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幂函数导学案(2)

观察图象,总结填写下表:

§ 2.3 幂函数
学习目标
1. 通过具体实例掌握幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行应用. 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

学习过程
学习探究 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数;
(2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.
1

小结: 幂函数的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 都有意义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0, ??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边 趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ?? 时,图象在 x 轴 上方无限地逼近 x 轴正半轴. 典型例题
例 1.在同一坐标系下利用函数性质作下列函数图象

新知:一般地,形如

y ? x? (α ? R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 为常数.

试试:判断下列函数哪些是幂函数并求出函数的定义域. 1 ① y ? ;② y ? 2 x2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . ⑤y=x+1 x

(1) y ? x

3 2

(2) y ? x

1 2

(3) y ? x

4 3

(4) y ? x

3 4

探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.
1

知识拓展幂函数 y ? x 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小 到大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大.
例 2 比较大小: (1) (a ? 1)1.5 (3) 1.1
? 1 2

?

a1 . 5(a ? 0 ) ;
? 1
1

(2) (2 ? a 2 )
1

?

2 3

2 3;

?

2

0 . 92 .(4) 1.3 2 _____1.5 2 ; (5) 5.1?2 ______ 5.09?2 .

例 3.已知幂函数 y ? x 减小,求满足 (a ? 1)

m 2 ? 2 m ?3

(m ? N *) 的图象关于 y 轴对称,且在(0,+ ? )上,函数值随 x 的增大而
? m 3

2. 函数

y?x

4 3

的图象是(

).

?

m 3

? (3 ? 2a)

的 a 的取值范围。 A.
1 2

B.
? 1 2

C.

D.

3. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是( ). A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a D.1< b < a 4. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为

.

课后作业
1. 比较大小: 变式: 已知幂函数 f(x)= x 2 的值,并写出相应的函数 f(x)
1 3 ? p2 ? p ? 2
3 3 6 6

(p∈Z)在 (0, ??) 上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求 p

(1) 2.3 4

2.4 4 ;

(2) 0.315

0 . 3 55; (3) ( 2)

?

3 2

( 3 )2 .

?

3

.2 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的 四次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率.

三、总结提升 学习小结 1. 幂函数的的性质及图象变化规律; 2. 利用幂函数的单调性来比较大小.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测
1. 若幂函数 A. ? >0 C. ? =0

f ( x) ? x? 在 (0, ??) 上是增函数,则(
B. ? <0 D.不能确定

).


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