数学试卷(一)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项
是符合题目要求的. 1.已知函数 f (x) 满足 f ( 2x ?1) ? 8x2 ? 2x ?1,则 f (x) 等于( ) A. 2x4 ? 3x2 B. 2x4 ? 3x2 C. 4x4 ? x2 D. 4x4 ? x2 2.函数 y ? f (x) 与 y ? g(x) 的图象如图所示,则函数 y ? f (x)g(x) 的图象可能是( )
3.函数 f (x) ? x | x ? a | ?b 满足 f (?x) ? ? f (x) 的条件是( ) A. ab ? 0 B. a ? b ? 0 C. a ? b D. a2 ? b2 ? 0 4.偶函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) 的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.3
5.已知 f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f (x) ? g(x) ? x3 ? x2 ?1 ,则 f (1) ? g(1) ? ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
6.函数 y ?| x | (1? x) 在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是( )
A. (??, 0)
B.[0, 1 ] 2
C.[1 , ??] D.[?1, 0] 2
7.已知函数 f (x) 是定义在 R 上同时满足条件:①对于任意 x, y ? R 都有
f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ;②当 x ? 0 时, f (x) ? 0,则函数 f (x) 在 R 上( )
A.是奇函数且减函数 B.是奇函数且增函数 C.是奇函数且不具有单调性 D.是偶函数且不具有单调性
8.已知定义在 R 上上的奇函数 f (x) 满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0, 2] 上是增函数,
则( )
A. f (?25) ? f (11) ? f (80) B. f (80) ? f (11) ? f (?25)
C. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)
9.设函数 f (x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? 1 , f (x ? 2) ? f (x) ? f (2) ,则 f (5) 的值为 2
()
A. ? 5 2
B. ? 3 2
C. 3 D. 5
2
2
10.设函数
g(x)
?
x2
?
2(x
?
R)
,f
(x)
?
?g(x) ??g(x)
? ?
x ? 4, x, x ?
x ? g(x)
,则
g(x)
f
(x)
的值域是(
)
A.[? 9 , 0] (1, ??) 4
B.[0, ??) C.[? 9 , ??) D.[? 9 , 0] (2, ??)
4
4
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
11.若函数 f (x) ? ax2 ? (b ?1)x ? 3a ? b 是偶函数,定义域为[a ?1, 2a] ,则 a ? b 等
于
.
12.设函数 f (x) 是 f1(x) ? 4x ?1, f2 (x) ? x ? 2 , f3(x) ? ?2x ? 4 三个函数中的最小值,
则 f (x) 的最大值为
.
13.若函数 f (x) ? x ,且 f (n) (x) ? f ( f ( f (x) )) ,则 f (99) (1) ?
.
1? x2
n个
14.已知函数 f (x) ?| x2 ? a | 在[?1,1]上的最大值为 M (a) ,则 M (a) 的最小值
为
.
三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (本小题满分 10 分)
已知 f (x) ? x (x ? a) . x?a
(1)若 a ? ?2 ,证明 f (x) 在 (??, ?2) 内单调递增;
(2)若 a ? 0 且 f (x) 在 (1, ??) 内单调递减,求 a 的取值范围.
16. (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? (2a ?1)x ? 3 . (1)当 a ? 2 , x ?[?3,3] 时,求函数 f (x) 的值域;
(2)若函数 f (x) 在[?1,3] 上的最大值为 1,求实数 a 的值.
17. (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ? 2 | x ? 2 | ?ax(x ? R) 有最小值. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 g(x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, g(x) ? f (x) ,求 g(x) 的解析式.
18. (本小题满分 12 分)
(1)定义在 (?8,8) 上的函数 f (x) 既为减函数,又为奇函数,解关于 a 的不等式
f (7 ? a) ? f (5 ? a) ? 0 ;
(2)定义在[?2, 2] 上的偶函数 f (x) ,当 x ? 0 时, f (x) 为减函数,若 f (1? m) ? f (m) , 求 m 的取值范围.
19. (本小题满分 12 分)
已知 f (x) 是定义在[?1,1]上的奇函数,且 f (1) ? 1,若 a,b ?[?1,1] , a ? b ? 0 时,有 f (a) ? f (b) ? 0 成立.
a?b (1)判断 f (x) 在[?1,1]上的单调性,并证明; (2)解不等式: f (x ? 1) ? f ( 1 ) ;
2 x ?1 (3)若 f (x) ? m2 ? 2am ?1对所有的 a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
一、选择题
AADDC BADDD
二、填空题
11. 4 3
12. 8 3
三、解答题
参考答案
13. 1 10
14. 1 2
15.(1)证明:当 a ? ?2 时,任设 x1 ? x2 ? ?2 ,则 f (x1) ? f (x2 )
?
x1 x1 ?
2
?
x2 x2 ?
2
?
2(x1 ? x2 ) (x1 ? 2)(x2 ?
2)
,∵ (x1
?
2)( x2
?
2)
?
0,
∴a ?1,
综上所述知: 0 ? a ?1.
16.解:(1)当 a ? 2 时, f (x) ? x2 ? 3x ? 3 , x ?[?3,3] ,对称轴 x ? ? 3 ?[?3,3] , 2
∴
f
( x)min
?
f
(? 3) 2
?
9 4
?9 ?3? 2
? 21 , 4
f
( x)max
?
f
(3) ? 15 ,
∴值域为[? 21,15] . 4
(2)对称轴为 x ? ? 2a ?1 2
①当 ? 2a ?1 ? 1,即 a ? ? 1 时,
2
2
f (x)max
?
f (3) ? 6a ? 3 ,
∴ 6a ? 3 ?1,即 a ? ? 1 满足题意; 3
②当 ?
2a ?1 ? 1,即 a 2
?
? 1 时, 2
f
( x)max
?
f
(?1)
?
?2a ?1,
∴ ?2a ?1 ?1,即 a ? ?1满足题意,
综上可知: a ? ? 1 或 a ? ?1. 3
17.(1)
f
(x)
?
?(a ??(a
? ?
2)x 2)x
? ?
4, 4,
x x
? ?
2 2
,
要使
f
(x)
有最小值,需
?a ??a
? ?
2 2
? ?
0 0
,
∴ ?2 ? a ? 2,即当 a ?[?2, 2]时, f (x) 有最小值.
(2)∵ g(x) 为定义在 R 上的奇函数,∴ g(0) ? 0 , 当 x ? 0 时, ?x ? 0 , ∴ g(x) ? ?g(?x) ? (a ? 2)x ? 4 .
?(a ? 2)x ? 4, x ? 0
∴ g(x) ? ??0, x ? 0
.
??(a ? 2)x ? 4, x ? 0
18.(1)∵ f (x) 为奇函数, f (7 ? a) ? f (5 ? a) ? 0 ,
∴ f (7 ? a) ? ? f (5 ? a) ? f (a ? 5)
又由 f (x) 在 (?8,8) 上为减函数,
??8 ? 7 ? a ? 8 可得 ???8 ? 5 ? a ? 8 ,解得 ?1? a ? 6.
??7 ? a ? a ? 5
∴原不等式的解集为 (?1, 6) .
(2)∵函数 f (x) 在[?2, 2] 上是偶函数,则由 f (1? m) ? f (m) ,
可得 f (|1? m |) ? f (| m |).
?|1? m |? 2
∵当
x
?
0
时,
f
(x)
为减函数,故
??| m |? 2 ??|1? m |?|
m
|
,解得
?1
?
m
?
1 2
,
∴ m 的取值范围为[?1, 1) . 2
19.解:(1)任取 x1, x2 ?[?1,1] ,且 x1 ? x2 ,则 ?x2 ?[?1,1]
∵
f (x) 为奇函数,∴ f (x1) ?
f (x2 ) ?
f (x1) ?
f (?x2 ) ?
f
(
x1 x1
)? f ? (?
(? x2 x2 )
)
?
(
x1
?
x2
)
由已知
f
(x1) ? f (?x2 ) x1 ? (?x2 )
?
0 ,又 x1
?
x2
?
0,
∴ f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x2 ) .
∴ f (x) 在[?1,1]上单调递增.
(2)∵ f (x) 在[?1,1]上单调递增.
?? x ?
?
1 2
?
1 x ?1
∴
???1 ?
?
x
?
1 2
?
1 ,∴
?
3 2
?
x
?
?1
????1 ?
1 x ?1
?1
故原不等式的解集为{x | ? 3 ? x ? ?1} . 2
(3)∵ f (1) ? 1, f (x) 在[?1,1]上单调递增.
∴在[?1,1]上, f (x) ?1,
问题转化为 m2 ? 2am ?1 ? 1, 即 m2 ? 2am ? 0 对 a ?[?1,1] 恒成立, 设 g(a) ? ?2m ? a ? m2 ? 0 ,
①若 m ? 0,则 g(a) ? 0 ? 0,对 a ?[?1,1] 恒成立,
②若 m ? 0 ,则 g(a) 为 a 的一次函数,
若 g(a) ? 0 对 a ?[?1,1] 恒成立,
必须 g(?1) ? 0 ,且 g(1) ? 0 ,∴ m ? ?2 或 m ? 2 综上,实数 m 的取值范围是 m ? 0 或 m ? ?2 或 m ? 2.