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一元二次方程判别式与韦达定理培优


第十一讲 一元二次方程判别式与韦达定理 例 1、已知方程 2 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 的一个根为 x1 ? 1 ,求另一根 x2 的值.

变式: (1)求证:方程 ? a ? b ? x ? ? b ? c ? x ? c ? a ? 0
2

? a ? b ? 有一个根为 1.

(2)若两个关于 x 的方程 x2 ? x ? a ? 0 与 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有一个公共的实数根,求 a 的值.

(3)若两个关于 x 的方程 a 2 x2 ? ax ? 1 ? 0 与 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 有一个公共的实数根,求 a 的值.

例 2、判断下列关于 x 的方程的根的情况: (1) ? x ? 1?? x ? 2 ? ? m ;
2

(2) k 2 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ; (3) ? a ? 1? x ? 2a x ? a ? 0
2 2 3

例 3、已知关于 x 的方程 ? 2 ? k ? x ? 6kx ? 4k ? 1 ? 0 , (1)只有一个实根,求 k 的值,并求此时方程的根;
2

(2)有两个相等的实数根,求 k 的值,并求此时方程的根.

1

变式: ( 1 ) 若 关 于 x 的 方 程 m x ? 2 ? m? 2 无实根,试判断关于 x 的方程 ? x? m?5 ?0
2

? m ? 5? x 2 ? 2 ? m ? 2 ? x ? m ? 0 的实根的情况.

例 4、当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 mx2 ? 4 x ? 4 ? 0 与 x2 ? 4mx ? 4m2 ? 4m ? 5 ? 0 的根 都是整数.

变式:已知 m 为有理数,当 k 为何值时,方程 x2 ? 4mx ? 4 x ? 3m2 ? 2m ? 4k ? 0 的根为有理数?

根的判别式的巩固练习: (1)关于 x 的方程 ? 2 x ? m ?? mx ? 1? ? ? 3x ? 1?? mx ? 1? 有一个根为 0,求 m 的值交求出另一个根.

(2)如果关于 x 的一元二次方程 ? ax ? 1?? x ? a ? ? a ? 2 的各项系数之和等于 3,求 a 的值并解此方程.

(3)已知关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 与 2 x ? ? m ? 3? x ? 5 ? 0 有一个相同的根,求 m 的值及这个相同
2

的根.

2 2 (4)若关于 x 的方程 m ? 1 x ? 2 ? m ? 2 ? x ? 1 ? 0 有实根,求 m 的取值范围.

?

?

(5)已知方程 ? b ? x ? ? 4 ? a ? x ?? c ? x ? ? 0 .求证: (1)此方程必有实数根; (2)若 a、b、c 为三角形
2

ABC 的三边,方程有两个相等的实数根,则三角形 ABC 为等边三角形.
2

例 5、已知方程

?

5 ?1 x2 ?

?

?

5 ? 5 x ? 4 ? 0 的一个根为-1,设另一个根为 a,求 a3 ? 2a2 ? 4a .

?

变式:已知方程 x ? 2 ? m ? 2 ? x ? m ? 4 ? 0 两个实根的平方很比两实根的积大 21,求 m 的值。
2 2

例 6、设 ? , ? 是方程 3x2 ? 5x ? 12 ? 0 的两根,不解方程求下列对称式的值: (1)

1

?

?

1

?

2 2 ; (2) ? ? ? ; (3) ?? ? ? ? ; (4)
2

? ? ? ? 1 ?? 1 3 3 (5) ? ? 1? ? ? 1? ; (6) ? ? ? . ? ; ? ? ?? ?? ? ?

变式:1.设 ? , ? 是方程 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 的两根,不解方程求下列对称式的值:

?2 ?2 ? (1) ; 1 ? 2? 1 ? 2 ?

(2) | ? ? ? | ;

2 2 (3) ? ? ? ; (4) ? ? 2? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 .

2

2

?

??

?

? ? 7 ? ? 8? ; 2. 设 ? , ? 是方程 x 2 ? 7 x ? 8 ? 0 的两根, 不解方程求下列非对称式的值: (1 ) ( 2 ) ? 3? 2 ,
3 2

2

?

其中 ? ? ? .

3

例 7、不解方程,作一个一元二次方程,使它的两根: (1)分别是方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的两根的立方; (2)分别比方程 x 2 ? 7 ? 5 x 的两根大 3;

(3)分别是 ? ? 2? 和 2? ? ? ,其中 ? , ? 是方程 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 的根; (4)分别是方程 5x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的两根平方的负倒数.

变式:根据下列条件,求 m 或 k 的值: (1)方程 2 x2 ? 4mx ? 5m ? 0 的两根平方和等于 3; (2)方程 2 ? x ? 1?? x ? 3m ? ? x ? m ? 4 ? 的两根之和等于两根之积; (3)方程 4 x 2 ? 12 x ? m ? 0 的两个根之比为 3:2; (4)若方程 x 2 ? 3x ? m ? 0 的两个根互为倒数; (5)方程 2 x ? ? k ? 1? x ? 5 ? 0 的两个根互为相反数;
2

(6) 2 x ? ? k ? 1? x ? k ? 1 ? 0 的两根之差为 1;
2

(7)方程 5x2 ? x ? 2m ? 0 的一个根是另一个根的 5 倍.

例 8、当实数 k 取何值时,一元二次方程 x ? ? 2k ? 3? x ? 2k ? 4 ? 0 , (1)有两个正根; (2)有两个异号
2

根,且正根的绝对值较大; (3)一根大于 3,一根小于 3.

变式:已知 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 4 x ? 4 ? m ? 1? x ? m ? 0 的两个非零根,问 x1 , x2 能否同号?
2 2

若能,求出相应的 m 的取值范围,若不能说明理由。

4


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