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合川太和中学高2014级高三(上)12月考前练习


合川太和中学高 2014 级高三(上)12 月考前练习

理科数学
( 总分:150 分 考试时间:120 分钟 ) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

1.已知,则等于( ) A.5 B.25 C. C. 2.集合, ,则( ) A. B. C. D. 3.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知,则( ) A. B. C. D. 2 5.若 a ? log 5 4 , b ? (log5 3) , c ? log 4 5 ,则( ) A. B. C. D. 6.若,且,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 7.已知函数,对任意实数都有成立,若当时,恒成立,则的取值范围是( ) A. B.或 C. D.不能确定 8. 函数 的单调递增区间( )
A. C. B. D.

9.在平行四边形 ABCD 中,若且,则( ) A. B. C. D. 10.给出定义:若(其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作{x}, 即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数的四个论断: ①; ② ③ ④的定义域为 R,值域是[一]. 则其中论断正确的序号是 ( ) (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 第Ⅱ部分 二、填空题(共 5 题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若幂函数的图象经过点,则它在 A 点处的切线方程为 12. 锐角△ABC 中, 角 A、 B、 C 对边 a、 b、 c , , 则△ABC 的面积等于 13. 已知,则的最小值是 . 14.已知满足约束条件,且恒成立,则的取值范围为
15.若存在实数使成立,则实数的取值范围是________________.

. .

.

三、解答题(共 6 个小题,满分共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。) 16. (本小题满分 13 分)已知集合,
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求的值

17.(本小题满分 13 分)已知函数. (Ⅰ)判断的奇偶性并证明; (Ⅱ)若,求实数的取值范围.

18. (本小题满分 13 分)设, (a?R ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直 于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数.
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(Ⅰ)求的对称轴方程; (Ⅱ)已知, , ,求的值.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin(?x) ? 2 sin 2 周期为 3? , (Ⅰ)当

?x
2

( ? ? 0 )的最小正

? ? 3? ? x?? , ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; ?2 4 ? (Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ) ,求 sin A 的值。

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln(1 ? x) 。 (Ⅰ) 若在定义域内存在 x0 , 使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 能成立, 求实数 m 的最小值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的零点,求实 数 a 的取值范围。

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理科数学考前练习参考答案
一、选择题(共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1~5: ; 6~10: 二、填空题(共 5 题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ; 12. ; 13. ; 14. 三、解答题(共 6 题,共 75 分) 16.已知集合,求的值 解:



15.

(1)当含有两个元素时: ;???????????6 分 (2)当含有一个元素时: 若??????????????????9 分 若????????????????12 分 综上可知:????????????????????13 分 17.解: (Ⅰ)定义域为,当递增时,递增,递增,∴在上递增; ∵,∴是奇函数 (Ⅱ)∵是奇函数,∴原不等式等价于 ∵在上递增,∴,解得

18. 设,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值. 解: (Ⅰ) ,
????????????????????????????2 分 由于曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即

?

?

f ? ?1? ? 0 ,
??5 分

??????????????????????????

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??????????????????????????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , 令故 f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数;???????????9 分 令,故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为减函数;??????????12 分 故

f ? x?



x ?1













f ?1? ? 3 。???????????????????????13 分
19.解: (Ⅰ) 令,解得的对称轴是, (Ⅱ) ????(*) ∵ ∴, ∴, 代入(*)式得 ∴

20.已知函数 f ( x) ? 3 sin(?x) ? 2 sin 2 (Ⅰ)当

?x
2

( ? ? 0 )的最小正周期为 3? ,

? ? 3? ? x?? , ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; ?2 4 ? (Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ) ,求 sin A 的值。 1 ? cos(? x) ? 解: f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2 ? ? 3 sin(? x) ? cos(? x) ? 1 ? 2sin(? x ? ) ? 1 2 6 2? 2 依题意函数 f ( x) 的最小正周期为 3? ,即 ? 3? ,解得 ? ? , ? 3 2 ? 所以 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 1 3 6 ????????????????????????4
分 (Ⅰ)由

3? ? 2 ? 2? 得 ? x? ? , 2 4 2 3 6 3 2 ? 3 3 所以,当 sin( x ? ) ? 时, f ( x) 最小值 ? 2 ? ?1 ? 3 ?1 3 6 2 2 ?x?

?

?????? 6

分 (Ⅱ)由 f (C ) ? 2 sin(

2C ? 2C ? ? ) ? 1 及 f (C ) ? 1 ,得 sin( ? ) ?1 3 6 3 6 ? 2 ? 2? 2 ? ? ? 而 ? C? ? , 所以 C ? ? ,解得 C ? 2 3 6 3 3 6 2 2 ????????????8 分
在 Rt?ABC 中,? A ? B ?
2

?
2

, 2 sin B ? cos B ? cos( A ? C )
2

2 cos A ? sin A ? sin A ? 0 ,???????????????????????? 10


? sin 2 A ? sin A ? 1 ? 0 , 解得 sin A ?
12 分 21.设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 。
2

?1? 5 ? 0 ? sin A ? 1 , ? sin A ? 2

5 ?1 2

?????????

(Ⅰ) 若在定义域内存在 x0 , 使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 能成立, 求实数 m 的最小值;
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(Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的零点,求实 数 a 的取值范围。 解 : ( Ⅰ ) 要 使 得 不 等 式
m ? f ( x) min 。
求 ???????????1 分 导 得 ?????????????2 分 :

f ( x0 ) ? m ? 0

能 成 立 , 只 需

f ' ( x) ? 2(1 ? x) ? 2 ?
∵ 函

的 定 义 域 为 ??????????????3 分 (? 1,? ? ), 当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在区间 (?1, 0) 上是减函数; 当 x ? (0, ??) 时 , f ?( x ) ? 0 , ∴ 函 数 f ( x) 在 区 间 (0 , + ∞ ) 上 是 增 函 数。 ?????????5 分 ∴ f ( x) min ? f (0) ? 1 , ∴ m ? 1 。 故实数 m 的最小值为 1。 ???????? 6分 (Ⅱ)由 f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 得:
2

1 2 x( x ? 2) , ? 1? x x ?1 数 f ( x)

g ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln(1 ? x) ? ( x 2 ? x ? a) ? x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) ? a
??7 分

?????

由题设可得:方程 (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? a 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个相异实根。

设 h ? x ? ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 。∵ h? ? x ? ? 1 ?

x
h? ? x ? h ? x?

0

? 0,1?
- 减函数

2 x ?1 ,列表如下: ? 1? x x ?1 ?1, 2 ?
0 + 增函数

2

2 ? 2 ln 2

3 ? 2 ln 3

∵ h ? 0 ? ? h ? 2 ? ? 1 ? (3 ? 2 ln 3) ? 2(ln 3 ? 1) ? 2(ln e ? 1) ? 0 ,∴ h ? 0 ? ? h ? 2 ? 。 画出函数 h ? x ? 在区间 ? 0, 2? 上的草图(见右图) , 易知要使方程 h ? x ? ? a 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个相异实根, 从而有 h ? x ?max ? 1 , h ? x ?min ? 2 ? 2 ln 2

2 ? 2 ln 2? a ? 3? 2 ln 3 , a ? ? 2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3? 。 ??????12 分
只 需 :





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