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内蒙古集宁一中10-11学年高二下学期期中(数学理)


集宁一中 2010-2011 学年第二学期期中考试 高二年级理科数学试题
命题:翟福 审核:郝桂林
[来源:高考试题库]

本卷满分 150 分,附加题 15 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(非选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每一小题给出的 四个选项中,有且只有一项是符合要求的) 2 1.设 z=1+i(i 是虚数单位),则 +z2=( )

z

A.-1-i

B.-1+i

C.1-i

D.1+i

2.如右图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是
1 1 BC、CD 的中点,则 AB ? BC ? BD 等于( 2 2



A. AD

B. GA

C. AG

D. MG )

3.与向量 a ? (1,?3,2) 平行的一个向量的坐标是( A.( 1 ,1,1)
3

B.(-1,-3,2)

C.( ?

1 3 , ,-1) 2 2

D.( 2 ,-3, ? 2 2 )

4.若向量 MA , MB , MC 的起点 M 与终点 A,B,C 互不重合且无三点共线,O 是 空间任一点,则能使 MA , MB , MC 成为空间一组基底的关系是(
???? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? A. OM ? OA ? OB ? OC 3 3 3
???? ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? C. OM ? OA ? OB ? OC 3 3



???? ???? ???? ? B. MA ? MB ? MC
???? ???? ???? ? D. MA ? 2MB ? MC

5.已知 p ? ( x,y,z ),q ? (a,b,c)( xyz ? 0,abc ? 0) ,若有等式

, ( x2 ? y 2 ? z 2 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (ax ? by ? cz )2 成立,则 p q 之间的关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都可能

, x ? ?及x轴 所围成的图形的面积是( ) . 2 A .1 B.2 C.3 D.4 7 下列求导运算正确的是( )

6.由 y ? sin x与x ? ?

?

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A. ( x ? 1 )? ? 1 ? 1 x x2 C. (3 x )? ? 3 x log e
3

1 x ln 2 2 D. ( x cos x)? ? ?2x sin x
B. (log 2 x)? ?

8.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件
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9.关于函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确的是(
3 2



A. 在区间(-∞,0)内,f(x)为增函数 B. 在区间(0,2)内,f(x)为减函数 C. 在区间(2,+∞)内,f(x )为增函数 D. 在区间(-∞,0) ? (2,+ ? )内,f(x)为增函数

★10.

设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数, y ? f ?(x) 的图象如下左图,则 y ? f (x) 的 )

图象最有可能的是(

11.用数学归纳法证明 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n(n ? N * , n ? 1) 时,第一步应验证 2 3 2n ? 1 不等式( ) A. 1 ? 1 ? 2 B. 1 ? 1 ? 1 ? 2 C. 1 ? 1 ? 1 ? 3 D. 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 2 3 2 3 2 3 4


12 . 已 知 f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? f1' ( x), f 3 ( x) ? f 2' ( x), f 4 ( x) ? f 3' ( x), …

f n ( x) ? f n'?1 ( x) 则 f 2011 ( x ) ? (
A. sin x B. ? sin x

) C. cos x D. ? cos x

第 II 卷(非选择题
★13.

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 若 lim f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) 等于 ?x ?0 3?x
2 0

14.

?

e dx ? __________ _____

x 2

15.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值是
★★16.若数列{ a

最小值是
a1 ? a2 ? ? ? an n

n

},(n∈N * )是等差数列,则有数列 b n =

(n∈N * )也是等差数列,类比上述性质,相应地:若数列{C n }是等比数列, 且 C n >0(n∈N * ),则有 d n =____________ (n∈N * )也是等比数列。 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分) 17(14 分) (1) 求证:

6 + 7 >2 2 + 5 。

(2) 计算下列定积分

?

3

?4

| x? 2 d x |

18(14 分) .设函数 f ( x) ? ? x( x ? 1) 2 ( x ? R) .
( (1) 求曲线 y ? f ( x) 在点 2,f (2)) 处的切线方程;

(2) 求函数 f ( x) 的极大值 和极小值。

★19(14

分).如图 1,在长方体 AC1 中,AB=BC=2,AA1= 2 ,E、F 分别是 A1C1.、
D1 A1

E
B1

C1

F D C

BC1 的中点。 求 (1) AF 和 BE 所成的角. (2) AA1 与平面 BEC1 所成的角.

20. (16 分)如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是 正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD . V (1) 证明: AB ? 平面 VAD ; ★★ (2) 求面 VAD 与面 V DB 所成的二面角的余弦值.
[来源:高考试题库 GKSTK]

D A 图2 B

C

21. (16 分)已知 f (x) ? 2ax ? (1) 求 a、b 的值;
★★(2)

b 1 ? ln x .在 x=-1 与 x ? 处都取得极值. x 2

4 若对 x ?[ ,] 时,f(x)>c 恒成立,求实 数 c 的取值范围.

1 4

★★附加题: (15

分)已知函数

f ( x) ?

1 ? a ln( x ?1), 其中 n∈N*,a 为常 (1? x)n

数. (Ⅰ)当 n =2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a =1 时,证明:对任意的正整数 n , 当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1.

集宁一中 2010-2011 学年第二学期期中考试 高二年级数学试题(理科)答案
一.选择题 1D 2C 3C 4C 5A 6C 7B 8D 二.填空题 13. 1.5 三.简答题 14.2e-2 15. 5;-15 16.
n

9D 10C 11B 12D

c1·2 ?cn c

18. 解答(1) f ( x) ? ? x( x ?1)2 ? ? x3 ? 2 x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1,切线的斜率为 k ? f ' (2) ? ?5
所以,切线方程为 y ? ?5 x ? 8 ……………………………………………………………7 分 (2)解: f ( x ) ? ? x( x ? 1) ? ? x ? 2 x ? x
2 3 2

f ' ( x ) ? ?3 x 2 ? 4 x ? 1
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x=1/3 或 x=1.

x
f ?( x )
因此,函数 f ( x ) 在 x ?

1 ( - ?,) 3

1 3
0

1 ( , 1) 3

1

( , ?) 1?

?

?

0

?

1 1 1 4 处取得极小值 f ( ) ,且 f ( ) ? ? ; 3 3 3 27

函数 f ( x ) 在 x=1 处取得极大值 f(1),且 f(1)=0.……………………………………14 分 z 19. (1) 90 (2)45 解: (1)以 D 为原点,以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立 如图所示的直角坐标系,则 A(2,0,0) B(2, 2,0) C(0,2,0) A1(2,0, 2 )B1(2,2, 2 ) C1(0,2, D1(0,0, 2 )
?
0

D1

E
B1

C1

2)

A1

F D C B

y

A 图1

因为 E,F 分别是 B1D 和 B1C 的中点,所以 E(1,1,

2 ) F(1,2,
x

2 ),所以 2

AF ? (?1,2,
角为 90
0

2 ) , BE ? (?1,?1, 2 ) , AF ? BE ? 0 , AF ? BE ,所以 AF 和 BE 所成的 2
…………………………7 分

(2) AA ? (0,0, 2 ) , EC1 ? (1,?1,0) , BE ? (?1,?1, 2 ) 1 设平面 BEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 EC1 ? n , BE ? n
[来源:高考试题库]

?x ? y ? 0 ,令 y=1,x=1,z= 2 , n ? (1,1, 2 ) EC1 ? n ? 0 , BE ? n ? 0 , ? ?? x ? y ? 2 z ? 0
设 AA1 与平面 BEC1 所成的角为θ ,则 sinθ = | cos ? AA , n ? |? 1

2 2 ?2

?

2 0 ,所以θ =45 ……………………………………14 分 2

2 1.解: (1) f ' ( x ) ? 2a ?

b 1 ? ?0 2 x x 1 ∵f(x)在 x=-1 与 x ? 处取得极值, 2

?2a ? b ? 1 ? 0 ∴? ?2a ? 4b ? 2 ? 0
∴ f (x) ? 2x ? (2) 由 于 当

?a ? 1 解得 ? ? b ? ?1
………………………………………………6 分

1 ? ln x x

1 1 x ? ( , )时,y' ? 0 , 4 2 1 1 ∴y 在 x ? ( , ) 上 4 2
为减函数;

x f’(x) f(x)

1 1 1 ( ,) 4 2 4
[来源:Gkstk.Com]

1 2
0

1 ( , 4 4 ) 2
+



3 ? ln

1 当 x ? ( ,) 时 , 4 2 y' ? 0 ,
∴y 在 x ? ( ,) 上为增函数. 4 因此 y 最小 ? f ( ) ? 3 ? ln 即 3 ? ln

1 2



1 2

1 2

1 2
∴ c ? 3 ? ln 2 ………………………………16 分

1 ? c 恒成立, 2

附加题: (I) f ( x) 的定义域为 x x ? 1 ,当 n ? 2 时 f ( x) ?

?

?

1 ? a ln( x ? 1), ( ? x) 2 1

? 1 ? 2 ? a(1 ? x) 2 f ( x) ? ? ? a ln( x ? 1), ? ? . 1) ( ? x) 2 ( ? x)3 1 ?1 ?
/

/

当 a ? 0 时,由 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 1 ?
f / ( x) ? ?a( x ? x1 )( x ? x2 ) , ( ? x )3 1

2 2 ? 1, x2 ? 1 ? ? 1, a a

? 2? / 当 x ? ?1,1 ? ? 时, f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; ? ? a? ? ? ? 2 , ?? ? 时, f / ( x) ? 0, f ( x) 单调递增。 当 x ? ?1 ? ? ? a ? ?

当 a ? 0 时 f / ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 无极值。

纵上可知 n ? 2 时,当 a ? 0 时 f ( x) 在 x ? 1 ?

2 处取得极小值为 a

f (1 ?

2 a 2 ) ? (1 ? ln ), 当 a ? 0 时 f ( x) 无极值。………………………………7 分 a 2 a

1 (II)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ln( x ? 1), ( ? x) n 1 1 当 x ? 2 时,对任意 n ? N * , 恒有 ? 1,故只需证 1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1。令 ( ? x) n 1

h( x) ? x ?1? ?1? ln( x ?1)? ? x ? 2 ? ln( x ?1) , x??2, ??? ,
h / ( x) ? 1 ? 1 x?2 ? ? 0, x ?1 x ?1

故 h( x) 在 ?2,??? 上单调递增,即 h( x) ? h(2) 在 ?2,??? 上恒成立, 而 h(2) ? 0, h( x) ? x ?1 ? ?1 ? ln( x ?1)? ? 0, 1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1恒成立, 因此,当 x ? 2 时,恒有 f ( x) ? x ? 1.
………………………………15 分


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