____支,练习簿____本,故事书____ 册。 6.在左边的算式中,“三”“好”“学”“生”四个汉字各代表一个 阿拉伯数字。其中“三”代表____,“好”代表___, “学”代表___, “生” 代表___。

7.某市派出 60 名选手参加 1988 年“贝贝杯”少年田径邀请赛,其 中女

拖拉机 4 小时可耕这块田的____。 9.要在 20 米长的水泥阳台上放 11 盆花。不管怎么放,至少有____ 盆之间的距离不超过 2 米。

10.右图中每个格子(小正方形)的面积表示 1 平方厘米。梯形面积 为____平方厘米。

11.一个正方体的棱长扩大 a 倍,那么它的体积扩大____倍。 12.食堂原有煤 600 公斤,第一天烧掉 148 公斤,第二天烧掉 150 公 斤,第三天烧的比第二天多 2 公斤。三天后原来的煤少了____公斤。 13.有 249 朵花,按 5 朵红花,9 朵黄花,13 朵绿花的顺序排列,最 后一朵花是___色的,这 249 朵花中,红花是()朵,黄花是()朵,绿 花是()朵。 二、选择题(将正确答案的序号填在横线上。每题选对得 4 分,不选 得 1 分,选错得 0 分)(共 28 分)

①311; ②31; ③29; ④35 2.如右图,正方形被一条曲线分成了 A、B 两部分。下面第____种说 法正确。

①如果 a>b,那么 A 的周长大于 B 的周长; ②如果 a<b,那么 A 的周长小于 B 的周长; ③如果 a=b,那么 A 的周长等于 B 的周长; ④不管 a、b 哪个大,A、B 的周长总是相等的。 3.右图中,一共有____个三角形。

①7 个;②14 个; ③21 个;④28 个

①0; ②8; ③2; ④6 5.小刚与小勇进行 50 米赛跑,结果:当小刚到达终点时,小勇还落 后小刚 10 米;第二次赛跑,小刚的起跑线退后 10 米,两人仍按第一次的 速度跑,比赛结果将是____。 ①小刚到达终点时,小勇落后 2.5 米; ②小刚到达终点时,小勇落后 2 米; ③小勇到达终点时,小刚落后 2 米; ④小刚小勇同时到达终点。 6.用四舍五入法,求 3.6948 的近似值,精确到百分位时,得____. ①3.70;②3.7;③3.695;④3.69

三、作图题(共 9 分)

2.画一个周长为 12 厘米的正方形。(3 分) 3.用一副三角板画出 120°、15°的角各一个。 (画图表示) (4 分) 四、计算题(简要写出运算过程)(共 10 分)

= 2.1.1+1.3+1.5+???+9.9(3 分) = 3.99+198+297+396+495+594+693+792+891+990(4 分) = 以下五道题除第七题外,都必须写出列式解答过程

(5 分) 六、五(3)班同学上体育课,排成 3 行少 1 人,排成 4 行多 3 人, 排成 5 行少 1 人,排成 6 行多 5 人。问上体育课的同学最少多少名?(5 分) 七、用绳子测量井深,把绳子三折来量,井外余 2 尺;把绳子四折来 量,绳子上端距井口还有 1 尺。求绳子长多少尺?(只列方程不解答) (4 分) 八、某电视机厂所属的两个分厂共同组装一批彩电。在同样多的天数 中,

,需两个星期装完。问这批彩电共多少台?(6 分) 九、三种昆虫共 18 只,它们共有 20 对翅膀,116 条腿。其中每只蜘 蛛是无翅 8 条腿,每只蜻蜒是 2 对翅膀 6 条腿,蝉是 1 对翅膀 6 条腿,问 这三种昆虫各多少只?(6 分) 答案 一、填空题(满分共 37 分)

1.乙数是 21,甲数是 210。(此题每空 1 分。) 2.a=8,b=3,c=2。(本题三空全部填对得 2 分;填错其中任何一空 都得 0 分。) 3.. -. (本题八个方格全部填对得 3 分; 仅个位上分别填对 “1” “8” 可给 1 分;除此以外的其它情况一律不给分。) 4.(1)“☆”代表 71.“△”代表 57;(2)81 应排在第 5 行,第 5 列。 (1)每空 1 分;(2)共 2 分。但其中有一空填错都不给分。 5.最多可分成 32 份奖品,每份奖品中有铅笔 5 支,练习簿 4 本,故 事书 3 册。 (此题第一空 2 分;后面三空共 2 分。填错其中任何一空都不 给分。) 6.其中“三”代表 1.“好”代表 4.“学”代表 6。“生”代表 3。 (本题每空 0.5 分。) 7.正式参赛的女选手有 10 名。(本题填对得 3 分。)

9.至少有 2 盆之间的距离不超过 2 米。(本题填对得 3 分。) 10.梯形面积为 22.5 平方厘米。(本题填对得 2 分。) 11.它的体积扩大 a×a×a 倍。(本题填对得 3 分,如果填 a·a·a 或 a3 也给 3 分。) 12.三天后原来的煤少了 450 公斤。(本题填对得 2 分。) 13.最后一朵花是黄色的,其中红花是 50 朵,黄花是(82)朵,绿花 是(117)朵。(本题第一空填对得 3 分;后面 3 空全部填对得 2 分,其 中有一空填错都不给分。) 二、选择题(满分共 28 分) 1.(2); 2.(4);3.(4);4.(1);5.(2);

6.(4);7.(4)。 三、作图题(共 9 分) 1.(2 分)

2.(3 分)

以上两小题,只要作图正确。长度误差不超过 0.2 厘米,都不扣分。 3.

120°=90°+30°或 120°=60°+60°

15°=45°-30°或 15°=60°-45° 每个角都有两种画法。只要画得正确,从图中看出作法,误差不超过 5°, 每画出一个角得 2 分,用量角器画角不给分。 四、计算题:没有简要过程,直接写得数的不给分;虽有过程,但得 数不正确的也不给分;有过程,计算结果正确的给满分。

2.1.1+1.3+1.5+?+9.9 =(1.1+9.9)÷2×45 =5.5×45 =247.5 3.99+198+297+396+495+594+693+792+891+990 =100-1+200-2+300-3+?+1000-10 =100+200+300+?+1000-(1+2+3+?+10) =5500-55 =5445 以下五道题,除第七题以外,只要列式合理、计算正确、解答完整, 即使方 法与本“参考答案”不同,照样给满分;不列式直接写得数不给分; 不写 “答”这一项的扣 1 分;分步解答酌情给分。

答:这本故事书共 240 页。 六、解:〔3,4,5,6〕=60

60-1=59(人) 答:上体育课的同学最少有 59 名。 七、解:设绳子长为 X 尺。根据题意,得

如果列成 x÷3-x÷4=2+1 或 x÷3-2=x÷4+1 都给 4 分;没有 “设”这一步的,扣 1 分。如果设井深为未知数列方程,不能给分。 八、解:(1)分步列式解答:

10 天中乙分厂共装了 400×10=4000(台) 这 4000 台相当于这批彩电的

这批彩电有

(2)列综合算式解答:

答:这批彩电共有 14000 台。 九、解法 1:假设 18 只昆虫都是蜻蜓,那么共应当有腿 18×6=108(条),比 实际的总腿数少了 116-108=8 (条) , 因为每只蜘蛛比每只蜻蜓多 2 条腿, 蝉的腿数与蜻蜓相等,所以可算出蜘蛛的只数是 8÷2=4(只) 这样,蜻蜓与蝉共 18-4=14(只),共有翅膀 20 对。假设 14 只全为 蜻蜓, 共应当有翅膀 14×2=28 (对) , 比实际的翅膀数多出 28-20=8 (对) , 因为每只蝉比每只蜻蜒多出 1 对翅膀,所以可算出 蝉的只数为 (28-20)÷1=8(只) 蜻蜒的只数:14-8=6(只)解法 2: 蜘蛛的只数: (116-18×6)÷(8-6)=4(只) 蝉的只数: 〔(18-4)×2-20〕÷(2-1)=8(只) 蜻蜒的只数: 18-4-8=6(只) 答:蜘蛛 4 只,蜻蜒 6 只,蝉 8 只。 如果第一次假设 18 只昆虫都是蝉, 用 (116-18×6) ÷ (8-6) =4 (只) 算出蜘蛛只数也算正确,给 3 分;如果第二次假设剩下的 14 只昆虫全为 蝉,用(20-14×1)÷(2-1)=6 算出蜻蜒只数也算正确,给 1 分;如果 用三元一次方程来解,列对方程给 3 分,解答正确给 2 分,答对给 1 分。

第四届数学竞赛初赛试题及答案 第一部分 一、 填空题 (答题时只要将正确答案填在题中的横线上) (共 38 分) 1.被减数、减数与差的和,除以被减数,商是____。(2 分)

2.有一个两位数,它的十位数字比个位数字多 5。用算盘上的算珠来 表示这个两位数的话,共需要用 9 个算珠。这个两位数是____。(3 分) 3.四个数的平均数是 18, 如果每个数都增加 x, 这四个数的和是____。 (2 分) 4.“12345 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2?? 4 8 4 9 5 0”是一个位数很 多的多位数,从中划去 80 个数字,使剩下的数字(先后顺序不变)组成 最大的多位数。这个最大的多位数是____。(4 分)

(3 分) 6.图 1 中的“○”内分别有五个数 A、B、C、D、E;“□”内的数 表示与它相连的所有“○”中的数的平均数。C=____。(4 分)

8.在线段 AB 上插入六个不同的点以后, 图 2 中的线段一共增加了____ 条。(2 分)

9.四个连续奇数的连乘积是 326025,它们的和是____。(4 分)

数, 使它们的和等于 1。 这 7 个不同的分数从大到小依次是____、 __、 __ 、 ____、____、____、____(4 分)

11.在左边的减法竖式中,“☆”“△”“○”各代表一个不同的数 字。可以推算出“○”代表____。(3 分)

12.从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站。铁路局要为这次 快车准备____种不同的车票, 这些车票中有____种不相同的票价。 (4 分) 二、选择题(每题后面都附有四个答案,其中只有一个是正确的。将 正确答案的序号填入题中的横线上。选对一题得 4 分,不选或选错得 0 分。)(共 20 分) 1.设 A=9876543×3456789, B=9876544 ×3456788。那么____。 ①A>B ②A=B ③A<B ④A≤B

根绳子相比较是____。 ①甲绳长 ②一样长 ③乙绳长 ④不能肯定哪个长 3.如果“○”是一个质数,“□”是一个合数,下列第____项的值一 定是一个质数。 ①○+□ ②○-□ ③○×□ ④○×□÷□

九月份生产的玻璃箱数看作单位“1”,那么十月份生产的玻璃箱数就相 当于九月份的____ 。

5.如图 3 把三角形 ABC 的一条边 AB 延长 1 倍到 D,把它的另一边 AC 延长 2 倍到 E,得到一个较大的三角形 ADE。三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的____倍。

①3 ②4 ③5 ④6

第二部分

三、计算题(答题时要写出主要的运算过程,能用简便方法算的,尽 可能用简便方法计算。)(共 10 分)

四、应用题(32 分) 1.一个两位数, 十位数字是个位数字的 2 倍,将个位数字与十位数字 调换,得到一个新的两位数,这两个两位数的和是 132。求这个两位数。 (5 分) 2.甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上所带的钱共计是 86 元。

民币 16 元。这样,两人身上所剩的钱正好一样多。问甲、乙两人原先各 带了多少钱?(6 分)

3.幼儿园将一筐苹果分给小朋友, 如果分给大班的小朋友每人 5 个缺 6 个;如果分给小班的小朋友每人 4 个余 4 个,已知大班比小班少 2 个小 朋友。问这一筐苹果共有多少个?(6 分) 4.如图 5,梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分。三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米。已知梯形的上底与下底 的长度之和是 15 分米, 它们的差是 5 分米。 求梯形 ABCD 的面积。 (7 分)

5.一列慢车在上午 9 点钟以每小时 40 千米的速度由甲城开往乙城。 另有一列快车在上午 9 点 30 分以每小时 56 千米的速度也由甲城开往乙城。 铁路部门规定, 向相同方向前进的两列火车之间相距不能少于 8 公里。 问: 这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过?(8 分) 答案 第一部分 一、填空题 1.2; 2.94; 3.72+4x; 4.99997484950;

11.5;12.56;28。 评分建议:以上各题,除第 12 题每空 2 分外。其余各题答案正确即 按题后括号内所标的小分给分。第 10 题中只要一个分数写错,都不能给 分。 二、选择题。 1.①;2.④;3.④;4.③;5.④。 评分建议(参见原试卷题后说明)。 第二部分

三、计算题。

评分建议:计算结果正确,并且运用了简便方法的给满分;仅是结果 正确,但没有用简便方法每题只给 1 分。 四、应用题:

或者 解:设个位数字为 x,那么十位数字为 2x。 根据题意,有 20x+x=10x+2x=132 解得 x=4。2x=8 答:这个两位数是 84。

=45(元)?????甲带的钱 86-45=41(元)?????乙带的钱 答:甲原来带了 45 元,乙原来带了 41 元。 3.解:设大班有小朋友 x 个。那么小班有小朋友“x+2”个,根据题 意,有 5x-6=4(x+2)+4 化简得 x=18 18×5-6=84(个) 答:这筐苹果共有 84 个。 4.解:如右图,作 AB 的平行线 DE。这样三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等,三角形 DEC 的面积就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积 差(10 平方分米)。从而,可求出梯形的高(三角形 DEC 的高)是:

答:梯形面积是 30 平方分米。 5.解:(40×0.5-8)÷(56-40) =(20-8)÷16 =0.75(小时) 0.75×60=45(分钟) 9 点 30 分+45 分=10 点 15 分 答:这列慢车最迟应该在 10 点 15 分停车让快车通过。

评分建议:以上五道应用题,除“参考答案”中提供的解法外,其它 解法只要列式合理,结果正确。同样给分;不写“答”的酌情扣 0.5 分或 1 分。

第五届数学竞赛初赛试题及答案 (满分 100 分) 一、计算下面各题,并写出简要的运算过程(12 分)

2.1991×199219921992-1992+199119911991

二、填空题(48 分) 1.有 A、B 两组数,每组数都按一定的规律排列着,并且每组都各有 25 个数。A 组数中前几个是这样排列的 1,6,11,16,21??;B 组数中 最后几个是这样排列的??,105,110,115,120,125。那么,A、B 这 两组数中所有数的和是__(3 分) 2.某沿海城市管辖 7 个县, 这 7 个县的位置如图 1。 现用红、 黑、 绿、 蓝、紫五种颜色给图 1 染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有__ 种不同的染色方法。(5 分)

3.如图 2 的数阵是由 77 个偶数排成的,其中 20、22、24、36、38、 40 这六个数由一个平行四边形围住,它们的和是 180。把这个平行四边形 沿上下、左右平移后,又围住了右边数阵中的另外六个数,如果这六个数 的和是 660,那么,它们当中位于平行四边形左上角的那个数是__。(4 分)

4.在左边的乘法算式中,我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。 如果“乐”代表“9”,那么,“我”代表__,“数”代表__,“学”代 表__。(4 分)

5.1993 年一月份有 4 个星期四、5 个星期五,1993 年 1 月 4 日是星 期__。 6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数, 这个整数加上原来的小数 与 4 的乘积,得 27.6。原来这个小数是__。(5 分) 7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业,三人中 有一个当了记者。一次有人问起他们的职业,李志明说:“我是记者。” 张斌说:“我不是记者。”王大为说:“李志明说了假话。”如果他们三 人的话中只有一句是真的,那么__是记者。(3 分)

9.在 1992 后面补上三个数字, 组成一个七位数, 使它分别能被 2、 3、 5、11 整数,这个七位数最小是__。(5 分)

的个位数字 1992 个“8”是__,十位数字是__,百位数字是__。(3 分)

三、解答下面的应用题。(要写出列式解答过程。列式时,可以分步 列式,可以列综合算式,也可以列方程。)(32 分)

1.张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货, 到达省城后马上 卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行 64 千米,返回 时每小时行 56 千米, 往返一趟共用去 12 小时(在省城卸货所用时间略去 不计)。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米?(5 分) 2.一个长方形,如果长减少 5 厘米,宽减少 2 厘米,那么面积就减少 66 平方厘米,这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面 积。(5 分) 3.有两堆煤,第一堆是第二堆的 4 倍。当第二堆煤运走 6.25 吨后, 第一堆煤是第二堆煤的 6 倍。第二堆煤原有多少吨?(5 分)

分数是 80 分。求不及格的人的平均分数。(5 分) 5.启蒙书社五天内卖出《中学生手册》和《小学生手册》共 120 本。 《中学生手册》每本 5 元,《小学生手册》每本 3.75 元。营业员统计的 结果表明:这五天内所卖《中学生手册》的收入比卖《小学生手册》的收 入多 162.5 元。 这五天内启蒙书社卖出的 《中学生手册》 和 《小学生手册》 各多少本?(6 分) 6.如图 3,BD 是梯形 ABCD 的一条对角线,线段 AE 与梯形的一条腰 DC 平行, AE 与 BD 相交于 O 点。已知三角形 BOE 的面积比三角形 AOD 的面 积大

四、长方形 ABCD 的长是 4 厘米、宽 3 厘米。从这个长方形中剪去两 个长 2 厘米、宽 1 厘米的小长方形后得到一个“T”形(如图 4)。请你 沿直线(用虚线在图上画出这样的直线)把这个“T”形剪两刀,并使剪 开的部分恰好能拼成一个正方形。(8 分)

详解与说明 一、计算题

说明: 本题的算式看上去挺繁,但细心观察不难发现括号内的三个乘 (除)式都含有因数“3”,把“3”作为公因数提取后计算就简便多了。 《数学之友》(7)第 63 页上有一道十分类似的计算题。 2.解:1991×199219921992-1992×199119911991 =1991×1992(100010001-100010001) =1991×1992×0 =0 说明:解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数 1991× 1992, 这个乘积可以暂时保留在式中,看括号内的计算结果是不是便于立 即能口算出答案。本题同《数学之友》(7)综合练习十的第 2 题也很相 似。

数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系,就容易想到把式中 每

”栏目内专门作了介绍。 二、填空题 1.(1+125)×25=3150 说明:首先通过观察容易发现 A、B 两组数的排列规律。这两组数都 排成等差数列,并且每组数都有 25 个数。用等差数列的求和公式可以算 出结果,但必须先推算出 A 组数的第 25 个及 B 组数的第 1 个。如果选手 们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为 5 的等差数列”这两个 条件入手,用“首尾配对,变加为乘”(见本报 1991 年 9 月 25 日“教你 思考”栏)的技巧来解,那么计算简便多了。 2.解:把该沿海城市地图上的 7 个县分别编号为 A、B、C、D、E、F、 G (如图 5) 。 为了便于观察, 可以把图 5 改画成图 6 (相邻关系不改变) 。

我们不妨按 A、B、C、D、E、F、G 的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜 色依次染色,根据乘法原理,共有 5×4×3×3×3×3×3=4860(种)不 同的染色方法。

说明:“加法原理与乘法原理”是本报 223 期“奥林匹克学校”栏所 介绍的内容,但应用乘法原理来解本题,要谨防遗漏。为了避免遗漏,就 应适当选择染色的顺序。或许有的选手会问:既然要讲究染色的顺序。那 么“按 A、B、C、D、E、F 的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢?对 了,我们这里所说的“适当选择染色顺序”,不是说染色方法与染色顺序 有关,而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说,如果我们选择 B、 C、G、D、A、E、F 的染色顺序,那么,根据乘法原理算得的结果是 5×4×4×3×2×3×3=4320(种)。这当中遗漏了 540(种),为什 么会遗漏呢?因为在给 B、C 染色之后,再给 G 染色时,没有分“G 与 B 同色”、“G 与 B 不同色”两种情况。 举个简单的例子,如图 7,如果按④③②①的顺序染色,容易误算为 5×4×4×2=160(种),而实际上,应分两种情况:

(1)②与③同色时有 5×4×1×3=60(种)染法 (2)②与③不同色时,有 5×4×3×2=120(种)染法 共有 60+120=180(种)染法,而不是 160 种。 3.解法一: 以平行四边形左上角那个数为标准,其余五个数分别比它 大 2、4、16、18、20。如果从平行四边形内六个数的和中依次减去 2、4、 16、18、20,那么剩下的数就是左上角那个数的 6 倍。根据题意,可求出 平移后的平行四边形内左上角那数为[660(2+4+16+18+20) ]÷6=100

解法二:移动前平行四边形内 6 个数的和是 20+22+24+36+28+ 40=180。移动后,这六个数的和增加到 660,增加了 660-180=480。由于 移动过程中平行四边形内每个数增加得一样多,因而容易求出从“180” 到“660”,每个数都增加了(660-180)÷6=80。这样,可知道左上角的 数增加到 20+80=100。 解法三:通过观察可知,平行四边形内上一行左、中、右三数与下一 行

下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减,差都是 20。这样,求左 上角那个数就变成了一个“和差问题”。算式为 (660÷3-20)÷2=100 说明:本题的解法很多,因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律,选 择不同的规律, 将会得到不同的解法。本题是根据 1991 年 11 月 5 日第一 版“教你思考”栏中一题改编而成的。 4.解:由“乐”代表 9,可推到“学”代表 1,“数”代表 6;由积 是一个十位数,并且前两位数都是 6,可推知“我”代表 8。 说明: 本题是把 1992 年 5 月 25 日第四版上谈祥柏先生写的“六一专 稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数 字,只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识,就会立即得 到结果。再推“我”代表几就稍难些。 需要用估值法: 因为 800002<6661661161<900002 所以 8≤我≤9 显然,“我”只能是 8。 5.解:画一个日历表,从表中马上看出: 1993 年 1 月 4 日星期一。

说明:根据“有五个星期五”,可知从第一个星期五到第五个星期五 之间共有 29 天。31-29=2(天),这多余的 2 天是在第一个星期五前,还 是在第五个星期五之后呢?如果在第一个星期五之前, 那就多一个星期四, 这与题中条件不符。 所以应把多余的 2 天排在月末。这种借助日历表推算 的方法,本报 1992 年 3 月 25 日第一版“小读者园地”栏目中介绍过。 7.解:张斌是记者。 说明:这是根据本报 1992 年 3 月 15 日“奥林匹克学校”栏推理问题 例 1 改编而成的。具体推理过程是—— 假设李志明是记者,那么李志明、张斌都说了真话,而三人中只有一 人说真话。这说明假设不正确,李志明不是记者(李志明说了假话)。也 就是说,王大为说了真话。另一个说假话的是张斌。从而推知:张斌是记 者。

也就是 5X<76<5Y 又因为 X、Y 是两个连续自然数 所以,必有 X=15,Y=16 解法二:根据分数的基本性质

由“X、Y 是连续自然数”推知 X=15,Y=16。 说明:仅从题中的不等式不容易判断 X、Y 的取值范围,这就想到了 通分;要通分,就要运用“分数的基本性质”。有了 X、Y 的取值范围, 再附加“X、Y 是连续自然数”这个条件的限制,X、Y 的值也就不难判断 了。本报 207 期第三版上曾登过类似的题。

因为 2|A,5|A,所以,c=0; 因为 3|A,所以 3|(a+b); 因为 11|A,所以 a-b=1 考虑到所组成的七位数应该最小,因而取 a+b=3。这就推出:a=2, b=1。即要求的最小的七位数是 1992210。 说明:解答本题需要熟悉能被 2、5、3、11 整除的数的特征,再把根 据这些特征推出的结果综合在一起,加上“最小”这一条件,就可以确保 答案是唯一的。这道题比本报第 226 期“赛前训练”的第 3 题还要略简单 些。

222222=2×111111=2×111×1001 而 1001=7×11×13 所以 222222 能被 13 整除。 因为 1998=6×333,22÷13=1??9 所以,要求的余数是 9。 说明: 读者容易联想到: 本报第 240 期 “小读者园地” 栏目介绍了 “1001” 的两条性质,因为 222222=2×111111。运用“111111=111×1001”与 “1001=7×11×13”这两个等式,可把题目转化为“求 22÷13 的余数是 几”。有些选手分别计算 2、22、222、2222,??被 13 除所得的余数, 再从中找出周期性规律,也同样能求得余数是 9,但这样做太麻烦,又费 时,不可取。

11.解:8×1992=15936(个“1”)8×1991=15928(个“10”)8× 1990 =15920(个“100”)

从上面竖式中看出:所求个位数字是 6,十位数字是 1,百位数字是 2。 说明:解答本题并不难,只要注意计数单位和进位制,再做简单的乘 法、加法运算就可以了。详见本报第 192 期“教你思考”栏谢悠南文。 12.解:本题答案不唯一,下面列出几种:

说明:解本题有两种思路——

母(如 12)的任意两个约数(如 3、4),然后把它们的和分别同这两个 约

当我们把一个单位分数分解成两个单位分数后, 又可以继续采用上面 的方法,把其中某一个单位分数再一分为二。这样,只要重复分解,可以 把一个单位分数分解成若干个单位分数之和。 三、应用题

张师傅往返全程,共用了 12 小时。于是,省城和县城之间的路程是

张师傅往返一趟共行了 358.4×2=716.8(千米) 解法二:设县城与省城之间的路程为 X 千米。根据题意,列方程

2X=358.4×2=716.8(千米) 答:张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了 716.8 千米。 说明:本题的解法不止这两种,比如,还可以根据张师傅往、返的速 度之间的关系,把往返一趟所用的时间分成“往”、“返”两部分,当同 学们下学期学过正、反比例之后,会自然而然地想到这一点。不过,还是 解法一比较简便,这种解法本报第 187 期《巧用“包含除”》一文中专门 介绍过。 2.解法一:画出图来,不难列出这样的算式(66-2×5)÷(5+2)=8 (厘米),长方形面积为 8×8+66=130(平方厘米)

解法二: 设正方形边长为 X 厘米, 根据题意可列方程 (5+2) ×X2=66-2 ×5

解方程,得 X=8 S 长方形=8×8+66=130(平方厘米) 说明:解答本题,只要画一个草图,就不难找到题中的等量关系。然 后用算术方法或代数方法解都很简单。 本报第 213 期第 3 版有一道类似的 题。

解法二:6.25×4÷(6-4)+6.25 =18.75(吨) 答:第二堆煤原有 18.75 吨。 说明:如果顺着题中的条件去想,那就不容易找到解题的思路,因为 题中的“标准量”——第 2 堆煤的数量在变,4 倍与 6 倍也就联系不上。 其实,只要反过来一想,把第一堆煤作为标准量,数量关系就明朗化了。 解法一的思路正是这样。 还可以这样想:如果从第一堆煤中运走“6.25×4”吨,那么第一堆 煤就是现在第二堆煤数量的 4 倍;如果一点都不运走的话,那么第一堆煤 就是现在第二堆煤的 6 倍, 从而, 可求出现在第二堆还有 6.25×4÷ (6-4) =12.5(吨),再加上 6.25 吨,就是第二堆煤原来的吨数。这就是解法二 的算理。本题是根据本报第 197 期《反过来想想》一文中第二题改编的。 4.解法一:(70×4-80×3)÷(4-3)=40 或(70×4K-80×3K)÷(4K-3K)=40 (K 为自然数) 解法二:设不及格的人平均成绩为 X 分。 根据题意列方程

解方程,得 X=40 答:不及格的人的平均分数为 40 分。

说明:本题是本报第 238 期“趣题巧解”中的原题,解题思路详见报 纸第 241 期《为什么可以设全班人数为 4 呢》一文。 5.解法一:(等量假设法)假设所卖出的《中学生手册》和《小学生 手册》的本数同样多,也就是各为 60 本,那么,所卖的《中学生手册》 比小学生手册》 就要多收入 (5-3.75) ×60=75 (元) , 而实际多收入 162.5 元,相差 162.5-75=87.5(元)。这就可以求出少算的《中学生手册》的 本数为(162.5-75)÷(5+3.75)=10(本) 60+10=70(本)??《中学生手册》的本数 60-10=50(本)??《小学生手册》的本数 解法二:(同一假设法)假设所卖出的 120 本全是《中学生手册》, 那么,仿照解法一就可以先求出《小学生手册》的本数 (5×120-162.5)÷(5+3.75)=50(本) 120-50=70(本)??《中学生手册》的本数 解法三:(列方程解)设《中学生手册》有 X 本,根据题意,列方程 5X-(120-X)×3.75=162.5 解得 X=70 120-X=50(本) 答:这五天内共卖出《中学生手册》70 本,《小学生手册》50 本。 说明:就这道题的“条件”和“问题”来看,挺有些像“鸡兔同笼问 题”。解这类题常用的方法有算术(假设)和列方程两种方法,这是选手 们已经掌握的(见本报 216 期《插上想象的翅膀》一文)。在解法一和解 法二中,实际的“多收入”与假设后的“多收入”之间有个“差”,这个 差是怎么来的, 不是由于每卖 1 本 《中》 比卖 1 本 《小》 要多收入 “5-3.75” 元, 而是因为如果有一本 《中》 被假设 (换) 成 《小》 , 那么 《中》 比 《小》 多收入的部分就减少了“5+3.75”元。这一点千万不能搞错。 6.解:因为 S△BOE-S△AOD=4 平万米 所以 S△ABE-S△ABD=4 平万米

因为△ABE 与△ABD 对应于 BE、AD 边上的高相等,所以△ABD 的面积

答:梯形面积是 28 平方米。 说明:解答本题的关键是进行两次转化:(1)转化面积差:把已知 条件“△BOE 的面积比△AOD 的面积大 4 平方米”,转化为“△ABF 的面 积比△ABD 的面积大 4 平方米”;(2)转化数量关系:把

是高相等)。具体算法还很多,但基本思路都是转化。本报第 220 期第一 版有两篇文章中介绍过类似的转化技巧。 四、解:剪拼方法不唯一,这里给出两种(如图 9,图 10):

说明:这是一道动手操作的“实验”题。不过,在动手之前,先得算 一算、想一想,也就是我们常说的“手脑并用”。剪之前,可以这样想: “T”形图的面积为 4×3-2×1×2=8(平方厘米)

这就是说, 我们要拼成的正方形的面积应该是 8 平方厘米。这个正方 形的边长是多少呢?这可难了。 如果我们假设这个正方形已经拼成, 那么, 把它的两条对角线连起来后, 这个正方形就被分成了 4 个等腰直角三角形, 其中的两个可以拼成一个面积为 4(边长为 2)的正方形(如图 11)。从 图中看出所拼成的正方形的边长应该是面积为 4 平方厘米的正方形的对 角线的长(图 11 中的 AB)。根据以上推算,容易想到图 9、图 10 的两种 剪拼方法。

所以,同学们今后碰到类似的动手操作题,应当先想想、算算,千万 不能无把握地下手。不然的话,费了时间,还找不到正确解法。其实,选 手们应当从本报第 214 期第四版《等积变形》一文中受到启发。

第六届数学竞赛决赛试题及答案

(满分 120 分) 一、计算题(能用简便方法计算的,要用简便算法。每题 4 分,共 12 分。)

2. 77×13+255×999+510

二、填空题(1~9 题每空 4 分,10~12 题每空 3 分,共 54 分。) 1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,a 的整数部分是____。 2.1995 的约数共有____。

3.等式“学学×好好+数学=1994”,表示两个两位数的乘积,再加上 一个两位数,所得的和是 1994。式中的“学、好、数”3 个汉字各代表 3 个不同数字,其中“数”代表____。 4.如图 1,“好、伙、伴、助、手、参、谋”这 7 个汉字代表 1~7 这 7 个数字。已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆圈上 3 个数相加所得 的 5 个和都相等。图中间的“好”代表____。

5.农民叔叔阿根想用 20 块长 2 米、宽 1.2 米的金属网建一个靠墙的 长方形鸡窝(如图 2)。为了防止鸡飞出,所建鸡窝高度不得低于 2 米。 要使所建的鸡窝面积最大,BC 的长应是米。

7.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积,小胡看错了甲数的个位 数字,计算结果为 1274;小涂看错了甲数的十位数字,计算结果为 819。 甲数是____。 8.1994 年“世界杯”足球赛中,甲、乙、丙、丁 4 支队分在同一小 组。在小组赛中,这 4 支队中的每支队都要与另 3 支队比赛一场。根据规 定:每场比赛获胜的队可得 3 分;失败的队得 0 分;如果双方踢平,两队 各得 1 分。已知: (1)这 4 支队三场比赛的总得分为 4 个连续奇数; (2)乙队总得分排在第一; (3)丁队恰有两场同对方踢平,其中有一场是与丙队踢平的。 根据以上条件可以推断:总得分排在第四的是____队。

9.一块空地上堆放了 216 块砖(如图 3),这个砖堆有两面靠墙。现 在把这个砖堆的表面涂满石灰,被涂上石灰的砖共有____块。

10.南方某城市的一家企业有 90%的员工是股民,80%的员工是“万 元户” , 60%的员工是打工仔。 那么, 这家企业的 “万元户” 中至少有____% 是股民;打工仔中至少有____(填一个分数)是“万元户”。 11.方格纸(图 4)上有一只小虫,从直线 AB 上的一点 O 出发,沿 方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为 1 厘米。小虫爬过若 干小段后仍然在直线 AB 上,但不一定回到 O 点。如果小虫一共爬过 2 厘 米,那么小虫的爬行路线有____种;如果小虫一共爬过 3 厘米,那么小虫 爬行的路线有____。

12.自然数按一定的规律排列如下:

从排列规律可知,99 排在第____行第____列。 三、应用题(第 1 题 5 分,第 2~6 题每题 7 分。共 40 分。)

1.如图 5, AF=2FB, FD=2EF, 直角三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米, 求平行四边形 EBCD 的面积。

2.利民商店从日杂公司买进一批蚊香,然后按希望获得的纯利润,每 袋加价 40%定价出售。但是,按这种定价卖出这批蚊香的 90%时,夏季 即将过去。为加快资金周转,商店以定价打七折的优惠价,把剩余蚊香全 部卖出。 这样, 实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了 15%。 按规定, 不论按什么价钱出售, 卖完这批蚊香必须上缴营业税 300 元(税金与买蚊 香用的钱一起作为成本)。问利民商店买进这批蚊香用了多少元? 3.李老师从数学兴趣小组调出 1 名女生到英语兴趣小组后, 剩下的同 学

4.园林工人要在周长 300 米的圆形花坛边等距离地栽上树。 他们先沿 着花坛的边每隔 3 米挖一坑,当挖完 30 个坑时,突然接到通知:改为每 隔 5 米栽一棵树。这样,他们还要挖多少个坑才能完成任务? 5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时,每人可挣 3 元钱。到 11 月 11 日,他们一共挣了 1764 元。这个小组计划到 12 月 9 日这天挣足 3000 元,捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一 个人。问:增加的这个人应该从 11 月几日起每天到餐馆打工,才能到 12 月 9 日恰好挣足 3000 元钱? 6.有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑, 跑步时速度都不变, 男运动员比女运动员跑得稍快些。 如果他们从同一起跑点同时出发沿相反 方向跑,那么每隔 25 秒钟相遇一次。现在,他们从同一起跑点同时出发 沿相同方向跑,经过 13 分钟男运动员追上了女运动员,追上时,女运动 员已经跑了多少圈?(圈数取整数) 四、简答题(共 5 分) 1.在 555555 的倍数中,有没有各位数字之和是奇数的?(3 分) 2.如果有,请举出一个例子;如果没有,请说明理由。(2 分)

五、作图题(共 9 分) 1.右图是一个直角梯形。请你画一条线段,把它分成两个形状相同面 积相等的四边形。 (请标明表示线段位置的数据及符号或写出画法)。 (4 分)

2.下面 5 个图形都具有两个特点:(1)由 4 个连在一起的同样大小 的正方形组成; (2) 每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边。 我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。

如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同 (比 如上面图中的 B 与 E),那么这两个俄罗斯方块只算一种。 除上面 4 种外, 还有好几种俄罗斯方块, 请你把这几种都画出来。 (5 分) 详解与说明 一、计算题

说明:本题由编辑部提供。据第 11 册课本复习题改编。 2.77×13+255×999+510

解法一:77×13+255×999+510 =1001+255×999+255×2 =1001+255×(999+2) =1001×(1+255) =256256 解法二:77×13+255×999+510 =1001+255×(1000-1)+510 =1000+1+255×1000-255+510 =1000×(1+255)+255+1 =256000+256 =256256 说明:本题由编辑部提供。据第 275 期第 1 版《接二连三的趣味》一 文 1001 的性质设计。

说明:编辑部供题。见第 289 期“奥林匹克学校·自己练”。 二、填空题 1.解法一:a=(9-0.2)+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+ (9-0.00002) =45-0.22222 =44.77778

解法二:a>8.8×5=44 a<9×5=45 44<a<45 答案:44。 说明:编辑部供题。据第 285 期、第 295 期“小读者园地”中的问题 改编。 2.解:1995=3×5×7×19,由乘法原理可知,1995 的约数有 (1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16(个) 答案:16 个。 说明:编辑部供题。据第 298 期“奥林匹克学校·教练员提示语”和 第 302 期“奥林匹克学校·自己练(4)”改编。 3.解:“学学”、“好好”一定都是 11 的倍数,从而它们的积一定 是 121(=11×11)的倍数。 1994÷121=16?58 58 即“数学”。 答案是 5。 说明:编辑部供题。见第 287 期“新年趣题·数学小狗”。 4.解:由 3 条直线上 3 个数和相等可知: 1+2+3+4+5+6+7+2×好=3a 从而,好=1 或 4、或 7。 但是由于圆圈上三个数之和也相等,所以,“28-好”一定可均分为 2 份(必是偶数)。因此,好=4。 答案是 4。 说明:刘后一供题。见第 324 期第 4 版《七色光芒(四)》。 5.解: 设 B、 C 关于 AD 的对称点分别为 B′, C′, 则 AB=AB′, DC=DC′, 长方形 BB′C′C 的面积是长方形 ABCD 面积的 2 倍。只要长方形 BB′C′

C 面积最大,长方形 ABCD 的面积就能最大。只有当 BB′=BC 时,长方形 BB′C′C 面积才最大,这时

AB=CD

1.2×20÷(1+1+2)=6(米) BC=6×2=12(米) 答案是 12。 说明:编辑部供题。据第 308 期“奥林匹克学校”例 3 改编。

由于小数点后第 100 位上的数字,即是“6”后面第 99 位上的数字, 所以,由“99÷6=16??3”可知,小数点后第 100 位上的数字,即是循 环节中左起第 3 个数字。 答案是 8。 说明:编辑部供题。据第 291 期“奥林匹克学校自己练(1)”改编。 7.解:由于小胡和小涂都没有看错乙数,所以,乙数是 1274 和 819 的公约数。 1274=2×7×7×13 819=3×3×7×13 1274 与 819 的公约数有 1,7,13,91 这四个。但是由“乙数是两位 数”,可排除 1 和 7;又由“小涂看错了的甲数也是两位数”,可排除 91 (不然的话, 小涂看错了的甲数只能是一位数 9) 。 因此, 乙数必定是 13。 根据乙数是 13,可知小胡看错了的甲数是

1274÷13=98(8 是看错的) 小涂看错了的甲数是 819÷13=63(6 是看错的) 因此,甲数是 93。 答案是 93。 说明:编辑部供题。据第 257 期“教你思考”《抓不变量》中例题改 编。 8.解: (1)这 4 个连续奇数必为 1,3,5,7,如果不是,只有 3,5, 7,9 可能,这样第一名得 9 分(三场全胜),第二名最多得 6 分(胜两 场),而不是 7 分。矛盾。所以,乙队得 7 分,而且一定是“2 胜 1 平”。 或者由每场双方得分之和最多 3 分,最少 2 分,所以,4 支队共比 6 场, 6 场的总分 A 满足。 12≤A≤18 但是当 4 个奇数为 3、5、7、9 时,A=24,不在上面的范围内,所以, 4 个奇数为 1、3、5、7。 (2)由于丁队有两场踢平(已得 2 分),另一场必胜(得 3 分)。 不然的话就是败,总分 2 分与“奇数”的条件矛盾。所以,丁队“2 平 1 胜”,得 5 分。 (3)由于丁队一场未败,所以,败给乙队的一定是甲队与丙队。 (4)丙队不可能排第三(得 3 分)。这是因为它与乙、丁两队比的 两场是“1 平 1 败”,得 1 分,而把甲队打胜打平都不可能得 2 分。 所以,丙队一定排在第四。 答案是“丙”。 说明:编辑部供题。据“奥林匹克学校第 24 讲例 4”及 94 世界杯足 球赛小组赛成绩设计。 9.解:如下图,把这个砖堆分成 9 垛:

容易算出,这 9 垛的第 1 层(最上层)的砖都被涂上了石灰,这些砖 共有 4×3×3=36(块) 从第二层开始,仅有 A、B、C、D、E 这 5 垛的砖被涂上石灰,而且每 层块数相同,都是 (1+4)×2+4=14(块) 这个砖堆中被涂上石灰的砖共有 36+14×5=106(块) 答案是 106。 说明:编辑部供题。据第 249 期“趣题巧解”设计。 10.解:根据题意,可假设该企业共有员工 100 人(也可假设为 1000 人,10000 人??),那么,这个企业有 90 人 是 股民 80 人 是 “万元户” 60 人 是 打工仔 也就是说,这个企业中 100-90=10(人)不是股民 100-80=20(人)不是“万元户” 因此,是“万元户”的 80 人中,最多有 10 人不是股民,从而他们当 中至少有 80-10=70(人) 是股民,他们占全体“万元户”的

70÷80×100%=87.5% 同样道理, 是打工仔的 60 人中, 最多有 20 人不是 “万元户” , 从而, 他们当中至少有 60-20=40(人) 是“万元户”。

说明:本题由李克正研究员提供。 11.解:为了方便,下面叙述中省去“上、下、左、右”4 个字前面 的“向”。

(1)小虫爬过 2 厘米,可有以下 6 种路线,分别是: 左,右;右,左; 上,下;下,上; 左,左,右,右。 (以上前 4 种路线均回到 o 点)。 (2)小虫爬过 3 厘米,可有 20 种路线,分别是: 上,左,下;上,右,下; 下,左,上;下,右,上; 上,下,左;上,下,右; 下,上,左;下,上,右。 (以上 8 种都是先“上”或先“下”。)

如果第一步为“左”或“右”,那么转化为第(1)题,各有 6 种路 线。一共是 8+6×2=20(种) 答案是:(1)6;(2)20。 说明:本题由单墫教授提供。 12.解:表格中自然数的排列规律是: n2 排在第 1 行第 n 列,靠近它,但比它小 a 的数排在第 n 列,第 a+1 行;靠近它但比它大 b 的数排在第 n+1 行第 b 列。 99=100-1=102-1 这里 n=10,a=1,所以,99 应排在第 2(=1+1)行,第 10 列。 答案是 2、10。 说明:编辑部供题,据第 290 期“奥林匹克学校·自己练”改编。 三、应用题 1.解法一:连接 BD。 由 FD=2EF 可知, S△BFD=S△BFE×2; 由 AF=2FB 可知, S△AFD=S△BFD×2=S△BFE×4 设 S△BFE=S, 那么 S△EBD=S+2S=3S S 平行四边形 BCDE=S△EBD×2=6S S△ABC=4S+2S+3S=9S

解法二:因为 AB×BC÷2=36 所以 AB×BC=72 又因为 AF=2FB

答:平行四边形 BCDE 的面积是 24 平方厘米。 说明:编辑部供题。根据第 305 期第 1 版“奥林匹克学校·教练员提 示语”设计。 2.解法一:设买进这批蚊香共用 x 元,那么希望获得的纯利润为 “0.4x-300”元,实际上比希望的少卖的钱数为 x×(1-90%)×(1+40%)×(1-70%)=0.042x(元) 根据题意,得 0.042x=(0.4x-300)×15% 方程两边都乘以 1000,得, 42x=(0.4x-300)×150 42x=60x-45000 18x=45000 x=2500 解法二:设买进这批蚊香共用 x 元,那么希望获纯利润“0.4x-300” 元,实际所得利润为(0.4x-300)×(1-15%)=0.34x-255。10%的蚊香 打七折, 就相当于全部蚊香打九七折卖, 这样一共卖得 “1.4x×0.97” 元, 根据题意

1.4x×0.97-x-300=0.34x-255 也就是 0.358x-300=0.34x-255 0.018x=45 x=2500 答:买进这批蚊香共用 2500 元。 说明:编辑部供题。根据第 328 期“奥林匹克学校·例 2”改编。 3.解法一(算术方法):先画示意图如下:

用“1 个大圆圈+1 个小圆圈”表示女生人数,从图中容易看出,男生 调走 2 人后,剩下的应是“4 个大圆圈+4 个小圆圈”,这就要拆开两个大 圆圈,使其中 4 个搭配到 4 个大圆圈上,2 人调走。也就是说,“2 个大 圆圈”代表 4+2=6(人) 1 个大圆圈代表 6÷2=3(人) 这个兴趣小组原有学生

解法二:设这个兴趣小组原有女生 x 人,根据题意,得 5x+2=7×(x-1)+1

解方程,得 x=4 5x+2=22(人) 答:这个兴趣小组原有学生 22 人。

说明:编辑部供题。据 321 期“趣题巧解”改编。 4.解:(1)从第 1 个坑到第 30 个坑,共有多长? (30-1)×3=87(米) (2)改为“每 5 米栽一棵树”,有多少坑仍然有用? 87÷15=5??12 5+1=6(个) (3)改为“每 5 米栽一棵树”,一共应挖多少个坑? 300÷5=60(个) (4)还要挖多少个? 60-6=54(个) 答:还要挖 54 个才能完成任务。 说明:编辑部供题。根据第 323 期“奥林匹克学校·例 3”改编。 5.解:(1)还缺多少钱? 3000-1764=1236(元) (2)从 11 月 2 日~12 月 9 日还有多少天? 30+9-12+1=28(天) (3)这 28 天中,(原来小组中)每人可挣多少元钱? 3×28=84(元) (4)增加的一人应挣多少元? 1236÷84=14(人)??60(元) (5)要挣 60 元,增加的那一人要打工多少天? 60÷3=20(天) 30+9-20+1=20 答:增加的这个人应该从 11 月 20 日起去打工。

说明:编辑部供题。据第 306 期“趣题巧解”改编。 6.解法一:根据题意,可知 (1)男女运动员的速度和是(每秒)

(2)男女运动员的速度差是(每秒)

(3)女运动员的速度为(每秒)

(4)女运动员已经跑了

解法二: 由于 25 秒内男女运动员一共跑完 1 圈,所以 13 分钟内他们 一共跑了 1×(13×60÷25)=31.2(圈) 又由题意可知,13 分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。这就得到 一个“和差问题”。由此容易求出女运动员已经跑了 (31.2-1)÷2=15.1(圈) ≈15(圈) 答:追上时女运动员已经跑了 15 圈。 说明:本题由李克正研究员提供。(见本报第 289 期“专家题卡”和 第 302 期“小读者园地”) 四、简答题

(1)答:有。 (2)例如 6111105(=555555×11) 又如 556110555(=555555×1001) 55556055555(=555555×100001) 17222205(=555555×31) 说明:本题由单墫教授提供。 五、作图题 1.下面是两种标注数字符号的方法,如下图:

(2)取斜腰中点作两个全等的小三角形

说明: 本题由张卫国编审提供。 解法二可见第 304 期 “奥林匹克学校” 例 2。 2.还有 3 种,如下图:

说明:本题由李克正研究员提供。


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