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教学设计:对数函数及其性质(第2课时)


§2.2.2

对数函数及其性质(第 2 课时)

学习目标:⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数; ⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识, 了解互为反函数的两个函数图象间的关系; ⒊通过指数函数与对数函数的比较,了解互为反函数的两个函数定 义域和值域之间的关系. 教学重点:底数相同的指数函数与对数函数互为反函数. 教学难点:互为反函数的两个函数图象间的关系. 教学方法:探究、讨论式. 教具准备:⒈用《PowerPoint》播放指数函数与对数函数对照表. ⒉用 《几何画板》 演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系. 教学过程: (I)复习回顾: 师:前面几节课,我们学习了指数函数、对数函数的概念、图象和性质, 现在我们把这两类函数做个对比,以便于我们对它们形成整体的认识. 请大家一起来填写下表. (用《PowerPoint》播放) 指数函数与对数函数对照表 指数函数 一般形式 定义域 值域 函 对数函数

y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1)
(??, ??) (0, ??)

y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1)
(0, ??) (??, ??)

当 a ? 1 时,

当 a ? 1 时,

数 值 变 化 情 况

?a x ? 1, x ? 0, ? x ?a ? 1, x ? 0, ?a x ? 1, x ? 0. ?
当 0 ? a ? 1 时,

?log a x ? 0, x ? 1, ? ?log a x ? 0, x ? 1, ?log x ? 0, x ? 1. ? a

当 0 ? a ? 1 时,
?log a x ? 0, x ? 1, ? ?log a x ? 0, x ? 1, ?log x ? 0, x ? 1. ? a
a ? 1 时, y ? log a x 是增函数; 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减函数

?a x ? 1, x ? 0, ? x ?a ? 1, x ? 0, ?a x ? 1, x ? 0. ?
a ? 1 时, y ? a x 是增函数;

单调性
0 ? a ? 1 时, y ? a x 是减函数

图象

函数 y ? a x 的图象与函数 y ? loga x 的图象关于直线 y ? x 对称.

从上面的表格中,我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系, 今天我们就对它们之间的关系来做一番研究. (II)讲授新课: 师:在指数函数 y ? 2x 中,x 为自变量,y 是因变量.如果把 y 当成自变量, x 当成因变量,那么 x 是 y 的函数吗? 生: 由指数式 y ? 2x 可得对数式 x ? log2 y . 这样, 对于任意一个 y ? (0, ??) , 通过式子 x ? log2 y ,x 在 R 中都有唯一的值和它对 应. 也就是说, 可以把 y 作为自变量, x 作为 y 的函数. 师:你可以用几何方法来得到上面的结论吗? 生:指数函数 y ? 2x 中,x 为自变量 ( x ? R) ,y 是 x 的函数 ( y ? (0, ??)) ,并且它是 (??, ??) 上的单调递增 函数.我们过 y 轴正半轴上任一点,作 x 轴的平行线, 与 y ? 2x 的图象有且只有一个交点.这也说明,对于任意一个 y ? (0, ??) ,x 在 R 中都有唯一的值和它对应. 也就是说, 可以把 y 作为自变量, x 作为 y 的函数.

师:这时我们称函数 x ? log2 y ( y ? R) 是函数 y ? 2x ( x ? R) 的反函数. 请同学们考虑,在函数 x ? log2 y 中,自变量、函数各是什么呢?这合乎我 们的习惯吗? 生:在函数 x ? log2 y 中,y 是自变量,x 是函数.而习惯上,我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数. 师:为了和我们的习惯一致,我们常常对调函数在函数 x ? log2 y 中的字母 x,y,把它写成 y ? log2 x .于是,对数函数 y ? log2 x ( x ? (0, ??)) 是指数函数

y ? 2x ( x ? R) 的反函数.
请同学们仿照上面的过程,说明对数函数 y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数 函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 之间的关系. 生: (探究、讨论得出结论)对数函数 y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函 数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数. 师:对于具体的指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) ,我们可以怎样得到它的 反函数呢? 生:对于具体的指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) ,我们可以先把它化为对 数 形 式 x ? log 2 y ,然后再对调其中的字母 x,y,就得到了它的反函数

y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1) .
师:请同学们观察一下对数函数 y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数

y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的定义域和值域,你能得出什么结论?
生:指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的定义域和值域分别是对数函数

y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的值域和定义域.
师: 请同学们观察对数函数 y ? log2 x ( x ? (0, ??)) 是指数函数 y ? 2x ( x ? R) 的图象,它们有什么关系呢? 生: (观察得)对数函数 y ? log2 x ( x ? (0, ??)) 是指数函数 y ? 2x ( x ? R) 的 图象关于直线 y ? x 对称. 师: 这个结论可以推广到一般情况, 即: 对数函数 y ? loga x (a ? 0 , 且 a ? 1) 和指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称. (用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系) (Ⅲ)课后练习:阅读课本 P84 的《探究与发现》 . (Ⅳ)课时小结 ⒈求指数(对数)函数的反函数可分两步进行: ①将指数(对数)式化为对数(指数)式;②对调字母 x,y; ⒉数学上可以证明,互为反函数的两个函数有如下性质: ①反函数的定义域是原函数的值域,值域是原函数的定义域; ②互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称. (Ⅴ)课后作业 ⒈阅读课本,思考下列问题: ⑴怎样的函数称为幂函数?怎样确定幂函数的定义域? ⑵幂函数的图象大致有几种形式?在第四象限内有幂函数的图象吗?为 什么? ⑶幂函数在区间 (0, ??) 内有怎样的单调性? ⑷怎样确定幂函数的奇偶性? 板书设计:

§2.2.2

对数函数及其性质(三) ⒊反函数的性质

⒈指数函数与对数函数的关系: ⒉求指数(对数)函数的反函数:

小结: 预习提纲: 教学后记:


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