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四川省德阳市2013届高三上学期“一诊”考试数学理试题(word版)


高三数学综合练习题(理科)
一、选择题
1. 已知集合 A ? ?cos 0,sin 270?? , B ? x | x ? 1 ? 0 ,那么
2

?

?

=

A. |0, -1| 2. 已知z是纯虚数, A.2i

B. |1, -1}

C.{1}

D. {-1}

z?2 是实数,那么z = 1? i
B.i
中,

C. –i

D. -2i =

3. 各项均为正数的等比数列 A. B. C.

成等差数列,那么 D.

4. 在Δ ABC中,“
A.充分不必要 C.充分必要

”是“Δ ABC为钝角三角形”的_____条件
B.必要不充分 D.既不充分也不必要

5. 已知

中,AB = 3,AC = 4,

= 90°,AD丄 BC 于

D,E在Δ ABC内任意移动,则?位于

内的概率为

A.

B.

C.

D.

6. 一个如图所示的流程图,若要使输入的x值与输出的y值相等, 则这样的-值的个数是 7.若函数 A.4 B.3 C.2 D. 1 在一个周

期内的图象如图M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且 =0,那么 =

A. C.

B. D.

8. 下列命题中是假命题的是 A. 不等式 B. 的整数解有7 个 有零点
1

,

-

C. 若 D.

的图象关于某点对称,那么 ,使

使得 是幂函数,且在

是奇函数 上递减

9. 函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB,其中 A(1,2),B(3 ,0 ),那么函数:y =
XF ( X ) 的单调增区间

为 C. D. ‘

A.

B.

10.已知函数

,若数列

满足

,且

是 递减数列,则实数a 的取值范围是

A. I

B.

C.

D.

11-已知f(x)是定义在上的函数,且满足 的解集为 A. B. C.(- 1,1) D.(0,1)

.则关于-的不等式

1 2 . 已知实数;c ,y 满足

,则

的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二、填空题 13. 为了解某校高三学生到学校运动场参加体育 锻炼的情况.现采用简单随机抽样的方法,从高三的
1500名同学中抽取50名同学,调查他们在一学期内到

学校运动场参加体育锻炼的次数,结果用茎叶图表示 (如图).据此可以估计本学期该校1500名高三p学 中,到学校运动场参加体育锻炼次数在[23,43)内人数 为______ 14. 展开式中不含 项的系数的和为_______.

15. 同时抛掷一颗红殷子和—颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数是3的 倍数”为事件4 ,“两颗骰子的点数和大于8”为事件S ,则
2

=______

16.已知. 点的 直线,这三个交点的横坐标分别为 ______(填正确结论的序号) 的解集为 在 上单减; ?

,是过原点且与

图象恰有三个交

,那么下列结论中正确的有

④当 三、解答题 1.已知函数 数 (1)求
(2)

时,

取得最小值.

为偶函数,且函 .

图象上相邻两对称轴间的距离为 的解析式及单减区间; . . 的三内角为A 、 B 、 C ,若

,求

.

2.在

中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 若 ,求 的面积.

(I)求角 C 的值: (II) 若 c=2,且

3

3. 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下: 小微企业短 缺资金金额 (万元) 频率 0. 05 0. 1 0. 35 0.3 0.2 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)

(1) 试根据上表估计该市小微企业短缺资金金额的平均值; (2) 某银行为更好地支持小微企业健康发展,从其第一批注资的A行业的4家小微企业和

B行业的3家小微企业中随机的选取4家小微.企业进行跟踪调研,设选取的4家小微企业中注
资的B行业的个数为随机变量A求X的分布列和期望.

4.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人 都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列数学期望 E? 。

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 , 3 2

4

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差

,且S3+S5=58,a1,a3,a7成等比数列.

(I)求数列{an}的通项公式;
( I I ) 若{bn}为等比数列,且 值. 记 求 T10

6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且

(其中 t 为常数, 且 t>0).

(I )求证:数列{an}为等比数列;
(II )若数列{an}的公比 q= f(t},数列{bn}满足 ,求数列{bn}的通项公式;

7.己知二次函数y=f(x) 的图像过点(1,-4),且不等式f(x) <0的解集是(O, 5).

(I)求函数 f(x)的解析式;
(II)设 若函数 在 [-4 , -2] 上单调递增,在 [-2 , 0] .

上单调递减,求 y=h(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

5

8. 己知函数

在 x=2 处的切线斜率为

.

(I)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间;
(II) 设 , 立,求正实数的取值范围; (III) 证明: ? ,对 使得 成

绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
6

BCBCC AADDB AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.-4 14.2

? 4? 15. ?0, 3 ?

? ? 5? ? 2? ? ??? , ? ? 3 ?

16.①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)f (x)=a·b =(cos2x,1)·(1, 3 sin2x) = 3 sin2x+ cos2x =2 sin(2x+ ∴ 最小正周期 T ? 令 2x+

? ), 6

?????????????????6 分

2? ?? , 2

? ? k? ? = k? ? ,k∈Z,解得 x= ? ,k∈Z, 2 6 2 6
k? ? ? ,k∈Z.?????????????8 分 2 6

即 f (x)的对称轴方程为 x= (Ⅱ)当 x∈[0, ∴ 当 2x+ 当 2x+

? ? ? ? 7? ]时,即 0≤x≤ ,可得 ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6

? ? ? ? = ,即 x= 时,f (x)取得最大值 f ( )=2; 6 2 6 6

? 7? ? ? = ,即 x= 时,f (x)取得最小值 f ( )=-1. 6 6 2 2

即 f (x) 的值域为[-1,2].????????????????????12 分 18.解:(Ⅰ)由 S3+S5=58,得 3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58, ① ∵ a1,a3,a7 成等比数列,a3 =a1a7,
2 2

即(a1+2d) =a1(a1+6d),整理得 a1=2d, 代入①得 d=2, a1=4, ∴ an=2n+2. ?????????????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a8=18,b5·b6+b4·b7=2b5·b6=18,解得 b5·b6 =9. ∵ T10= log3b1 +log3b2+ log3b3+?+ log3b10 =log3(b1·b10) + log3(b2·b9) +?+ log3(b5·b6) =5log3(b5·b6) =5log39 =10. ??????????????????????????12 分 19.解:(Ⅰ)由已知 y= f (x)是二次函数,且 f (x)<0 的解集是(0,5), 可得 f (x)=0 的两根为 0,5, 于是设二次函数 f (x)=ax(x-5),
7

代入点(1,-4),得-4=a×1×(1-5),解得 a=1, ∴ f (x)=x(x-5). ????????????????????????4 分
3 3 2

(Ⅱ)h(x)= 2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x -(4k-10)x+5=x +2x -4kx+5, 于是 h?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 4k , ∵ h(x)在[-4,-2]上单调递增,在[-2,0]上单调递减, ∴ x=-2 是 h(x)的极大值点, ∴ h?(?2) ? 3 ? (?2)2 ? 4 ? (?2) ? 4k ? 0 ,解得 k=1. ??????????6 分 ∴ h(x)=x +2x -4x+5,进而得 h?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 4 .
3 2

2 2 令 h?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 4 ? 3( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x1 ? ?2,x2 ? . 3 3
由下表: x (-3,-2) + ↗ -2 0 极大 (-2, ↘

2 ) 3

2 3
0 极小

(

2 ,1) 3
+ ↗

h?( x)
h(x)

可知:h(-2)=(-2) +2×(-2) -4×(-2)+5=13,h(1)=1 +2×1 -4×1+5=4, h(-3)=(-3) +2×(-3) -4×(-3)+5=8,h( ∴ h(x)的最大值为 13,最小值为
3 2

3

2

3

2

2 2 3 2 2 2 95 )=( ) +2×( ) -4× +5= , 3 3 3 3 27

95 .??????????????12 分 27

20.解:(Ⅰ)∵asinA=(a-b)sinB+csinC, 由正弦定理

a b c , 得 a 2 ? (a ? b)b ? c 2 , ? ? sin A sin B sin C

即 a2 ? b2 ? c2 ? ab . ① 由 余 弦 定 理 得 cos C ? 结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2
. ???????????????????6 分

?
3

(Ⅱ)由 C=π -(A+B),得 sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA, ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A, ∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA, 整理得 sinBcosA=3sinAcosA. ??????????????????8 分 若 cosA=0,即 A=

? ? 时,△ABC 是直角三角形,且 B= , 2 6
8

于是 b=ctanB=2tan

? 2 3 1 2 3 = ,∴ S△ABC= bc= . ????????10 分 3 3 2 6

若 cosA≠0,则 sinB=3sinA,由正弦定理得 b=3a.② 联立①②,结合 c=2,解得 a=

2 7 6 7 ,b= , 7 7

∴ S△ABC=

1 1 2 7 3 3 3 6 7 absinC= × × × = . 2 7 7 7 2 2
2 3 3 3 或 .???????????????12 分 3 7

综上,△ABC 的面积为

21.解:(Ⅰ)当 t=1 时,2an-2=0,得 an=1, 于是数列{an}为首项和公比均为 1 的等比数列. ???????????1 分 当 t≠1 时,由题设知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得 a1=1, 由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1, 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan, , ∴

an ?1 2t (常数). ? an t ?1

∴ 数列{an}是以 1 为首项, (Ⅱ)∵ q= f (t)=

2t 为公比的等比数列.?????????4 分 t ?1

1 bn 2t ,b1=a1=1,bn+1= f (bn)= , bn ? 1 t ?1 2



b ?1 1 1 ? n ? ?1, bn ?1 bn bn

?1? 1 ∴ 数列 ? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,于是 ? n , bn ? bn ?
∴ bn ?

1 .???????????????????????????8 分 n 1 1 时,由(I)知 an= ( ) n ?1 , 3 2 1 1 1 ,2,2, ( ) 2 ,-3,-3,-3, ( )3 ,? 2 2 2

(III)当 t=

于是数列{cn}为:1,-1,

设数列{an}的第 k 项是数列{cn}的第 mk 项,即 ak= cmk , 当 k≥2 时,mk=k+[1+2+3+?+(k-1)]= ∴ m62=

k (k ? 1) , 2

62 ? 63 63 ? 64 ? 1953 ,m63= ? 2016 . 2 2

设 Sn 表示数列{cn}的前 n 项和,

9

则 S2016=[1+

1 1 2 1 2 3 62 + ( ) +?+ ( )62 ]+[-1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+?+(-1) ×62×62] 2 2 2

1 1 ? ( ) 63 1 1 2 1 62 2 ?2? 1 , 显然 1+ + ( ) +?+ ( ) = 1 262 2 2 2 1? 2
∵ (2n) -(2n-1) =4n-1, ∴ -1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+?+(-1) ×62×62 =-1+2 -3 +4 -5 +6 -?-61 +62
2 2 2 2 2 2 2 2 3 62 2 2

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+?+(62+61)(62-61) =3+7+11+?+123 =

31? (3 ? 123) 2

=1953. ∴ S2016= 2 ?

1 1 +1953=1955- 62 . 62 2 2

∴ S2012=S2016-(c2016+c2015+c2014+c2013) =1955=1769-

1 1 -( 62 +62+62+62) 62 2 2
1 . 261

即数列{cn}的前 2012 项之和为 176922.解:(Ⅰ)由已知: f ?( x) ? ∴由题知 f ?(2) ? 于是 f ?( x) ?

1 .?????????????12 分 261

1 ?a , x

1 1 ? a ? ? ,解得 a=1. 2 2

1 1? x , ?1 ? x x

当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ??5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x1∈(0,+∞),f (x1) ≤f (1)=0,即 f (x1)的最大值为 0, 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f (x1)≤g(x2)成立, 只须 f (x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ?

k ? k x 2 ? 2kx ? k ? ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ?x ? x x ?
10

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得 k≥1.???????????????10 分 (Ⅲ)要证明

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 (n∈N*,n≥2). ? ? ? ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

只须证

2ln 2 2ln 3 2ln n 2n 2 ? n ? 1 , ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1) ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 . ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1)

只须证

? ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数, 由(Ⅰ)当 x ? ?1,
f (x)=lnx-x+1≤0,即 lnx≤x-1, ∴ 当 n≥2 时, ln n2 ? n2 ? 1 ,

ln n 2 n 2 ? 1 1 1 1 1 , ? 2 ?1? 2 ?1? ?1? ? 2 n n n n(n ? 1) n n ?1

1 1 ? 1 ? ln 22 ln 32 ln n2 ? 1 1 ? ? ? 1 < ?1 ? ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 3 ?1? 2 3 n ? 2 2 ?1 ? ? ? n n ?1?
? n ?1? 1 1 2n 2 ? n ? 1 , ? ? 2 n ?1 2(n ? 1)



ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 .???????????????14 分 ? ? ? ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

11

12

13

14

15

22.解:(Ⅰ)由已知: f ?( x) ? ∴由题知 f ?(2) ? 于是 f ?( x) ?

1 ?a , x

1 1 ? a ? ? ,解得 a=1. 2 2

1 1? x , ?1 ? x x
16

当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ??5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x1∈(0,+∞),f (x1) ≤f (1)=0,即 f (x1)的最大值为 0, 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f (x1)≤g(x2)成立, 只须 f (x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ?

k ? k x 2 ? 2kx ? k ? ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ? x? x x ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得 k≥1.???????????????10 分 (Ⅲ)要证明

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 (n∈N*,n≥2). ? ? ? ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

只须证

2ln 2 2ln 3 2ln n 2n 2 ? n ? 1 , ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1) ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 . ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1)

只须证

? ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数, 由(Ⅰ)当 x ? ?1,
f (x)=lnx-x+1≤0,即 lnx≤x-1, ∴ 当 n≥2 时, ln n2 ? n2 ? 1 ,

ln n 2 n 2 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1? 2 ?1? ?1? ? , 2 n n n n(n ? 1) n n ?1
1 1 ? 1 ? ln 22 ln 32 ln n2 ? 1 1 ? ? ? 1 < ?1 ? ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 3 ?1? 2 3 n ? 2 2 ?1 ? ? ? n n ?1?

? n ?1?

1 1 2n 2 ? n ? 1 ? ? , 2 n ?1 2(n ? 1)

17


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