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2017高三一轮复习数系的扩充与复数的引入


数系的扩充与复数的引入

1.复数的概念 (1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件. 2.复数的运算 (1)了解复数的代数表示法及其几何意义. (2)能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.

知识点一 复数的概念及几何意义 1.复数的概念 形如 a+bi(a, b∈R)的数叫复数, 其中 a, b 分别是它的实部和虚部. 若 b=0, 则 a+bi 为实数; 若 b≠0, 则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi 为纯虚数. 2.复数相等 a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 3.共轭复数 a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b+d=0(a,b,c,d∈R). 4.复数的模 向量 O Z 的长度叫作复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2. 5.几何意义



?易误提醒 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 3.z2<0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2=-9<0. [自测练习] z 1.设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i·z =( i A.-2B.-2iC.2D.2i a+3i 2.已知复数 是纯虚数,则实数 a=( 1-2i A.-2B.4C.-6D.6 ) )

3.在复平面内,复数 i(2-i)对应的点位于(

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点二 复数的代数运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. (3)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i = (c+di≠0). c2+d2 2.复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 必记结论 掌握复数代数运算中常用的几个结论: 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. (1)(1± i)2=± 2i; 1+i 1-i =i; =-i. 1-i 1+i

(2)-b+ai=i(a+bi). (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0,n∈N+.
+ + + + + +

[自测练习] 2+i 4.已知 i 是虚数单位,则 =( 3-i 1 1 A. - i 2 2 1 1 C. + i 2 2 ) 7 1 B. - i 2 2 7 1 D. + i 2 2 )

2 5.设复数 z=1+i(i 是虚数单位),则 +z2=( z A.-1-i C.1-i B.-1+i D.1+i

考点一 复数的有关概念|

5 1.若 a+bi= (i 是虚数单位,a,b∈R),则 ab=( 1+2i A.-2B.-1C.1D.2

)

2.(2015· 高考湖北卷)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为( A.i C.1 B.-i D.-1

)

3.(2015· 高考天津卷)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为________.

解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化 为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. 考点二 复数的几何意义|

i 1.(2015· 山西四校联考)复数 z= (i 为虚数单位),z 在复平面内所对应的点在( ?-2-i?2 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

→ → 2.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B,C,若OC=λOA → +μOB,(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是________.

判断复数在平面内的点的位置的方法 首先将复数化成 a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部 a 和虚部 b 的符号来确定点所在的象限. 考点三 复数的代数运算|

1.(2015· 高考全国卷Ⅰ)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( A.-2-i C.2-i B.-2+i D.2+i

)

?1-i?2 2.(2015· 高考湖南卷)已知 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( z A.1+i C.-1+i B.1-i D.-1-i

)

3.设复数 z1 和 z2 在复平面内的对应点关于坐标原点对称,且 z1=3-2i,则 z1· z2=( A.-5+12i C.-13+12i B.-5-12i D.-13-12i

)

复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把 i 的幂写成最简形式. (3)利用复数相等求参数.a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R).

15.方程思想在复数问题中的应用 【典例】 已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y. [方法点评] (1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把 x,y 用复数的形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解. [跟踪练习] (2015· 高考福建卷)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则 a,b 的值分别等 于( ) A.3,-2 C.3,-3 B.3,2 D.-1,4

A 组 考点能力演练 1.(2016· 洛阳模拟)设 i 是虚数单位,若复数(2+ai)i 的实部与虚部互为相反数,则实数 a 的值为( A.1 C.3 B.2 D.4 ) )

1+2i 2.复数 的共轭复数是 a+bi(a,b∈R),i 是虚数单位,则点(a,b)为( i A.(1,2) C.(2,1) B.(2,-1) D.(1,-2)

3.设 x∈R,i 是虚数单位,则“x=-3”是“复数 z=(x2+2x-3)+(x-1)i 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 -2+3i 4.在复平面内,复数 (i 是虚数单位)所对应的点位于( 3-4i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

)

5.复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范 围是( ) 9 ? B.? ?-16,1? 9 ? D.? ?16,7?

A.[-1,1] 9 ? C.? ?-16,7?

6.(2015· 高考江苏卷)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为________. 7.(2015· 高考重庆卷)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=________. m+i 1 8.已知 m∈R,复数 - 的实部和虚部相等,则 m=________. 1+i 2 ?-1+i??2+i? ?1+2i?2+3?1-i? 9.计算:(1) ;(2) ; 3 i 2+i

1-i 1+i 1- 3i (3) . 2+ 2;(4) ?1+i? ?1-i? ? 3+i?2

10.复数 z1=

3 2 +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a

B 组 高考题型专练 7+i 1.(2014· 高考天津卷)i 是虚数单位,复数 =( 3+4i A.1-i 17 31 C. + i 25 25 B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7 ) )

2.(2014· 高考江西卷) z 是 z 的共轭复数.若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则 z=( A.1+i C.-1+i B.-1-i D.1-i

3.(2015· 高考山东卷)若复数 z 满足 A.1-i C.-1-i

=i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i B.1+i D.-1+i )

z

)

4.(2015· 高考全国卷Ⅱ)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( A.-1 C.1 B.0 D.2

2i 5.(2015· 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( 1- i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

)

1+z 6.(2015· 高考全国卷Ⅰ)设复数 z 满足 =i,则|z|=( 1-z A.1 C. 3 B. 2 D.2

2 7.(2015· 高考四川卷)设 i 是虚数单位,则复数 i3- =( i A.-i C.i B.-3i D.3i

)

8.(2015· 高考重庆卷)复数(1+2i)i 的实部为________.

z 1.解析:因为 z=1+i,所以 +i·z =-i+1+i+1=2. i 答案:C a+3i a-6+?2a+3?i a+3i 2.解析: = ,∴a=6 时,复数 为纯虚数. 5 1-2i 1-2i 答案:D 3.解析:∵z=i(2-i)=2i-i2=1+2i, ∴复数 z 在复平面内的对应点为(1,2),在第一象限. 答案:A 2+i ?2+i??3+i? 5+5i 1 1 4 解析: = = = + i. 10 2 2 3-i ?3-i??3+i? 答案:C 2?1-i? 2 2 5.解析: +z2= +(1+i)2= +1+2i+i2=1-i+2i=1+i. z 1+i ?1+i??1-i? 答案:D 5 1.解析:a+bi= =1-2i,所以 a=1,b=-2,ab=-2. 1+2i 答案:A 2.解析:i607=i4 答案:A 3.解析:由题意知,复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i 是纯虚数,则实部 a+2=0,虚部 1-2a≠0,解 得 a=-2. 答案:-2 i?3-4i? 4 4 3? i i i 3 1.解析:因为 z= = = = + i,所以 z 在复平面内所对应的点? 2= ?25,25? 25 25 25 ?-2-i? 4+4i-1 3+4i 在第一象限,故选 A. 答案:A → → → 2.解析:由条件得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1), → → → 根据OC=λOA+μOB得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
?-λ+μ=3, ?λ=-1, ? ? ∴? 解得? ∴λ+μ=1. ? ? ?2λ-μ=-4, ?μ=2.
×151

· i3=-i,又-i 的共轭复数为 i,选 A.

答案:1 1+i 1.解析:因为(z-1)i=1+i,所以 z= +1=2-i,选 C. i 答案:C ?1-i?2 -2i 2.解析:由题意得 z= = =-i(1-i)=-1-i,故选 D. 1+i 1+i

答案:D 3.解析:∵z1=3-2i,∴z2=-3+2i,z1· z2=(3-2i)(-3+2i)=-5+12i,故选 A. 答案:A 【典例】[思路点拨] (1)x,y 为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来.(2)利用复数相等,将复数问 题转化为实数问题. [解] 设 x=a+bi(a,b∈R), 则 y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2, 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
2 ? ?4a =4, 根据复数相等得? 2 2 ?-3?a +b ?=-6, ?

?a=1, ?a=1, ?a=-1, ?a=-1, ? ? ? ? 解得? 或? 或? 或? ?b=1 ? ?b=1 ? ? ?b=-1 ? ?b=-1. ? ? ? ? ?x=1+i, ?x=1-i, ?x=-1+i, ?x=-1-i, 故所求复数为? 或? 或? 或? ? ? ? ? ?y=1-i ?y=1+i ?y=-1-i ?y=-1+i.

[跟踪练习] 解析:因为(1+i)+(2-3i)=a+bi,所以 3-2i=a+bi,所以 a=3,b=-2,故选 A. 答案:A 1.解析:因为(2+ai)i=-a+2i,又其实部与虚部互为相反数,所以-a+2=0,即 a=2,故选 B. 答案:B 1+2i 2.解析: =2-i,其共轭复数为 2+i,即 a+bi=2+i,所以 a=2,b=1.故选 C. i 答案:C 3.解析:复数 z=(x2+2x-3)+(x-1)i 为纯虚数,则 x2+2x-3=0 且 x-1≠0,解得 x=-3,故 x=-3 ?复数 z 为纯虚数,选 C. 答案:C -2+3i ?-2+3i??3+4i? -18+i 18 1 18 1 18 1 - , ?,在第 4.解析:∵ = = =- + i,∴- + i 对应的点为? 25 25? ? 25 25 25 25 25 3-4i ?3-4i??3+4i? 二象限,故选 B. 答案:B
? ?m=2cosθ, 5.解析:由复数相等的充要条件可得? 化简得 4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得 λ=- 2 ?4-m =λ+3sinθ, ?

4cos2θ - 3sinθ + 4 =- 4(1 - sin2θ) - 3sinθ + 4 = 4sin2θ - 3sinθ ,因为 sinθ ∈ [ - 1,1] ,所以 4sin2θ - 3sinθ ∈

?- 9 ,7?. ? 16 ?
答案:C
?a2-b2=3, ? 6.解析:设复数 z=a+bi,a,b∈R,则 z =a -b +2abi=3+4i,a,b∈R,则? a,b∈R, ? ?2ab=4,
2 2 2

?a=2 ?a=-2 ? ? 解得? 或? ,则 z=± (2+i),故|z|= 5. ?b=1 ? ? ?b=-1

答案: 5 7.解:设 z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=z z =|z|2=3. 答案:3 m+i 1 ?m+i??1-i? 1 ?m+1?+?1-m?i 1 m+?1-m?i 1 8.解析: - = - = - = ,由已知得 m=1-m,则 m= . 2 2 2 2 1+i 2 ?1+i??1-i? 2 1 答案: 2 ?-1+i??2+i? -3+i 9.解:(1) = =-1-3i. i3 -i ?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i i?2-i? 1 2 i (2) = = = = + i. 5 5 5 2+i 2+i 2+i 1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) = + = + =-1. 2+ 2 ?1+i? ?1-i?2 2i -2i -2 1- 3i ? 3+i??-i? (4) = ? 3+i?2 ? 3+i?2 = -i ?-i?? 3-i? = 4 3+i

1 3 =- - i. 4 4 3 2 10.解: z 1+z2= +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+ 5 1-a 3 2 =?a+5+1-a?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ? = a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. ∵a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3. 7+i ?7+i??3-4i? 25-25i 1.解析: = = =1-i.选 A. 25 3+4i ?3+4i??3-4i? 答案:A 2.解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,又 z+ z =2,即(a+bi)+(a-bi)=2,所以 2a=2,解得 a=1.又(z- z )i=2,即[(a+bi)-(a-bi)]· i=2,所以 bi2=1,解得 b=-1.所以 z=1-i. 答案:D 3.解析:由已知 z =i(1-i)=i-i2=i+1,所以 z=1-i.故选 A.

答案:A
?4a=0, ? 4.解析:由于(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以? 2 解得 a=0.故选 B. ?a -4=-4, ?

答案:B 2i?1+i? 2i 5.解析: = =-1+i,其在复平面内所对应的点位于第二象限. 1-i ?1-i??1+i? 答案:B i-1 ?i-1?2 6.解析:由题意知 1+z=i-zi,所以 z= = =i,所以|z|=1. i+1 ?i+1??i-1? 答案:A 2 2i 7.解析:i3- =-i- 2 =-i+2i=i,选 C. i i 答案:C 8.解析:因为(1+2i)i=-2+i,所以实部为-2. 答案:-2


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