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5三角函数知识点与解题方法变换技巧总结1

三角函数知识点与解题方法变换技巧总结
一、三角函数的概念 (1) 角 的 概 念 : 终 边 相 同 角 的 集 合 : 所 有 与 ? 终 边 相 同 的 角 , 连 同 ? 在 内 , 可 构 成 集 合

?? | ? ? k ? 360

0

? ? , k ? Z ? 或 ?? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z?
? 2 ?

? ? (2) 象限角:第一象限角的集合 ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? Z ?

? ? 第二象限角的集合 ? ? x | 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ?
? 2 ?

第三象限角的集合 ? x | 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ?
? ? 2 ? ?

? ? 第四象限角的集合 ? ? x | 2k? ? ? x ? 2k? , k ? Z ?
? 2 ?

(3) 轴 线 角 : 终 边 在 x 轴 上 角 的 集 合

?? | ? ? k? , k ? Z? , 终 边 在

y 轴上角的集合

? ? ? ,终边在坐标轴上角的集合 ? k? ? ,k ?Z? ?? | ? ? ? k? , k ? Z ? ?? | ? ? 2 2 ? ? ? ?
? (4) 角度、弧度的换算关系: (1) 360 ? 2? rad , 1? ?

? 180 ? rad , 1rad ? ? ? 180 ? ? ?

?

?

(2)扇形的弧长、面积公式:设扇形的弧长为 l ,圆心角为 ? ( rad ) ,半径为 r ,则 l ? r ? ? ,扇形 的面积 S ?

1 1 lr ? r 2 ? ? 2 2
若 P ? x, y ? 是角 ? 终边上任意异于 O 的一点, O 为坐标原点, OP ? r ,则

3、三角函数定义:

sin ? ?

y x y x , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? r r x y

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1、同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 (2)商的关系: tan ? ? sin ? , cot ? ? cos ? . cos ? sin ? 2、诱导公式 函数 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

x ??
?
2 ??

sin x ? sin ?

cos x cos?
? sin ?

tan x ? tan ?
? cot ?

cot x ? cot ?
? tan ?

cos?
? sin ?

? ??
3? ?? 2

? cos?
? sin ?

? tan ?
? cot ?

? cot ?
? tan ?

? cos?

1

? tan ? cos? ? 注意: (1)诱导公式可概括为 k ? ? ? 的各三角函数值的化简公式。 2? ? ? ? sin ?
2
3、注意常见方法的运用:

? cot ?

(0, ) (1) sin ? ? cos ? ? a, ? ? (0, ? ), 若a ? 1, 则? ? ; 2

?

( 特 殊 地 , 若

sin ? ? cos ? ?

1? 3 cos ? 分 别 取 , 则 sin ?、 2
3 4 5 5

1 3 、 2 2

; 若

s i?n?

再 由 其 它 条 件 确 定 唯 一 结 果 。) ? c ?o s 则 sin ?,、 cos ? 分别取 、 ;

7 5

若a ? 1, 则? ?

?
2

( ; 若0 ? a ? 1, 则? ?

?
2

,?) .(特殊地,若 sin ? ? cos ? ?

3 ?1 2? )。 a 取 , 则? 取 2 3

负值也可讨论。 (2) sin ? ? cos? ? a, 可运用(sin ? ? cos ?)? a 求得sin ? ? cos ?与 sin ? ? cos ? 的值。
2 2

(3)若 tan ? ? a ? a ? 0 ? , 可求 ①

3sin ? ? 4 cos ? 3 tan ? ? 4 3a ? 4 ? ? ? 3a ? 1 ? 0 ? 3sin ? ? cos ? 3 tan ? ? 1 3a ? 1
2

sin 2 ? ? 3sin 2? tan 2 ? ? 6 tan ? a 2 ? 6a ? ? 2 ② sin ? ? 3sin 2? ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 a ?1


1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 a 2 ? 1 ? ? ? sin 2? ? cos 2 ? sin 2? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 2a ? 1

三、两角和与差的三角函数 1.两角和与差的三角函数公式:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式

sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

2 tan ? ; 1 ? tan 2 ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ? ; tan 2? ? 2 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?
注意:熟悉以下公式变形 (1) tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?
2 (2) sin ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ;cos 2 ? ? 2 2
2

(3) 1 ? cos ? ? 2 cos

?
2

,1 ? cos ? ? 2sin

2

?
2

?? ? ? (4) 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 2 2? ?
2

2

(5)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和 差 角 的 变 换 . 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
tan(? ? ? ) ?
例如(1)已知

? ??
2


???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,

2 ? 1 ? tan( ? ? ) ? tan(? ? ) 5, 4 4 ,那么 4 的值是_____; cos( ? ?
, 且

0?? ?
(2) 已知

?
2

?? ??

?
2

)??

1 ? 2 sin( ? ? ) ? o s ( ? ?? ) 的值; 9, 2 3, 求c 3 5, 则 y 与 x 的函数关系为______
b .如: a

sin ? ? x,cos ? ? y , (3) 已知 ? , ? 为锐角,
(6)辅助角公式的运用: a sin ? ? b cos ? ?
sin ? ?

cos(? ? ? ) ? ?

a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

?? ?? ? ? 3 cos ? ? 2sin ? ? ? ? , 3 sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? ? , 3? 6? ? ?

?? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ?? ? ? 4? ?

等。 (7)几种常用变换思想:①变不同角为同角 幂 (7)三角函数名互化(切割化弦), 例如: (1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 )
? ?

②变不同函数为同名函数

③见高次降

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? 3 ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 (2)已知 1 ? cos 2?
(8)公式变形使用( tan ? ? tan ?

? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?



例如(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____;

(2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , 三角形

sin Acos A ?

3 4 ,则此三角形是____

cos 2 ? ?
(9)三角函数次数的降升 ( 降幂公式:

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 , 与升幂公式:

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。

? ?( ? , ? )
例 如 (1) 若 , 化 简

3 2

1 1 ? 2 2

1 1 ? c o 2s ? 2 2 为 _____ ;( 2 ) 函 数

3

f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos x
2

?

5 3( x ? R ) 2 的单调递增区间为___________ sin ? ? tan ? cot ? ? csc ?

(10)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 例如(1)化简: tan ? (cos ? ? sin ? )

?

1 ? sin ? 1 ? 2sin
(2)求证:
2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 2; 4 4 (3)化简:

?

?

1 2

2 2 (11)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x

? tan ? ? sin ? ? ? 4 2 等)

2 2 例如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? .

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (12)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 ,
例如(1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __; (2)若

? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1

2,

? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ?? ? ) 4 2 ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值。 1 ? tan ? 求 tan ? 的值。 ; (3)已知
3.辅助角公式中辅助角的确定: a, b 的符号确定, ? 角的值由

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?

(其中 ? 角所在的象限由

tan ? ?

b a 确定)在求最值、化简时起着重要作用。

例如( 1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______; (3)如果

f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?)

是奇函数,则 tan ? =



3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? 2 (4)求值: sin 20 ? cos 20? ________
2

四、三角函数的图象及性质 表(1)





y ? sin x
4

y ? cos x

y ? tan x

y



y

y



o

? 2

?

3? 2

2?

x

o

? 2

3? ?2

2?

x

o

? 2

?

3? 2

x

定义域 值 域

R

R

? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
R 奇函数 无界函数

[ ?1,1]
奇函数

[ ?1,1]
偶函数

奇偶性 有界性 最小正 周 期

sin x ? 1
2?
? ?? ? 增区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? (k ? Z ) ? 3? ? ? 减区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? (k ? Z )

cos x ? 1
2?

?

单 调 区 间

增区间? 2k? ? ? , 2k? ? (k ? Z ) 减区间? 2k? , 2k? ? ? ? (k ? Z )
x ? k? (k ? Z )

? ?? ? 增区间? k? ? , k? ? ? 2 2? ? (k ? Z )
无对称轴

对称轴 对 中 称 心

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

? k? ,0?? k ? Z ?
x ? 2 k? ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ?

? k? ? ,0??k ? Z ? ? ? 2 ?

?
2

? k ? Z ?时, ? k ? Z ?时,

x ? 2k? ? k ? Z ? 时, x ? ? 2k ? 1? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1 ymax ? 1;
无最值

最值

ymax ? 1; x ? 2 k? ? ymin ? ?1

?
2

表(2) (? ? 0, A ? 0)





y ? A sin ?? x ? ? ?

y ? A cos ??x ? ? ?

y ? A tan ??x ? ? ?
2k? ? ? ? 2? ? ? ,k ?Z? ?x | x ? 2? ? ?

定义域

R
5

R





[? A, A]

[? A, A]

R 时 是

? ? k? ? k ? Z ? 时是奇函数,
? ? k? ?
奇偶性 有界性 最小正 周 期 函数。

? ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

?
2

?k ? Z ? 时 是 偶

奇 函 数 , ? ? k? ? k ? Z ? 时 是偶函数。

? ? k? ? k ? Z ? 时是奇函数
无界函数

A sin ?? x ? ? ? ? A

A cos ?? x ? ? ? ? A

2? ?

2? ?

? ?

单 调 区 间

? 4k? ? ? ? 2? 4k? ? ? ? 2? ? 增区间 ? , ? 2? 2? ? ? (k ? Z )减区间 ? 4k? ? ? ? 2? 4k? ? 3? ? 2? ? , (k ? Z ) ? ? 2? 2? ? ?
x? 2k? ? ? ? 2? (k ? Z ) 2?

? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? 增区间 ? , ? ? ? ? ? (k ? Z )减区间 ? 2 k? ? ? 2 k? ? ? ? ? ? , ?k ? Z ? ? ? ? ? ? ? k? ? ? x? (k ? Z ) ?
? 2k? ? ? ? 2? ? , 0??k ? Z ? ? 2? ? ?

? 2k? ? ? ? 2? 2k? ? ? ? 2? ? 增区间 ? , ? 2? 2? ? ? (k ? Z )

对称轴

无对称轴

对 中

称 心

? k? ? ? ? , 0??k ? Z ? ? ? ? ?
x?

? k? ? 2? ? , 0??k ? Z ? ? ? 2? ?

最值

2 k? ? ? 4k? ? ? ? 2? ? k ? Z ?时, ? k ? Z ?时, x ? ? 2? ymax ? A; ymax ? A;

(2k? ? ? ) ? ? 4k? ? ? ? 2? x? ?k ? Z ? ? k ? Z ?时, x ? ? 2? y min ? ? A 时,y min ? ? A
? ?

无最值

注: (1)注意会解三角函数在区间上的值域(或范围)如:求 sin ? ? ?

??

? ?? ? ,? ? ? 0, ? 上的取 4? ? 2?

值范围。 (2)注意求单调区间时的整体意识。如:求 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的单调增区间,在 ?0, 2? ? 6?

上的单调增区间。而 y ? sin ?

?? ?? ? ? ? 2 x ? 求单调增区间时,先化成 y ? ? sin ? 2 x ? ? 的形式,再求 6? ?6 ? ?

6

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的单调递减区间。 6? ?
(3)求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时 y ? sin x、y ? cos x 在对称轴处取最值。 五、图象变换:函数 y ? A sin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象可由 y ? sin x 的图象做如下变换 得到:1、先相位变换 2、先周期变换 周期变换 相位变换 振幅变换 振幅变换

3、 注 意 : ( 1 ) 要 会 画 y ? As i n ?? x? ? ? 在 一 个 周 期 的 图 象 :( 即 五 点 作 图 法 : 设
?
2 3? 2

t ? ?x ?? ? 0 ,

? , ,

x 值和对应的 ,?2 求相应的 ,

?? ? 如 y ? 2sin ? 2 x ? ? ,在 ? 0, ? ? y 值,描点作图) 6? ?

上的图象的画法。 (2)注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 ②要先使函数名称相同再变换。 如:为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象向
? ? ? 3?

平移

个单位。

(3) T ? 2? , f ? (频率) 。注意 y ? A sin ?? x ? ? ? 、 y ? Acos ??x ? ? ? 相邻两对称轴间的距离为 T ?
T ? 。 (4)已知图象求解析式时注意:看振幅求 A ,看周期求 ? ,看特殊点求 ? (通常是最大 ? 2 ?

1

值或最小值时的位置) (5)已知变换求解析式时,注意只能对自变量 x 进行变换。 求三角函数值域的常用方法: 求三角函数值域除了判别式、 重要不等式、 单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方 法: (1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域; (2)利用 sin x, cos x 的有界性求 值域; (3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意 等价性
? S ? lR ? | ? | R 2 弧长公式:l ?| ? | R ,扇形面积公式: 2 ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 如已知扇形 AOB
2

1

1

的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原
y x y 2 2 sin ? ? , cos ? ? tan ? ? , ? x ? 0 ? r r , x 点) ,它与原点的距离是 r ? x ? y ? 0 ,那么 。三角函数值只

2

与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 例如(1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为 ;

(2)设 ? 是第三、四象限角,

sin ? ?

2m ? 3 4 ? m ,则 m 的取值范围是_______ ;
7

| sin ? | cos? ? ?0 ? ) 的符号 | cos? | (3)若 sin ? ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos
三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、 余弦线 OM “躺 在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线

y B P α O M A x S T

的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

?
例如 (1) 若

?
8

?? ? 0

i n ? ,c o s ,t a n ? , 则s

? 的大小关系为
; ____



(2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为 (3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_

y?
例如(1)函数

sin ? ? ta ?n cos ? ? co ?t 的 值 的 符 号 为 ____ ; ( 2 ) 若 0 ? 2 x ? 2? , 则 使 si? n? m?3 m?5 ,

1 ? sin 2x ? cos2x 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ____ ;( 3 ) 已 知
2

cos ? ?

tan ? sin ? ? 3 cos ? 4 ? 2m ? ? ?1 ( ?? ??) m?5 2 ,则 tan ? =____; (4)已知 tan ? ? 1 ,则 sin ? ? cos ? =
2 ?
?

____; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =_________; (5)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于( )

?
A、

a 1? a2

a
B、 1 ? a
2

?
C、

1? a2 a

1? a2 a D、 ;

? (6)已知 f (cos x) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为______

形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅;

f ?

1 T ―频率(周期

的倒数) ; ? x ? ? ―相位;? ―初相; (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确 定; ? 由周期确定; ? 由图象上的特殊点确定,

例如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 ,

| ? |?

?

) 2 的图象如图所示,则 f ( x) =_____

;

( 3 )函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X = 0 ,

?
2

,? ,

3? , 2? 2 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是
8

作函数简图常用方法。

9


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