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关于幂函数的性质知识点总结


关于幂函数的性质知识点总结
定义: 形如 y=x^a(a 为常数)的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的 函数称为幂函数。 定义域和值域: 当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果 a 为任意实 数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数; 如果 a 为负数,则 x 肯定不能 为 0,不过这时函数的定义域还必须根[据 q 的奇偶性来确定,即如果同时 q 为 偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为 奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。 当 x 为不同的数值时,幂 函数的值域的不同情况如下: 在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实 数。 在 x 小于 0 时, 则只有同时 q 为奇数, 函数的值域为非零的实数。 而 只有 a 为正数,0 才进入函数的值域 性质: 对于 a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果 a=p/q, 和 p 都是整数, x^(p/q)=q 次根号 的 p 次方) q 则 (x , 如果 q 是奇数,函数的定义域是 R,如果 q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。 当指数 n 是负整数时,设 a=-k,则 x=1/(x^k),显然 x≠0,函数的定义域是(- ∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作为 分母而不能是 0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以 知道: 排除了为 0 与负数两种可能,即对于 x>0,则 a 可以是任意实数; 排除了为 0 这种可能,即对于 x<0 和 x>0 的所有实数,q 不能是偶数; 排除了为负数这种可能, 即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数, 就不能是负数。 a 总结起来,就可以得到当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数; 如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶 性来确定,即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。 在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。 在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域。 由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的, 因此下面给出幂函数在第一象限的 各自情况. 可以看到:

(1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而 a 小于 0 时,幂函数为单调递减 函数。 (3)当 a 大于 1 时,幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时,幂函数图形上凸。 (4)当 a 小于 0 时,a 越小,图形倾斜程度越大。 (5)a 大于 0,函数过(0,0);a 小于 0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。


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