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线性常微分方程的若干初等解法探讨


线性常微分方程的干初等解法探讨

1 一阶常微分方程的求解方法
1.1 方程能解出 y? 1.1.1 变量分离方程 ?1? 形如
dx ? f ( x)? ( y ) 的方程称为变量分离方程. f ( x), ? ( y ) 分别是 x, y dy

的连续函数.
dx e y ? 3 x ? ?0. 例1 dy y
2

解 将变量分离 得 ? ye ? y dy ? e3 x dx ;
2

两边积分得: 因而通解为:

1 ? y 2 1 3x 1 e ? e ? c; 2 3 6
3e? y ? 2e3 x ? c ( c 为任意常数).
2

这是一种相当简洁的解法,是最基本的解法,对于比较复杂的方 程,需经过一系列变换,最后利用变量分离求解. 1.1.2 常数变易法
? p ( x ) dx 对于一阶线性齐次方程 y? ? p( x) y ? 0 它的通解为 y ? ce ? 从

此 出 发 , 将 通 解 中 的 任 意 常 数 c 换 成 待 定 函 数 u(x), 假 设
? p ( x ) dx y ? u ( x )e ?

(1)为一阶线性非齐次方程

y? ? p( x) y ? q( x)

(2)

的解,为了确定 u(x) ,将(1)代入 y? ? p( x) y ? q( x) 的左边,得到
? p ( x ) dx y? ? p ( x ) y ? u?( x )e ?

从而得到

? p ( x ) dx u?( x )e ? ? q( x) ,

即 u?( x) ? q ( x)e ?

p ( x ) dx

积分后得到

u(x) ? q( x)e? ?

p ( x ) dx

dx ? c ,其中 c 为任意常数
- p(x)dx

把 u(x) (1) 得到方程 代入 中, (2) 的通解为 y ? e ? 例 2 解方程: y(1 ? x 2 y 2 )dx ? xdy .
dy y ? ? xy3 令 z ? y ?2 , dx x dz dy 则 ? ?2 y ? 3 ; dx dx dz 2z 代入变形方程为: ; ? ?2 x ? dx x 2 利用常数变易法,其中 p( x) , q( x) ? ?2 x ; ? x

(? q( x)e?

p ( x ) dx

dx ? c)

解 方程变形为

则它的通解为

z??

x2 c ? ; 2 x2

1 x2 c ?? ? 2 ; 代回原来的变量 y ,得到 2 y 2 x

即原方程的通解为 此外,方程还有解

x 2 x4 ? ?c; y2 2

y ? 0.

常数变易法实际上也是一种变量替换法, 虽然用其来解一阶非齐 次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别, 但将它推广到解高阶 线性微分方程 ? 2? 和线性微分方程组时就显出了它的优越性,变易常数 思想是解微分方程的重要数学思想,对非线性方程(如贝努利方程, 黎卡提方程) ?3? 也可使用常数变易法求解,并且常数变易法在数学分 析中有很多应用,比如求解中值问题及存在性问题,祥见文献 ? 4? 1.1.3 积分因子法 把一阶线性微分方程
dy ? P( x) y ? Q( x) (1)改写为如下的对称形 dx

式: dy ? P( x) ydx ? Q( x)dx (2) ,一般而言, (2)不是恰当方程,但以
? p ( x ) dx ? 因子 M(x) e ? 乘(2)两侧,得到方程:
? p ( x ) dx ? p ( x ) dx ? p ( x ) dx ? p ( x ) dx ? p ( x ) dx e ? dy ? e ? P ( x) ydx ? e ? Q( x)dx ,即 d (e ? y) ? e ? Q ( x)dx

? p ( x ) dx ? p ( x ) dx 它是恰当方程,由此可直接积分,得到 e ? y ? ? Q( x)e ? dx ? c

这样就求出了方程的通解 y ? e?

p ( x ) dx

? p ( x ) dx (? Q( x)e ? dx ? c) (3) c 为任意

常数,其中 u(x) 为积分因子,一般情况下,积分因子是很难寻求的, 只有在很特殊的情况下才很容易求得.
x4 例 3 求解 x ? y ? x cos y)dx ? ( x y ? x ? sin y)dy ? 0 . ( 2
2 3 2

解 因为

?M ?N ? 1 ? x3 sin y, ? 2 xy ? 1 ? 2 x3 sin y ; ?y ?x

则 方 程 不 是 全 微 分 方 程 , 若 把 原 方 程 改 写 为
(ydx ? xdy) ? x 2 (dx ? ydy) ? x 2 ( x cos ydx ? x2 sin ydy) ? 0 2

可以看出积分因子 M ?

1 1 ,因为上式两端同乘以 2 ,有 2 x x

ydx ? xdy x2 ? (dx ? ydy) ? ( x cos ydx ? sin ydy) ? 0 ; x2 2

即 ? d( ) ? d ( x ?

y x

y2 x2 ) ? d ( cos y ) ? 0 2 2 y x y 2 x2 ? cos y ? c , 2 2

从而得到方程的通积分 ? ? x ? 或 x 3 cos y ? 2 x 2 ? xy2 ? cx ? 2 y ? 0 .

此解法,目的明确,方法自然,学生很容易接受,逐步改变了一 上来就直接用任意常数变易法求解一阶线性微分方程的方法, 取而代 之是按上述方法一步步求解, 这一过程使我们顺利掌握了一阶线性微 分方程的通解,同时更容易理解任意常数变易法,这样从不同角度, 用不同方法解决了同一问题, 更能深刻的体会到任意常数变易法的巧 妙之处. 1.2 方程不能解出 y? 这时把 x 看作是 y 的函数, 再看是否能解出 x? , 成为方程 x? ? f ( x, y)

可用以上方法求解;但对于不能显性表示为 y? ? f ( x, y) 或 x? ? f ( x, y) 或
M(x, y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 的方程,可分为两类:

1.2.1 方程能就 y (或 x )解出 y ? f ( x, y?) (或 x ? f ( y,y?) ) 这时令 y? ? p (或 x? ? p )把问题转化为求解关于 p 与 x (或 y )之 间的一阶方程 p ? f x?( x, p) ? f p? ( x, p) (或 ? f y?( y, p) ? f p? ( y, p)
dp dx
1 p dp ) 再利 , dy

用以上方法,求得通解为 ?(x, p, c) 0 (或 ?(y, p, c) 0 )则它与 ? ?
y ? f ( x, p) (或 x ? f ( y, p) )一起构成原方程的通解的参数形式.

例 4 研究克莱洛(claivaut)方程 y ? xy? ? ? ( y?) (1). 解 令 y? ? p 代 入 原 方 程 y ? xp ? ? ( p) 假 定 ?(p)两 次 可 微 且
? ??(p) 0 ; ?

两端对 x 求导,得 (x ? ? ?( p)) ? 0 取
dp ? 0 则p ? c ; dx

dp dx

代入(1)得到通解 y ? cx ? ? (c) 取 x ? ? ?( p) ? 0 ,则 ?
? x ? ? ?( p ) ? 0 ?x ? ? ?( p ) ? 0 即? (2); ? y ? xy? ? ? ( y?) ? y ? xp ? ? ( p )

由于 ? ??(p) 0 ,则(2)中第一式存在隐函数 p ? p(x) ,代入第二式就 ? 得 到 一 个 解 y ? xp( x) ? ? ( p( x)) , 则 这 个 解 也 可 以 由 联 立 方 程
? y ? cx ? ? (c) 来表达. ? ? x ? ? ?(c) ? 0

故克莱洛方程除了通解
? y ? cx ? ? (c) 所决定的解. ? ? x ? ? ?(c) ? 0

y ? cx ? ? (c) 之 外 , 还 有 一 个 由

(‘ 例 5 求解 y ? y ? 1)e y .
'

解 令 y ' ? p ,代入原方程 y ? ( p ? 1)e p ; 两边同时对 x 求导,则 y ' ? e p 则
p ? pe p

dp dp , ? ( p ? 1)e p dx dx

dp , dx

则当 p ? 0 时, y ? ?1 ; 当 p ? 0 时, e p dp ? dx ,则 x ? e p ? c , c 为任意常数, 则得到方程参数形式的通解 {
x ? ep ? c y ? ( p ? 1)e p

, p ? 0;

且当 p ? 0 时, y ? ?1 也是方程的解. 总结:由于此方程的形式与前面所分析的类型不一致, ,可以先 观察所给的方程的形式,利用变量代换的思想,经过一系列变换,化 为我们最熟悉的形式. 1.2.2 方程不能就 y , y ' 或 x 解出 对于形如 F ( x, y ' ) ? 0 或 F ( y, y ' ) ? 0 的方程,引入参数 t ,将方程表 示为参数形式, 再注意到关系式 dy ? y ' dx , 就将问题转化为求解关于 y (或 x )与 t 的一阶方程,且其导数 数,最后的工作就是求积分的问题. 例 6 求解 x 2 ? y '2 ? 1 . 解 令 y ' ? cost ? p ,则原方程可化为: x 2 ? cos2 t ? 1 , 则 由于 则
x ? sin t , p ? cost ;
dy ? pdx ,
dy ? cos2 tdt ,

dy dx (或 )已表示为 t 的已知函 dt dt

两边同时积分,则 y ? ? sin 2t ? c ; 则原方程的通解为 x ? sin t , y ? ? sin 2t ? c .
t 2 1 4

t 2

1 4

‘ 例 7 y ? x 3 (1 ? y ' ) ? 0 .
3

解 令 y ' ? tx ? p ,代入原方程为 (t 3 ? 1 ? tx) x 3 ? 0 ;则 x ? ? t 2 ; 由 即
p ? y ' ,则 dy ? pdx , p ? 1 ? t 3 ;

1 t

dy ? p

dx 1 1 1 dt ? p(? 2 ? 2t )dt ? (1 ? t 3 )( ? 2 ? 2t )dt ? (2t 4 ? t ? 2 )dt , dt t t t

2 5 t2 1 两边同时积分: y ? t ? ? ? c ; 5 2 t

则原方程的通解为 x ? ? t 2 , y ? t 5 ?

1 t

2 5

t2 1 ? ?c. 2 t

以上总结了一阶常微分方程的几种解法, 熟悉各种类型方程的解 法,正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所 介绍的方法进行求解,这是最基本的要求.但是我们所遇到的方程未 必都恰好是所介绍过的方程类型,因此要注意学习解题的技巧,善于 根据方程的特点,引进恰当的变换,将方程化为能求解的新类型,从 而求解;一阶微分方程的求解有众多方法,技巧性很强,想进一步详 细了解可参考《常微分方程手册》.

2 高阶常微分方程的求解方法
高阶常系数线性微分方程的一般形式是
y ( n ) ? a1 y ( n?1) ? ? ? a n?1 y ' ? a n y ? g ( x)

(1)其中 ai (i ? 1, 2,? , n ) 为

常数, g ( x) 为连续函数;依据常系数线性微分方程的通解结构理论, 知方程(1)的通解可表示成该方程的一个特解与其对应的齐次方程 的通解之和. 方程(1)对应的齐次方程 y ( n) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 ,由于它具 有线性结构,一般采用 Euler 待定指数函数法可以得到通解,因而非 齐次方程(1)的通解的计算只需寻到它的一个特解即可;有关特解

的计算方法较多,如常数变易法 ?5? ,待定系数法 ?6? ,积分法 ?7? 等,因 此接下来介绍线性微分方程的求解方法的几种归类. 2.1 常数变易法 例 8 已知齐次线性微分方程的基本解组 x1 , x2 , 求下列方程对应的 非齐次线性微分方程的通解: x'' ? x ? cos t , x1 ? et , x2 ? e?t . 解 应用常数变易法,令 x ? c1 (t )e t ? c2 (t )e ? t ,将它代入方程,则可 得: 解得:
c1' (t )et ? c2 ' (t )e ? t ? 0, c1' (t )et ? e ? t c2 ' (t ) ? cos t
c1 (t ) ?
'

cos t ?t ' cos t t e , c2 ( t ) ? ? e; 2 2

由此

sin t ? cos t ? t e ? r1 , 4 ; ? sin t ? cos t t c2 (t ) ? e ? r2 4 c1 (t ) ?

t ?t 则原方程的通解为 x ? r1e ? r2e ?

cos t . 2

总结:利用一阶常微分方程的常数变易法的思想,推广到高阶常 微分方程,关键是找出决定 c '1 (t ), c '2 (t ) 的方程组,从而求出高阶方程的 通解. 由此可知, 常数变易法一般用于给定非齐次线性微分方程特解的 方程,这种方法简洁明了,但是比较局限,是最基本的解法. 2.2 特征根法 主要是利用把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题的 思想.我们知道简单的一阶方程 y ' ? ay ? 0 ,其中 a 为常数,它有特解
y ? e ? ax ,由于 y ( n ) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 与 y ' ? ay ? 0 都是常系数线性

齐次方程,因而猜想方程 y ( n) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 也有形如 y ? e ? x 的解,其中 ? 是待定常数,为了确定出使

y ? e ? x 为 y ( n ) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an ?1 y ' ? an y ? 0

的 解 的 ? , 先 将 它 代 入 方 程 中 , 实 际 上 有
(? n ? a1? n ?1 ? ? ? an ?1? ? an )e? x ? p(? )e? x ,其中 p(? ) ? ? n ? a1? n?1 ? ? ? an?1? ? an

称为特征多项式.则 y ? e ? x 为方程 y ( n) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 的解的 充要条件是 p(? ) ? 0 ,即 ? 应是方程 p(? ) ? 0 的根. 下面分两种情况讨论:
10 特征根互异:首先,假设 p(? ) ? 0 有 n 个互异的实根 ?1 , ?2 ,? ?n ,

这 时 , 依 上 述 讨 论 , 方 程 y ( n) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 有 n 个 特 解
y1 ? e?1x , y2 ? e?2 x ,?, yn ? e?n x , 则 函 数 y ? c1e?1x ? c2e?2 x ? ? ? cn e?n x 为 方 程
( 1 ) ' y ( n )? a1 y n? ? ? ? an ?1 y ? an y ? 0 的通解,其中 c1 , c2 , ?, cn 为任意常数.

例 9 求方程 y ''' ? y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0 的通解. 解 特征方程为 ? 3 ? ? 2 ? 4? ? 4 ? 0 , 故特征根为 ?1 ? 1, ?2 ? 2i, ?3 ? ?2i ,因而基本解组为 e x , cos 2 x,sin 2 x , 故所求通解为 y ? c1e x ? c2 cos 2 x ? c3 sin 2 x ,其中 c1 , c2 , c3 为任意常数. ,由上述讨论知, 20 特征根有重根:设 ?1 是 k 重特征根( 1 ? k ? n )
e?1x 是 y ( n ) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 的一个解,但这时由于互异的特征

根的个数小于 n ,故相应地线性无关的解的个数也小于 n ,要得到通 解,这些特解是不够的,对应于 ?1 ,除解 e? x 外还应补上哪些解呢?
1

先来研究二阶常系数方程 y '' ? py ' ? qy ? 0, ?8? 并设 p 2 ? 4q ,特征方 程为 ? 2 ? p? ? q ? 0 ,特征根为 ?1 ?
?1 ? ?2 ? ?
p ; 2
? p ? p 2 ? 4q ? p ? p 2 ? 4q , ?2 ? ,即 2 2

易见, ?1 ? ? 为二重特征根,因而,首先有特解 y1 ? e

p 2

p ? x 2



现 在 求 已 知 方 程 的 和 y1 线 性 无 关 的 另 一 个 特 解 , 由
y ? c* y1 ? cy1 ? 1 ? ? p ( x ) dx e dx 知, y12



c* ? 0, c ? 1

,

















p p ? p( x) ? x e ? x 1 ? ? p ( x ) dx 2 2 y1 ? 2 e dx ? e ? ? p ( x ) dx ? xe , y1 e

即当 ?1 ? ? 是二重特征根时,二阶方程除了有解 y1 ? e 还有与它线性无关的另一个特解 y2 ? xe
p ? x 2

p 2

p ? x 2

之外,

.

根据以上讨论,对于一般的情形,我们有如下的定理:
) ' 如 果 方 程 y ( n )? a1 y n?( ?1? ? an?1 y ? an y ? 0 有 两 两 互 异 的 特 征 根

?1 , ?2 ,?, ? p , m 它们的重数分别为 m1 , m2 ,?, m p , i ? 1 , m1 ? m2 ? ? ? m p ? n , 且
e?1x , xe?1x , ? , x m1 ?1e?1x ; e?2 x , xe?2 x , ?, x m2 ?1e?2 x ; ????????? e
?p x

则与它们对应的方程的特解是

.

, xe

?p x

,?, x

m p ?1 ? p x

e

;

例 10 求方程 y ? 4? ? 5 y ''' ? 9 y '' ? 7 y ' ? 2 y ? 0 的通解. 解 特征方程是 ? 4 ? 5? 3 ? 9? 2 ? 7? ? 2 ? (? ? 2)(? ? 1)3 ? 0 故特征根是 则它们对应的解为: 故所求通解为: 意常数. 总结:欧拉待定指数函数法,即特征根法,在高阶常微分方程中 占据了十分重要的位置,要熟练掌握不同类型的解法,从而对于给定
?1 ? 2, ?2 ? ?3 ? ?4 ? 1 ,
e2 x , e x , xe x , x 2e x ,
y ? c1e2 x ? c2e x ? c3 xe x ? c4 x 2e x ,其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任

的方程能游刃有余. 2.3 n 阶常系数线性非齐次方程解法 对于形如 y ( n ) ? a1 y (n? 1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? f ( x) 的解法,它的通解等于 其对应的齐次方程 y ( n) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? 0 的通解与它本身的一 个特解之和. 2.3.1 比较系数法(待定系数法) 下面分两种类型讨论:
10 设 f (t ) ? (b0t m ? b1t m?1 ? ? ? bm?1t ? bm )e?t ,其中 ? 及 bi (i ? 0,1,?, m) 为实

常数. 当 ? 不 是 特 征 根 时 , y ( n ) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? f ( x) 有 形 如
? y1 ( x)? Q ( x) xe的特解,其中 Qm ( x) ? q0 x m ? q1 x m?1 ? ? ? qm?1 x ? qm m

当 ? 是 k ( k ? 1 )重特征根时, y ( n ) ? a1 y ( n?1) ? ? ? an?1 y ' ? an y ? f ( x) 有 形如 y1 ?x ? ? x kQ(x)e?x 的特解,其中 Qm ( x) ? q0 x m ? q1 x m?1 ? ? ? qm?1 x ? qm , m
(x 中的 Q(x) 对于 y1 ) 的系数,则可以由待定系数法求得. m

例 11 求方程 y?? ? 5 y? ? 6 y ? 6 x 2 ? 10 x ? 2 的通解 解 先 求 对 应 齐 次 方 程 y?? ? 5 y? ? 6 y ? 0 的 通 解 , 其 特 征 方 程 是
?2 ? 5? ? 6 ? 0 ;

故 特 征 根 为 ?1 ? 2,?, 2 ? 3

从而,对应齐次线性方程通解为

y ? c1e 2 x ? c2e3 x ;

由于 ? ? 0 不是特征根,因而已知方程有形如 y1 ? Ax 2 ? Bx ? c 的特解. 为确定 A, B, C 将它代入原方程中,由于 y? ? 2 Ax ? B, y?? ? 2 A ,
5 ? 故 2 A ? (2 Ax ? B) 6( Ax2 ? Bx ? c) ? 6 x 2 ? 10 x ? 2 .

比较上式等号两端 x 的同次幂系数,可得 A ? 1,B ? 0,C ? 0 , 故已知方程特解为 y1 ? x 2 ,则原方程的通解为 y ? x 2 ? c1e2 x ? c2e3 x . 例 12 求方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? 2e2 x . 解 由于 ?2 ? 4? ? 4 ? 0 则 ?1 ? ?2 ? 2 故齐次方程通解为:
y ? e2 x (c1 ? c2 ) ,

由于 ? ? 2 为二重特征根, 故有 故 则原方程的通解为
y1 ? Ax 2e 2 x , A ? 1,y1 ? x 2e 2 x , y ? x 2e2 x ? e2 x (c1 ? c2 x) .

, 2? 设 f (t ) ? [ A(t ) cos ?t ? B(t ) sin ?t ]e?t ,其中 ?,? 为常数,而 A(t)B(t )

是带实系数 t 的多项式,其中一个的次数为 m ,一个的次数不超过 m , 则 有 形 如 x ? t k [ P(t ) cos ?t ? Q(t ) sin ?t ]e?t 的 特 解 . 其 中 k 为 特 征 方 程
P(?) 0 的根的重数,而 P(t ), Q(t ) 均为特定的带实系数的次数不高于 ?

m 的 t 的多项式
ei?x ? e ?i?x ei?x ? e ?i?x 根据欧拉公式,有 cos?x ? , sin ?x ? 2 2i

则 f (t ) ? A(t )

~ ~ ei?x ? e?i?x ?x ei?x ? e ?i?x ?x e ? B(t ) e ? A ( t )e(? ? i? ) x ? B ( t )e(? ? i? ) x 2 2i

再利用迭加原理,于是有两种形式: (1) 如果 ? ? i? 不是特征根,则特解具有形式
y1 ? e?x [Qm cos ?x ? Qm sin ?x] 其中 Qm ( x), Qm ( x) 是系数待定的 m 次多
(1) ( 2)
(1) ( 2)

项式. (2)如果 ? ? i? 是 k 重特征根,则特解应具有形状

y1 ? x k e ax[Qm ( x) cos ?x ? Qm ( x) sin ?x] .
(1) ( 2)

例 13 求解方程 x'' ? x ? sin t ? cos2t . 解 先求对应的齐次方程 x '' ? x ? 0 ,我们有 ?2 ? 1 ? 0 , 故 特 征 根 为 ?1 ? i, ?2 ? ?i ; 由 于 迭 加 原 理 , 则 原 方 程 可 化 为
t ? x?? ? x ? s i n ? '' s ? x ? x ? ? c o 2t

(1)对于 x'' ? x ? sin t , 由于 ? ? i? ? ?i 是特征根, 故方程 x'' ? x ? sin t 具有形如 x1 ? t ( A cost ? B cost ) 的特解,现将上式代入 x'' ? x ? sin t ,则
1 A ? ? ,B ? 0; 2

则 x'' ? x ? sin t 的通解为 ~ ? ? t cost ? c1' (t ) cost ? c2' (t ) sin t . x (2)对于 x'' ? x ? ? c o s2t ,由于 ? ? i? ? ?2i 不是特征根,故方程
x '' ? x ? ? c o s2t 具 有 形 如 x1 ? ( A c o s t ? B s i n t ) 的 特 解 . 现 将 上 式 代 入 2 2

1 2

1 x '' ? x ? ? c o s t ,则 A ? ,B ? 0 , 2 3 1 ~ ~ 则 x'' ? x ? ? cos 2t 的通解为 ~ ? cos 2t ? c1 cost ? c2 sin t . x 3 1 1 故原方程的通解为 ~ ? c1 cost ? c2 sin t ? t cost ? cos 2t . x 2 3

总结:比较系数法用于方程右端 f (t ) 是某些基本函数的情况,常 见的有:多项式,指数函数,正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘 积组合,然后根据 f (t ) 的前面所归纳的类型,从而求出方程的特解, 进而求出通解. 2.3.2 拉普拉斯变换
?9 ?

它无需求出已知方程的通解,而是直接求出它的特解来,从而在 运算上得到很大简化,这一方法的基本思想是:先通过拉普拉斯变换 将已知方程化为代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变 换,便可得到所求初值问题的解. 由积分 F (s) ? ?0 e? st f (t )dt 所定义的确定于复平面上的复变数 s 的
??

函数 F (s) 称为 f (t ) 的拉普拉斯变换, 其中 f (t ) 与 t ? 0 有定义,且满足不 等式 f (t ) ? Me?t , 这里 M, ? 为某两个正常数, 这时 f (t ) 为原函数, F (s) 而 称为像函数. 例 14 求函数 f (t ) ? eat 的拉普拉斯变换.
?e



? ?? ?
at

??

0

e e dt ? ? e
? st at 0

??

( a ? s )t

? 1 ,s ? a 1 ( a ? s ) t ?? ? dt ? e |0 ? ? s ? a . a?s ??, s ? a ?

'' ' 例 15 解方程 x ? x ? sin t; x( 0) ? 0, x (0) ? ? 1 . 2

解 由于 ??x '' ? x? ? ??sin t ? ,从而 s 2 x( s) ? ? x( s) ?
1 2

1 1 ? s2

则 故 由于

1 1 1 ? s2 , x( s )(1 ? s ) ? ? ? 1 ? s 2 2 2(1 ? s 2 )
2

x( s) ? ?

1 s2 ? 1 , 2 (1 ? s 2 ) 2 s2 ? 1 , (1 ? s 2 ) 2

??t cost ? ?

故所求初值解为 x(t ) ? ? t cost . 当然,方法本身也有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的 右端函数必须是原函数,否则方法就不适用了,关于拉普拉斯变换的 一般概念及基本性质,请参阅有关书籍. 2.3.3 幂级数解法 幂级数解法待定的是级数的系数,因而通常计算较大,其实幂级 数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方 程,也能求其特解或通解. 二阶线性方程 p0 ( x) y '' ? p1 ( x) y ' ? p2 ( x) y ? 0 .在近代物理学以及工程 技术中有着很广泛的应用,其中幂级数解法不但对于求解方程有意 义,而且还由此引出了很多新的超越函数,在理论上是很重要的. 下来给出两个定理, 若要了解定理证明过程, 可参考有关书籍 ?10? . 定理 1 如果 p0 ( x), p1 ( x), p2 ( x) 在某点 x0 的邻域内解析,即它们可展

1 2

成 ?x - x 0 ?的幂级数, p0 ( x0 ) ? 0 , p0 ( x) y '' ? p1 ( x) y '' ? p2 ( x) y ? 0 的解在 x0 且 则 的邻域内也能展开成为 ( x ? x0 ) 的幂级数 y ? ? a n ( x ? x0 ) n .
n?0 ?

定理 2 如果 p0 ( x), p1 ( x), p2 ( x) 在 x0 的邻域内解析,而 x0 为 p0 ( x) 的 s 重零点,是 p1 ( x) 的不低于 s ? 1 重的零点, (若 s ? 1 ) ,是 p2 ( x) 的不低于 (若 s ? 2 ) ,则方程 s ? 2 重的零点,
p0 ( x) y '' ? p1 ( x) y '' ? p2 ( x) y ? 0 至少有一个形如 y ? ( x ? x0 ) r ? an ( x ? x0 ) n 的广
n?0 ?

义幂级数解,其中 r 为某一实数. 若要了解幂级数的详细解法可以参考《常微分方程》 ,这里不做具 体分析. 总之,不同的方法用于不同类型的方程,这是应用之时必须特 别注意之点.


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