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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式章末小结与测评创新应用课件新人教a版选修45_图文

章末小结与测评

本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有 关结论是否成立,再就是利用不等式性质,进行数值 (或代数式)大小的比较,有时考查分类讨论思想,常 与函数、数列等知识综合进行考查.

若 a、b 是任意实数,且 a>b,则( A.a2>b2 a B.b<1 C.lg(a-b)>0
?1? ? ? ? ?a ?1?b D.?2? <?2? ? ? ? ?

)

[ 解析 ]

结合不等式性质和函数的性质 ( 单调性 ) 来比较大

小,或用特殊值法判断. a>b 并不能保证 a、 b 均为正数, 从而不能保证 A、 B 成立. 又 a>b?a-b>0, 但不能保证 a-b>1, 从而不能保证 C 成立. 显 然只有 D 成立. 事实上,指数函数 成立.
?1? ?x y=? ?2? 是减函数,所以 ? ? ?1? ? ? ? ?a ?1?b a>b??2? <?2? ? ? ? ?

[答案] D

1.证明不等式 不等式的证明方法很多,关键是从式子的结构入手分 析,运用基本不等式证明不等式时,要注意成立的条件, 同时熟记一些变形形式,放缩的尺度要把握好.
已知 x>0,y>0,且 ≥9.
? ? 1? 1? ? ?? ? x+y=1,求证:?1+x?· ?1+ y ? ? ?? ?

[证明]

1 x+y y 法一:∵x+y=1,∴x= x =1+x,

1 x+y x ∴ y= y =1+ y, ? ? ? ? y? x? 1? 1? ? ?? ? ? ?? ∴?1+x??1+ y ?=?2+x??2+ y ? ? ? ?? ? ? ?? ?
?x y? ? =5+2?y+x? ?≥5+2×2 ? ?

xy y· x=9.

x y 1 当且仅当 y=x, x+y=1, 即 x=y= 时等号成立. 2 法二:∵x>0,y>0,x+y=1, (x+y)2 1 1 ∴xy≤ = ,∴xy≥4. 4 4

? ? 1? 1? 1 1 1 ? ?? ? ∴?1+x??1+ y ?=1+xy+x+ y ? ?? ?

1 y x =1+xy+1+x+1+ y 1 y x =3+xy+x+y ≥3+4+2 y x 当且仅当x= y,x+y=1, 1 即 x=y= 时等号成立. 2 xy y· x=9.

若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1. 1 1 1 9 求证: + + ≥ . a+b b+c c+a 2

[证明]

∵a、b、c∈R+且 a+b+c=1,

∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a).
? 1 1 1 ? ? ? ∴[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· ?a+b+b+c+c+a? ? ?

≥ ×3 3

3

3

(a+b)(b+c)(c+a)

1 1 1 · · =9. a+b b+c c+a

∴原式得证.

2.求函数的最值 在利用基本不等式求函数最值时,一定要满足下列三 个条件:①x、y 为正数.②“和”或“积”为定值.③等 号一定能取到,这三个条件缺一不可. 1 已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大 3

值.

1 [解] y=x(1-3x)= ×3x×(1-3x), 3 1 ∵0<x< ,∴1-3x>0,x>0. 3 1 ∴y=x(1-3x)= ×3x×(1-3x)≤ 3
? 1 ? 1 ?3x+(1-3x)?2 × ? =12. 3 ? 2 ? ?

当且仅当 3x=1-3x 1 1 即 x= ,y 有最大值 . 6 12



π 0<x< 时 , 函 数 2 )

f(x) =

1+cos 2x+8sin2x 的最小值为( sin 2x A .2 C .4 B.2 D.4 3 3

[解析]

利用二倍角公式和同角三角函数关系,

将函数式转化变形,再用基本不等式求解. 2cos2x+8sin2x 1 f(x)= = +4tan x. 2sin xcos x tan x
? π? ? ∵x∈?0, ? ,∴tan 2? ? ?

x>0. 1 ·4tan x=4, tan x

1 故 f(x)= +4tan x≥2 tan x 故选 C.
[答案] C

3.解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的 限制,在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形.对 于一些分式结构的函数,当分子中变量的次数不小于分母 中变量的次数时,通常采用分离变量(或常数)的方法,拼 a 凑出类似函数 y=x+x的结构,然后用基本不等式(符合条 件 )或单调性求最值.这种变形的技巧经过适当的强化训 练,是可以较容易掌握的.

某游泳馆出售冬游泳卡,每张 240 元,其使用 规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班 有 48 名同学, 老师打算组织同学们集体去游泳, 除需购买 若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多 少名同学,每次的包车费均为 40 元. (1)若使每个同学游 8 次,每人最少应交多少元钱? (2)若使每个同学游 4 次,每人最少应交多少元钱?

[解] 设买 x 张游泳卡,总开支为 y 元,则 48×8 (1)每批去 x 名同学,共需去 x 批, 总开支又分为:①买卡所需费用 240x, 48×8 ②包车所需费用 x ×40. 48×8 ∴y=240x+ x ×40(0<x≤48,x∈Z).
? 64? ? ∴y=240?x+ x ? ?≥240×2 ? ?

64 x× x =3 840,

64 当且仅当 x= x ,即 x=8 时取等号. 3 840 故每人最少应交 =80(元). 48

48×4 (2)每批去 x 名同学,共需去 x 批, 总开支又分为:①买卡所需费用 240x,②包车所 需 48×4 费用 x ×40. 48×4 ∴y=240x+ x ×40(0<x≤48,x∈Z).
? 32? ? ∴y=240?x+ x ? ?≥240×2 ? ?

32 x× x =1 920 2,

32 当且仅当 x= x , 即 x=4 2时取等号. 但 0<x≤48,x∈Z,

? 32? ? 又当 x1=5 时,y1=240×?5+ 5 ? ?=2 736; ? ? ? 32? ? 当 x2=6 时,y2=240×?6+ 6 ? ?=2 720. ? ?

∵y1>y2, ∴当 x=6 时,y 有最小值, 即 ymin=2 720. 故每人最少应交 2 720 ≈56.67(元). 48

1.公式法 |f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x); |f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x). 2.平方法 |f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2. 3.零点分段法 含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含 绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次 在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一 个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不 含绝对值的不等式去解.

解下列关于 x 的不等式: (1)|x-x2-2|>x2-3x-4; (2)|x+1|>|x-3|; (3)|x2-2|x|-2|≤1; (4)|x-2|-|2x+5|>2x; (5)|2x-1|<|x|+1.

[解] (1)法一:原不等式等价于 x-x2-2>x2-3x-4 或 x-x2-2<-(x2-3x-4), 解得 1- 2<x<1+ 2或 x>-3, ∴原不等式的解集为{x|x>-3}. 法二: ∵|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2(x2-x+ 2>0), ∴原不等式等价于 x2-x+2>x2-3x-4?x>-3. ∴原不等式的解集为{x|x>-3}.

(2)法一:|x+1|>|x-3|, 两边平方得(x+1)2>(x-3)2, ∴8x>8,∴x>1, ∴原不等式的解集为{x|x>1}. 法二:分段讨论: 当 x≤-1 时,有-x-1>-x+3,此时 x∈?; 当-1<x≤3 时,有 x+1>-x+3, 即 x>1,∴此时 1<x≤3; 当 x>3 时,有 x+1>x-3 成立,∴x>3. ∴原不等式解集为{x|x>1}.

(3)∵x2=|x|2, ∴原不等式化为
2 ? | x | -2|x|-3≤0, ? 2 - 1≤|x| - 2|x| - 2≤1 , 即 ? ? 2 ? ?|x| -2|x|-1≥0

? ? ?(|x|-3)(|x|+1 )≤0, ?|x|≤3, ? ? ? ? ?(|x|-1+ 2)(|x|-1- 2)≥0 ? ?|x|≥1+

2.

∴1+ 2≤|x|≤3. ∴原不等式解集为[-3,-1- 2 ]∪[1+ 2,3].

5 (4)分段讨论:①当 x<- 时,原不等式变形为 2 2-x+2x+5>2x, 解得 5 ②当- ≤x≤2 时, 2 3 原不等式变形为 2-x-2x-5>2x,解得 x<- . 5 ? ? 5 3? ? ? ∴解集为?x|-2≤x<-5? . ? ? ? ③当 x>2 时,原不等式变形为 x-2-2x-5>2x, 7 解得 x<- ,∴原不等式无解. 3
? ? 3? ? ? 综上可得,原不等式的解集为?x|x<-5? . ? ? ? ? ? 5? ? ? x<7, ∴解集为?x|x<-2? . ? ? ?

(5)当 x<0 时,原不等式可化为-2x+1<-x+1, 解得 x>0, 又∵x<0,∴x 不存在; 1 当 0≤x< 时,原不等式可化为-2x+1<x+1, 2 解得 x>0, 1 1 又∵0≤x< ,∴0<x< ; 2 2 1 当 x≥ 时, 原不等式可化为 2x-1<x+1, 即 x<2, 2 1 ∴ ≤x<2. 2 综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.

若不等式对于给定区间内的任意值都成立,我们 称它为不等式恒成立问题,常用的解决方法有: (1)实根分布法 涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问 题时,应根据“三个二次”的辩证统一关系,按照二 次三项式有无实根分类讨论去解决问题. (2)最值法 运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a” 可解决恒成立中的参数范围问题.

(3)更换主元法 不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非 常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互 换,常可得到简捷的解法. (4)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合, 揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维 各自的优势,可直观地解决问题.

若不等式|x-a|+|x-2|≥1 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

[解]

设 y=|x-a|+|x-2|,则 ymin=|a-2|.

因为不等式|x-a|+|x-2|≥1 对?x∈R 恒成立, 所以|a-2|≥1,解得:a≥3 或 a≤1.

若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集, 求 a 的取值范围.

[解]

法一:(1)当 a≤0 时,

不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集. (2)当 a>0 时, 先求不等式|x-4|+|3-x|<a 有解时, a 的取值范围. 令 x-4=0,得 x=4,令 3-x=0,得 x=3. 当 x≥4 时,x-4+x-3<a,即 2x-7<a,

?x≥4, ? a+7 ? 解不等式组 a+7 得 4≤x< 2 ,∴a>1. , ? x< 2 ?

②当 3<x<4 时,有 4-x+x-3<a,即 a>1. ③当 x≤3 时,有 4-x+3-x<a,即 7-2x<a.
?x≤3, ? 7-a 解不等式组? 7-a 得 <x≤3,∴a>1. 2 , ? x> 2 ?

综合①②③可知当 a>1 时,原不等式有解,从而当 0<a≤1 时,原不等式解集为空集. 由(1)(2)两种情况可知不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集 是空集时,a 的取值范围是 a≤1.

法二:令 y=|x-4|+|3-x|.

?2x-7,x≥4, ? 则 y=?1,3<x<4, ? ?-2x+7,x≤3.

作出图象如图,由图象观察可知,要使不等式|x-4| +|3-x|<a 的解集为空集,显然 a≤1.

一、选择题

1.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( x+ y A.x< <y<2xy 2 x+ y C.x< <2xy<y 2

)

x+ y B.2xy<x< <y 2 x+ y D.x<2xy< <y 2

解析:选 D

x+y 1 1 3 可以代入 x= ,y= ,验证 = , 4 4 2 2

y+x 3 2xy= ,显然 x<2xy< <y. 8 2

2.若 1<a<3,-4<b<2,则 a-|b|的取值范围是 ( ) A.(-1,3) C.(-3,3) B.(-3,6) D.(1,4)

解析:选 C

∵-4<b<2,

∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0. 又 1<a<3,∴-3<a-|b|<3.

3.下列命题正确的是( A.a>b?ac >bc
2 2

)

a b B.c> c?a>b a2>b2? ? 1 1 ?? < D. ab>0 ? ? a b

a3>b3? ? 1 1 ?? < C. ab>0 ? ? a b
解析:选 C

∵ab>0,∴a,b 同号.又 a3>b3,

a b 1 1 ∴a>b.∴ab>ab.∴b>a.

4.已知|α+β|=|α|+|β|,|α |>2 2,|β |>2 2,则下 列结论: ①|α -β|≤|α+β|;②|α-β|>|α+β|;③|α+β|>5; ④|α +β|≤5.其中正确的有( A.①② C.②③ B.①③ D.③④ )

解析:选 B

由|α+β|=|α|+|β|知 α,β同号,

∴|α-β|≤|α+β|成立.∵|α|>2 2,|β |>2 2, ∴|α+β|=|α|+|β|>4 2>5 成立. ∴①③正确.

二、填空题

5.(陕西高考)设 a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-b|>2 的解集是________.
解析:∵|x-a|+|x-b|≥|a-b|>2, ∴|x-a|+|x-b|>2 恒成立,则解集为 R.
答案:(-∞,+∞)

y2 6.设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则xz的 最小值是________.
x+3z y2 解析: 由 x - 2y + 3z = 0 得 y = ,代入 xz 得 2 x2+9z2+6xz 6xz+6xz ≥ =3, 4xz 4xz 当且仅当 x=3z 时取“=”.
答案:3

7.(江西高考)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+ 1|≤6 的解集为________.
1 ? ?x<- , 2 解析:原不等式可化为? ? ?1-2x-2x-1≤6 1 ? 1 ? 1 ?- ≤x≤ , ?x > , 2 或? 2 或? 2 ? ?1-2x+2x+1≤6 ? ?2x-1+2x+1≤6. 3 3 解得- ≤x≤ , 2 2
? ? 3 3? ? ? 即原不等式的解集为?x|-2≤x≤2? . ? ? ? ? ? 3 3? ? x|- ≤x≤ ? 答案:? ? 2 2? ? ?

8.a>0,b>0,给出下列四个不等式: 1 ①a+b+ ≥2 2; ab a2+b2 ③ ≥a+b; ab
?1 1? ? + ②(a+b)? ?a b?≥4; ? ?

1 ④a+ ≥-2. a+4

其中正确的不等式有________(只填序号).

解析:∵a>0,b>0, 1 1 ∴①a+b+ ≥2 ab+ ≥2 ab ab
?1 1? ? + ②(a+b)? ?a b?≥4 ? ?

1 2 ab· =2 2, ab

ab×

1 ab=4;

③∵

a2+b2 a+b ≥ , 2 2

2 ( a + b ) (a+b) 2 2 ∴a +b ≥ =(a+b) ≥(a+b) ab, 2 2

a2+b2 ∴ ≥a+b; ab

1 1 ④a+ =(a+4)+ -4 a+4 a+4 ≥2 1 (a+4)· -4=2-4=-2. a+4

1 当且仅当 a+4= , a+4 即(a+4)2=1 时等号成立, 而 a>0,∴(a+4)2≠1, ∴等号不能取,综上可知①②③正确.
答案:①②③

三、解答题 t+1 1 9.设 a>0,且 a≠1,t>0,比较 logat 与 loga 的 2 2 大小.

t+1 1 t+1 解:∵loga - logat=loga , 2 2 2 t 又 t>0,t+1-2 t=( t-1)2≥0, t+1 故 t+1≥2 t,∴ ≥1. 2 t t+1 ①当 0<a<1 时,loga ≤loga1=0, 2 t t+1 1 t+1 ∴loga ≤ logat.②当 a>1 时,loga ≥loga1=0, 2 2 2 t t+1 1 ∴loga ≥ logat. 2 2

2x 10.求当 x≠0 时,f(x)= 2 的值域. x +1
2x 2 解:当 x>0 时,f(x)= 2 = . 1 x +1 x+x 1 1 1 ∵x+x≥2,∴0< ≤ . 1 2 x+x ∴0<f(x)≤1,当且仅当 x=1 时,等号成立.

2x 当 x<0 时,f(x)= 2 = x +1

, 1 (-x)+(-x) 1 1 1 1 ∵(-x)+(-x)≥2,∴x+x≤-2,∴- ≤ <0, 2 1 x+x ∴-1≤f(x)<0,当且仅当 x=-1 时,等号成立. 2x ∴函数 f(x)= 2 的值域为[-1,0)∪(0,1]. x +1

-2

11.已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a. (1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (2)若存在 x∈R,使得 f(x)≥g(x)成立, 求实数 a 的取 值范围.

解:(1)∵|x+1|≥2|x|?x2+2x+1≥4x2 1 ?- ≤x≤1, 3 ∴不等式
? 1 ? ? f(x)≥g(x)的解集为?-3,1? ?. ? ?

(2)若存在 x∈R, 使得|x+1|≥2|x|+a 成立, 即存在 x∈R, 使得|x+1|-2|x|≥a 成立. 令 φ(x)=|x+1|-2|x|,则 a≤φ(x)max,
?1-x,x≥0, ? 又 φ(x)=?3x+1,-1≤x<0, ? ?x-1,x<-1.

当 x≥0 时,φ(x)≤1; 当-1≤x<0 时,-2≤φ(x)<1;当 x<-1 时,φ(x)< -2.综上可得:φ(x)≤1,∴a≤1, 即实数 a 的取值范围为(-∞,1].

(时间:90 分钟

满分:120 分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分, 共 50 分) 1. “|x-1|<2”是“x<3”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A

∵|x-1|<2

?-2<x-1<2?-1<x<3. ∵-1<x<3?x<3,反之不成立. 从而得出 “|x - 1|< 2” 是 “x<3” 的充分不必要条 件.

1 1 2.a<b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|; b a ③a<b;④a+b>2 中,正确的不等式有( ) A.①② C.①④ B.②③ D.③④

解析:选 C

1 1 ∵a<b<0,∴0>a>b,③不正确.

∴a+b<0, ab>0, 故 a+b<ab 成立, 即①正确. 由 0>a>b,得|a|<|b|,∴②不正确.
2 ( a - b ) b a b a 又 a+b - 2= >0,∴a+b>2,即④正 ab

确.

3.若 a>b>c,则一定成立的不等式是( A.a|c|>b|c| B.ab>ac 1 1 1 C.a-|c|>b-|c| D.a<b<c

)

解析:选 C

当 c=0 时,A 不成立;

a<0 时,B 不成立;当 a=1,c=-1 时,D 不成立. ∵a>b,∴C 成立.

4 .函数 (

? ? 1 ? y = log2 ?x+x-1+5? ? (x > 1) 的最小值为 ? ?

) A.-3 B.3 C.4 D-4
解析:选 B x>1?x-1>0,y=

? ? 1 ? log2?x+x-1+5? ?= ? ? ? ? 1 ? log2?x-1+x-1+6? ?≥log2(2+6)=log28=3. ? ?

a 5.设 6<a<10, ≤b≤2a,c=a+b,那么 c 的取值 2 范围是 ( ) B.0≤c≤18 D.15<c<30 A.9<c<30 C.0≤c≤30

a 3a 解析: 选 A 因为 ≤b≤2a, 所以 ≤a+b≤3a. 2 2 3a 3a 又因为 6<a<10, 所以 >9, 3a<30.所以 9< ≤a 2 2 +b≤3a<30.即 9<c<30.

6.已知|x-a|<b 的解集为{x|2<x<4},则实数 a 等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析:选 C

由|x-a|<b 得,a-b<x<a+b,

? ? ?a-b=2, ?a=3, ? 由已知得? 解得 ? ? ?a+b=4, ?b=1.

7. 设 xy<0, x, y∈R, 则下列选项正确的是( A.|x+y|>|x-y| B.|x-y|<|x|+|y| C.|x+y|<|x-y| D.|x-y|<||x|-|y||
解析:选 C =-1 验证即可.

)

∵xy<0,∴x,y 异号.不妨取 x=1,y

8.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为( A.(-∞,+∞) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(0,1)

)

解析:选 D

在|a+b|≤|a|+|b|中,当 ab>0 或至少

有一者为零时取等号, ∴当|a+b|<|a|+|b|时,ab<0, ∴x·log3x<0, ∵x>0,∴log3x<0,故 0<x<1.

1 9.若 0<x< ,则 x2(1-2x)有( 2 1 1 A.最小值 B.最大值 27 27 1 1 C.最小值 D.最大值 3 3

)

解析:选 B

1 ∵0<x< ,∴1-2x>0, 2

?x+x+(1-2x)? ?3 x2(1-2x)=x· x· (1-2x)≤? ? ? 3 ? ? ?1? 1 ? ?3 =?3? = , 27 ? ?

1 当且仅当 x=1-2x,即 x= 时,上式取等号, 3 1 1 2 ∴当 x= 时,x (1-2x)有最大值 . 3 27

1 10.已知 a>0,b>0,a、b 的等差中项是 ,且 α=a 2 1 1 +a,β =b+b,则 α+β 的最小值是( ) A .3 B.4 C.5 D .6

1 解析:选 C ∵因为 a+b=2× =1, 2 1 1 所以 α+β=a+a+b+b a+b b+a 1 1 =1+a+b=1+ a + b b a =3+a+b≥5, 当且仅当 a=b 时等号成立,故选 C.

二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? 1? 1 ? 11.下列不等式:①x+x≥2;②?x+x? ?≥2;③若 0 ? ?

<a<1<b,则 logab+logba≤-2;④若 0<a<1<b,则 logab+logba≥2.其中正确的是________.

1 1 解析:①当 x>0 时,x+x≥2,当 x<0 时,x+x≤- 2;
? 1? 1 1 ? ? ②∵x 与x同号,∴?x+x?=|x|+ ≥2; |x| ? ?

③当 0<a<1<b 时,logab<0,logba<0, ∴-logab>0,-logba>0,∴logab+logba≤-2; ④由③知 logab+logba≥2 是错误的.

答案:②③

12.(江西高考)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为________.
解析:依题意得-1≤|x-2|-1≤1,即|x-2|≤2,解 得 0≤x≤4.
答案:[0,4]

13. 已知 x2+2y2=1, 则 x2y4-1 的最大值是________.
解析:∵x2+2y2=1,∴x2+y2+y2=1. 又 x2·y4-1=x2·y2·y2-1,
?x2+y2+y2? 1 ? ?3 2 2 2 ∵ x ·y ·y ≤ ? ? =27, 3 ? ?

1 26 26 2 4 ∴x y -1≤ -1=- .即 x y -1≤- . 27 27 27 26 2 4 ∴x y -1 的最大值是- . 27 26 答案:- 27
2 4

|x2-1| 14.(天津高考)已知函数 y= 的图象与函数 x-1 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围 是________.

?x+1,x≤-1或x>1, |x2-1| ? 解析:因为函数 y= =? x-1 ? ?-x-1,-1<x<1,

函数 y=kx-2 的图象恒过点(0, -2), 根据图象易知, 两个函数图象有两个交点时,0<k<1 或 1<k<4.

答案:(0,1)∪(1,4)

三、解答题(本大题共有 4 小题,共 50 分) 15. (本小题满分 12 分)设关于 x 的不等式 lg(|x +3|+|x-7|)>a. (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R?

解:(1)当 a=1 时,原不等式可变为|x+3|+|x-7|>10, 可得其解集为{x|x<-3,或 x>7}. (2)∵|x+3|+|x-7|≥|x+3-(x-7)|=10 对任意 x∈R 都 成立. ∴lg(|x+3|+|x-7|)≥lg10=1 对任何 x∈R 都成立. 即 lg(|x+3|+|x-7|)>a,当且仅当 a<1 时,对任何 x ∈R 都成立.

1 1 16.(本小题满分 12 分)若 a>b>c,求证: + a-b b-c 4 ≥ . a- c

证明:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.
? 1 1 ? ? ∴(a-c)?a-b+b-c? ? ? ? ? 1 1 ? ? =[(a-b)+(b-c)]?a-b+b-c? ? ? ?

≥ 2 (a-b)(b-c) · 2 当 a-b=b-c 时,等号成立). 1 1 4 ∴ + ≥ . a-b b-c a-c

1 1 · = 4( 当 且 仅 a-b b-c

17. (本小题满分 12 分)某学校为了美化校园, 要建造 一个底面为正方形,容量为 32 m3 的柱形露天喷水池,问 怎样建才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花 费最少?

解:设喷水池底面正方形边长为 x m,高为 y m, 则 x2y=32, 底面面积与四壁面积之和为 S=x2+4xy=x2+2xy+2xy ≥3 4x y =3 4×322=48. 上式当且仅当 x2=2xy, 即 x=2y 时取等号. 又 x2y=32,可得 x=4,y=2. 答:当底面正方形边长为 4 m,高为 2 m 时,材料花 费最少. 3
4 2

3

18.(本小题满分 14 分)(福建高考)设不等式|2x-1|< 1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

解:(1)由|2x-1|<1 得-1<2x-1<1, 解得 0<x<1, 所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1. 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0, 故 ab+1>a+b.



? ?2x+ay-2a=0, M(x,y),则由? ? ?2ax-9y-18=0,

? ?2x=(2-y)a, 解得? (a ? ?9y+18=2ax

为参数).消去 a,

可得 4x2+9y2=36(x≠0), 所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上,长轴长为 6,短轴长为 4 的椭圆(除去点 B,B′).


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