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安徽省滁州中学2011年11月高中数学 方程的根与函数零点优质课大赛课件_图文

问题一
问题1、求方程x2 - 2x - 3=0的实数根?

问题2:方程x3 +x-2=0 有实数解吗?

问题3:方程lnx+2x-6=0有实数解吗?

问题二:
思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象有什么关系?

知识探究(一):方程的根与函数的零点
函数
y= x -2x-3
y

2

y= x2-2x+1
y

y= x2-2x+3
y

.

2 1

.

.
-1 -2

函数的图象

. -1

0

1 2

.

2

.
. .
1

.
3 2 1

5

.

4

3

x
-1

1

.
2

.
1

.
2

.

-3 -4

0

x

.

-1

0

3

x

函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴交点

(1,0)

无交点 x2-2x+3=0 无实数根

方程

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x1=x2=1

方程的实数根 x1=-1,x2=3

判别式△ = b2-4ac
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

△>0
y

△=0
y

△<0
y

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根

没有实数根

方程的根 等于对应函数图像与x轴交点的横坐标。

概括定义: 1、函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
注意:零点指的是一个实数;

归纳关系:
方程f(x)=0 的实数根



函数y=f(x)的零 函数值等于零时 点 的x的值 形

函数y=f(x)的图象与 x轴交点的横坐标

对零点的理解:
"数"的角度:即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度:即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标

2、等价关系 方程f(x)=0 的有实数根 函数y=f(x)的图象与 x轴有交点 函数y=f(x)有零点

小试牛刀:
练习1:判断下列函数是否有零点,
若有,请求出其零点
(1) y ? x ? 1
1 (2) y ? x

x ? ?1
(3) y ? 2
没有
x

没有
(4) y ? log 2 x ? 2

x?4

问题一
问题1、求函数 y=x2 - 2x - 3的零点

问题2:如何求函数y=x3 +x-2的零点?

问题3:如何求函数y=lnx+2x-6的零点?

知识探究(二):函数零点存在性原理 情境创设: 哪一组能说明小明的行程
一定曾渡过河?

(1)

(2)

将河流抽象成x轴,将两个位置视为A、 B两点。请问当A、B与x轴怎样的位 置关系时,AB间的一段连续不断的函 数图象与x轴一定会有交点?
a b x a

b x

a

b x

a

bx

a

bx

a

bx

如果函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,怎样才能保证在[a,b]上有零点?

3、零点的存在性定理 结 y? 如果函数论 f ( x) 在区间? a, b?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a ) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。



y

y

a o
y

b x

a
y

o

b x

a

o

b

x

a

o

b

x

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的 观察二次函数 练习2、

图象,可以发现
-1 ① 在区间[-2,1]上有零点______。 5 -4 计算 f (?2) ? _______, f (1) ? _______, < (<或>) 发现 f (?2) ·f (1) _____0 .

② 在区间[2,4]上是否也具有这种 特点呢?

练习3:在下列哪个区间内,函数f(x)= x3+x-2 一定有零点( B ) A、(-1,0) B、(0,2) C、(1,2) D、(2,3) 练习4:已知函数f(x)的图象是连续不断的, 且有如下的x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26 那么该函数在区间[1,6]上有且( B )零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定

例题精讲
例题1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对 应值表和图象
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y 由表和图可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0, 14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数,所以 0 它仅有一个零点。 -2
-4 -6

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

1

2

x

.

练习5:
1.若方程 2ax2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 内恰有一解,则 a 的取值范围( )

A. a ? ?1

B. a ? 1
2

C. ?1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

分析:令 f ( x) ? 2ax ? x ? 1在? 0,1? 内恰有一解,则 f (0) ? f (1) ? 0 。

即 ?1? ? 2a ? 2 ? ? 0

?a ? 1

课时小结:
1、函数的零点的定义
2、方程的根与函数零点的关系 3、 函数零点存在的条件

课后作业 P92习题3.1(A组)1、2、3

课后探究

判断正误:
(1) 若f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

(2) 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)· f(b)<0。
(3) 若f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。

分析: 1 函数图象是不间断的。
2 结论不可逆。 3 至少只存在一个零点。
y 0a x 0
a

y

b

bb b

bb

bb

b b bb x

b


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