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[中学联盟]重庆市第七中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题


重庆七中 2015—2016 学年度(下)期中考试高二年级

数学试题(文科)
出题人:杨春树 审题人:龚绍斌 第Ⅰ卷 一、选择题.(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,2,3? ,则 CU A 为( A.{1,3,4} B.{4,5} C.{0,2,4}

)

D.{0,2,3,4}

2.整数是自然数,由于 ?3 是整数,所以 ?3 是自然数,则有 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理正确 )条件 D.非充分必要 D.推理形式错误 3. “ x ? 3 ”是“不等式 x 2 ? 2 x ? 0 ”的( A.充分不必要 B.充分必要

C.必要不充分

4. 命题“存在 x ? Z , x2 ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 ( ) 2 2 A. 存在 x ? Z , x ? 2x ? m ? 0 B.不存在 x ? Z , x ? 2x ? m ? 0 C. 对任意 x ? Z , x2 ? 2x ? m ? 0 D.对任意 x ? Z , x2 ? 2x ? m ? 0
[来源:]

5. 函数 f ( x) 的定义域是开区间 ? a, b ? ,导函数 f ?( x ) 在 ? a, b ? 内的图象如图所示,则 f ( x) 在开区间 ? a, b ? 内有极值点 ( ) A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6.在区间 ?0,1? 上随机取一个数 x ,使 y ? 3x ? 1 的值介于 1 与 2
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

之间的概率( ) 2 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 4 7.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2 , b ? 2 ,那么 输出的 a 值为( ) A. log3 16 B. 256 D. 4 9 8.函数 y ? lg x ? 的零点所在的区间大致是( x A.(6,7) C.(8,9) B.(7,8) D.(9,l0)
7 题图

5 题图

C. 16

)

9.某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体 积为(
[来源:]

) B.15 C.20 D.30
9 题图

A.10

10.过点 P ( 0, 1 ) 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长的直线 方程是( ) B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 0 D. y ? 1

A. x ? y ? 1 ? 0

11.已知对 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 取值范围是( A.(0, 1) ) B.(0,5)

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的 5 m

C.[1,5)

D.[1,5)∪(5,+∞)

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ,若对任意的 ) x ?[t , t ? 2] ,不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是( A、 [ 2, ??) B、 [2, ??) C、 (0, 2] D、 [? 2, ?1] ? [ 2, 3] 第Ⅱ卷(共 90 分) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相 应位置上.) 13. 小明每天起床后要做如下事情:洗漱 5 分钟,收拾床褥 4 分钟,听广播 15 分钟,吃早饭 8 分钟.要完成这些事情,小明要花费的最少时间为______。 14. 复数 z ?
?3 ? i 的共轭复数是 2?i



15. 已知映射 f:A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f:x ? y ? x 2 ? 2 x ? 2, 若对 实数 k ? B ,在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是________。 16.设 a ? 0, f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的

? 取值范围为 [0, ] ,则点 P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围是________。 4
三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤. ) 17、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 . (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的极小值.

(18)(本小题满分 12 分)二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车 的使用年数 x(0<x≤10)与销售价格 y(单位:万元/辆)进行整理,得到如 下的对应数据: 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 7 4.5
[来源:]

i=1 (Ⅰ)试求 y 关于 x 的回归直线方程;(参考公式:? b=

∑xiyi-n·xy -2 ∑x2 i-nx
i=1 n

n

, a ?

=y-? bx.) (Ⅱ)已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=0.05x2-1.75x+17.2 万元, 根据(Ⅰ)中所求的回归方程,预测 x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所 获得的利润 z 最大?

(19)(本小题满分 12 分)如下图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,E 为边 AD 的中点,分别沿 BE,CE 将△ABE,△DCE 折叠,使平面 ABE 和平面 DCE 均与平面 BCE 垂直. A E (Ⅰ)证明:AD∥平面 BEC; D A (Ⅱ)求点 E 到平面 ABCD 的距离.
B C B

D E C

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1 ( a ? 0 ). x (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 1 (2)求 f ( x) 在 x ? [ , e] 上的最小值. e

21.(本题满分 12 分)椭圆 C : 点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) . (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,两个焦 2 a b 2

(2)过点 F2 (1,0) 的直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为
Q ( M 、Q 不重合),求证:直线 MQ 过 x 轴上一个定点.

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,AC 与 BD 相交于点 F,AE 与圆 O 相切于点 A,与 CD 的延长线相交于点 E,∠ADE=∠ BDC. (Ⅰ)证明:A、E、D、F 四点共圆; (Ⅱ)证明:AB∥EF.
[来源:Z&xx&k.Com]

C

D E F A

O

B

23.(本题满分 10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】
? x ? 2 cos? , (? 为参数),直线 l 的参数方程为: 已知曲线 C 的参数方程为: ? ? y ? sin ? ,
? x ? 2 ? 3t , (t 为参数),点 P(2,1),直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. ? ? y ? 1 ? t,

(1)写出曲线 C 和直线 l 在直角坐标系下的标准方程; (2)求 PA ? PB 的值. 24.(本题满分 10 分)【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 . (1)请写出函数 f(x)在每段区间上的解析式,并在图上作出函数 f(x)的图 象; (2)若不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a ? 围.
1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范 a

重庆七中 2015—2016 学年度(下)期中考试高二年级

数学试题(文科)参考答案
一、BAADCC BDCADA

二、 13、17;

14、-1-i;

15、k<1;

16、[0,

]

三、 1 7 、

-=6,y -=10,∑xiyi=242,∑x2 18 解:(Ⅰ)由已知:x i=220,
i=1 i=1

5

5

-∑ xiyi-nx y i=1 ^ b= n =-1.45,a ?=y-^ bx=18.7; 2 2 ∑ xi-nx
i=1

n

所以回归直线的方程为^ y =-1.45x+18.7 (Ⅱ)z=-1.45x+18.7-(0.05x2-1.75x+17.2) =-0.05x2+0.3x+1.5 =-0.05(x-3)2+1.95,

???6 分

所以预测当 x=3 时,销售利润 z 取得最大值. 12 分

????

19 解:
A E D A E B C B M N C D

(Ⅰ)分别取 BE,CE 中点 M,N,连接 AM,MN,DN, 由已知可得△ABE,△DCE 均为腰长为 4 的等腰直角三角形, 所以 AM⊥BE,且 AM=2 2. 又∵平面 ABE⊥平面 BCE,且交线为 BE, ∴AM⊥平面 BEC, 同理可得:DN⊥平面 BEC,且 DN=2 2. ∴AM∥DN,且 AM=DN, ∴四边形 AMND 为平行四边形. ∴AD∥MN,又∵MN?平面 BEC,AD? / 平面 BEC, ∴AD∥平面 BEC. ????6 分

(Ⅱ)点 E 到平面 ABC 的距离,也就是三棱锥 E-ABC 的高 h. 连接 AC,MC, 在 Rt△EMC 中有 MC= EM2+EC2=2 10, 在 Rt△AMC 中有 AC= AM2+MC2=4 3. 可得 AC2+AB2=BC2,所以△ABC 是直角三角形. 由 VE—ABC=VA—BEC 得 4 6 . 3 ???12 分
A E B M C D

1 1 1 1 · AB·AC·h= · BE·EC·AM, 3 2 3 2

可知 h=

4 6 ∴点 E 到平面 ABC 的距离为 . 3 20.解(1) f ?( x) ?
x ?1 x2

x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减, x ? [1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增;????????5 分

(2) f ?( x) ? 当0 ? a ?

x?a x2

1 1 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [ , e] 单调递增, min ? f ( ) ? ae ? 2 , e e e

1 1 当 ? a ? e 时, f ( x) 在 [ , a] 上递减, (a, e] 上单调递增, min ? f (a) ? ln a , e e 1 a 当 e ? a 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [ , e] 单调递减, min ? f (e) ? ??12 分 e e

?c ? 1 x2 ? ? y 2 ? 1 ;?3 分 21.解(1) ? c ,椭圆的方程为 ? c ? 1, a ? 2, b ? 1 2 2 ? ? 2 ?a
(2)设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) , l : y ? k ( x ? 1) , 代入
x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2

x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? , ,?????????????????6 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
y1 ? y2 ( x ? x1 ) x1 ? x2

MQ 的方程为 y ? y1 ?

令 y ? 0 ,得 x ? x1 ?

y1 ( x2 ? x1 ) k ( x1 ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? ? y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 2) x1 ? x2 ? 2 [来源:

代入 x1 ? x2 ? 学+科+网

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

得 x ? 2 ,所以直线过定 (2, 0) ?????????????????12 分 22 解:(Ⅰ)因为 AE 与圆 O 相切于点 A,所以∠CAE=∠CBA; 因为四边形 ABCD 内接于圆 O,所以∠CBA=∠ADE; 又已知∠ADE=∠BDC,所以∠BDC=∠CAE, 故 A,E,D,F 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠ADE=∠AFE=∠BDC, ?5 分

又∠BDC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等), 所以∠AFE=∠BAC,故 AB∥EF. ............ 10 分

x2 23.解:(1)曲线 C 的标准方程为: ? y 2 ? 1 , 2

直线 l 的标准方程为: x ? 3 y ? 2 ? 3 ? 0 .

......................5 分

? 3 x ? 2 ? t ? ? 2 (t 为参数), (2)将直线 l 的参数方程化为标准方程: ? ? y ? 1? 1 t ? 2 ?

代入椭圆方程得: 5t 2 ? 8( 3 ? 1)t ? 16 ? 0 , 所以 PA ? PB ? t1t 2 ?
16 . 5

..........................10 分

?2 ? 2 x( x ? ?1), ? 24 解:(1) f ( x) ? ? 4(?1 ? x ? 3), ? 2 x ? 2( x ? 3), ?

函数 f(x)的图象如图所示.

....................5 分 (2)由(1)知 f(x)的最小值是 4, 所以要使不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a ?
1 1 恒成立,有 4 ? a ? , a a

解之得 a ? (??,0) ? (2 ? 3,2 ? 3) .

..........................10 分


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