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《等差数列》教案


《等差数列》教学设计

1、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平,确定了本次课的教学目标: 知识目标:理解并掌握等差数列的概念; 了解等差数列的通项公式的推导过 程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 能力目标:培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关 系的前提下,把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能 力;通过阶梯性练习,提高学生分析问题和解决问题的能力。 情感目标:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精 神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 2、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导 等差数列的通项公式是这节课的一个难点。同时,学生对“数学建模”的思想方 法较为陌生,因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 3、教法 针对高中生这一思维特点和心理特征,本节课我采用启发式、讨论式以及讲 练结合的教学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动, 以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题。 4、学法指导 在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探索,同时鼓励学生 大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。 5、教学程序 (一) 创设情景,引入新课 (借助多媒体)给出一张王小丫的图片(学生情绪高涨),大家都知道王小 丫是 cctv-2“开心词典”的栏目主持人,下面王小丫给大家出题啦!
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观察下列各数列,并填空,然后总结它们有什么共同的特点?具有什么性 质?你能给它们起个名字吗? ①1,2,3,4,5,6,7,8, ,… ②3,6,9,12,15, ,21,24,… ,-15,…

③-1,-3,-5,-7,-9,-11, ④2,2,2,2,2,2, ,2,2,…

设计思路:1.通过几个具体的等差数列,为学习新知识创设问题情境,激发 学生的求知欲。2.由学生观察数列特点,初步认识等差数列的特征,为后面引出 等差数列的概念学习建立基础。3.学生已具备一定的观察能力和抽象概括能力, 完全有条件、有可能发现它们的共同特点和性质。4.对问题的总结可以培养学生 由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。5.按照“观察--猜想--证明”的思维模式 设计问题,符合学生的认知规律,更培养学生完整地认识数学体系。 (二) 启发诱导、探求新知 1、由学生的总结自然的给出等差数列的概念: 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数,这 个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 来表示。 思考并交流对概念的理解,并总结: ①“从第二项起”满足条件; ②公差 d 一定是由后项减前项所得; ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数”); 在理解概念的基础上, 由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言,归纳 出数学表达式: (n≥1) 同时为了配合概念的理解,我找了 5 组数列,由学生判断是否为等差数列, 是等差数列的找出公差。 1) 9 ,8,7,6,5,4,??;√ d=-1 2) 0.70,0.71,0.72,0.73,0.74??;√ d=0.01 3) 0,0,0,0,0,0,??.; √ d=0 4) 1,2,3,2,3,4,??;× 5) 1,0,1,0,1,??×
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其中第一个数列公差 d<0, 第二个数列公差 d>0,第三个数列公差 d=0 由此强调:公差可以是正数、负数,也可以是 0 2、第二个重点部分为等差数列的通项公式 (1)若一等差数列{an}的首项是,公差是 d,则据其定义可得: a2-a1=d 即:a2=a1+d a3-a2=d 即:a3=a2+d …… 猜想: a40= a1+39d 进而归纳出等差数列的通项公式: an=a1+(n-1)d 设计思路:在归纳等差数列通项公式中,我采用讨论式的教学方法。给出 等差数列的首项,公差 d,由学生研究分组讨论的通项公式。通过总结的通项公 式由学生猜想的通项公式,进而归纳 的通项公式。整个过程由学生完成,通过 互相讨论的方式既培养了学生的协作意识,又化解了教学难点。 (2)此时指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的 方法不够严密, 为了培养学生严谨的学习态度,在这里向学生介绍另外一种求数 列通项公式的办法——迭加法: a2-a1=d a3=a2+d …… an-an-1=d 将这 n-1 个等式左右两边分别相加,就可以得到 an–a1= (n-1) d 即 an=a1+(n-1) d ,当 n=1 时,此式也成立,所以对一切 n∈N﹡,上面的公式都成 立,因此它就是等差数列{an }的通项公式。 在迭加法的证明过程中,我采用启发式教学方法。利用等差数列概念启发 学生写出 n-1 个等式。将 n-1 个等式相加,证出通项公式。在这里通过该知识点 引入迭加法这一数学思想,逐步达到“注重方法,凸现思想”的教学要求。 (三)巩固新知应用例解 例 1 (1)求等差数列 8,5,2,…的第 20 项;第 30 项;第 40 项 (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?
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例2

在等差数列{an}中,已知 a5=10, a20=31,求首项与公差 d。

这一环节是使学生通过例题和练习, 增强对通项公式含义的理解以及对通项 公式的运用,提高解决实际问题的能力。通过例 1 和例 2 向学生表明:要用运 动变化的观点看等差数列通项公式中的 a1、d、n、an 这 4 个量之间的关系。当 其中的三个量已知时,可根据该公式求出第四个量。 例 3 梯子的最高一级宽 33cm,最低一级宽 110cm,中间还有 10 级,各 级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 设置此题的目的:1.加强同学们对应用题的综合分析能力,2.通过数学实际 问题引出等差数列问题,激发了学生的兴趣;3.再者通过数学实例展示了“从实 际问题出发经抽象概括建立数学模型,最后还原说明实际问题的“数学建模”的数 学思想方法。 (四)反馈练习 1、课后的练习中的第 1 题和第 2 题(要求学生在规定时间内完成)。 目的:使学生熟悉通项公式,对学生进行基本技能训练。 2、课后习题第 3 题和第 4 题。 目的:对学生加强建模思想训练。 (五)归纳小结、深化目标 1.等差数列的概念及数学表达式 an-an-1=d (n≥1)。

强调关键字:从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。 2.等差数列的通项公式会知三求一。 3.用“数学建模”思想方法解决实际问题。 (六)布置作业 必做题:课本习题第 2,6 题 选做题:已知等差数列{an}的首项= -24,从第 10 项开始为正数,求公差 d 的取值范围。 (目的:通过分层作业,提高同学们的求知欲和满足不同层次的学 生需求)

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