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福建省宁德市霞浦一中2016-2017学年高一第一次月考数学试卷.doc

2016-2017 学年福建省宁德市霞浦一中高一(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则 M∩N=( A.{0,1} 【考点】交集及其运算. 【分析】由题意知集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},然后根据交集的定义 和运算法则进行计算. 【解答】解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3}, ∴M∩N={﹣1,0,1}, 故选 B. 【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题. B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} )

D.{﹣1,0,1,2}

2.若函数 f(x)=x2+bx+c 的对称轴方程为 x=2,则( A.f(2)<f(1)<f(4) <f(1)



B.f(1)<f(2)<f(4)C. f (2) <f (4)

D.f(4)<f(2)<f(1)

【考点】二次函数的性质. 【分析】先判定二次函数的开口方向,然后根据开口向上,离对称轴越远,函数值就越大即 可得到 f(1)、f(2)、f(4)三者大小.
2 【解答】解:函数 f(x)=x +bx+c 开口向上,在对称轴处取最小值

且离对称轴越远,函数值就越大
2 ∵函数 f(x)=x +bx+c 的对称轴方程为 x=2,4 利用对称轴远

∴f(2)<f(1)<f(4) 故选 A. 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质, 一般的开口向上, 离对称轴越远, 函数值就越大, 开口向下,离对称轴越远,函数值就越小,属于基础题.

3.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},则 b﹣a=( A.1 B.﹣1 C .2

) D.﹣2

【考点】集合的相等;集合的确定性、互异性、无序性. 【分析】根据题意,集合 ,注意到后面集合中有元素 0,由集

合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得 a+b=0,进而分析可得 a、b 的值,计算可得 答案. 【解答】解:根据题意,集合 又∵a≠0, ∴a+b=0,即 a=﹣b, ∴ b=1; 故 a=﹣1,b=1, 则 b﹣a=2, 故选 C. 【点评】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义,注意从特殊元素下手,有利于找到解 题切入点. , ,

4.下列各组函数是同一函数的是( A. B.



C.

D.

与 y=x

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【分析】两个函数是同一函数,必须同时满足两个条件:①定义域相同;②对应法则相同.

【解答】解:A、由于

的定义域是{x|x≠0},y=1 的定义域是 R,所以

不是同一函数,故 A 不成立;

B、由于 y=|x﹣1|的定义域是 R,

的定义域是{x|x≠1},所以

不是同一函数,故 B 不成立; C、由于 y=x2 的定义域是 R,而 数,故 C 不成立; D、由于 的定义域是 R,y=x 的定义域也是 R,而 ,所以

的定义域是{x|x≠0},所以

不是同一函

与 y=x 是同一函数,故 D 成立. 故答案为 D. 【点评】本题考查同一函数的判断与应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答

5.函数 f(x)=﹣x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4)上是增函数,则 a 的范围是( A.a≥5 B.a≥3 C.a≤3 D.a≤﹣5



【考点】函数单调性的性质.
2 2 2 【分析】先将函数 f(x)=﹣x +2(a﹣1)x+2 转化为:y=﹣(x﹣a+1) ﹣2a+3+a 明确其

对称轴,再由函数在(﹣∞,4)上单调递增,则对称轴在区间的右侧求解.
2 【解答】解:函数 f(x)=﹣x +2(a﹣1)x+2

∴其对称轴为:x=a﹣1 又∵函数在(﹣∞,4)上单调递增 ∴a﹣1≥4 即 a≥5 故选 A 【点评】本题主要考查二次函数的性质,涉及了二次函数的对称性和单调性,在研究二次函 数单调性时,一定要明确开口方向和对称轴.

6.已知 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值是(



A.1

B.1 或

C.1, 或±

D.

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;根的存在性及根的个数判断. 【分析】利用分段函数的解析式,根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母 x 的方程, 通过求解相应的方程得出所求的字母 x 的值. 或者求出该分段函数在每一段的值域, 根据所 给的函数值可能属于哪一段确定出字母 x 的值. 【解答】解:该分段函数的三段各自的值域为(﹣∞,1],[O,4).[4,+∞), 而 3∈[0,4),故所求的字母 x 只能位于第二段. ∴ ∴ . ,而﹣1<x<2,

故选 D. 【点评】本题考查分段函数的理解和认识,考查已知函数值求自变量的思想,考查学生的分 类讨论思想和方程思想.

7.已知函数 f(x)=ax3+bx+8,且 f(﹣2)=10,则 f(2)的值是( A.﹣10 B.﹣6 C .6

) D.10

【考点】函数奇偶性的性质.
3 【分析】构造函数 g(x)=ax +bx,可判其为奇函数,由已知易得 g(﹣2)=2,进而可得 g

(2),而 f(2)=g(2)+8,代入计算即可.
3 3 【解答】解:记函数 g(x)=ax +bx,则 g(﹣x)=﹣ax ﹣bx=﹣g(x),

所以函数 g(x)为奇函数,必有 g(﹣2)=﹣g(2) 由题意可得 f(﹣2)=g(﹣2)+8=10,解得 g(﹣2)=2, 所以 g(2)=﹣2,故 f(2)=g(2)+8=﹣2+8=6 故选 C 【点评】本题考查函数的奇偶性,构造函数是解决问题的关键,属基础题.

8.给定下列函数:①f(x)=

②f(x)=﹣|x|③f(x)=﹣2x﹣1 ④f(x)=(x﹣1)2, )

满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的条件是( A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

【考点】函数奇偶性的性质.

【分析】对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),说明对应的函 数在(0,+∞)是一个减函数,故问题转化为判断四个函数单调性的问题,根据函数的解析 式进行判断即可选出结论. 【解答】解:因为对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),故满 足条件的函数是一个减函数. 对于①,函数是反比例函数,其在(0,+∞)是一个减函数,满足题意; 对于②,f(x)=﹣|x|,其在(0,+∞)是一个减函数,满足题意; 对于③,函数是一次函数,其在(0,+∞)是一个减函数,满足题意;
2 对于④,函数 f(x)=(x﹣1) 在(0,1)是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故不满足

题意; 故选 A. 【点评】 本题考点是函数的单调性的判断与证明, 考查根据已知的性质选择具有所给性质的 函数的能力, 在一些不要求证明函数单调性的函数单调性的判断中, 常根据函数的解析式由 那几个基本函数组成,综合利用这些基本函数的单调性来判断所研究函数的单调性.

9.下列对应关系: ①A={1,4,9},B={﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3},f:x→x 的平方根 ②A=R,B=R,f:x→x 的倒数 ③A=R,B=R,f:x→x2﹣2 ④A={﹣1,0,1},B={﹣1,0,1},f:x→x2 其中是 A 到 B 的映射的是( A.①③ 【考点】映射. 【分析】直接利用映射概念逐一核对四个命题得答案. 【解答】解:对于①,A={1,4,9},B={﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3},f:x→x 的平方根, 不是映射,A 中的元素在 B 中的对应元素不唯一; 对于②,A=R,B=R,f:x→x 的倒数,不是映射,A 中的元素 0 在 B 中没有对于元素;
2 对于③,A=R,B=R,f:x→x ﹣2,符合映射概念,是映射; 2 对于④,A={﹣1,0,1},B={﹣1,0,1},f:x→x ,符合映射概念,是映射.



B.②④

C.②③

D.③④

故选:D. 【点评】本题考查映射概念,是基础的概念题.

10.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】利用特殊值法,圆柱液面上升速度是常量,表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的 体积相同,当时间取 1.5 分钟时,液面下降高度与漏斗高度的 比较. 【解答】解:由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口, 当时间取 t 时,漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的 , 对比四个选项的图象可得结果. 故选 A. 【点评】本题考查函数图象,还可以正面分析得出结论:圆柱液面上升速度是常量,则 V
2 (这里的 V 是漏斗中剩下液体的体积) 与 t 成正比 (一次项) , 根据圆锥体积公式 V= πr h, 2 a 为正数, t 与 r 成反比, b 为正数. 可以得出 H=at +bt 中, 另外, 可以得出 H=at^2+bt 中, 所

以选择 A.

11.若 f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数,又 f(﹣3)=1,则不等式 f(x)<1 的解 集为( )

A.{x|x>3 或﹣3<x<0} B.{x|x<﹣3 或 0<x<3} C.{x|x<﹣3 或 x>3} D.{x|﹣3<x<0 或 0<x<3}

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【分析】利用 f(x)是偶函数,f(﹣3)=1,不等式转化为 f(|x|)<f(3),再利用函数 的单调性,即可求得结论. 【解答】解:∵f(x)是偶函数,f(﹣3)=1,∴f(3)=1 ∵f(x)<1 ∴f(|x|)<f(3) ∵f(x)在(0,+∞)上减函数, ∴|x|>3 ∴x|x<﹣3 或 x>3 ∴不等式 f(x)<1 的解集为{x|x<﹣3 或 x>3} 故选 C. 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生分析解决问题的能力,正确转化是 关键.

12.定义 max(a,b)=

2 ,f(x)=max(|x﹣1|,﹣x +6x﹣5),若 f(x)=m 有

四个不同的实数解,则实数 m 的取值范围是( A.(﹣∞,4) B.(0,3)

) C.(0.4) D.(3,4)

【考点】分段函数的应用.
2 2 【分析】由题意可得当|x﹣1|≥﹣x +6x﹣5 时,f(x)=|x﹣1|,当|x﹣1|<﹣x +6x﹣5 时,f 2 (x)=﹣x +6x﹣5,据此可作出函数 f(x)和 y=m 的图象,数形结合可得结论. 2 【解答】解:由题意可知当|x﹣1|≥﹣x +6x﹣5 时,f(x)=|x﹣1|, 2 2 当|x﹣1|<﹣x +6x﹣5 时,f(x)=﹣x +6x﹣5,

作出函数 f(x)和 y=m 的图象如下:

其中红色线为 f(x)的图象,由图可知当 m∈(3,4)时, 直线 y=m 和函数 f(x)有 4 个不同的公共点, 故方程 f(x)=m 有四个不同的实数解, 故选:D. 【点评】本题考查根的存在性和个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题.

二、填空题(2015 秋北京校级期中)若 A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a∈A}则 A∩B= 3} . 【考点】交集及其运算. 【分析】将 A 中的元素代入 x=3a 中计算确定出 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a∈A}={0,3,6,9}, ∴A∩B={0,3}. 故答案为:{0,3} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

{0,

14.函数 f(x)=

的定义域为 {x|x≥﹣2 且 x≠ } .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式的性质以及分母不等于 0,得到关于 x 的不等式组,解出即可. 【解答】解:由题意得: , 解得:x≥﹣2 且 x≠ , 故答案为:{x|x≥﹣2 且 x≠ }. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.

15.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x),当 x∈[0,2]时,f(x) =x2﹣2x,则 f(﹣5)= ﹣1 . 【考点】抽象函数及其应用;函数的值.

【分析】通过 f(2+x)=f(2﹣x),再利用偶函数的性质 f(﹣x)=f(x)推导周期.然后 化简 f(﹣5)利用已知条件求解即可. 【解答】解:f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x), f(x+4)=f[2﹣(2+x)]=f(﹣x)=f(x),f(x+4)=f(x) ∴函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数. 当 x∈[0,2]时,f(x)=x ﹣2x,
2 则 f(﹣5)=f(﹣1)=f(1)=1 ﹣2×1=﹣1. 2

故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查函数的周期性、奇偶性抽象函数的应用,体现了转化思想,考查计算 能力.

16. f x) = 若函数 (

在 R 上为增函数, 则实数 b 的取值范围是 ( ,

2] . 【考点】分段函数的应用. 【分析】由题意列出不等式组,解此不等式组求得实数 b 的取值范围.

【解答】解:∵函数 f(x)=

在(﹣∞,+∞)上为增函数,



,解得

b≤2,

故实数 b 的取值范围是( ,2], 故答案为:( ,2]. 【点评】本题主要考查二次函数的性质的应用,分段函数的应用,列出不等式组是解题的关 键.

三.解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.已知集合 A={x|﹣2≤x≤4},B={x|﹣m+1≤x≤2m﹣1}. (1)若 m=2,求 A∪B,A∩(?RB); (2)若 B? A,求 m 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】(1)根据集合的并集和补集交集的定义即可求出; (2)根据集合与集合的关系,对 B 进行分类讨论. 【解答】解:(1)∵若 m=2,则 B={x|﹣1≤x≤3},A={x|﹣2≤x≤4}, ∴?RB{x|x<﹣1 或 x>3}, ∴A∪B={x|﹣2≤x≤4}, ∴A∩(?RB)={x|﹣2≤x<﹣1 或 3<x≤4}, (2)∵B? A, 当 B=?时满足题意,即﹣m+1>2m﹣1,解得 m<

当 B≠?时,则



解得 ≤m≤ , 综上所述 m 的取值范围为(﹣∞, ] 【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用,以及集合关系中的参数取值问题,分 类讨论思想,属于基础题.

18.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2﹣4x. (1)求 f(﹣3)+f(﹣2)+f(3)的值; (2)求 f(x)的解析式,并写出函数的单调递增区间. 【考点】函数单调性的性质;函数的值.
2 【分析】(1)当 x≥0 时,f(x)=x ﹣4x,f(x)是定义域为 R 的奇函数,即可求 f(﹣3)

+f(﹣2)+f(3)的值; (2)利用奇函数的性质求 x<0 时 f(x)的表达式,写出函数的单调递增区间.
2 【解答】解:(1)∵当 x≥0 时,f(x)=x ﹣4x,f(x)是定义域为 R 的奇函数,

∴f(﹣3)+f(﹣2)+f(3)=﹣f(2)=4;

(2)设 x<0,则﹣x>0. ∵当 x≥0 时,f(x)=x ﹣4x,
2 2 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[x ﹣4×(﹣x)]=﹣x ﹣4x, 2

∴f(x)=

,单调递增区间为(﹣∞,﹣2),(2,+∞).

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查函数的表达式,比较基础.

19.已知 f(x)=x+ (m∈R). (1)判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)若 m=4,证明 f(x)是(2,+∞)上的增函数,并求 f(x)在[﹣8,﹣2]上的值域. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】(1)利用奇函数的定义进行判断即可; (2)利用导数判断函数的单调性,即可得出结论. 【解答】解:(1)函数的定义域为{x|x≠0}. ∵f(﹣x)=﹣x+ ∴f(x)是奇函数; 证明:(2)m=4,f(x)=x+ ,f′(x)= x>2 时,f′(x)>0, ∴f(x)是(2,+∞)上的增函数, ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)在[﹣8,﹣2]上单调递增, ∵f(﹣8)=﹣10,f(﹣2)=﹣4 ∴f(x)在[﹣8,﹣2]上的值域是[﹣10,﹣4]. 【点评】 本题考查奇函数的定义, 考查函数的单调性与值域, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. , =﹣x﹣ =﹣f(x),

20.定义域为 R 的函数 f(x)满足:对于任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成 立,且 f(﹣1)=2,当 x>0 时,f(x)<0 恒成立.

(1)求 f(0),f(2)的值;
2 (2)若不等式 f(t +3t)+f(t+k)≤4 对于 t∈R 恒成立,求 k 的取值范围.

【考点】抽象函数及其应用. 【分析】(1)令 x=y=0 计算 f(0),再令 y=﹣x 得出 f(x)为奇函数,计算 f(﹣2)即可 得出 f(2)的值;
2 (2)判断 f(x)的单调性,得出 t +4t+k≥﹣2 恒成立,根据二次函数的性质得出 k 的范围.

【解答】解:(1)令 x=y=0 得 f(0)=2f(0),∴f(0)=0, 令 y=﹣x 得 f(0)=f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(x)是奇函数, ∵f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)=4, ∴f(2)=﹣f(﹣2)=﹣4. (2)设 x1<x2,则 x2﹣x1>0, ∴f(x2﹣x1)<0,即 f(x2)﹣f(x1)<0, ∴f(x)是减函数,
2 ∵f(t +3t)+f(t+k)≤4, 2 即 f(t +3t+t+k)≤f(﹣2), 2 2 ∴t +4t+k≥﹣2,即 t +4t+k+2≥0 恒成立,

∴△=16﹣4(k+2)≤0,解得 k≥2. 【点评】本题考查了抽象函数性质的应用,函数的单调性判断与应用,不等式的解法,属于 中档题.


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