当前位置:首页 >> 数学 >>

2009届高三第二次月考数学试题卷(理科)

2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:李玉明 2008-9-23 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 ★ 祝 你 考 试 顺 利 ★

第Ⅰ卷

(选择题,60 分)

一、 选择题: (本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的。 ) 1.集合 A ? ? y ? R | y ? lg x, x ? 1 , B ? ?2, ?1,1, 2? 则下列结论正确的是( ? A. A ? B ? ?2, ?1 ? C. A ? B ? (0, ??) 2.设集合 A={x|

?



?

B. (CR A) ? B ? (??,0) D. (CR A) ? B ? ?2, ?1 ? )

?

x <0 },B={x|0<x<3 } ,那么“m ? A”是“m ? B”的 ( x ?1
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3 2

A. 充分而不必要条件 C.充要条件

3.命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0
3 2


3 2

B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

4.已知集合 M={1, 2, 3, m},N={4, 7, n , n ? 3n }(m、n ? N) ,映射 f:y ?3x+1 是从 M
4 2

到 N 的一个函数,则 m ? n 的值为( A.2 B.3 5.函数 y=lncosx(-

) C.4 )

D.5

π ? <x< ) 的图象是 ( 2 2

6.若函数 y ? f ( x) 的值域是 ? ,3? ,则函数 F ? x ? ? f ? x ? ? 的值域是 ( f ( x) ?2 ?
2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 1 页 共 8 页

?1

?

1



A.[

1 ,3] 2
2

B.[2,

10 ] 3

C.[

5 10 , ] 2 3

D.[3,

10 ] 3

7.已知函数 f(x)=x +2x+a, f (bx)=9x-6x+2, 其中 x∈R,a, b 为常数,则方程 f (ax+b)=0 的根的个数为 ( A.0 ) B.1 C.2 D.1 或 2

? 8.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式
集为 ( )

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 x

, , A. (?1 0) ? (1 ? ?) ? , C. (??, 1) ? (1 ? ?)

? 1) B. (??, 1) ? (0, , 1) D. (?1 0) ? (0,


9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 , f (1) ? 2 ,则 f (99) ? ( A.13 B.2 C.

13 2

D.

2 13

y

10.设函数 f ( x ) 在定义域内可导,y= f ( x ) 的图象如图 1 所示, O 则导函数 y= f ' ( x) 可能为 ( ) 图1 y y y y x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D )

x 11. 若函数 f (x), g( x) 分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f (x) ? g (x) ?e , ( 则有

A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)

B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传

1, , 1} 输 信 息 . 设 定 原 信 息 为 a0 a1a2,i ?{0, ( i ? 0,2 ) 传 输 信 息 为 h0 a0 a1a2 h1 , 其 中 a

h0 ? a0 ? a1,h1 ? h0 ? a2 , ? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,1 ? 1 ? 0 ,
例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011
2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 2 页 共 8 页

第 Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13.函数 f ( x ) = log2 (2x ? x2 ) 的递增区间是 ;

14.已知函数 f ( x) ? 2 ? log3 x, x ?[1,9],函数y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的最大值为 15.偶函数 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e的图象过点 (0,1), 且在 x=1 处的切线方程为 P y ? x ? 2 ,则 y ? f ( x) 的解析式为

16.下列命题中
①对于每一个实数 x, f ( x)是y ? 2 ? x 2 和y ? x 这两个函数中的较小者, f (x) 的最大 则 值是 1. ②已知 x1是方程x ? lg x ? 3 的根, x2是方程x ? 10x ? 3 的根,则 x1 ? x2 ? 3 . ③函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 f (x) 的图象是以 (0,1)为顶点,开口向下的抛物线. ④若集合 P={ x|x=3m+1, m? N+ }, Q={ x|x=5n+2, n ? N+ }, P ? Q={x|x=15m-8, m ? N+} 则 ⑤若函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上递增,且 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) . 其中正确的命题的序号是________.

三、解答题(共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 函 数 f ( x) =

2?

x?3 的定义域为集合 A,函数 x ?1

g (x) = lg ?? x ? a ? 1?? 2a ? x ? ? 的定义域为集合 B,若 B ? A,求实数 a 的取值范围。 ? ?
18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1( a , b 为为实数) x ? R . ,
2

(1)若函数 f (x) 的最小值是 f (?1) ? 0 ,求 f (x) 的解析式; (2)在(1)的条件下, f ( x) ? x ? k 在区间 ? ?3, ?1? 上恒成立,试求 k 的取值范围. 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f (x) 的定义域是 x ? 0 的一切实数, 对定义域内地任意 x1 、

x2 ,都有 f ( x1 ? x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f (2) =1
(1)求证: f (x) 是偶函数

2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 3 页 共 8 页

( ? (2)求证: f (x) 在 0, ?) 上是增函数
(3)解不等式 f (2 x 2 - 1) <2

? 1 , x ?1 ? 20. (本小题满分 12 分) k ? R , 设 函数 f ( x) ? ?1 ? x ,F ( x) ? f ( x) ? kx ,x ? R 。 ?? x ? 1, x ? 1 ?
试讨论函数 F ( x) 的单调性。 21. (本小题满分 12 分)已知函数函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线

x ? 1 对称。 (1)求 f (0) 的值 (2)证明函数 f (x) 是周期函数 (3)若 f (x) ? x (0 ? x ? 1) ,求 x ? R 时,函数 f (x) 的解析式,并画出满足条件的函 数 f (x) 至少一个周期的图象。
22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 a 的值

a?x (常数a ? 0) ,且 f (1) ? f (3) ? ?2. a?x
2t ? 2 t

2 3 ? t ? 且t ? 0) 的大小 3 2 (3)设 g ( x) ? (2 ? x) f ( x) ? m( x ? 2) ? 2 ,是否存在实数 m 使得 y ? g (x) 有零
(2)试研究函数 f ( x ) 的单调性,并比较 f (t ) 与 2

(?

点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 4 页 共 8 页

2009 届高三第二次月考数学试题参考答案(理科)
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:李玉明 2008-9-23 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷(选择题,60 分)
一、选择题: (每题 5 分)
题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D 9 C 10 D 11 D 12 C

第 Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (每题 4 分)

13. 15.

(0,1]
f ( x) ? 5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

14. 16.

13
1 2 4 5 ○○○○

三、解答题(共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.
解:由 2 -

x?3 ? 0且 x ?1 ? 0 x ?1

可得 A={ x x<-1 或 x≥1} 又 B={ x (x-a-1) (x-2a)< 0} ∵φ ≠B ? A, ∴① ?

?a ? 1? 2a ∴a>1 ?2a ? ?1或a ? 1 ? 1

或② ?

?a ? 1? 2a 1 ∴a≤-2 或 ≤a<1; 2 ?a ?!? ?1或 2a ? 1
∴a>1 或 a≤-2 或

1 ≤a<1; 2

2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 5 页 共 8 页

18.解: (1)由题意有: f (-1) = a - b +1=0
又 ?

b = -1 2a

故而 a =1 , b =2

即 y = x 2 ? 2x ? 1
(2 ) 由 f (x) > x+ k

有 x2 ? x ?1 ? k

问题转化为求函数 g ( x) ? x 2 ? x ? 1 在 x ? [-3 - 1] 上的最小值 ,
又函数 g ( x) ? x 2 ? x ? 1 在 [-3 - 1] 上为减函数 , 故 g (x) min = g (?1) =1 所以 k < 1

19.证明: (1)令 x1 = x2 =1
令 x 1 = x 2 = -1 令 x 2 = -1

则 f (1) =2 f (1)

解得 f (1) =0 解得 f (-1) =0

则 f (1) =2 f (-1)

x 1 =x

则 f (- x) = f ( x )

故函数 f ( x ) 在定义域上为偶函数 (2)由 f (1) = f ( x ? 设 0< x1 < x2

1 1 ) = f ( x ) + f ( ) =0 x x
故而 f (

1 可得 f ( ) = - f ( x ) x



x2 >1 x1

x2 1 ) = f (x 2 ) + f ( ) = f (x 2 ) - f (x1 ) < 0 x1 x1

( ? 所以 f ( x ) 在 0, ?) 上是增函数
解: (3) f ( 4) =2 f ( 2) = 2
2 故而 2 x ? 1 <4

即 f (2x 2 ? 1) < f (4) 即 -4< 2 x 2 ? 1 <4
解得 ?

10 10 ?x? 2 2

2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 6 页 共 8 页

? 1 ? kx, 20.解: F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ? ?? x ? 1 ? kx, ?
对于 F ( x) ?

x ? 1, x ? 1,

? 1 ? (1 ? x) 2 ? k , ? F '( x) ? ? ?? 1 ? k , ? 2 x ?1 ?

x ? 1, x ? 1,

1 ? kx( x ? 1) , 1? x

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ( ??,1 ?

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

对于 F ( x) ? ?

1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ?

? ?

1 ? 1 ? ? 上是减函数,在 ?1 ? , ?? ? 上是增函数。 2 ? 2 4k ? ? 4k ?

21. (1)解:因为函数 f ( x ) 是奇函数,所以 f (- x) = - f ( x )
则 f (-0) = - f (0) 所以 f (0) =0

又 f ( x ) 的定义域为 R, x =0 令

(2)证明:因为函数 f ( x ) 是奇函数,所以 f (- x) = - f ( x ) ,又函数 f ( x ) 的图象关于 直线 x ? 1 对称。所以 f (- x) = f (2 ? x ) 所以 f (4 ? x ) = - f (2 ? x ) = f ( x ) (3)解:设 - 1 ? x ? 0 时,则 0 ? ? x ? 1 又 f (- x) = - f ( x ) 所以 f (x) = x 即 f (2 ? x ) = - f ( x )

即 f ( x ) 是以 4 为一个周期的周期函数 所以 f (- x) = - x 所以当 - 1 ? x ? 1 时 f (x) = x

又 f (0) = 0

当 1 ? x ? 3 时, - 3 ? ? x ? ?1 ,则 - 1 ? 2 ? x ? 1 所以 f (2 - x) = 2 - x ,而函数 f ( x ) 的图 象关于直线 x ? 1 对称,所以 f (2 - x) = f ( x ) ,即 f ( x ) =2 - x 所以 f ( x ) = ? 『图象略』
2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 7 页 共 8 页

? x,?1 ? x ? 1 ? x ? 4k ,?1 ? x ? 4k ? 1 , 从而有 f ( x ) = ? (k ?Z ) ?2 ? x,1 ? x ? 3 ?4k ? 2 ? x,4k ? 1 ? x ? 4k ? 3

22.解(1)由 f (1) ? f (3) ?


a ?1 a ? 3 ? = - 2 a ?1 a ? 3
又a ? 0 所以 a ? 2

a(a ? 2) ? 0

(2)由(1)知函数 f ( x) ?

2? x ( 2) ( ? ,其定义域为 - ?, ? 2, ?) 2? x

( 2) 设 x1 、 x2 ? - ?, 且 x1 < x2 ,

f ( x1 ) - f ( x2 ) =

2 ? x1 2 ? x2 (x1 ? x2 ) 4 = ? 0, 2 ? x1 2 ? x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 )

( 2) 即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,故 f (x) 在区间 - ?, 上是增函数。 ( ? 同理可得, f (x) 在区间 2, ?) 上是增函数

2x ? 2 2 ( 0) ( ? ? ? 2 ,则函数 h(x) 在区间 - ?, 、 0, ?) 上是增函数 x x 2 2 1 2 1 ( 0) h(t ) < h(? ) =-1, 2 h (t ) < 2 ?1 = 故当 t ? - , 时, f (t ) > f (? ) = , 3 3 2 3 2
令 h(x) ? 所以

f (t ) > 2

2t ? 2 t
10

3 ( 当 t ? 0, ) 时, 2
所以

3 f (t ) < f ( ) =7, 2

3 10 h(t ) > h ( ) = , 2 3

2 h (t ) > 2 3 > 2 3 =8

f (t ) < 2

2t ? 2 t

2 ( 0) 综上,当 t ? - , 时, f (t ) > 2 3
(3) g ( x) ?

2t ? 2 t



3 ( 当 t ? 0, ) 时, f (t ) < 2 2

2t ? 2 t

2 ? x ? m( x ? 2) ? 2 , x ? 2

由题意可知,方程 2 ? x ? m( x ? 2) ? 2 ? 0 在 x x ? ?2且x ? 2 中有实数解 令 2? x ?t
2 则 t ? 0且t ? 2 ,问题转化为关于 t 的方程 mt ? t ? 2 ? 0 ○ 1

?

?

有非负且不等于 2 的实数根
2 若 t =0,则○为 2=0,显然不成立,故 t ? 0 ,方程○可变形为 m ? ?2( ) ? , 1 1

1 t

1 t

问题进一步转化为求关于 t 的函数( t ? 0且t ? 2 )的值域

1 , 2 1 2 1 1 ( 0) ( 所以 m ? ?2( ) ? ? - ?, ? 0, ] t t 8 1 ( 0) ( 所以实数 m 的取值范围是 - ?, ? 0, ] 8
因为 t ? 0且t ? 2 ,所以 ? 0且 ?
2009 届高三第二次月考数学试题卷(理科)第 8 页 共 8 页

1 t

1 t