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安徽省黄山市歙县中学2011年11月高中数学 二分法求优质课大赛课件_图文

§3.1.2 用二分法求方程的近似解

新课引入
某个雷电交加的夜晚,医院的医生正在抢救一个危 重病人,忽然电停了,医院采取了应急措施。据了解原 因是供电站到医院的某处线路出现了故障,维修工如何 迅速查出故障所在? (线路长10km,每50m一棵电线杆)
如果沿着线路一小段一小段查找,困难 很多。每查一个点要爬一次电线杆子, 10km长,大约有200根电线杆子。

想一 想

维修线路的工人师 傅怎样工作合理?

探索问题 提取原理 如图,设供电站和医院的所在处分别为点A、B(间距10km) A
(供电站)

C
取中点

E

D

B
(医院)

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

算一算

要把故障可能发生的范围缩小到 50m~100m左右,即一两根电杆附 近,最多查几次就可以了? 7次
这种解决问题的方法,就是我们今天要学 的二分法。

§3.1.2 用二分法求方程的近似解

知识回顾
零点概念: 等价关系:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

零点存在定理: 如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上
连续不断、且f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.

新知探究
问题1:你能求下列方程的解吗?
(1) x ? 2 x ? 1 ? 0
2

(2) x ? 3 x ? 4 ? 0
3

( 3 ) ln x ? 2 x ? 6 ? 0

问题2:以方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 为例,能不能确定方 程根的大概范围呢?

新知探究
问题2:以方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 为例,能不能确定方 程根的大概范围呢?
回顾旧知:
方 程 f ( x ) ? 0有 实 根
函 数 y ? f ( x )有 零 点 . 求 函 数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的 零 点 .

求 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的 根
零点存在性定理:

如 果 函 数 y ? f ( x )在 区 间 ? a , b ? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 且 f ( a ) ? f (b ) ? 0 , 那 么 函 数 y = f ( x )在 区 间 ? a , b ?内 有 零 点 , 即 存 在 c ? ? a , b ? , 使 f ( c ) ? 0, c 就 是 方 程 f ( x ) ? 0的 根 .

新知探究
问题3:你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗?
f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6

2.5

2

2.625

2.75

3

概念形成

二分法的定义:
对 于 在 区 间 ?a,b?上 连 续 不 断 且 f y ? f ( x ),

( a ) ? f ( b ) ? 0的 函 数

通 过 不 断 的 把 函 数 f ( x )的 零 点 所 在 区 间

一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点
,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

想一想?
二分法的理论依据是什么?

问题4:给定精确度
次数
1
2 3 4
a ?b 2

0 . 1,求 f ? x ? ? ln x ? 2 x ? 6 零点在

? 2,? 3

近似值 初始区间(2,3) . 且 f ( 2 ) ? 0 , f (3) ? 0
f ( a?b 2 )

取a ?

取b ?

区间长度:
b?a
0.5 0.25 0.125 0.0625

2.5 2.75 2.625 2.5625

-0.084
0.512 0.215 0.066

3 ( 2.5.5 , 3 ) 2
2.5 ( 2 .5, 2 2.75 ) .7 5

( 2 .5, 2 .6 2 5)

( 2 .5, 2 .5 6 2 5)

由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1 所以方程的近似解为:

f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6

x ? 2 . 5625 或 2 . 5
2.5

2
2.562

2.65

2.75 3

探究归纳
给 定 精 确 度 ?, 用 二 分 法 求 函 数 零 点 近 似 值 的 步 骤 如 下 :

1.确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)· f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a, c) ); (3)若f(c)· f(b)<0,则令a= c(此时零点x0∈( c, b) ). 4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b); 否则重复步骤2~4.

概念拓展 实践探究
1 .下 例1: 列 函 数 的 图 像 中 , 其 中 不 能 用 二 分 法 求 解 其 零 点 的 是( C )
y x y x
0

y x

y

0

0

0

x

A

B

c

D

注意:二分法仅对函数的变号零点适用,对函数的

不变号零点不适用.

概念拓展 实践探究
例 2、 利 用 计 算 器 , 求 方 程 2 ? 3 x ? 7 ? 0 的 近 似 解
x

实践探究

( 精 确 度 0 .1 )

y ? 7 ? 3x
x

y

解: 记函数

f (x) ? 2 ? 3x ? 7

y ? 2

x

f (0) ? 0, f ( 2) ? 0 ? x 0 ? (0, 2)
f (1) ? 0, f ( 2) ? 0 ? x 0 ? (1, 2)
0
2

x

f (1) ? 0, f (1.5) ? 0 ? x 0 ? (1,1.5),

f (1.25) ? 0, f (1.5) ? 0 ? x 0 ? (1.25,1.5)

f (1 .3 7 5) ? 0, f (1 .5) ? 0 ? x 0 ? (1 .3 7 5,1 .5), f (1 .3 7 5) ? 0, f (1 .4 3 7 5) ? 0 ? x 0 ? (1 .3 7 5,1 .4 3 7 5),

| 1.375 ? 1.4375 |? 0.0625 ? 0.1, ? x ? 1.4375

概念拓展 实践探究

例3.不用计算器,求 3 3 的近似值(精确度0.01)
解:设 3 3 =x,则建立函数f(x)=x3-3,求f(x)的零点 的近似值。 取a=1,b=2,f(1)=-2<0,f(2)=5>0, x1=1.5,f(x1)=0.375>0,区间[1,1.5], x2=1.25,f(x2)=-0.0469<0,区间[1.25,1.5], x3=1.375,f(x3)=0.5996>0,区间[1.25,1.375], x4=1.3125,f(x4)=0.2610,区间[1.25,1.3125] x5=1.28125,f(x5)=0.1033>0,区间[1.25,1.28125], x6=1.26562,f(x6)=0.0273,区间[1.25,1.26562], x7=1.25781,f(x7)=-0.1,区间[1.25781,1.26562], ∴ 3 3 ? 1.26.

反思小结 体会收获





定区间,找中点, 中值计算两边看; 零点落在异号间, 区间长度缩一半; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.

巩固提高 课外练习

1、课堂作业: P92习题3.1A组 3、 4、 5 2、课外作业: (1)阅读课本P91 《中外历史上的方程求解》; (2)12只金表中有一只份量略轻,如何用 一架天平秤,在秤量次数最少的情况下分辩 出来?


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