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等差数列与等比数列综合题


等差数列与等比数列综合题 例 1 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n

例 2 在正项数列 ?an ? 中,令 Sn ?

?
i ?1

n

1 . ai ? ai ?1

(Ⅰ)若 ?an ? 是首项为 25,公差为 2 的等差数列,求 S100 ; (Ⅱ)若 Sn ?

np ( p 为正常数)对正整数 n 恒成立,求证 ?an ? 为等差数列; a1 ? an?1

例 3 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 am , am?2 , am?1 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,试判断 S m , S m?2 , S m?1 是否成等差数列?说明理由.

例 4 已知数列 {an} 的首项 a1 ? a (a 是常数) , ( n ? N, n ? 2 ) . (Ⅰ) an ? 2an?1 ? n 2 ? 4n ? 2

?an ? 是否可能是等差数列.若可能,求出 ?an ? 的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅱ)设 b1 ? b , bn ? an ? n 2 ( n ? N , n ? 2 ) , S n 为数列 ?bn ?的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a、b 满足的条件.
例 5 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2-an,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)设 cn=n(3-bn),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 例 6
,2 ?, 6 已 知 数 列 {an } 中 , a0 ? 2 , a1 ? 3 a 且 对

n ≥3 时 有

an ? ( n ? 4 ?1) na

?

4 ?n 2 n a ?

. ( 4 ? n ?3n 8 a)

(Ⅰ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? nan?1 , n ? N? ,证明数列 {b n?1 ?2bn } 为等比数列,并求数列
{bn } 的通项公式;

(Ⅱ)记 n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n! ,求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn 例 7 设数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 1, b1 ? 0 且

?an?1 ? 2an ? 3bn , ? ?bn?1 ? an ? 2bn ,

n ? 1, 2,3,??

(Ⅰ)求 ? 的值,使得数列 ?an ? ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

? ,求极限 lim (Ⅲ)令数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Sn

n ??

Sn 的值. ? Sn

例 8 数列 ?a n ?的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2 成等 差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是常数,

e =2.71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2;
(Ⅲ) 正数数列 ?c n ? 中, an?1 ? ?cn ?
n?1

, (n ? N * ) .求数列 ?c n ?中的最大项.

例 9 设

?an ?

是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前

n

项 和 , 满 足

a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 (2)试求所有的正整数 m ,使得

n 项和 S n ;
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

例 10 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1)
* 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;

(2)

找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3)

若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的

和是数列 ?bn ? 中的一项,请证明。


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