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陕西北师版数学文复习方略课件:第七章 第二节空间图形的基本关系与公理_图文

第二节 空间图形的基本关系与公理

1.空间中点与直线、点与平面的位置关系 (1)空间点与直线的位置关系有两种:_点__在__直__线__上__和_点__在__直__线__ _外__. (2)空间点与平面的位置关系有两种:_点__在__平__面__内__和_点__在__平__面__ _外__.

2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系

直线与直线 直线与平面 平面与平面

图形 平 语言 行 符号 关 语言 系 交点
个数

_a_∥__b_ _0_个

_a_∥__α__ _0_个

_α__∥__β__ _0_个

直线与直线 直线与平面 平面与平面

图形 相 语言 交 关 符号 系 语言
交点 个数

a∩b=A _1_个

a∩α =A _1_个

α ∩β =l _无__数__个

直线与直线 直线与平面 平面与平面

图形 独 语言 有 关 符号 系 语言
交点 个数

a,b是异 面直线
0个

a?α 无数个

3.空间图形的公理及等角定理

文字语言 如果一条直线上的_两_ 公 _点__在一个平面内,那 理 么这条直线上_所__有__的_ 1 _点__都在这个平面内 (即直线_在__平__面__内__)

公 理 2

经过不在同一条直线 上的三点,_有__且__只__有__ 一个平面(即可以确 定一个平面)

图形语言

符号语言
若A∈l,B∈l, A∈α ,B∈α , 则_l?__α__
若A,B,C三点不共 线,则_有__且__只__有__一 个平面α 使A∈α , B∈α ,C∈α

文字语言

如果两个不重合的 公 平面_有__一__个__公__共_点__, 理 那么它们有__且__只__有__ 3 一条通过这个点的
公共直线

公 理 4

平行于同一条直线 的两条直线_平__行__

等 空间中,如果两个 角 角的两条边分别对 定 应平行,那么这两 理 个角相等或互补

图形语言

符号语言
若A∈α ,A∈β , 则_α__∩__β__=_l_且___ _A_∈__l _
若 则a_a∥_∥_b_c,_b∥c,
若AO∥A′O′, BC∥__B_′__O_′_,则 ∠AOB=∠A′O′B′, ∠AOC和∠A′O′B′ 互补

4.异面直线所成的角
(1)定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 l1,l2,这两条相交直线所成的_锐__角__(_或__直__角__)_就是异面直线a,b 所成的角. 如果两条异面直线所成的角是_直__角__,则称这两条直线互相垂直. (2)范围:__(0_,_?2_]_.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果两个不重合的平面α ,β 有一条公共直线a,就说平面 α ,β 相交,并记作α ∩β =a.( ) (2)两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于过A点的任 意一条直线.( )

(3)两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于A点,并记 作α ∩β =A.( ) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ) (5)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )

【解析】根据平面的性质公理3可知(1)对;对于(2),其错误在 于“任意”二字上;对于(3),错误在于α∩β=A上;对于(4),应 为平面ABC和平面DBC相交于直线BC;命题(5)中没有说清三个点 是否共线,∴(5)不正确. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×

1.有以下命题: ①若平面α 与平面β 相交,则它们只有有限个公共点;②经过一 条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相 交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确 定一个平面. 其中,真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【解析】选B.若平面α与平面β相交,则它们有无数个公共点, 结合公理可知②③④均正确.

2.若三条不同的直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( )

(A)一定是异面直线

(B)一定是相交直线

(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线

【解析】选C.∵a∥b,a,c异面,

∴b与c相交或异面.

3.下列命题: ①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行; ②两条直线不异面,则这两条直线相交; ③分别在两个平面内的直线是异面直线; ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线 和这个平面平行. 其中正确命题的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

【解析】选A.两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平 行、相交或异面,故①错误;两条直线不异面,则相交或平行,故 ②错误;不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线,故③错 误;一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线 和这个平面平行、相交或直线在平面内,故④错误.

4.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) (A)l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 (B)l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 (C)l1∥l2,l2∥l3?l1,l2,l3共面 (D)l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

【解析】选B.对于A:空间中垂直于同一条直线的两条直线不一 定平行,如图,
l1,l3可以相交或异面,故命题错误.对于B:由异面直线所成的角 可知,∵l2∥l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等,故l1⊥l3, 故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直线不一定共面,如 三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共点的三 条直线不一定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱所在直线不共 面.

5.下列命题中不正确的是

(填序号).

①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线

都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平

行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线

都相交,则它们可以确定两个平面.

【解析】没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题②错, 此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线a和b异 面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下:若c∥b,又 c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能平行;命题④也 正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理3可知,a,c可确定一 个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面. 答案:①②

考向 1 平面的基本性质及其应用

【典例1】(1)给出以下命题:

①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;

③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

正确命题的个数是( )

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

(2)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角

梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=
1 AF,G,H分别为FA,FD的中点.
2
①证明:四边形BCHG是平行四边形.

1 AD,BE∥AF且BE=
2

②C,D,F,E四点是否共面?为什么?

【思路点拨】(1)根据相应的公理及推论进行判断. (2)①证明BC,GH平行且相等即可;②证明EF∥CH,由此构成平面, 再证点D在该平面上.

【规范解答】(1)选B.①假设其中有三点共线,则该直线和直线 外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三 点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点 A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确.对于③,b与c可能异面, ③不正确.④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在 一个平面上,如空间四边形.

(2)①由题设知,FG=GA,FH=HD,
所以GH∥AD且GH= 1 AD.
2
又BC∥AD且BC= 1 AD,
2
故GH∥BC且GH=BC,
所以四边形BCHG是平行四边形.

②C,D,F,E四点共面.理由如下: 由BE∥AF且BE= 1 AF,G是FA的中点知,
2
BE∥GF且BE=GF, 所以四边形EFGB是平行四边形, 所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.

【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“FE,AB,DC交
于一点”?
【证明】由例题可知,四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边
形,故可得四边形ECHF为平行四边形, ∴EC∥HF,且EC= 1 DF,∴四边形ECDF为梯形,
2
∴FE,DC交于一点,设FE∩DC=M.
∵M∈FE,FE 平面BAFE,∴M∈平面BAFE.
同理M∈平面BADC.又平面BAFE∩平面BADC=BA,
∴M∈BA,∴FE,AB,DC交于一点.

【拓展提升】 1.证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共 点,于是可得这三点都在交线上,即三点共线. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线 上,从而得三点共线. 2.证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化 归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两 个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.

【变式备选】如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是AB的中点,F 是A1A的中点,求证: (1)E,C,D1,F四点共面. (2)CE,D1F,DA三线共点.

【证明】(1)如图,连接A1B,CD1.因为E是AB的中点,F是A1A的中 点,则EF∥A1B. 又在正方体ABCD -A1B1C1D1中,A1B∥D1C, 所以EF∥D1C, 故E,C,D1,F四点共面.

(2)由(1)知,EF∥D1C且EF=

1 2

D1C,

故四边形ECD1F是梯形,两腰CE,D1F相交,设其交点为P,则P∈CE.

又CE?平面ABCD, 所以P∈平面ABCD.

同理,P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, 所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三线共点.

考向 2 空间中两直线的位置关系 【典例2】(1)(2013·咸阳模拟)在空间中有不共线的三条线段 AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( ) (A)AB∥CD (B)AB与CD异面 (C)AB与CD相交 (D)AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

(2)如图所示,正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的 中点.问:
①AM和CN是否是异面直线?说明理由. ②D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

【思路点拨】(1)可分线段AB,BC,CD共面和不共面两种情况讨 论. (2)①由于MN∥AC,因此M,N,A,C四点共面,故AM与CN不异面. ②由图易判断D1B和CC1是异面直线,可用反证法证明.

【规范解答】(1)选D.若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平 行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D.

(2)①不是异面直线. 理由:连接MN,A1C1,AC. ∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C, ∴A1ACC1为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.

②是异面直线. 理由:∵ABCD -A1B1C1D1是正方体, ∴B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α, ∴D1,B,C,C1∈α, 这与B,C,C1,D1不共面矛盾. ∴假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线.

【拓展提升】判定空间直线位置关系的三种类型及方法 (1)异面直线:可采用直接法或反证法. (2)平行直线:可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线 面平行与面面平行的性质定理. (3)垂直关系:往往利用线面垂直的性质来解决. 【提醒】在空间两直线的三种位置关系中,验证异面直线及其 所成角是考查的热点.

【变式训练】设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,

不正确的是

(填序号).

①若AC与BD共面,则AD与BC共面;

②若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线;

③若AB=AC,DB=DC,则AD=BC;

④若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC.

【解析】对于①,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确. 对于②,假设AD与BC共面,由①正确得AC与BD共面,这与题设矛盾, 故假设不成立,从而结论正确. 对于③,如图,当AB=AC,DB=DC, 使二面角A -BC-D的大小变化 时,AD与BC不一定相等,故不正确.

对于④,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得 BC⊥AE,BC⊥DE. 根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE, 从而AD⊥BC. 答案:③

考向 3 异面直线所成的角 【典例3】正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小. (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小. 【思路点拨】(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算. (2)可将A1C1平移到AC,将EF平移到BD再求解.

【规范解答】(1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCD -A1B1C1D1是正 方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与 A1D所成的角.
∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60°,即AC与A1D所成的角为60°.

(2)如图所示,连接AC,BD,在正方体ABCD -A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E,F分别为AB,AD的中点, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC, ∴EF⊥A1C1, 即A1C1与EF所成的角为90°.

【拓展提升】 1.找异面直线所成的角的三种方法 (1)利用图中已有的平行线平移. (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. (3)补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作:通过作平行线,得到相交直线. (2)证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角. (3)算:通过解三角形,求出该角.

【变式训练】在三棱锥S-ACB中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,

AC=2,BC= 13,SB= 29,则SC与AB所成角的余弦值为_______. 【解析】如图,取BC的中点E,分别在平面ABC内作DE∥AB,在平

面SBC内作EF∥SC,则异面直线SC与AB所成的角为∠FED(或其补

角),过F作FG⊥AB,连接DG,DF,则△DFG为直角三角形.

由题知AC=2,BC= 13,SB= 29 可得DE= 17 ,
2

EF=2,DF= 5,在△DEF中,由余弦定理可得

2

cos ?DEF ? DE2 ? EF2 ? DF2 ? 17 .

2DE EF

17

答案: 17

17

【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答 【典例】(12分)(2012·上海高考)如图,在四棱锥P -ABCD中,底 面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2, AD= 2 2, PA=2.求: (1)三角形PCD的面积. (2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

【思路点拨】

已知条件 ABCD是矩形 PA⊥底面ABCD
E是PC的中点

条件分析 可得结论CD⊥AD 可得CD⊥PD,从而可判断△PDC为直角三 角形 可作出△PBC的中位线将BC平移,并找到 异面直线BC与AE所成的角

【规范解答】(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD. 又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.①……………3分 因为 PD ? 22 ?(2 2)2 ? 2 3,CD=2, 所以三角形PCD的面积为 1 ? 2? 2 3 ? 2 3. …………………6分
2

(2)取PB的中点F,连接EF,AF,则EF∥BC,从而∠AEF(或 其补角)是异面直线BC与AE所成的角.②…………………8分 在△AEF中,由EF= 2,AF= 2,AE=2知△AEF是等腰直角三角 形,所以∠AEF= ?,
4
因此,异面直线BC与AE所成的角的大小是 ? .③…………12分
4

【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)

1.(2013·池州模拟)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两
条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( )
(A)互相平行
(B)异面且互相垂直
(C)异面且夹角为 ?
3
(D)相交且夹角为 ?
3

【解析】选D.将侧面展开图还原成正方体如图所示,

则B,C两点重合,故l1与l2相交.连接AD,△ABD为正三角形,所以

l1与l2的夹角为

? 3

.故选D.

2.(2013·西安模拟)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所 在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )

【解析】选D.在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR, ∴P,S,R,Q共面. 在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形, 如图,故P,Q,R,S四点共面. 在C图中分别连接PQ,RS, 易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面. D图中PS与RQ为异面直线, ∴P,Q,R,S四点不共面,故选D.

3.(2012·浙江高考)已知矩形ABCD,AB=1,BC= 2将. △ABD沿矩 形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( ) (A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 (B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 (C)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 (D)对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均 不垂直

【解析】选B.找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.
对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F, 在图(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图(2)中,连 接CE,若直线AC与直线BD垂直,又∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACE, ∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.

对于选项B,若AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥平面 ADC,∴AB⊥AC,由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形,使 得直线AB与直线CD垂直,故B正确. 对于选项C,若AD⊥BC,又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥平面ADC, ∴BC⊥AC.已知BC= 2, AB=1,BC>AB,∴不存在这样的直角三角 形.∴C错误. 由上可知D错误,故选B.

4.(2013·宝鸡模拟)给出命题:

①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;

②两异面直线a,b,如果a平行于平面α ,那么b不平行于平面α ;

③两异面直线a,b,如果a⊥平面α ,那么b不垂直于平面α ;

④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.

上述命题中,真命题的序号是

.

【解析】易知①正确;②两条异面直线可以平行于同一个平面; ③若b⊥α,则a∥b,这与a,b为异面直线矛盾;④两条异面直线 在同一个面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、 一点一直线. 答案:①③

5.(2013·铜川模拟)对于空间三条直线,有下列四个条件:

①三条直线两两相交且不共点;

②三条直线两两平行;

③三条直线共点;

④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.

其中,使三条直线共面的充分条件有

.

【解析】①中两相交直线确定一个平面,则第三条直线在这个

平面内;②中可能有一条直线和另外两条直线确定的平面平行;

③中直线最多可确定3个平面;④同①.

答案:①④

1.如图,M是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列 命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交; ②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直; ③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;

④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行. 其中真命题是( ) (A)②③④ (B)①③④ (C)①②④ (D)①②③

【解析】选C.由于两相交直线可确定一个平面,设l过M点,与 AB,B1C1均相交,则l与AB可确定平面α,l与B1C1可确定平面β,又 AB与B1C1为异面直线, ∴l为面α与面β的交线,如图所示.

GE即为l,又平面α与平面β有唯一交线,故①正确. 由于DD1过点M,DD1⊥AB,DD1⊥B1C1,BB1为AB,B1C1的公垂 线,DD1∥BB1,又过点M有且只有一条直线与BB1平行,故②正确. 显然④正确. 过M点有无数个平面与AB,B1C1都相交,故③错误.

2.已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么

异面直线AE与D1F所成角的余弦值为

.

【解析】设正方体的棱长为a.连接A1E,EF,可知D1F∥A1E,

∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角,

在△AEA1中,

cos?AEA1

?

a2 2

? (a )2 ? a2 2
a2 ? (a )2

? (a )2 ? a2 2
a2 ? (a )2

?

3. 5

2

2

答案:3

5


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