1.5函数y=Asin(ω x+φ )的图象
***复习回顾***
y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象
? 3? 关键点 : (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y 1
O 1
? 2
?
3? 2
2?
x
1.y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系: ? ? 例1:试研究 y ? sin( x ? ), y ? sin( x ? ) 3 6 与 y ? sin x 的图象关系. y y ? sin x ? y ? sin( x ? ) 1
3
?
?
2
O
?
? y ? sin( x ? ) 6
3? 5? 2 3
?
3
? ? 2 ? 6 2 3
?
x 2? 13?
6
-1
一、函数y=sin(x+?)图象: 平移变换
函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? | 个单位
y=sinx
y=sin(x+?)
?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
2.y=sin?x与y=sinx的图象关系:
1 例2:作函数 y ? sin 2 x及 y ? sin x的图象. 2
2x
0
0 ?
3? 2? 2 3? ? 4 1 x 2
x
y 1
O -1
? 4
?
2
?
?
2
0 0
x
?
2
?
3? 2? 2
4
x
sin
? 1
2? 3? 4? 0 ?1
sin 2 x 0
1
0 ?1 0
1
2
0
0
? 2
3? 4
?
3? 2
2?
5? 2
3?
7? 2
4?
x
y ? sin 2 x
y ? sin x
1 y ? sin x 2
间的变化关系. y 1
1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2
O
? 2
?
2?
4? x
1 y ? sin x 2
-1
y ? sin 2 x
二、函数y=sin?x(?>0)图象: 周期变换
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短( 当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.
y=sinx
所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变
y=sin?x
?决定函数的周期: T ?
2?
?
3.y=Asinx与y=sinx的图象关系:
例3:作下列函数图象: y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2 y
2 1 O -1 -2
? 2
x sinx 2sinx
1 si n x 2
0 0 0 0
?
2
3? ? 2? 2
0
1 2
1 2
?1
0 0 0
0 ?2
1 0 ? 2
?
3? 2
2?
x
1 y ? sin x 2
y ? sin x
y ? 2 sin x
1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2
间的变化关系.
y 2 1 O
?
2
?
-1 -2
3? 2
2?
x
1 y ? sin x 2
y ? 2 sin x
三、函数y=Asinx(A>0)图象: 振幅变换
函数 y=Asinx(A>0且A?1) 的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. y=Asinx,x?R的值域是[-A, A], 最大值是A,最小值是-A.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变
A的大小决定这个函数的最大(小)值
例4:如何由 y ? sin x 变换得
y ? 3 si n ( 2x ?
?
3
) 的图象?
方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
?
? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6
? ??
3
o
-1
6
?
7 ? 6
5? 3
2?
x
-2
-3
? y ? sin( x ? ) 3
y ? sin x
方法2:(按 ω, ? , A 顺序变换)
y 3 2 1
?
? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3
? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6
? ??
3
o
-1
6
?
7 ? 6
5? 3
2?
x
-2 -3
? ? ? ? y ? sin(2 x ? ) ? sin ?2( x ? )? 3 6 ? ?
y ? sin 2 x
y ? sin x
y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位
y=sin(x+?)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变
y=sin(?x+?)
横坐标不变
y=Asin(?x+?)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω, ? , A 顺序变换)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍
y=sinx
纵坐标不变
y=sin?x
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位
? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin(?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)
横坐标不变
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
y ? A sin(?x ? ? ),其中A ? 0, ? ? 0
A:振幅 (运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2? T:周期T= ?
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 ) 1 ? f:频率f ? = T 2? (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )
?x ? ?:相位
x ? 0时的相位?称为初相
例5:图是某简谐运动的图象。 (1)这个简谐运动 y/cm A 2的振幅、周期与 0.4 B 频率各是多少? O
C
E 0.8 D 1.2 F
x/s
A ? 2 T ? 0.8 f ? 1.25 (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示 完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)求这个简谐运动的函数表达式.
2? ? y ? 2 sin x ? 2 sin x, x ? ?0,?? ? 0.8 0.4
1:已知函数y=Asin(?x+?)(?>0, A>0) 的图像如下:
y 2 O
5 ? ? ? A ? 2 T ? ??? ? ? ?? 6 ? 6? 2? ?? ? 2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? ? ( ? ,0 ) ? 2 ( ? ) ? ? ? 0 6 6 ? ? 5? x ?? ? 3 3 6
?
?
6
-2
求解析式?
? y ? 2 sin( 2 x ?
?
3
)
2. f ( x) ? sin(?x ? ? )的图象(部分)如图, 则?和? 可能是( D )
A.? ? 2, ? ? ?
?
3
1 ? B.? ? , ? ? 2 3 C .? ? 2, ? ? ?
?
6
1 ? D.? ? , ? ? 2 6
变式1:右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象的一部分, 求这个函数的解析式 .
y 2
7? 8
?? ? y ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
x
o ?
8
?2
一、了解函数 y ? A sin(?x ? ? ),x ?[0,??) (其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义: 二、求函数 y ? Asin(?x ? ? )的表达式:
1. A由图像中的振幅确定 ;
2.?由图像的周期确定 ;
3.求?常用方法:代点法
?? ? 0 ? “第二点”为: ? x0 ? ? ? 2 “第三点”为: ?x0 ? ? ? ? 3 ? “第四点”为: ?x0 ? ? ? 2 “第五点”为: ?x0 ? ? ? 2?
0
“第一点”为: ?x
题型二. 起始函数或目标函数的求解
1. 若将某函数的图象向右平移
? 图象的函数式是y=sin(x+ 4
? 以后所得到的 2
),则原来的函数
表达式为( A )
3? A. y=sin(x+ ) 4 ?
? B. y=sin(x+ 2 ? D. y=sin(x+ 4
)
? )- 4
C. y=sin(x-
4
)
? 2. 若函数y=sin(2x+θ)的图象向左平移 所得 6 图象与y=sin2x重合,则θ可以是( ) C
3 3 6 ? ? ?? ? ? ? ? 解析: ? y ? sin ?2? x ? ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 6? 3 ? ? ? ? ? ? sin ?2 x ? 2k? ??k ? Z ?
A.
?
6
B. ?
?
C. ?
?
D.
?
?
?
3
? ? ? 2k? ,即? ? ?
?
3
? 2k? , k ? Z
题型三. 已知图像求解析式
1. 已知函数y=Asin(ωx+φ),在同一周期内, ? 4? 当x= 时函数取得最大值2,当x= 时函数
9
9
取得最小值-2,则该函数的解析式为( B ) ? ? A. y=2sin(3x- ) B. y=2sin(3x+ ) C. y=2sin(
x 3
6
+
? 6
)
D. y=2sin(
x 3
? - ) 6
6
题型四. 求y=Asin(ωx+φ)图像的相关性质
1.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称,则θ= ( (A) 2kπ+
?
C
)
?1? y ? sin x在R上为奇函数,y ? sin ?x在R上也为奇函数, 但y ? sin ??x ? ? ?在R上不一定为奇函数。 若y ? sin ??x ? ? ?在R上为奇函数,则 ? ? k? , k ? Z;
若y ? sin ??x ? ? ?在R上为偶函数,则 ??
6 (C) kπ+ ?(k∈Z) 2
(k∈Z)
(B) 2kπ+π(k∈Z) (D) kπ+π(k∈Z)
?
2 ?2? y ? cos x在R上为偶函数,y ? cos?x在R上也为偶函数, 但y ? cos??x ? ? ?在R上不一定为偶函数。
? k? , k ? Z。
若y ? cos??x ? ? ?在R上为偶函数,则 ? ? k? , k ? Z ; 若y ? cos??x ? ? ?在R上为奇函数,则 ??
?
2
? k? , k ? Z。
2.函数y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为 k? 5 ? , 0) ( k∈Z) ( 2 2
? 3.函数y=2sin(2x+ )(x∈[-π,0])的单调递减 6
;
区间是
;
5? ? [? , ? ] 6 3
4.
k ? ? k ? ? ( ? ,0) x ? ? (k ? Z ) 2 6 2 12 线_________________ ,对称中心是________,
? ? 7 ? ? , k? ? ? (k ? Z ) 12 12 ? ? 单调减区间是______________. ? 小结: 把 “ 2x ? ” 看成一个整体, 以函数 y ? sin x 3 的图象和性质为基础来想.(“形”对应关系) ? ?k? ? ?
函数 y ? 4sin(2 x ? )( x ? R ) 的对称轴是直 3
?