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《反比例函数的图像和性质(1)》


《反比例函数的图像和性质(1)》

一、内容和内容解析

反比例函数是最基本的初等函数之一,是学习后续各类函数的基础.反比例 函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质.反比例函数的图象和性质的 核心,是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系,这也正是 反比例函数的本质属性所在.

反比例函数的图象和性质,蕴含着丰富的数学思想.首先,反比例函数图象 和性质,本身就是“数”与“形”的统一体.通过对图象的研究和分析,可以确 定函数本身的性质,体现了数形结合的思想方法.这在学习数轴、平面直角坐标 系时,学生已经接触过,结合本课内容,可以进一步加强对数形结合思想方法的 理解,发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势.其次,从本节 课知识的形成过程来看,由“解析式(确定自变量取值范围)”到“作图(列表、 描点、连线)”,再到“性质(观察图象探究性质)”,充分体现了由“数”到 “形”,再由“形”到“数”的转化过程,这种函数解析式及性质与函数图象之 间的联系, 突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用,是转化思想的 具体应用.再次,将函数中变量 、 之间的对应关系,通过图象的形状、变化 趋势,借助平面直角坐 标系和点的坐标,直观地予以呈现,这又充分体现了变 化与对应的数学思想.

对于反比例函数图象及性质的研究与学习,尽管还处于函数学习的初级阶 段, 但它所体现的函数学习的一般规律和方法,是继一次函数学习之后的再一次 强化.教材中呈现的“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的 结构,是学习初等函数时不可或缺的.使学生理解这样的“同构现象”,对于明 确学习任务,建立完善的认知结构也将是非常有意义的.再有,用描点法画反比 例函数的图象时,先由函数解析式考虑自变量的取值范围,分析 、 的对应变 化关系,然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势,进而列表、描点、连线作 出函数图象,反映了作函数图象的一般规律.另外,利用图象“特征”确定函数 “特性”,也是初中阶段研究函数性质的常用方法.

此外,反比例函数图象和性质的学习,是继一次函数后,知识与方法上的一 次拓展,理解与认识上的一次升华,也是思维上的一次飞跃.图象由由“一条” 到“两支”,形态由“直”到“曲”,由“连续”到“间断”,由与坐标轴“相 交”到“渐近”,无不折射出对函数概念本质属性认识的进一步深化.

因此,学好本节课内容将为今后的函数学习奠定坚实的基础.

教学重点:反比例函数的图象和性质.

二、目标和目标解析

(一)教学目标

1.会画反比例函数图象,理解反比例函数的图象和性质.

2.感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想,并能应用 数形结合和转化思想根据反比例函数的图象探究其性质.

3.培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力.

(二)目标解析

1.本节教学内容的脉络是:先使用描点法画出反比例函数的图象,然后依 据图象分析、探究、归纳得到函数的性质.因此,准确画出反比例函数的图象, 是探究反比例函数性质的前提.此时,虽然学生已经学过用描点法画函数图象, 但是由于反比例函数图象的特殊性,会画反比例函数的图象,仍是学习中的目标 之一.通过列表、描点、画出反比例函数的图象,进而观察、分析、探究、归纳、 概括,得到反比例函数的性质,可以进一步加深对函数三种表示方法(列表法、 解析式法和图象法)的理解;

2.数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩 固深化期四个阶段,而非能复制与灌输.在探究反比例函数性质时,让学生领悟 到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在,并能运用这些数学思想观 察、分析反比例函数的图象,探究、归纳、概括反比例函数的性质.

3.通过对反比例函数性质探究,使学生经历观察、分析、探究、归纳、概 括的认知过程,培养学生良好的思维品质,提高学生思维能力.

三、教学问题诊断分析

对于用描点法画函数的图象,学生已经学过,但因当时处于函数学习的初始 阶段, 重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的 “三步曲 (列表、 描点、 连线) ” , 所以,学生对每步要求的理解并不深刻.因此,在画反比例函数图象时,常遇到 如下的问题:(1)“列表”时确定自变量 的取值缺乏代表性及忽略 等现

象;(2)“连线”时,由于一次函数图象是一条直线,容易使学生产生知识上 的负迁移,把双曲线画成折线;(3)对双曲线与 轴、 轴“越来越靠近”但 不相交的趋势不易理解.教学时,应注意有针对性的引导,注意从解析式的分析 入手,让学生先进行“数”( , , )、“式”(解析式中 、 的

反比例关系)的分析,进而过渡到对“形”(图象)的认识.

在学习一次函数的时候,学生已经历过观察、分析图象的特征,抽象、概括函数性质的 过程,对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解、因此,通过类比,结合反比例函数 的图象探究性质, 从使用的方法上不会存在障碍, 但由于反比例函数图象比一函数图象的形 态丰富,结构复杂,具有自身的特殊性,故对性质的深刻理解和掌握,对性质探究中的数学 思想的体会和运用, 还存在一定的困难. 教学中, 应注重强调说明由 “数” 到 “形” 、 由 “形” 到“数”的转化关系,以“数”与“形”的转化为途径,展开探究活动.

教学难点:准确画出反比例函数的图象,理解反比例函数的性质,并能灵活 应用.

四、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点,为了更直观、形象地突出重点,突破难点,借 助信息技术工具, 以几何画板软件为平台, 绘制反比例函数图象, 同时辅之以 “点 跟踪”等手段,通过动态的演示,观察相关数值的变化,研究图象的变化趋势, 抽象概括当自变量变化时, 对应的函数值的变化规律,进而探究反比例函数的性 质.

五、教学过程设计

(一)创设情境,引入新知

问题 1:我们已经学习了正比例函数的哪些内容?是如何研究的?

以正比例函数

为例.

师生活动:教师提问,学生思考、回答,教师根据学生回答的情况加以补充, 并将答案填写在黑板的表格中, 强调是从形状、 位置、 变化趋势三个方面去研究.

【设计意图】通过复习正比例函数的图象和性质,以及研究函数的一般方法, 为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫.

(二)观察探究,形成新知

问题 2:反比例函数的图象是什么样的?

以画出反比例函数 的过程.

的图象为例,教师引导学生经历列表、描点、连线

(1)列表:

? ?

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

? ?

列表时,关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义(即 的函数值太大或是太小,以便于描点和全面反映图象的特征;

),

同时, 所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性,又不至于使自变量或对应

(2)描点:一般情况下,所选的点越多图象越精确;

(3)连线:引导学生用平滑的曲线,按照自变量从小到大的顺序连接各点, 注意图象末端的延伸和延伸的趋势,得到反比例函数的图象.

师生活动:教师引导学生列表、描点、作图;展示学生作品;教师板书示范, 并通过课件演示反比例函数图象的生成过程,给出双曲线的名称,并渗透它的形 态特征.

【设计意图】图象是直观地描述和研究函数的重要工具,通过经历用描点法 画出反比例函数图象的基本步骤, 可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性 认识.

问题 3:请观察反比例函数

的图象,有哪些特征?

师生活动: 教师引导学生观察, 类比正比例函数, 归纳说出反比例函数 图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性.

【设计意图】通过类比正比例函数,引导学生观察图象的形状、位置、变化 趋势,感受“形”的特征,感受自变量与函数值之间变化与对应的关系,使学生 对反比例函数的图象和性质形成初步的印象.

问题 4:是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢?

以讨论反比例函数

为例. 在教师引导下, 学生借鉴画反比例函数

的图象的经验,自主画出反比例函数

的图象,教师巡视指导.作图完成

后,学生展示作品,并说出该函数图象的特征,教师适时点评.

【设计意图】通过再次画出反比例函数的图象,使学生巩固前面已获得的作 图经验,提高学生利用描点法画出函数图象的能力.同时,在总结说出反比例函



的图象特征的过程中,使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括

的能力,以及经历通过画出函数图象,并利用图形研究函数性质的过程.

问题 5:反比例函数 点?是由什么决定的?



的图象有什么共同特征?有什么不同

师生活动:教师启发学生对比、思考,组织学生讨论,引导学生关注反比例 系数“ ”的作用.

【设计意图】学生通过观察比较,总结这两个反比例函数图象的特征,在活 动中,让学生自己去观察、发现、总结,实现学生主动参与,探究新知的目的.

问题 6:当 取不同的值,上述结论是否适用于所有的反比例函数?

教师演示课件,赋予不同的 值,观察所得到的不同的反比例函数图象的特 征,引导学生归纳“变化中的规律性”.然后,从解析式的角度,引导学生分析 上述结论的合理性.

【设计意图】通过计算机动态演示,验证猜想,使学生经历从特殊到一般的 过程,加强对反比例函数图象“特征”和函数“特性”以及它们之间的相互转化 关系的认识.

问题 7:总结反比例函数



)图象的特征和性质.

教师帮助学生梳理、归纳,填写表格:

函数

图象形 状

图象位置

图象变化趋 势

函数增减性

【设计意图】通过归纳,培养学生抽象概括能力.

(三)巩固提高,应用新知

课堂练习:

1.下列图象中,可以是反比例函数的图象的是(

).

2.已知反比例函数 上, 值随 的增大而 .

的图象如图所示,则

0, 且在图象的每一支

3. 已知反比例函数 且 0.

的图象过点(2,1),则它的图象在

象限,

4. 若反比例函数 且 ,则

( 的值是(

)的图象上有两点 ).

( ,

),

(



),

(A)正数

(B)负数

(C)非正数

(D)非负数

【设计意图】通过一系列的练习,可以实现知识向能力的转化.

(四)归纳反思,深化新知

问题 8:通过本节课的学习,你有哪些收获?

学生谈本节课的学习感受,教师梳理、概括本节课主要的学习内容,并揭示 蕴涵的数学思想方法.

【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法,使学生对反 比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识,同时,使学生养成良好的学 习习惯.

布置作业:

(1)基础达标:教材中练习的第 1、2 题,习题的第 3 题;

(2) 反思提升: 将反比例函数 ( 为常数,

( 为常数,

) 与正比例函数

)进行对比,可以从如下方面考虑:

①两种函数的解析式有何相同与不同?两种函数的图象的特征有何区别?

②在常数 相同的情况下,当自变量 变化时,两种函数的函数值 的变化 趋势有什么区别?

③两种函数中 的取值范围有何不同?常数 的符号改变对两种函数图象 所处象限的影响如何?

六、目标检测设计

1.反比例函数

的图象在(

).

(A)第一、二象限 (C)第二、三象限

(B)第一、三象限 (D)第二、四象限

2.在同一直角坐标系中,函数



的图象大致是(

).

3.写出一个反比例函数,使得该反比例函数的图象在第一、三象限,该函 数可以是 ;若点 在该函数的图象上,则点 的坐标可以是 .(分别写 出一个即可)

4.若双曲线 是 .

,当

时, 随 的增大而增大,则

的取值范围

5.已知反比例函数



(1)填写表格中相应的 的值:

? ?

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

? ?

(2)根据表中的数据,描点画出函数

的图象.

6. 某住宅小区要种植一个面积是 1000 m2 的矩形草坪, 设草坪的长为 (单 位:m),宽为 (单位:m),

(1) 与 之间有怎样的函数关系;

(2)画出该函数的图象;

(3)若限定草坪的宽大于 10 m 且不超过 20 m,求草坪的长的范围.


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