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安徽省淮南二中2011年11月份高中数学 圆与圆的位置关系优质课大赛课件_图文

A组5号选手

问题提出

一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁 分布在以小岛的中心为圆心,半径为 30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮 船正西70 km处,港口位于小岛中心正 北40 km处,如果轮船沿直线返港,那 么它是否会有触礁危险?

观察图形:
以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴, 建立如图所示的坐标系,其中以10km为一个单 位长度. y
港口

o

轮船

x

问题转化:
这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为:

x ? y ?9
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

4 x ? 7 y ? 28 ? 0
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.

问题分析:
1.点和圆的位置关系有几种?是根据 什么来进行判断? 2.猜想:直线和圆有怎样的位置关系? 看图回答.

问题分析(图形):

抽象总结:
相交
相切 相离

两个公共点

一个公共点

没有公共点

应用实例:

例1 已知直线l:3x+y-6=0和 圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判 断直线l与圆的位置关系;如果相交, y 求两个交点的坐标. B
?

C
A
x

o

l

例题分析:
请思考:在初中我们怎样判断直线与圆 的位置关系?现在,在平面直角坐标 系中,如何用直线的方程与圆的方程 判断它们的位置关系?

方法一:根据直线与圆的联立方程组的公 共解个数判断;

方法探究:
d r r

d r

d

d<r

d=r

d>r

方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径 的大小关系判断.

例题解答:
解法一:由直线l和圆的方程,得:
? 3x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0

① ②

y B
?

消去y 得:
x ? 3x ? 2 ? 0
2

C
A
x

o

因为:
? ? ( ? 3) ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0
2

l

所以,直线l和圆相交,有两个公共点. 解法二:圆x2+y2-2y-4=0可化为:

x

2

? (y

?1)

2

?5
5

其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 点C(0,1)到直线l的距离:



d ?

3? 0 ?1? 6 3 ?1
2 2

?

5 10

?

5

所以,直线l和圆相交,有两个交点. 由
x ? 3x ? 2 ? 0
2

,解得:
x1 ? 2 , x 2 ? 1

把 x1 ? 2 , x 2 ? 1 代入方程①,得 y 1 ? 0 ;
x 1 ? 把 x 2 ? 1 代入方程① ,得 y 2 ? 3 . 2,

所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分 别是: A(2,0),B(1,3)

例2 过点M(-3,-3)的直线l被 2+y2+4y-21=0所截得的弦长 圆x 为 4 5 ,求直线l的方程.
y l A M B

o H C

x

例题解析:
解析:将圆的方程写成标准形式,得:
x ? ( y ? 2) ? 5
2 2 2

所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长r=5. 如图,因为直线l被圆所截得的弦长是4 5 ,所 以弦心距为: 2
d ? ?4 5 5 ?? ? 2 ?
2

? ? ? ?

?

5

即圆心到所求直线l的距离为

5

例题解答:
因为直线l 过 M(-3,-3)点 ,所以可设 所求直线l 的方程为:y+3=k(x+3)
即:kx-y+3k-3=0 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直 线l 的距离:
d ? | 2 ? 3k ? 3 | k ?1
2
2

因此:

| 2 ? 3k ? 3 | k ?1

?

5

| 即:3 k ? 1 |?

5 ? 5k

2

两边平方,并整理得到:

2k

2

? 3k ? 2 ? 0

解得:

k ? ?

1 2

或k ? 2

所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为:
y?3?? 1 2 ( x ? 3) 或 y ? 3 ? 2 ( x ? 3)

即:

x ? 2 y ? 9 ? 0或 2 x ? y ? 3 ? 0

课堂练习:

1.请解决本节引言中的问题; 2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C 相切,求圆的方程;

课堂练习答案:

1.无触礁危险
2.

x

2

?

y

2

? 49

拓展练习:
3.判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的 关系; 4.已知直线l:y=x+6,圆C:x2+y2-2y-4=0.试 判断直线l与圆C有无公共点,有几个公 共点.

拓展练习答案:

3.相切

4.无公共点

小结:

代数法:
1.将直线方程与圆方程联立成方程组;

2.通过消元,得到一个一元二次方程;
3.求出其判别式△的值; 4.比较△与0的大小关系: 若△>0,则直线与圆相交; 若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离.

几何法: 1.把直线方程化为一般式,并求出 圆心坐标和半径r;

2.利用点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离d;
3.比较d与r的大小关系:

若d>r,则直线与圆相离; 若d=r,则直线与圆相切; 若d<r,则直线与圆相交.

作业: P132习题4.2A组:2,3,5.


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