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高二下期数学周周练三(文科普通


高二下期数学周周练三(文科普通)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知命题 p : ?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 ,那么 ? p 是 A. ?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 C. ?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 2. 已知椭圆 ( A. ) B. C. D. B. ?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 D. ?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,则该椭圆的离心率是

3.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y

0 1

1 3
?

2 5
? ?

3 7 )

则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? b x ? a 必过点( A.(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0)

D.(1,2)

4 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 为 f ?( x ) , 且 满 足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x , 则 f ?(e) ? ( A. e
?1

) B. ?1 )个 C. ? e
?1

D. ? e

5.下列说法正确的有(

①在回归分析中,可用指数系数 R 2 的值判断模型的拟合效果, R 2 越大,模型的拟合效 果越好. ②在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合 效果越好. ③在回归分析中,可用相关系数 r 的值判断模型的拟合效果, r 越大,模型的拟合效果 越好. ④在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状 区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高. A.1 B.2 C.3 D.4 6. 化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(
2

) D. y ? 1

A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

7.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

5i 的对应点位于( 2?i

) D.第四象限

B.第二象限

C.第三象限角

1

8.阅读右图的程序框图,则输出 S=( A.14 B.20 C.30

) D.55

9.若 z 满足 (2 ? i) z ? 1 ? 2i ,则 z 的虚部为

A.

5 5

B.

5 i 5

C. 1

D. i

10. 与 参 数 方 程 为 ? (
2

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等 价 的 普 通 方 程 为

) .

y2 ?1 A. x ? 4
C. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


11.f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数,f ?( x ) 的图像如右图所示, 则 f ( x) 的图像只可能是 (

12. 点 P ( x, y ) 是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为(
2 2

) .

A. 22

B. 2 3

C. 11

D. 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲 线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin? ,则曲线 C 的直角坐标方程为_____. 14.观察下列等式

1?1

2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49
…… 照此规律,第 n 个等式为________. 15. 若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数, 则实数 m 的取值范围是
3 2

. .

16.在极坐标中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R ) 距离的最大值是

2

姓名: 13. 14.

班级:

答题卷(文科普通) 学号 15. 16.

三、解答题 3 2 17.已知函数 f(x)=x -3ax +2bx 在点 x=1 处有极小值-1. (1)求 a、b; (2)求 f(x)的单调区间.

18.(本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程.

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
2 2

3

19.当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播,某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第 三季》与年龄是否相关,在某市步行街随机抽取了 110 名成人进行调查,发现 45 岁及 以上的被调查对象中有 10 人收看,有 25 人未收看;45 岁以下的被调查对象中有 50 人 收看,有 25 人未收看. (1)试根据题设数据完成下列 2 ? 2 列联表,并说明是否有 99.9%的把握认为收看《奔 跑吧兄弟第三季》与年龄有关; (2)采取分层抽样的方法从 45 岁及以上的被调查对象中抽取了 7 人。从这 7 人中任意 抽取 2 人,求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率.

4

? 20.已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 , m ? R . 3

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

21. 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 , ?a ? R ?. (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间与最值; (2)若 f ( x) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.

5

22.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标
2 2

原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程. (Ⅱ) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积.

π 设 C2 , C3 的交点为 M , N , 求 ?CM ?? ?R?, 2N 4

6

参考答案 1.D 【解析】命题的否定,就是把命题的结论否定,条件不变,但条件中的存在量词必须作相应 的改变,因此 ? p 是 ?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 .选 D. 【考点】命题的否定. 2.D 【解析】抛物线的焦点坐标为 即 3.B 【解析】 试题分析:由数据可知 x ?
? ? ?

,所以椭圆中的 ,选 D

。所以



。所以椭圆的离心率为

0 ? 1? 2 ? 3 1? 3 ? 5 ? 7 ? 1.5 , y ? ? 4 ,∴线性回归方程为 4 4

y ? b x ? a 必过点(1.5,4)
考点:本题考查了线性回归直线方程的性质 点评:解决此类问题常常用到线性回归直线方程恒过定点 ( x, y ) 这一结论,属基础题 4.C 【解析】 试题分析:? f ? x ? ? 2xf ? ? e? ? ln x ,? f ? ? x ? ? 2 f ? ? e ? ? 得 f ??e? ? ?

1 1 ,? f ? ? e ? ? 2 f ? ? e ? ? ,解 x e

1 ,故选 C. e

考点:导数的计算 5.B 2 2 【解析】用系数 R 的值判断模型的拟合效果,R 越大,模型的拟合效果越好,故(1)正确, 可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故(2)不 正确 可用相关系数 r 的值判断模型的拟合效果,|r|越大,模型的拟合效果越好,故(3)正确, 一般不能用残差图判断模型的拟合效果,故(4)不正确, 综上可知有 2 个命题正确, 故选 B. 6. C 7.B 【解析】 试题分析: 根据复数除法(分子分母同时乘以分母的共轭复数)得 z ? 则 z 所对应点的坐标为(-1,2),在第二象限,故选 B 考点:复数 复数除法

5i(2 ? i) ? ?1 ? 2i , (2 ? i)(2 ? i)

8.C 【解析】 试题分析:运行程序框图如下:

S ? 0, i ? 1 S S S S ? 1, i ? 2 ? 5, i ? 3 ? 14, i ? 4 ? 30, i ? 5

故选 C 考点:程序框图 9.A 【解析】 z ?

1 ? 2i 2?i

?

5 5(2 ? i) 5(2 ? i) 2 5 5 . ?? ? ? i ,虚部为 5 (2 ? i)(2 ? i) 5 5 5

【考点】复数的运算与复数的定义. 10. D 11. D 考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性与导数. 12.A
2 13. x2 ? (y ?1 ) ?1

【解析】 试题分析:将极坐标化为直角坐标,求解即可. 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sn?, ? ? ? 2? sn? ,它的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ,
2 2 2 2 2 2 故答案为: x ? ? x2 ? (y ? 1 ) ?1 . (y ?1 ) ? 1.

【考点定位】圆的极坐标方程 【名师点睛】1.运用互化公式: ? ? x ? y , y ? ? sin ? , x ? ? cos? 将极坐标化为直角坐
2 2 2

标; 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性 质,可转化直角坐标系的情境进行. 14. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1) 【解析】 试题分析:根据题意,由于观察下列等式
2

1?1

2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49
照此规律,等式左边的第一个数就是第几行的行数,那么共有 n 个数相加,右边是最中间数

的平方,故第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1) .
2

考点:归纳推理. 15. [ , ??) 16. 6 【解析】由题意 ? 2 ? ? sin ? ,转化为普通方程为 x 2 ? y 2 ? 8 y ,即 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ;直 线? ?

1 3

?
3

( ? ? R ) 转化为普通方程为 y ? 3x ,则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心

的直线上半径加上圆心到直线的距离,设圆心到直线的距离为 d ,圆的半径为 r ,则圆上的 点到直线距离的最大值 D ? d ? r ?

|0?4| 1 ? (? 3)
2 2

?4 ? 2?4 ? 6.

【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化;2.圆上的点到直线的距离. 【名师点睛】 对于极坐标与参数方程的问题, 考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方 程,抓住核心: ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y ,普通方程转化成极坐标方程,抓住
2 2 2 核心: x ? y ? ? , tan ? ?

y .圆上的点到直线的距离最大值或最小值,要考虑到圆的半 x

径加上(或减去)圆心到直线的距离.

? 1 a= , ? 1? ? ? 3 17. (1) ? (2)在区间 ? ??, ? ? 和(1,+∞)上,函数 f(x)为增函数; 3? ? ?b=- 1 . ? ? 2
在区间 ? ? ,1? 上,函数 f(x)为减函数. 【解析】(1)由已知,可得 f(1)=1-3a+2b=-1,①又 f′(x)=3x -6ax+2b,
2

? 1 ? ? 3 ?

? 1 a= , ? ? 3 ∴f′(1)=3-6a+2b=0.②由①②解得 ? ?b=- 1 . ? ? 2
(2)由(1)得函数的解析式为 f(x)=x -x -x. 2 由此得 f′(x)=3x -2x-1. 根据二次函数的性质, 当 x<- 当-
3 2

1 或 x>1 时,f′(x)>0; 3

1 <x<1 时,f′(x)<0. 3

因此,在区间 ? ??, ? ? 和(1,+∞)上,函数 f(x)为增函数;

? ?

1? 3?

在区间 ? ? ,1? 上,函数 f(x)为减函数.

? 1 ? ? 3 ?

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 , 18.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 (2)把直线 ? ,代入 x 2 ? y 2 ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .
11 . 21
2

19. (1)表格见解析,有关; (2) 【解析】

试题分析:(1)根据题目条件填写表格,利用公式,可计算 K 的值,根据临界值表,即可 得到结论; (2)采取分层抽样的方法抽取的 7 人中有 2 人收看,5 人不收看《奔跑吧兄弟第三季》 , 从中任意抽取 2 人由 21 种不同的取法. 记事件 A 为至少有一人收看 《奔跑吧兄弟第三季》 , 基本事件总数为 21,事件 A 包含的事件数为 1 ? 10 ? 11 ,由概率公式即可求得. 试题解析: (1)

由列联表中的数据,得到 k ?
2

110 ? (10 ? 25 ? 50 ? 252 ) ? 13.968 ? 10.828 60 ? 50 ? 35 ? 75

因此,有 99.9% 的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关.

(2)采取分层抽样的方法抽取的 7 人中有 2 人收看,5 人不收看《奔跑吧兄弟第三季》 , 从中任意抽取 2 人由 21 种不同的取法. 记事件 A 为至少有一人收看 《奔跑吧兄弟第三季》 , 基本事件总数为 21,事件 A 包含的事件数为 1 ? 10 ? 11 ,故 P ( A) ? 考点: 独立性检验的应用;古典概型;分层抽样. 20. (Ⅰ) 15x ? 3 y ? 25 ? 0 (Ⅱ) m ? 3 或 m ? ?2 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求函数的导数,切线的斜率 k ? f ? ? 2? ,利用点斜式写出直线方程, (Ⅱ) 求函数 f ? x ? 导数,解方程 f ? ? x ? ? 0 ,确定函数的单调区间 M ,又有 ? ?2,3? ? M ? m 的取值范围.

1 ? 10 11 ? . 21 21

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , 3 5 又 f '( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 .又 f (2) ? , 3 5 所以所求切线方程为 y ? ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3
试题解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ? 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? x 2 ? 2mx ? 3m 2 , 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?3m 或 x ? m . 8分 9分 6分

? x2 ? 0 恒成立,不符合题意. 当 m ? 0 时, f '( x)

当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

??3m ? ?2, 解得 m ? 3 . ?m ? 3.

11 分

当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (m, ?3m) ,若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . ??3m ? 3.

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 . 13 分 考点:函数的导数求法,及导数的几何意义及应用,直线点斜式方程,解方程不等式. 【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题,要熟记互化公式,另外要注意互化 时要将极坐标方程作适当转化,若是和角,常用两角和与差的三角公式展开,化为可以公式 形式,有时为了出现公式形式,两边可以同乘以 ? ,对直线与圆或圆与圆的位置关系,常 化为直角坐标方程,再解决. 21.(1) a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 ?ln 2,??? ,递减区间为 ?? ?, ln 2?

(2)

a 的取值范围为 ?? ?,0? .

【解析】 试题分析:解:(1) 当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2x ? 1 ,∴ f ?( x) ? e x ? 2 . 令 f ?( x) ? 0 ,即 e x ? 2 ? 0 ,解得: x ? ln 2 ; 令 f ?( x) ? 0 ,即 e x ? 2 ? 0 ,解得: x ? ln 2 ; ∴ f ( x) 在 x ? ln 2 时取得极小值,亦为最小值,即 f (ln 2) ? 1 ? 2 ln 2 . ∴当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 ?ln 2,??? ,递减区间为 ?? ?, ln 2?

f ( x) 的最小值为: 1 ? 2 ln 2
(2)∵ f ( x) ? e x ? ax ? 1 , ∴ f ?( x) ? e x ? a . ∵ f ( x) 在 R 上单调递增, ∴ f ?( x) ? e x ? a ? 0 恒成立,
x 即 a ? e ,x ? R 恒成立. ∵ x ? R 时, ∴ a ? 0 .即 a 的取值范围为 ?? ?,0? . e x ? ?0,??? ,

考点:导数在函数内的运用。 点评:解决该试题的关键是能根据导数的符号,判定函数单调性,进而确定出极值。同时能 根据函数递增,则说明导数大于等于零,解决参数范围,属于中档题。 22. (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ)
2

1 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ) 将将 ? =

?
4

代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可
2

求出 ?C2 MN 的面积. 试题解析: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的 极 坐 标 方 程 为

? cos ? ? ?2 , C2 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .……5 分
(Ⅱ)将 ?=

?
4

代入

2 ? 2 ? 2 ? c o s? ? 4? s i n ?? ? 4 , 0得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 , 解 得

?1 = 2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,

因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系


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