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1.2.1排列(一)


探究: 探究:
问题1:从甲、 名同学中选出2名参加一项活 问题 :从甲、乙、丙3名同学中选出 名参加一项活 名同学中选出 其中1名同学参加上午的活动 名同学参加上午的活动, 动,其中 名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法? 午的活动,有多少种不同的选法? 问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出 个排成 个数中, 问题 : , , , 这 个数中 每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?

上面两个问题有什么共同特征? 上面两个问题有什么共同特征?可以用 怎样的数学模型来刻画? 怎样的数学模型来刻画?

探究: 探究:
问题1:从甲、 名同学中选出2名参加一项活 问题 :从甲、乙、丙3名同学中选出 名参加一项活 名同学中选出 其中1名同学参加上午的活动 名同学参加上午的活动, 动,其中 名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法? 午的活动,有多少种不同的选法? 分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选 名, 名同学中选2名 分析:把题目转化为从甲、 从甲 名同学中选 按照参加上午的活动在前, 按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的 顺序排列,求一共有多少种不同的排法? 顺序排列,求一共有多少种不同的排法?

第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 第一步:确定参加上午活动的同学即从3 种选法. 选1名,有3种选法. 第二步:确定参加下午活动的同学, 第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6 根据分步计数原理:
上午 下午 乙 丙 甲 丙 甲 乙

即共6种方法。 即共6种方法。
相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲







丙乙

把上面问题中被取的对象叫做元素 于是问 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 元素 就可以叙述为: 题1就可以叙述为:
个不同的元素a,b,c中任取 个,然后按照一定 中任取2个 从3个不同的元素 个不同的元素 中任取 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2: 个数中, 问题 :从1,2,3,4这4个数中,每次取出 个排成 , , , 这 个数中 每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?
1 2
3

2 4 1
3

3

4
3

1 2

2

4 2

1

4 2

3

3 42 42 3

3 41 41

41 4 1 2

3 1 3 1

2

有此可写出所有的三位数: 有此可写出所有的三位数: 123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243, , , , , , , , , , , , 312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。 , , , , , , , , , , 。

个不同的元素a,b,c,d 中任取 个,然后按照一定的顺 中任取3个 从4个不同的元素 个不同的元素 序排成一列,共有多少种不同的排列方法? 序排成一列,共有多少种不同的排列方法?

abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

基本概念
1、排列: 、排列: 一般地, 个不同中取出m 个元素, 一般地,从n个不同中取出 (m ≤ n)个元素, 个不同中取出 个元素 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元 素中取出m个元素的一个排列 个元素的一个排列。 素中取出 个元素的一个排列。

说明: 说明:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。 元素不能重复。 个中不能重复, 个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是 按一定顺序”就是与位置有关, 否是排列问题的关键。 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 时的排列叫选排列, 时的排列叫全排列。 为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏, 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 树形图” “树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题? 下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 10名学生中抽2 名学生中抽 10名学生中选 名做正、 名学生中选2 (2)10名学生中选2名做正、副组长 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 2,3,5,7,11中任取两个数相乘
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 2,3,5,7,11中任取两个数相除

(5)20位同学互通一次电话 20位同学互通一次电话 20位同学互通一封信 (6)20位同学互通一封信
(7)以圆上的10个点为端点作弦 以圆上的10个点为端点作弦 10 (8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的 以圆上的10个点中的某一点为起点, 10个点中的某一点为起点 射线

(9)有10个车站,共需要多少种车票? 10个车站,共需要多少种车票? 个车站 (10)有10个车站,共需要多少种不同的票价? 10) 10个车站,共需要多少种不同的票价? 个车站

2、排列数: 、排列数: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 m(m≤n) 的所有排列的个数,叫做从n 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。 表示。 取出m个元素的排列数。用符号 A 表示。 n “排列”和“排列数”有什么区别和联 排列” 排列 排列数” 系?
按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素的 m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示 排列数,而不表示具体的排列。

“一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素

问题1中是求从3个不同元素中取出2 问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数, 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 = 3 × 2 = 6 已经算得 问题2中是求从 个不同元素中取出 问题 中是求从4个不同元素中取出 个元素的 中是求从 个不同元素中取出3个元素的 3 3 排列数, 排列数,记为 A4 ,已经算出 A4 = 4 × 3 × 2 = 24

探究: 探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 个不同元素中取出2 2 3 m 是多少? n 数 A 是多少? A 呢? A 呢? n n
2 An = n(n ? 1)

3 An = n(n ? 1)(n ? 2)

A = n(n ? 1)(n ? 2)L (n ? m + 1)
m n

第1位 位

第2位 位

第3位 位

第m位 位

……
n种 种 (n-1)种 (n-2)种 种 种 (n-m+1)种 种

(1)排列数公式( (1)排列数公式(1): 排列数公式

A = n(n ?1)(n ? 2)L(n ? m+1)(m, n∈N*, m ≤ n)
m n
n 当m=n时,An = n(n ?1)(n ? 2)L3? 2?1

正整数1 正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 的连乘积,叫做n的阶乘, n个不同元素的全排列公式: An = n! 个不同元素的全排列公式: n

n! 。 表示。 表示

n! (2)排列数公式 排列数公式( (2)排列数公式(2): A = (n ? m)!
m n

为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0 =1 为了使当m 时上面的公式也成立,规定: !
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。 排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。 公式的第一个常用来计算 这个条件要留意, 2、对于 m≤ n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条 件。

说明: 说明:

例1、计算: 计算: (1)A3 (2)A6 6
16

( 3)
2 x

A

4 8

例2、解方程: 解方程: 例3、求证: 求证:

A =100A
3 2x m n+1 m n

A = A + mA

m?1 n

m 例4.若 An = 17 × 16 × 15 × L × 5 × 4 ,则 m = 14 , n = 17 .

例5 、求 A

n+3 2n

+A

n+1 的值. 4 的值.

课堂练习
3 2 1.计算:(1) 5 A5 + 4 A4 = 348

5A3 + 4A2 = 5×5×4×3+ 4×4×3 = 348 5 4

A1 + A2 + A3 + A4 = 4 +4×3+ 4×3×2 +4×3×2×1 = 64 4 4 4 4

1 2 3 4 (2) A4 + A4 + A4 + A4 = 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法?

A3 = 4×3×2 = 24 4
3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法?

A3 = 5×4×3 = 60 5

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C ) A.  1种 B.3种 C.6种 D.27种

A = 3×2×1 = 6
3 3

小结
排列问题, 个元素后, 排列问题,是取出m个元素后,还要按一 定的顺序排成一列, 个元素, 定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只 排列顺序不同, 要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种 不同的方法(两个不同的排列). 不同的方法(两个不同的排列). 由排列的定义可知, 由排列的定义可知,排列与元素的顺序有 关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题.当元素较少时, 列问题.当元素较少时,可以根据排列的意义 写出所有的排列. 写出所有的排列.

思考题

三张卡片的正反面分别写着数字 2和3,4和5,7和8,若将这三张卡片 的正面或反面并列组成一个三位数, 的正面或反面并列组成一个三位数, 可以得到多少个不同的三位数? 可以得到多少个不同的三位数?


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