当前位置:首页 >> 数学 >>

4.1.1 圆的标准方程


第四章
4.1
4.1.1

圆与方程
圆的方程

圆的标准方程

1.推导出圆的标准方程; 2.掌握圆的标准方程;(重点)

3.能根据方程求出圆心及半径;
4.掌握标准方程的字母意义; 5.能根据圆心、半径写出圆的标准方程;会用待定系数法 求圆的标准方程.(难点)

生 活 掠 影
一石激起千层浪

福建土楼

小憩片刻
奥运五环 乐在其中

1.圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 2.圆上点组成的集合:

P = { M(x,y) | |MC| = r }

C

·

r

M
你看看我是 怎么形成的!

M(x,y)是圆上动点, C是圆心, r是半径.

1.思考
在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢? 分析: 显然,当圆心与半径大小确定后,圆就唯一确定了. 因此,确定一个圆的基本要素是圆心和半径.

如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标(a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C(a,b) 的距离. 则 |MC|=r 圆上所有点的集合 P = {M||MC|=r} O x y r C

M

由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为:

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r
把上式两边平方得:

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
注意:1.圆的标准方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

2.若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x2 ? y 2 ? r 2

例1

写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判

断点 M1 (5, ?7) , M2 (? 5, ?1)是否在这个圆上.
2 2 解: 所求的圆的标准方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25

把点 M1 (5, ?7) 的坐标代入方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
左右两边相等,点M1的坐标适合圆的方程,

所以点 M1 (5, ?7) 在这个圆上.

2 2 把点 M2 (? 5, ?1) 的坐标代入方程 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25

左右两边不相等,点的坐标不适合方程

所以点 M2 (? 5, ?1) 不在这个圆上.
y

O M2 A M1

x

点与圆的位置关系 如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到:

? d =r ; 点在圆外 ? d > r ;
点在圆上
点在圆内 ? d <r .

y
M2

o
M3
A

x

1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a 的取值范围是( (A)-1<a<1 (C)a>1或a<-1 ) (B)0<a<1 (D)a=±1

【解析】选A.∵点(1,1)在圆内, ∴(1-a)2+(1+a)2<4,即-1<a<1.

2.指出下列方程表示的圆心坐标和半径:
(1)x2+(y-2)2=9 (2)(x+1)2+(y+2)2=8

答案: (1)(0, 2) ,r ? 3

(2) (?1, ?2), r ? 2 2

3.写出下列各圆的方程: (1)圆心在点C(3,4),半径是 5

(2)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3)
答案: (1)( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 5

(2)( x ? 8)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

例2

?ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),

B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程. 解:设所求圆的方程为:( x ? a)
2

? ( y ? b) ? r .
2 2

因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,所以它
们的坐标都满足方程,于是

? (5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? (7 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 , ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 , ?

? a ? 2, ? ? ?b ? ?3, ? r 2 ? 25. ?

所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25.

已知△AOB的顶点坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0), 求△AOB外接圆的方程.

( 解:设所求圆的方程为: x ? a) ? ( y ? b) ? r . 因为A(4,0),B (0,3),O(0,0)都在圆上,所以它们的坐标
2 2 2

都满足方程,于是

? ?a ? 2, 2 2 2 ?(4 ? a) ? (0 ? b) ? r , ? 3 ? ? 2 2 2 ? ?b ? , ?(0 ? a) ? (3 ? b) ? r , 2 ? ?(0 ? a)2 ? (0 ? b)2 ? r 2 , ? 25 2 ? ?r ? 4 . ?

3 25 ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ? . 所求圆的方程为 2 4

例3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. y A(1,1) O C

x
B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0

解:因为A(1, 1)和B(2,-2),所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ?2 ? 1 ( , ? ), 直线AB的斜率: k AB ? ? ?3 2 ?1 2 2

因此线段AB的垂直平分线l′的方程是 即x-3y-3=0 y

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2

A(1,1)
O x B(2,-2)

D

l?
l : x ? y ?1 ? 0

C

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? x ? ?3, 解方程组 ? 得 ? ? y ? ?2. ?x ? y ?1 ? 0
所以圆心C的坐标是 (?3, ?2)
r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5 圆心为C的圆的半径长

所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

比较例2和例3,你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两
种方法吗?

两种方法:待定系数法;
数形结合法.

(2012·青岛模拟)已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1) 且圆心M在x+y-2=0上,求圆M的方程. 【解析】设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
??1 ? a ?2 ? ? ?1 ? b ?2 ? r 2 , ? 根据题意得:?? ?1 ? a ?2 ? ?1 ? b ?2 ? r 2 , ? ?a ? b ? 2 ? 0, ? ?

解得:a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4.

1.以(3,-4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程 是 (x-3) 2+(y+4)2=25 . 4或-4 .

2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切,则b=

3.求以点A(1, 5)和B(3,-1)为直径两端点的圆的方程. (x-2) 2+(y-2)2=10

4.如图已知隧道的截面是半径为4米的半圆,车辆只能在道 路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7米,高为3米的货车能不

能驶入这个隧道?

解:以某一截面半圆的圆心为坐标 原点,半圆的直径AB所在的直线为 y

x轴,建立直角坐标系(如右图)
A

0

2.7

B

x

那么半圆的方程为

x ? y ? 16( y ? 0),
2 2

y ? 16 ? 2.72 ? 8.71 <3。 将x=2.7代入,得
即在离中心线2.7米处,隧道的高度低于货车的高度.因 此,货车不能驶入这个隧道.

1.圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为:x2 ? y 2 ? r 2 2.由于圆的标准方程中含有a, b, r三个参数,因此必须
具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知条件容易求 得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一

般采用圆的标准方程。
3.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。

不想当元帅的士兵不是好士兵。


相关文章:
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 复习引入 我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点
(公开课)4.1.1圆的标准方程教学设计.doc
(公开课)4.1.1圆的标准方程教学设计 - 4.1.1圆的标准方程(第1课时) 教学设计 《圆的标准方程( 课时) 》教学设计 课时 》 教材分析: 教材分析 圆是解析...
4.1.1圆的标准方程(优质课)_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程(优质课) - 4.1.1 圆的标准方程 y 沂南一中 张宝霞 O A x r 学习目标 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、...
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 圆的标准方程 【三维目标】 知识与技能: 掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从 圆的标准方程中熟练地求出...
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 普通高中课程标准 必修二 (四)圆与方程 4.1.1圆的标准方程 教学目标: 1.通过直观感知,掌握圆的标准方程,能根据圆心、 半径写出圆的标准...
4.1.1圆的标准方程(公开课)_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程(公开课) - 4.1.1 圆的标准方程 y M (x, y ) A (a, b) 0 x 学习目标 1. 掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出 圆的标准方程...
4.1.1圆的标准方程(公开课教案).doc
4.1.1圆的标准方程(公开课教案) - 《4.1.1 圆的标准方程》教案 授课
4.1.1圆的标准方程.doc
4.1.1圆的标准方程 - 高一人教版必修2第四单元圆与方程4. 1.1 圆的标准方程教案导学案... 4.1.1圆的标准方程_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一人教版必...
最新完美版高一数学(4.1.1圆的标准方程)_图文.ppt
最新完美版高一数学(4.1.1圆的标准方程) - 高中数学,高考复习,高中物理,
4.1.1圆的标准方程公开课课件_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程公开课课件 - 4.1.1 圆的标准方程 y O A x
4.1.1 圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1 圆的标准方程 - 4.1.1圆的标准方程 问题提出 1.在平面直角坐
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 4.1.1 圆的标准方程 ? 创设情境 引入新课 乐
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 思考:在平面直角坐标系中, 如何确定一个圆? 回顾:
4.1.1圆的标准方程(公开课)_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程(公开课) - 4.1.1圆的标准方程 尤溪二中 朱兴炬
4.1.1圆的标准方程1_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程1 - 创设情境 引入新课 乐在其中 一石激起千层浪 福建
4.1.1圆的标准方程公开课课件(人教A版必修2)_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程公开课课件(人教A版必修2) - 4.1.1 圆的标准方程 y O A x r 生活中的圆 复习引入 复习引入 问题:什么是圆?初中时我们是怎样给圆下 ...
4.1.1圆的标准方程PPT课件_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程PPT课件 - 4.1.1 圆的标准方程 复习引入 我们在
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 1 自学导读 阅读教材第118页的内容,并思考以下问
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - ◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 金品质?高追求 我们让你更放心 ! ◆数学?必修2?(配人教...
4.1.1圆的标准方程_图文.ppt
4.1.1圆的标准方程 - 乐在其中 一石激起千层浪 福建土楼 奥运五环 小憩片
更多相关标签: