1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象3

1.5函数y=Asin(ω x+φ )的图象

***复习回顾***

y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象
? 3? 关键点 : (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y 1
O 1
? 2

?

3? 2

2?

x

1.y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系: ? ? 例1:试研究 y ? sin( x ? ), y ? sin( x ? ) 3 6 与 y ? sin x 的图象关系. y y ? sin x ? y ? sin( x ? ) 1
3

?

?
2

O
?

? y ? sin( x ? ) 6
3? 5? 2 3

?
3

? ? 2 ? 6 2 3

?

x 2? 13?
6

－1

一、函数y=sin(x+?)图象: 平移变换
函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? | 个单位

y=sinx

y=sin(x+?)

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

2.y=sin?x与y=sinx的图象关系:
1 例2:作函数 y ? sin 2 x及 y ? sin x的图象. 2
2x
0
0 ?
3? 2? 2 3? ? 4 1 x 2

x
y 1
O -1
? 4

?

2

?
?
2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

4

x
sin

? 1

2? 3? 4? 0 ?1

sin 2 x 0

1

0 ?1 0

1
2

0

0

? 2

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

间的变化关系. y 1

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

O

? 2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

二、函数y=sin?x(?>0)图象: 周期变换
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短( 当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

3.y=Asinx与y=sinx的图象关系:

例3:作下列函数图象: y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2 y
2 1 O -1 -2
? 2

x sinx 2sinx
1 si n x 2

0 0 0 0

?
2

3? ? 2? 2
0

1 2
1 2

?1

0 0 0

0 ?2
1 0 ? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

三、函数y=Asinx(A>0)图象: 振幅变换
函数 y=Asinx(A>0且A?1) 的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. y=Asinx，x?R的值域是[－A, A]， 最大值是A，最小值是－A.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变

A的大小决定这个函数的最大(小)值

例4:如何由 y ? sin x 变换得
y ? 3 si n ( 2x ?

?
3

) 的图象？

方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6

? ??
3

o
-1

6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y ? sin( x ? ) 3

y ? sin x

方法2:(按 ω, ? , A 顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3
? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6

? ??
3

o
-1

6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2 -3

? ? ? ? y ? sin(2 x ? ) ? sin ?2( x ? )? 3 6 ? ?

y ? sin 2 x

y ? sin x

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω, ? , A 顺序变换)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin(?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y ? A sin(?x ? ? )，其中A ? 0, ? ? 0
A：振幅 (运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2? T：周期T＝ ?
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 ) 1 ? f：频率f ? ＝ T 2? (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )

?x ? ?：相位
x ? 0时的相位?称为初相

例5:图是某简谐运动的图象。 (1)这个简谐运动 y/cm A 2的振幅、周期与 0.4 B 频率各是多少？ O
C

E 0.8 D 1.2 F

x/s

A ? 2 T ? 0.8 f ? 1.25 (2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？

(3)求这个简谐运动的函数表达式.

2? ? y ? 2 sin x ? 2 sin x, x ? ?0,?? ? 0.8 0.4

1:已知函数y=Asin(?x+?)(?>0, A>0) 的图像如下：
y 2 O
5 ? ? ? A ? 2 T ? ??? ? ? ?? 6 ? 6? 2? ?? ? 2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? ? ( ? ,0 ) ? 2 ( ? ) ? ? ? 0 6 6 ? ? 5? x ?? ? 3 3 6

?

?
6

-2

求解析式?

? y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

2. f ( x) ? sin(?x ? ? )的图象(部分)如图, 则?和? 可能是（ D ）
A.? ? 2, ? ? ?

?
3

1 ? B.? ? , ? ? 2 3 C .? ? 2, ? ? ?

?
6

1 ? D.? ? , ? ? 2 6

变式1：右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象的一部分， 求这个函数的解析式 .

y 2
7? 8

?? ? y ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
x

o ?
8

?2

一、了解函数 y ? A sin(?x ? ? )，x ?[0,??) (其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义： 二、求函数 y ? Asin(?x ? ? )的表达式：

1. A由图像中的振幅确定 ;
2.?由图像的周期确定 ;

3.求?常用方法：代点法

?? ? 0 ? “第二点”为： ? x0 ? ? ? 2 “第三点”为： ?x0 ? ? ? ? 3 ? “第四点”为： ?x0 ? ? ? 2 “第五点”为： ?x0 ? ? ? 2?
0

“第一点”为： ?x

题型二. 起始函数或目标函数的求解
1. 若将某函数的图象向右平移
? 图象的函数式是y＝sin(x＋ 4

? 以后所得到的 2

)，则原来的函数

表达式为( A )
3? A. y＝sin(x＋ ) 4 ?
? B. y＝sin(x＋ 2 ? D. y＝sin(x＋ 4

)
? )－ 4

C. y＝sin(x－

4

)

? 2. 若函数y=sin(2x+θ)的图象向左平移 所得 6 图象与y＝sin2x重合，则θ可以是( ) C
3 3 6 ? ? ?? ? ? ? ? 解析： ? y ? sin ?2? x ? ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 6? 3 ? ? ? ? ? ? sin ?2 x ? 2k? ??k ? Z ?

A.

?
6

B. ?

?

C. ?

?

D.

?

?

?
3

? ? ? 2k? ,即? ? ?

?
3

? 2k? , k ? Z

题型三. 已知图像求解析式
1. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内， ? 4? 当x＝ 时函数取得最大值2，当x＝ 时函数
9
9

取得最小值－2，则该函数的解析式为( B ) ? ? A. y＝2sin(3x－ ) B. y＝2sin(3x＋ ) C. y＝2sin(
x 3

6

＋

? 6

)

D. y＝2sin(

x 3

? － ) 6

6

题型四. 求y=Asin(ωx+φ)图像的相关性质
1.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则θ= ( (A) 2kπ+

?

C

)

?1? y ? sin x在R上为奇函数，y ? sin ?x在R上也为奇函数， 但y ? sin ??x ? ? ?在R上不一定为奇函数。 若y ? sin ??x ? ? ?在R上为奇函数，则 ? ? k? , k ? Z；
若y ? sin ??x ? ? ?在R上为偶函数，则 ??

6 (C) kπ+ ?(k∈Z) 2

(k∈Z)

(B) 2kπ+π(k∈Z) (D) kπ+π(k∈Z)

?

2 ?2? y ? cos x在R上为偶函数，y ? cos?x在R上也为偶函数， 但y ? cos??x ? ? ?在R上不一定为偶函数。

? k? , k ? Z。

若y ? cos??x ? ? ?在R上为偶函数，则 ? ? k? , k ? Z ; 若y ? cos??x ? ? ?在R上为奇函数，则 ??

?
2

? k? , k ? Z。

2.函数y=3sin(2x－5)的对称中心的坐标为 k? 5 ? , 0) ( k∈Z) ( 2 2
? 3.函数y=2sin(2x+ )(x∈[－π,0］)的单调递减 6

;

区间是

;

5? ? [? , ? ] 6 3

4.

k ? ? k ? ? ( ? ,0) x ? ? (k ? Z ) 2 6 2 12 线_________________ ,对称中心是________,
? ? 7 ? ? , k? ? ? (k ? Z ) 12 12 ? ? 单调减区间是______________. ? 小结: 把 “ 2x ? ” 看成一个整体， 以函数 y ? sin x 3 的图象和性质为基础来想.(“形”对应关系) ? ?k? ? ?

函数 y ? 4sin(2 x ? )( x ? R ) 的对称轴是直 3

?