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安徽省江淮十校联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(文科)

安徽省江淮十校联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则 为() A.0 B.2i C.﹣2i D.﹣1﹣2i 2. (5 分)下列函数中周期为 π 且图象关于直线 x= A.y=2sin(2x﹣ ) B.y=2sin( +
2 2

对称的函数是() ) D.y=2sin( ﹣ )

) C.y=2sin(2x+
2

3. (5 分)若直线 x﹣y=2 被圆(x﹣1) +(y+a) =4 所截得的弦长为 ,则实数 a 的值为 () A.﹣2 或 6 B. 0 或 4 C . ﹣1 或 D.﹣1 或 3

4. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为()

A.2

B.

C . ﹣1

D.

5. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 6. (5 分)按如图程序框图,若输出结果为 S=42,则判断框内应补充的条件为()

A.i>3

B.i>5

C.i>7

D.i>9

7. (5 分)椭圆

=1 与双曲线

=1 有相同的焦点,则实数 a 的值是()

A.

B.1 或﹣2

C. 1 或

D.1

8. (5 分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()

A.220+15π

B.208+15π

C.200+9π

D.200+18π

9. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x) .若当 x∈[0,1) 时,f(x)=2 ﹣ A.0
x

,则 B. 1

的值为() C. D.
2 2

10. (5 分)如图,已知点

,正方形 ABCD 内接于圆 O:x +y =1,M、N 分别 的取值范围为()

为边 AB、BC 的中点.当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时,

A.[﹣2,2]

B.

C.[﹣1,1]

D.

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上. ) 11. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a3+a10=12,则 S9=. 12. (5 分)函数 f(x)=xsinx+cosx 在 上的最大值为.

13. (5 分)某市即将申报“全国卫生文明城市”,相关部门要对该市 200 家饭店进行卫生检查, 先在这 200 家饭店中抽取 5 家大致了解情况,然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽 查工作,相关部门先将这 200 家饭店按 001 号至 200 号编号,并打算用随机数表法抽出 5 家 饭店,根据下面的随机数表,要求从本数表的第 5 列开始顺次向后读数,则这 5 个号码中的 第二个号码是.

随机数表:84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76. 14. (5 分)已知 A(xA,yA)是单位圆上(圆心在坐标原点 O)任一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 到 OB 交单位圆于点 B(xB,yB) ,则 2yA﹣yB 的最大值为.

15. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若?x∈D,?y∈D,使得 f(y)=﹣f(x)成立,则称 函数 f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数: 2 ①y=x ; ②y= ;

③f(x)=ln(2x+3) ; ④y=2 ﹣2 ; ⑤y=2sinx﹣1. 其中是“美丽函数”的序号有.
x
﹣x

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. ) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a<b<c,sinA= (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a=2,b= ,求 c 及△ ABC 的面积. 17. (12 分)某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销 量之间的关系进行分析研究,他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(°C)与 该小卖部的这种饮料销量 y(杯) ,得到如下数据: 日 期 1 月 11 日 1 月 12 日 1 月 13 日 1 月 14 日 1 月 15 日 平均气温 x(°C) 9 10 12 11 8 销量 y(杯) 23 25 30 26 21 (Ⅰ)若先从这五组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; (Ⅱ)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; .

(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程,若天气预报 1 月 16 日的白天平均气温 7(°C) ,请 预测该奶茶店这种饮料的销量.

(参考公式:

=



= ﹣



18. (12 分) 已知首项为 , 公比不等于 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N ) , 且﹣2S2, S3,4S4 成等差数列.

*

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=n|an|,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 并比较 Tn+bn 与 6 大小. 19. (13 分)在如图所示的多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,平面 BCEF∩平 面 ADEF=EF,∠BAD=60°,AB=2,DE=EF=1. (Ⅰ)求证:BC∥EF; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣DEF 的体积.

20. (13 分)已知函数 f(x)=klnx﹣kx﹣3(k∈R) . (Ⅰ)当 k=﹣1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行,且函数 g(x) =x +
3

f'(x) 在区间(1,2)上有极值,求 t 的取值范围.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1({a>b>0})的离心率 e=

,且由椭圆上顶点、右焦

点及坐标原点构成的三角形面积为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0,2) ,过点 Q(﹣1,﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于 P) ,直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是,请说 明理由.

安徽省江淮十校联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则 为() A.0 B.2i C.﹣2i D.﹣1﹣2i
2

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由纯虚数的定义可得 a 值,进而可得复数 z,可得 . 解答: 解:由纯虚数的定义可得 ,

解得 a=1,∴z=2i,∴ 故选:C 点评: 本题考查复数的基本概念,属基础题.

2. (5 分)下列函数中周期为 π 且图象关于直线 x= A.y=2sin(2x﹣ ) B.y=2sin( +

对称的函数是() ) D.y=2sin( ﹣ )

) C.y=2sin(2x+

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数的周期性和对称性即可得到结论. 解答: 解:由周期为 π 可排除选项 B 和 D,对于选项 C,当 时,函数取得最大值,显

然符合题意, 故选:C 点评: 本题主要考查函数解析的确定,根据三角函数的周期性和对称性是解决本题的关键, 本题使用排除法比较简单. 3. (5 分)若直线 x﹣y=2 被圆(x﹣1) +(y+a) =4 所截得的弦长为 ,则实数 a 的值为 () A.﹣2 或 6 B. 0 或 4 C . ﹣1 或 D.﹣1 或 3 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的性质可得圆心到直线的距离为 a. 解答: 解:圆(x﹣1) +(y+a) =4 的圆心 C(1,﹣a) ,半径 r=2, 2 2 ∵直线 x﹣y=2 被圆(x﹣1) +(y+a) =4 所截得的弦长为 , ∴由圆的性质可得圆心到直线的距离为 ,
2 2 2 2

,由此能求出

解得 a=﹣1 或 3. 故选:D. 点评: 本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要注意直线与圆的性质的合理运用.

4. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为()

A.2

B.

C . ﹣1

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出平面区域,找到取最大值时过的点,代入即可. 解答: 解:其平面区域如右图: 则由 y=2x﹣z 可知, z=2x﹣y 的最大值时, y=2x﹣z 过直线 y=x 与 x=2y﹣2 的交点 B, 由 解得,x=y=2, 则此时 z=2×2﹣2=2 是 z=2x﹣y 的最大值时, 故选 A.

点评: 本题考查了线性规划,要注意作图要准确. 5. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 分析: 对于 A:因为否命题是条件和结果都做否定,即“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误.

对于 B:因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分条件,故错误. 2 对于 C:因为命题的否定形式只否定结果,应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误.由排除法即 可得到答案. 2 2 解答: 解:对于 A:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1”.因为否命题应 2 为“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误. 2 2 对于 B:“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件.因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分条 件,故错误. 对于 C:命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0”. 2 因为命题的否定应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误. 由排除法得到 D 正确. 故答案选择 D. 点评: 此题主要考查命题的否定形式,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,对于 命题的否命题和否定形式要注意区分,是易错点. 6. (5 分)按如图程序框图,若输出结果为 S=42,则判断框内应补充的条件为()
2 2

2

A.i>3

B.i>5

C.i>7

D.i>9

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由程序框图,写出每次循环 i,S 的取值,结合已知输出的结果为 S=42 即可确定判断 框内应补充的条件. 解答: 解:由程序框图知:i=1,S=0, S=0+2=2,i=1+2=3,不满足条件,执行循环体; S=2+8=10,i=2+3=5,不满足条件,执行循环体; S=10+32=42,i=5+2=7,满足条件,退出循环体, 故判断框内应补充的条件为 i>5 故选:B. 点评: 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.

7. (5 分)椭圆

=1 与双曲线

=1 有相同的焦点,则实数 a 的值是()

A.

B.1 或﹣2

C. 1 或

D.1

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可知焦点在 x 轴上,且 a>0,c 相等.

解答: 解:∵椭圆

=1 与双曲线

=1 有相同的焦点,

∴它们的焦点在 x 轴上, 2 且 6﹣a =a+4(a>0) , 解得 a=1, 故选 D. 点评: 本题考查了圆锥曲线的定义,属于基础题. 8. (5 分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()

A.220+15π

B.208+15π

C.200+9π

D.200+18π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图想象出空间几何体,代入数据求面积即可. 解答: 解析:由三视图易得, 此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体, 2 其表面积为(10×4+10×5+4×5)×2﹣6×2+π×3 +π×3×2=208+15π. 故选 B. 点评: 本题考查了学生的空间想象力,属于基础题. 9. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x) .若当 x∈[0,1) 时,f(x)=2 ﹣ A.0 考点: 专题: 分析: 解答: 而
x

,则 B. 1

的值为() C. D.

函数的周期性;函数的值;对数的运算性质. 函数的性质及应用. 根据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化即可得到结论. 解:由题意知函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, ,

所以



故选:A 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化是解决本 题的关键. 10. (5 分)如图,已知点 ,正方形 ABCD 内接于圆 O:x +y =1,M、N 分别 的取值范围为()
2 2

为边 AB、BC 的中点.当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时,

A.[﹣2,2]

B.

C.[﹣1,1]

D.

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知,将 转化为 ,得到

=﹣cos∠PON,结合角的范围求余弦值是范围. 解答: 解: cos∠PON ∵∠PON∈R,∴cos∠PON∈[﹣1,1], ∴ 的取值范围为[﹣1,1]. = =﹣

故选 C. 点评: 本题考查了向量的加减运算以及向量数量积的运算,本题注意利用余弦值的范围求 向量的数量积的范围. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上. ) 11. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a3+a10=12,则 S9=36. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解. 解:因为 a2+a3+a10=12,

由等差数列的性质知 3a5=12, 故 a5=4, 所以 .

故答案为:36. 点评: 本题考查等差数列的前 9 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用.

12. (5 分)函数 f(x)=xsinx+cosx 在

上的最大值为



考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求导分判断导数在 上的正负,从而得出在 上的单调性,从而

求出最大值. 解答: 解:f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx, 则当 当 ∴f(x)在 故 时,f′(x)>0, 时,f'(x)<0, 上单调递增,在 . 上单调递减,

时,f(x)取得最大值 .

故答案为:

点评: 本题考查了利用导数判断函数的单调性与最值,属于基础题. 13. (5 分)某市即将申报“全国卫生文明城市”,相关部门要对该市 200 家饭店进行卫生检查, 先在这 200 家饭店中抽取 5 家大致了解情况,然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽 查工作,相关部门先将这 200 家饭店按 001 号至 200 号编号,并打算用随机数表法抽出 5 家 饭店,根据下面的随机数表,要求从本数表的第 5 列开始顺次向后读数,则这 5 个号码中的 第二个号码是 068. 随机数表:84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76. 考点: 简单随机抽样. 专题: 概率与统计. 分析: 根据随机数表进行简单随机抽样,抽取出符合条件的号码,对于不符合条件的号码, 应舍去,直到取满样本容量为止. 解答: 解:根据随机数表进行简单随机抽样的方法得, 抽取的第一个号码为 175, 后面的数 331,572,455 都大于 200,应舍去, ∴第二个号码为 068.

故答案为:068. 点评: 本题考查了利用随机数表进行简单随机抽样的问题,解题时应熟悉随机数表的应用 问题,是容易题. 14. (5 分)已知 A(xA,yA)是单位圆上(圆心在坐标原点 O)任一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 到 OB 交单位圆于点 B(xB,yB) ,则 2yA﹣yB 的最大值为 .

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 设 A(cosα,sinα) ,则 由三角函数的知识可得. 解答: 解:设 A(cosα,sinα) ,则 ∴ = , , ,代入要求的式子

∴其最大值为 , 故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,涉及三角函数的最值,属基础题. 15. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若?x∈D,?y∈D,使得 f(y)=﹣f(x)成立,则称 函数 f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数: ①y=x ; ②y= ;
2

③f(x)=ln(2x+3) ; ④y=2 ﹣2 ; ⑤y=2sinx﹣1. 其中是“美丽函数”的序号有②③④. 考点: 专题: 分析: 解答: ② 命题的真假判断与应用. 新定义. 由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数. 2 解:①函数 y=x ≥0,所以不可能是“美丽函数”,所以①错; 的值域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,关于原点对称,所以②正确;
x
﹣x

③f(x)=ln(2x+3) ,值域为 R,关于原点对称,所以③正确; ④y=2 ﹣2 ,令 t=2 >0,则 y=
x
﹣x

x

,在(0,+∞)上单调递增,且值域为 R,值域关于原

点对称,所以④正确; ⑤y=2sinx﹣1,则 y∈[﹣3,1],不关于原点对称,所以⑤错误.

故答案为:②③④. 点评: 本题考查的函数的值域,新定义题型,关键是理解题目的意思.属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. ) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a<b<c,sinA= (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a=2,b= ,求 c 及△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式变形后,利用正弦定理化简,根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值,即可 确定出角 B 的大小; (Ⅱ)利用余弦定理列出关系式,把 a,b,cosB 的值代入求出 c 的值,利用三角形面积公式 求出三角形 ABC 面积即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵sinA= , .

∴ a=2bsinA, 由正弦定理可得 sinA=2sinBsinA, ∵0<A<π,∴sinA>0, ∴sinB= ,

∵a<b<c, ∴B<C, ∴0<B< 则 B= ; ,cosB= ,
2 2



(Ⅱ)∵a=2,b=

∴由余弦定理可得:7=4+c ﹣2c,即 c ﹣2c﹣3=0, 解得:c=3 或 c=﹣1(舍去) ,即 c=3, 则 S△ ABC= acsinB= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 17. (12 分)某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销 量之间的关系进行分析研究,他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(°C)与 该小卖部的这种饮料销量 y(杯) ,得到如下数据: 日 期 1 月 11 日 1 月 12 日 1 月 13 日 1 月 14 日 1 月 15 日 平均气温 x(°C) 9 10 12 11 8 销量 y(杯) 23 25 30 26 21

(Ⅰ)若先从这五组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; (Ⅱ)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ;

(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程,若天气预报 1 月 16 日的白天平均气温 7(°C) ,请 预测该奶茶店这种饮料的销量.

(参考公式:

=



= ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据题意列举出从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是可 能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有 4 种.根据等可能事件的概率做出结果. (Ⅱ)根据所给的数据,先做出 x,y 的平均数,即做出本组数据的样本中心点,根据最小二 乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程. (Ⅲ)利用线性回归方程,x 取 7,即可预测该奶茶店这种饮料的销量. 解答: 解: (Ⅰ)设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”为事件 A, 所有基本事件(m,n) (其中 m,n 为 1 月份的日期数)有: (11,12) , (11,13) , (11,14) , (11,15) , (12,13) , (12,14) , (12,15) , (13,14) , (13,15) , (14,15) ,共有 10 种. 事件 A 包括的基本事件有(11,12) , (12,13) , (13,14) , (14,15)共 4 种. 所以 (Ⅱ)由数据,求得 由公式,求得 , , . …10 分 …12 为所求. …6 分 , .

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 (Ⅲ) 当 x=7 时,

. 所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 19 杯.

分. 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,考查估 计验算所求的方程是否是可靠的,是一个综合题目. 18. (12 分) 已知首项为 , 公比不等于 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N ) , 且﹣2S2, S3,4S4 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=n|an|,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 并比较 Tn+bn 与 6 大小. 考点: 数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列.
*

分析: (Ⅰ)由题意得 2S3=﹣2S2+4S4,由此求出公比 式. (Ⅱ) 出 .

,从而能求出数列{an}通项公

,由此利用错位相减法能求出

,并求

解答: 解: (Ⅰ)由题意得 2S3=﹣2S2+4S4, 即(S4﹣S2)+(S4﹣S3)=0,亦即(a4+a3)+a4=0, ∴ ,∴公比 ,…4 分

于是数列{an}通项公式为 (Ⅱ) 所以 , ,①

.…5 分

,②…8 分 ①﹣②得,

=

= ∴ ∴

, ,…11 分 ….12 分.

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意错位相减法的合理运用. 19. (13 分)在如图所示的多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,平面 BCEF∩平 面 ADEF=EF,∠BAD=60°,AB=2,DE=EF=1. (Ⅰ)求证:BC∥EF; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣DEF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由 AD∥BC,得 BC∥平面 ADEF,由此能证明 BC∥EF. (Ⅱ)在平面 ABCD 内作 BH⊥AD 于点 H,由已知得 DE⊥BH,BH⊥平面 ADEF,由此能求 出三棱锥 B﹣DEF 的体积. 解答: 解: (Ⅰ)因为 AD∥BC,AD?平面 ADEF,BC?平面 ADEF, 所以 BC∥平面 ADEF,…3 分 又 BC?平面 BCEF,平面 BCEF∩平面 ADEF=EF, 所以 BC∥EF.…6 分 (Ⅱ)在平面 ABCD 内作 BH⊥AD 于点 H, 因为 DE⊥平面 ABCD,BH?平面 ABCD,所以 DE⊥BH, 又 AD、DE?平面 ADEF,AD∩DE=D, 所以 BH⊥平面 ADEF, 所以 BH 是三棱锥 B﹣DEF 的高.…10 分 在直角三角形 ABH 中,∠BAD=60,AB=2,所以 , 因为 DE⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 DE⊥AD, 又由(Ⅰ)知,BC∥EF,且 AD∥BC, 所以 AD∥EF,所以 DE⊥EF, 所以三棱锥 B﹣DEF 的体积: .…13 分. 点评: 本题考查两直线平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养. 20. (13 分)已知函数 f(x)=klnx﹣kx﹣3(k∈R) . (Ⅰ)当 k=﹣1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行,且函数 g(x) =x +
3

f'(x) 在区间(1,2)上有极值,求 t 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)分别解出 f′(x)>0,f′(x)<0 即可得出.

(II)由函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行,可得 f′(2) =1,解出 k=﹣2, .可得 g′(x)=3x +(t+4)x﹣2,由于函数 g(x)在区
2

间(1,2)上存在极值,注意到 y=g′(x)的图象为开口向上的抛物线,且 g′(0)=﹣2<0, 因此只需 ,解出即可.

解答: 解: (Ⅰ)当 k=﹣1 时,

. ,

令 f′(x)>0 时,解得 x>1,令 f′(x)<0 时,解得 0<x<1, ∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞) ,单调递减区间是(0,1) . (Ⅱ)∵函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行, ∴f′(2)=1,即 ∴k=﹣2, , , , ∴g′(x)=3x +(t+4)x﹣2, ∵函数 g(x)在区间(1,2)上存在极值, 注意到 y=g′(x)的图象为开口向上的抛物线,且 g′(0)=﹣2<0, ∴只需 ,
2

解得﹣9<t<﹣5, ∴t 的取值范围为(﹣9,﹣5) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的 单调性,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1({a>b>0})的离心率 e=

,且由椭圆上顶点、右焦

点及坐标原点构成的三角形面积为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0,2) ,过点 Q(﹣1,﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于 P) ,直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是,请说 明理由. 考点: 圆锥曲线的实际背景及作用;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)留言椭圆的离心率,a、b、c 的关系,以及三角形的面积,解方程组即可求椭 圆 C 的方程;

(Ⅱ)利用直线斜率存在与不存在两种情况,通过直线方程与椭圆的方程,求出 A、B 坐标, 求出直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.k1+k2 为定值.

解答: 解: (Ⅰ)由题意得

,解得 a =8,b =4,

2

2

所以椭圆 C 的方程为

=1.…5 分

(Ⅱ)k1+k2 为定值 4,证明如下:…6 分 (ⅰ)当直线 l 斜率不存在时,l 方程为 x=﹣1,

由方程组

易得





于是 k1=

,k2=



所以 k1+k2=4 为定值.…8 分 (ⅱ)当直线 l 斜率存在时,设 l 方程为 y﹣(﹣2)=k[x﹣(﹣1)],即 y=kx+k﹣2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由方程组 ,消去 y,得(1+2k )x +4k(k﹣2)x+2k ﹣8k=0,
2 2 2

由韦达定理得

(*)

…10 分

∴k1+k2=

=

=

=2k+(k﹣4)?



将(*)式代入上式得 k1+k2=4 为定值.…13 分. 点评: 本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率的应用,考查转化 思想以及计算能力.


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