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点线面之间的关系3-两个平行

直线与平面平行的判定与性质
线面平行的定义: 若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行。 图形表示如下:

线面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 线线平行 符号语言: 线面平行

线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。线 面平行 线线平行

符号语言:

证明直线与平面平行的常用方法: (l)反证法,即 (2)判定定理法,即 (3)面面平行的性质定理,即 (4)向量法, 平面外的直线 行,即 例题 1.已知 a、b 为直线,α ,β,γ 为平面,有下列四个命题: ①a∥α ,b∥α ,则 a∥b ②α ⊥γ ,β⊥γ ,则α ∥β ③a∥α ,α ∥β,则α ∥β ④a∥b,b α ,则 a∥α 的方向向量 n 与平面 的法向量 n 垂直, 则直线 与平面 平

其中正确命题的个数是( 例题 2.以下四个命题:



①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直; ②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面; ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线; ④两个互相垂直的平面,一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线. 其中正确的命题是( A.①和② ) C.③和④ D.①和④ )

B.②和③

例题 3.若 a∥α ,b∥α ,则直线 a、b 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面 D.A、B、C 均有可能

例题 4.若 m,n 是互不相同的空间直线,α 是平面,则下列命题中正确是( A.若 m∥n,n α ,则 m∥α



B.若 m∥n,n∥α ,则 m∥α C.若 m∥n,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥α ,则 m⊥α 答案: 例题 1. 0 例题 2. D 例题 3. D 例题 4. C 例题 5.如图所示, △ABC 是正三角形, AE 和 CD 都垂直于平面 ABC, 且 AE=AB=2a, CD=a, F 是 BE 的中点. (1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:AF⊥BD.

证明:(1)取 AB 的中点 G,连接 FG,可得 FG∥AE,FG= 又 CD⊥平面 ABC,AE⊥平面 ABC, ∴CD∥AE,CD=

1 AE, 2

1 AE, 2

∴FG∥CD,FG=CD, ∵FG⊥平面 ABC, ∴四边形 CDFG 是矩形,DF∥CG, CG?平面 ABC,DF?平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC. (2)Rt△ABE 中,AE=2a,AB=2a, F 为 BE 中点,∴AF⊥BE, ∵△ABC 是正三角形,∴CG⊥AB, ∴DF⊥AB, 又 DF⊥FG, ∴DF⊥平面 ABE,DF⊥AF, ∴AF⊥平面 BDF,∴AF⊥BD 例题 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为 AC 的中点,AB=2. (I)求证:BD1∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:B1O⊥平面 ACM; (Ⅲ)求三棱锥 O-AB1M 的体积.

(I)证明: 连结 BD,设 BD 与 AC 的交点为 O, ∵AC,BD 为正方形的对角线,故 O 为 BD 中点; 连结 MO, ∵O,M 分别为 DB,DD1 的中点, ∴OM∥BD1 ∵OM?平面 ACM,BD1? 平面 ACM ∴BD1∥平面 ACM (II)∵AC⊥BD,DD1⊥平面 ABCD,且 AC?平面 ABCD, ∴AC⊥DD1;且 BD∩DD1=D,∴AC⊥平面 BDD1B1 OB1?平面 BDD1B1,∴B1O⊥AC

例题 7.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是 AB,PD 的 中点, 又∠PDA 为 45° (1)求证:AF∥平面 PEC (2)求证:平面 PEC⊥平面 PCD.

证明(1)取 PC 中点 G,连接 EG,FG, ∵F 为 PD 的中点,∴GF∥CD 且 GF=

1 CD 2 1 CD 2

∵ABCD 是矩形,又 E 为 AB 中点,∴AE∥CD 且 AE= ∴AE∥GF 且 AE=GF∴四边形 AEGF 为平行四边形 ∴AF∥GE,且 AF? 平面 PEC,GE?平面 PEC, ∴AF∥平面 PEC.

(2)∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD, ∵ABCD 为矩形,∴CD⊥AD,又∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD, ∵AF?平面 PAD,∴CD⊥AF, ∵∠PDA=45°∴F 为 Rt△PAD 斜边 PD 的中点,∴AF⊥PD, 又∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD, 由(1)知 AF∥EG.∴EG⊥平面 PCD, 又∵EG?平面 PEC,∴平面 PEC⊥平面 PCD.

例题 8*.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,AB=AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的 中点。

(I)证明:DE∥底面 ABC; (II)设二面角 A-BC-D 为 60°,求 BD 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值。

(Ⅰ)证明:设 BC 的中点为 F,连结 AF、EF,则 EF∥CC1,且 EF=

CC1,

又 AD∥CC1,且 AD= ∴EF∥AD,且 EF=AD,

CC1,

∴四边形 ADEF 是平行四边形, ∴DE∥AF, 又∵DE 平面 ABC,AF 平面 ABC,

∴DE∥底面 ABC。 (Ⅱ)解:连结 DF, ∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC, 又∵AA1⊥底面 ABC, ∴AA1⊥BC, 又∵AA1∩AF=A, ∴BC⊥平面 ADF,∴BC⊥DF, ∴∠AFD 就是 A-BC-D 的平面角,即∠AFD=60°, ∵BB1⊥底面 ABC, ∴BB1⊥AF, 又∵AF⊥BC,BC∩BB1= B,

∴AF⊥平面 BCE, ∵DE∥AF, ∴DE⊥平面 BCE, ∴∠DBE 就是 BD 与平面 BCC1B1 所成的角, 设 AF=a,则 DE=a,AD= ,AB= ,∴BD= ,

∴sin∠DBE=

=



平面与平面平行的判定与性质
面面平行的定义: 如果两个平面无公共点,则称这两个平面平行。 图形表示:

面面平行的判定定理: (1)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行; (线面 平行 面面平行),

(2)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线,那么这两个平面 平行。(线线平行 面面平行),

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 (4)平行于同一个平面的两个平面平行 符号语言:

(1) 面面平行的性质定理

;(3)

;(4)

(1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行 线平行) (2)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行 面平行)

线

线

(3) 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线, 那么另一个平面也垂直于这条直线。 符号语言:

(1)

;(2)

;(3)

线线平行、线面平行、面面平行间的关系

由于三者之间相互沟通、相互联系,因此立体几何问题的解决往往一题多解(证)。 证明面面平行的常用方法: (1)反证法,即 (2)判定定理或推论,即 (3)“垂直于同一直线的两个平面平行”这一性质,即 (4)向量法,两个平面的法向量平行,则这两个平面平行。 例题 1.已知 a、b 是直线,α 、β、γ 是平面,给出下列命题: ①若α ∥β,a?α ,则 a∥β; ②若 a、b 与α 所成角相等,则 a∥b; ③若α ⊥β、β⊥γ ,则α ∥γ ; ④若 a⊥α ,a⊥β,则α ∥β. 其中正确的命题的序号是______.

解析:①若 α ∥β,a?α ,则 a∥β;这是显然正确的. ②若 a、b 与α 所成角相等,则 a∥b;如果 a、b 是圆锥的母线,显然不正确. ③若α ⊥β、β⊥γ ,则α ∥γ ;如教室的墙角的三个平面关系,不正确. ④若 a⊥α ,a⊥β,则α ∥β;这是显然正确的. 故答案为:①④ 例题 2.下列四个命题: ①平行于同一直线的两个平面平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③平行于两条相交直线的两个平面平行; ④与无数条直线都平行的两个平面平行.则其中正确命题的序号是 ______ 解析:①平行于同一直线的两个平面平行,不正确,如两相交平面,使直线与交线平行; ②平行于同一平面的两个平面平行,根据面面平行的性质可知正确; ③平行于两条相交直线的两个平面平行,根据面面平行的判定定理可知正确; ④与无数条直线都平行的两个平面平行,不正确,如无数直线是平行线就不正确了; 故答案为:②③ 例题 3.Rt△ABC 在平面α 内的射影是△A1B1C1, 设直角边 AB∥α , 则△A1B1C1 的形状是______ 三角形. ∵直角边 AB∥α , ∴过 AB 的平面与α 相交于一条直线,AB 与这条直线平行, ∵AB 是一条直角边,与另一条直角边垂直, ∴α 内的交线也与 AB 垂直,也与 AB 在平面上的射影垂直, ∴△A1B1C 的形状仍是 Rt△. 故答案为直角。 例题 4.α 、β 是两个不重合的平面,a、b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 α ∥β的 是( )

A.α 、β都平行于直线 a、b B.α 内有三个不共线点到β的距离相等 C.b 是α 内两条直线,且 a∥β,b∥β

D.a,b 是两条异面直线且 a∥α ,b∥α ,a∥β,b∥β 例题 5.如图,在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2,AB 丄 AD,AD 丄平面 ABD.M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2 (I)求证:平面 BCE 丄平面 CDE; (II)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC.

(I)∵AB=AD=2,AB 丄 AD,M 为线段 BD 的中点, ∴AM=

1 BD ? 2 ,AM⊥BD. 2 1 BD ? 2 ,∴BC⊥CD, 2

∵AE=MC= 2 ,∴AE=MC=

∵AE 丄平面 ABD,MC∥AE, ∴MC⊥平面 ABD,∴平面 CBD⊥平面 ABD,∴AM⊥平面 CDB. 又 MC∥AE,AE=MC= 2 ,∴四边形 AMCE 是平行四边形, ∴EC∥AM,∴EC⊥平面 CDB.∴BC⊥EC,∵EC∩CD=C 又∵BC⊥平面 CDE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. (II)∵BD 中点 M,ED 的中点 N,∴MN∥BE, 又∵MN?平面 BCE,BE?平面 BCE, ∴MN∥平面 BEC 由(I)知 EC∥AM,又∵AM?平面 BCE,EC?平面 BCE, ∴AM∥平面 BEC,且 AM∩MN=M. ∴平面 AMN∥平面 BEC. 例题 6.如图,在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,E,F 分别是 AB′,BC′的中点. (1)若 M 为 BB′的中点,证明:平面 EMF∥平面 ABCD. (2)求异面直线 EF 与 AD′所成的角.

解:(1)∵△ABB'中,E、M 分别是 AB'、BB'的中点, ∴EM∥AB ∵EM 平面 ABCD 且 AB?平面 ABCD ∴EM∥平面 ABCD, 同理可得 FM∥平面 ABCD, ∵EM、FM 是平面 EMF 内的相交直线 ∴平面 EMF∥平面 ABCD. (2)连接 AC、CD'、B'C ∵△B'AC 中,EF 是中位线 ∴EF∥AC, 可得∠D'AC 或其补角即为 EF 与 AD'所成的角 ∵正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中,AD'、AC、CD'都是面上的对角线 ∴设正方体棱长为 a,则 AD'=AC=CD'= a

所以等边三角形 ACD'中,∠D'AC=60° ∴异面直线 EF 与 AD′所成的角 60°

例题 7.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1.求证:平面 AB1D1∥平面 BDC1.

证明:在正方体中,连结 AD1,AB1,B1D1,BC1,DC1,BD, 则根据正方体的性质可知 BD∥B1D1,BC1∥AD1, 所以 B1D1∥平面 BDC1. 同理可证 AD1∥平面 BDC1. 又因为 AD1∩D1B1=D1, 所以 AB1D1∥平面 BDC1. 例题 8.如图,A,B,C 为不在同一条直线上的三点,AA′∥BB′∥CC′,且 AA′=BB′=CC′, 求证:平面 ABC∥平面 A′B′C′.

证明:∵AA′=BB′,AA′∥BB′, ∴A′B′AB 是平行四边形,∴A′B′∥AB, 同理 B′C′∥BC ∵A′B′∥AB,AB?面 ABC∴A′B′∥面 ABC, 同理 B′C′∥面 ABC, ∵A′B′∩B′C′=B′,∴面 ABC∥面 A′B′C′.


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