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苏教版高中数学(必修5)1.2《余弦定理》word教案

1.2 余弦定理(2) 【教学思路】 : 一、创设情景,揭示课题 1.正弦定理的内容? 2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题? 二、研探新知 1.余弦定理的向量证明: AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 b. 方法 1: 如图, 在 ?ABC 中, ∵ AC ? AB ? BC , a、 ∴ AC ? AC ? ( AB ? BC ) ? ( AB ? BC ) ? AB ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 2 ? 2 AB ? BC ? BC ?? ? ?? ? ? ?? 2 C ? AB 即 ? ?? 2 ? 2 | AB | ? | BC | cos(1800 ? B) + BC b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ; 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 , A b c a B 同理可证: a ? b ? c ? 2bc cos A , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . 方法 2:建立直角坐标系,则 A(0,0), B(c cos A, c sin A), C (b,0) .所以 a2 ? (c cos A ? b)2 ? (c sin A)2 ? c2 cos2 A ? c2 sin 2 A ? 2bc cos A ? b2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,同理可证 b ? c ? a ? 2ac cos B , c ? a ? b ? 2ab cosC 2 2 2 2 2 2 注意:此 法的优点在于不必对 A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论. 于是得 到以下定理 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ? 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能 否由三边求出一角? 语言叙述: 三角形任何一 边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。 用符号语言表示: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,?等; 2. 理解定理 注意: (1)熟悉定理的结构,注意“平方” “夹角” “余弦”等 (2)余弦定理的应用:①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边 和其他两个角 (3)当夹角为 90?时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例) 王新敞 奎屯 新疆 (4)变形: cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc cos B ? a2 ? c2 ? b2 2ac cosC ? a2 ? b2 ? c2 2ac 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余 弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ?ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 ,由此可知余弦定 理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 三、质疑答辩, 排难解惑,发展思维 例 1 (教材 P (1)已知 b ? 3, c ? 1, A ? 600 ,求 a ; (2)已知 14 例 1)在 ?ABC 中, a ? 4, b ? 5, c ? 6 ,求 A 7, 8 的三角形中,求最大角与最小角的和 例 2 边长为 5, ? ABC 例3 在 中,最大角 A 为最小角 C 的 2 倍,且三边 a 、 b 、 c 为三个连续整数, 求 a 、 b 、 c 的值 例 4 在 ?ABC 中, a 、b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,又 2 cos(A ? B) ? 1,求: (1)角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3) ?ABC 的面积 四、巩固深化,反馈矫正 1.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,那么这个三角形的最大角是_____ 2. 在 ?ABC 中, (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 A ? ______ 2 a2 ? b2 ? c2 3. 在 ?ABC 中, S ? ,则角 C 的度数是______ 4 4. 在 ?ABC 中,已知 a ? 7, b ? 8, cos C ? 13 ,则最大角的余弦值是______ 14 2 2 2 5.已知锐角三角形的边长分别是 1 、 3 、 a ,则 a 的取值范围是_______ 6. 用 余 弦 定 理 证 明 : 在 ?ABC 中 , 当 C 为 锐 角 时 , a ? b ? c ; 当 C 为 钝 角 时 , a 2 ? b2 ? c 2 . 五、归纳整理,整体认识 1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2.余弦定理的应用范围:①已知三边求三角;②已知两边及它们的夹角,求第三边。 六、承上启下,留下悬念 1.书面作业 七、板书设计(略) 八、课后记: .?? 板书设计 1.余弦定理 余弦定理 2.证明方法:? (1)平面几何法;? (2)向量法 3.余弦定理所能解决的两类问题: (1)已知三边求任意角; (2)已知两边、一角解三角形 4. 学生练习 ?

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