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安徽省六安市第一中学2016-2017学年高一上学期国庆作业数学(一)试题Word版含答案

数学试卷(一)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项
是符合题目要求的. 1.已知函数 f (x) 满足 f ( 2x ?1) ? 8x2 ? 2x ?1,则 f (x) 等于( ) A. 2x4 ? 3x2 B. 2x4 ? 3x2 C. 4x4 ? x2 D. 4x4 ? x2 2.函数 y ? f (x) 与 y ? g(x) 的图象如图所示,则函数 y ? f (x)g(x) 的图象可能是( )
3.函数 f (x) ? x | x ? a | ?b 满足 f (?x) ? ? f (x) 的条件是( ) A. ab ? 0 B. a ? b ? 0 C. a ? b D. a2 ? b2 ? 0 4.偶函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) 的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.3
5.已知 f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f (x) ? g(x) ? x3 ? x2 ?1 ,则 f (1) ? g(1) ? ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
6.函数 y ?| x | (1? x) 在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是( )

A. (??, 0)

B.[0, 1 ] 2

C.[1 , ??] D.[?1, 0] 2

7.已知函数 f (x) 是定义在 R 上同时满足条件:①对于任意 x, y ? R 都有

f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ;②当 x ? 0 时, f (x) ? 0,则函数 f (x) 在 R 上( )
A.是奇函数且减函数 B.是奇函数且增函数 C.是奇函数且不具有单调性 D.是偶函数且不具有单调性
8.已知定义在 R 上上的奇函数 f (x) 满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0, 2] 上是增函数,
则( )
A. f (?25) ? f (11) ? f (80) B. f (80) ? f (11) ? f (?25)

C. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

9.设函数 f (x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? 1 , f (x ? 2) ? f (x) ? f (2) ,则 f (5) 的值为 2
()

A. ? 5 2

B. ? 3 2

C. 3 D. 5

2

2

10.设函数

g(x)

?

x2

?

2(x

?

R)

,f

(x)

?

?g(x) ??g(x)

? ?

x ? 4, x, x ?

x ? g(x)
,则
g(x)

f

(x)

的值域是(



A.[? 9 , 0] (1, ??) 4

B.[0, ??) C.[? 9 , ??) D.[? 9 , 0] (2, ??)

4

4

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

11.若函数 f (x) ? ax2 ? (b ?1)x ? 3a ? b 是偶函数,定义域为[a ?1, 2a] ,则 a ? b 等



.

12.设函数 f (x) 是 f1(x) ? 4x ?1, f2 (x) ? x ? 2 , f3(x) ? ?2x ? 4 三个函数中的最小值,

则 f (x) 的最大值为

.

13.若函数 f (x) ? x ,且 f (n) (x) ? f ( f ( f (x) )) ,则 f (99) (1) ?

.

1? x2

n个

14.已知函数 f (x) ?| x2 ? a | 在[?1,1]上的最大值为 M (a) ,则 M (a) 的最小值



.

三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15. (本小题满分 10 分)
已知 f (x) ? x (x ? a) . x?a
(1)若 a ? ?2 ,证明 f (x) 在 (??, ?2) 内单调递增;
(2)若 a ? 0 且 f (x) 在 (1, ??) 内单调递减,求 a 的取值范围.
16. (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? (2a ?1)x ? 3 . (1)当 a ? 2 , x ?[?3,3] 时,求函数 f (x) 的值域;
(2)若函数 f (x) 在[?1,3] 上的最大值为 1,求实数 a 的值.
17. (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ? 2 | x ? 2 | ?ax(x ? R) 有最小值. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 g(x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, g(x) ? f (x) ,求 g(x) 的解析式.
18. (本小题满分 12 分)
(1)定义在 (?8,8) 上的函数 f (x) 既为减函数,又为奇函数,解关于 a 的不等式
f (7 ? a) ? f (5 ? a) ? 0 ;
(2)定义在[?2, 2] 上的偶函数 f (x) ,当 x ? 0 时, f (x) 为减函数,若 f (1? m) ? f (m) , 求 m 的取值范围.
19. (本小题满分 12 分)
已知 f (x) 是定义在[?1,1]上的奇函数,且 f (1) ? 1,若 a,b ?[?1,1] , a ? b ? 0 时,有 f (a) ? f (b) ? 0 成立.
a?b (1)判断 f (x) 在[?1,1]上的单调性,并证明; (2)解不等式: f (x ? 1) ? f ( 1 ) ;
2 x ?1 (3)若 f (x) ? m2 ? 2am ?1对所有的 a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

一、选择题

AADDC BADDD

二、填空题

11. 4 3

12. 8 3

三、解答题

参考答案

13. 1 10

14. 1 2

15.(1)证明:当 a ? ?2 时,任设 x1 ? x2 ? ?2 ,则 f (x1) ? f (x2 )

?

x1 x1 ?

2

?

x2 x2 ?

2

?

2(x1 ? x2 ) (x1 ? 2)(x2 ?

2)

,∵ (x1

?

2)( x2

?

2)

?

0,

∴a ?1,

综上所述知: 0 ? a ?1.

16.解:(1)当 a ? 2 时, f (x) ? x2 ? 3x ? 3 , x ?[?3,3] ,对称轴 x ? ? 3 ?[?3,3] , 2



f

( x)min

?

f

(? 3) 2

?

9 4

?9 ?3? 2

? 21 , 4

f

( x)max

?

f

(3) ? 15 ,

∴值域为[? 21,15] . 4

(2)对称轴为 x ? ? 2a ?1 2

①当 ? 2a ?1 ? 1,即 a ? ? 1 时,

2

2

f (x)max

?

f (3) ? 6a ? 3 ,

∴ 6a ? 3 ?1,即 a ? ? 1 满足题意; 3

②当 ?

2a ?1 ? 1,即 a 2

?

? 1 时, 2

f

( x)max

?

f

(?1)

?

?2a ?1,

∴ ?2a ?1 ?1,即 a ? ?1满足题意,

综上可知: a ? ? 1 或 a ? ?1. 3

17.(1)

f

(x)

?

?(a ??(a

? ?

2)x 2)x

? ?

4, 4,

x x

? ?

2 2



要使

f

(x)

有最小值,需

?a ??a

? ?

2 2

? ?

0 0



∴ ?2 ? a ? 2,即当 a ?[?2, 2]时, f (x) 有最小值.

(2)∵ g(x) 为定义在 R 上的奇函数,∴ g(0) ? 0 , 当 x ? 0 时, ?x ? 0 , ∴ g(x) ? ?g(?x) ? (a ? 2)x ? 4 .

?(a ? 2)x ? 4, x ? 0

∴ g(x) ? ??0, x ? 0

.

??(a ? 2)x ? 4, x ? 0

18.(1)∵ f (x) 为奇函数, f (7 ? a) ? f (5 ? a) ? 0 ,

∴ f (7 ? a) ? ? f (5 ? a) ? f (a ? 5)

又由 f (x) 在 (?8,8) 上为减函数,

??8 ? 7 ? a ? 8 可得 ???8 ? 5 ? a ? 8 ,解得 ?1? a ? 6.
??7 ? a ? a ? 5
∴原不等式的解集为 (?1, 6) .

(2)∵函数 f (x) 在[?2, 2] 上是偶函数,则由 f (1? m) ? f (m) ,

可得 f (|1? m |) ? f (| m |).

?|1? m |? 2

∵当

x

?

0

时,

f

(x)

为减函数,故

??| m |? 2 ??|1? m |?|

m

|

,解得

?1

?

m

?

1 2



∴ m 的取值范围为[?1, 1) . 2

19.解:(1)任取 x1, x2 ?[?1,1] ,且 x1 ? x2 ,则 ?x2 ?[?1,1]



f (x) 为奇函数,∴ f (x1) ?

f (x2 ) ?

f (x1) ?

f (?x2 ) ?

f

(

x1 x1

)? f ? (?

(? x2 x2 )

)

?

(

x1

?

x2

)

由已知

f

(x1) ? f (?x2 ) x1 ? (?x2 )

?

0 ,又 x1

?

x2

?

0,

∴ f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x2 ) .

∴ f (x) 在[?1,1]上单调递增.

(2)∵ f (x) 在[?1,1]上单调递增.

?? x ?

?

1 2

?

1 x ?1



???1 ?

?

x

?

1 2

?

1 ,∴

?

3 2

?

x

?

?1

????1 ?

1 x ?1

?1

故原不等式的解集为{x | ? 3 ? x ? ?1} . 2

(3)∵ f (1) ? 1, f (x) 在[?1,1]上单调递增.

∴在[?1,1]上, f (x) ?1,

问题转化为 m2 ? 2am ?1 ? 1, 即 m2 ? 2am ? 0 对 a ?[?1,1] 恒成立, 设 g(a) ? ?2m ? a ? m2 ? 0 ,

①若 m ? 0,则 g(a) ? 0 ? 0,对 a ?[?1,1] 恒成立,

②若 m ? 0 ,则 g(a) 为 a 的一次函数,

若 g(a) ? 0 对 a ?[?1,1] 恒成立,

必须 g(?1) ? 0 ,且 g(1) ? 0 ,∴ m ? ?2 或 m ? 2 综上,实数 m 的取值范围是 m ? 0 或 m ? ?2 或 m ? 2.