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Les quartiers de la lune de Troie ou le bouclier d'Achille, essai sur le corps de classe


Les quartiers de la lune de Troie ou Le bouclier d’Achille
Essai sur le corps de classe, par
Jacques Bo? echat et Maurice Mischler

arXiv:0803.3268v1 [math.NT] 22 Mar 2008

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Introduction
La th? eorie du corps de classe occupe une place privil? egi? ee dans les math? ematiques. En e?et, cet ensemble de th? eor` emes est ` a la base de plusieurs pans de ce qui se fait de plus pointu actuellement en th? eorie des nombres. Mais notre objectif ? etait plus pr? ecis : nous avons, il y a deux ans, r? edig? e une preuve du th? eor` eme de Catalan-Mih? ailescu. Et dans cette preuve, nous avions besoin de l’existence du corps de ˇ Hilbert d’un corps de nombres et du Th? eor` eme de Cebotarev. On voit rapidement qu’il faut pour cela une bonne partie des th? eor` emes principaux de la th? eorie du corps de classe global. Nous avons donc fait un s? eminaire sur le sujet pour comprendre cette th? eorie. Le but est donc de prouver de la mani` ere la plus directe ces deux r? esultats. Plusieurs approches sont possibles : l’approche ad? elique, l’approche cohomologique et l’approche classique. L’approche classique ˇ consisterait ` a relire dans le texte les oeuvres de Cebotarev et de Takagi. Mais il serait dommage d’oublier ce qui s’est fait par la suite visant ` a am? eliorer la compr? ehension profonde, notamment l’application d’Artin et le quotient de Herbrand. En revanche, les approches ad? eliques et cohomologiques nous ont paru un peu ? eloign? ees du probl` eme initial. Restait donc une ligne un peu m? ediane utilisant la cohomologie, mais uniquement cyclique et en “snobant” les ad` eles. N? eanmoins, rong? e par le remords, et voyant que la th? eorie vu avec les ad` eles pouvait se d? eduire assez facilement de ce que nous avions d? ej` a fait, nous l’avons mis tout de m? eme au Chapitre 13. Pour pouvoir lire cet expos? e avec aisance, il serait pr? ef? erable d’avoir suivi au moins un cours de th? eorie ? el? ementaire des nombres. C’est-` a-dire conna? ?tre la notion de corps de nombres; la th? eorie de Galois sur ceux-ci, sur les corps ?nis et sur les corps p -adiques; le th? eor` eme de Dirichlet sur les unit? es; le th? eor` eme “n = ef r” sur les extensions d’id? eaux premiers dans une extension galoisienne de corps de nombres; les notions de groupes de d? ecomposition et d’inertie; les normes absolues et relatives d’? el? ements et d’id? eaux ainsi que quelques r? esultats basiques de l’analyse r? eelle et complexe. Ces r? esultats seront tout de m? eme rappel? es, simplement pour parler le m? eme langage avec le lecteur. Nous esp? erons que le lecteur prendra plaisir ` a parcourir (ou ` a? etudier) ce texte et que cette th? eorie cessera d’e?rayer les gens, car il est vrai qu’elle est un peu dure pour des novices et trop standard pour des math? ematiciens actifs, donc peu de gens prennent la peine de regarder en d? etail tout cela et c’est bien dommage ! Bien s? ur, le point de vue que nous pr? esentons ici est largement inspir? e de divers ouvrages ou articles. Notamment [Jan], [La2] et [Neu] mais l’approche est un peu di?? erente, un peu plus directe, plusieurs petites erreurs ont ? et? e corrig? ees (on esp` ere ne pas en avoir ajout? ees) et surtout quelques d? eveloppements du genre “left to the reader” ? eclaircis et un peu ? eto?? es. Voyons un peu la structure de notre texte : Il faut consid? erer le Chapitre 0 comme une bo? ?te ` a malice dans laquelle se trouvent les r? esultats importants sur lesquelles la th? eorie que nous pr? esenterons sera construite. On peut aussi le consid? erer comme ce qu’on met dans notre sac ` a dos avant de partir faire une excursion en montagne : il y a un peu de tout et c’est un peu comprim? e car le sac est toujours trop petit ! Le Chapitre 1 est un chapitre d’? echau?ement sur un r? esultat technique qui n’est utilis? e qu’une fois dans le Chapitre 2. On a h? esit? e de mettre tout cela en appendice, mais personne ne lit les appendices et en plus, il y a tout de m? eme certains raisonnements qui seront revus par la suite. i

Dans le Chapitre 2, on d? emontre de mani` ere analytique ce qu’on appelle la premi` ere in? egalit? e du corps de classe. On utilisera un peu d’analyse complexe, mais ` a un niveau assez basique, il faut essentiellement conna? ?tre la notion de fonctions holomorphes et m? eromorphes. On montre au passage que l’application d’Artin (vue au Chapitre 0) est surjective ˇ Dans le Chapitre 3, on prouve le Th? eor` eme de Cebotarev faible et quelques r? esultats comme le th? eor` eme de Dirichlet sur les progressions arithm? etiques ainsi que des r? eponses sur le comportement modulo p de polyn? omes irr? eductibles dans Z[X ]. La ?n du chapitre donne de jolis r? esultats sur les di?? erentes mani` eres de d? ecomposer pour un id? eal premier (par exemple, le Th? eor` eme de Bauer). Le Chapitre 4 parle de cohomologie cyclique (depuis le d? ebut), du quotient de Herbrand et on donne quelques calculs dans le cas d’extensions cycliques de corps de nombres.
? Le Chapitre 5 est di?cilement d? e?nissable : on calcule essentiellement l’indice [K ? : N (L? )Km ],

mais c ?a ne vous dira pas grand-chose. En revanche, nous faisons une digression permettant de d? e?nir l’exponentielle et le logarithmes sur les corps p-adiques et une autre digression pour savoir quand un ? el? ement est une norme d’une extension ?nie dans les p-adiques. Pour le Chapitre 6, les calculs faits aux chapitres 4 et 5 permettent, avec l’? etude approfondie d’un diagramme du tonnerre, de prouver l’? egalit? e fondamentale du corps de classes pour les extensions cycliques. Cela implique un th? eor` eme connu sous le nom de “Th? eor` eme de la Norme de Hasse”. Avec le Chapitre 7, nous entrons dans le monde des extensions ab? eliennes avec la notion de “K modules admissibles”. Cela nous permet de d? emontrer le grand “Th? eor` eme de r? eciprocit? e d’Artin”. En ˇ corollaire, on prouve le Th? eor` eme de Cebotarev fort et le fameux “Th? eor` eme de Kronecker-Weber”. C’est dans le Chapitre 8, que nous apercevons la lumi` ere : on y d? e?nit la notion de sous-groupe de congruence, ce qui nous permet d’? enoncer le “Th? eor` eme d’existence du corps de classe”. Ce r? esultat, fondamental, nous occupera jusqu’au Chapitre 10. Nous faisons quelques r? eductions pour pouvoir attaquer le probl` eme dans des cas plus faciles. Dans le Chapitre 9, nous nous concentrons sur un cas “plus simple” : les extensions de Kummer. Nous calculons un nouvel indice. Et comme interlude, nous prouvons le c? el` ebre th? eor` eme de r? eciprocit? e quadratique, tout en ? etant conscient que cette preuve est probablement la plus compliqu? ee de ce r? esultat classique. Au Chapitre 10, nous prouvons le th? eor` eme d’existence, nous d? e?nissons aussi l’application d’Artin dans le cas des extensions galoisiennes non ab? eliennes. Nous utiliserons cette application au Chapitre 12. Le Chapitre 11 ? etait initialement consacr? e` a la construction du corps de Hilbert. Pour cela, il faut montrer que “le conducteur est admissible”. Pour parvenir a ` ce r? esultat, nous d? e?nissons le ”symbole de norme r? esiduelle”, not? e θp . Ce symbole nous permettra en outre de prouver au Chapitre 14 les th? eor` emes du corps de classe local. Nous prouvons donc en plus un certain nombre de r? esultats pas directement utiles pour l’admissibilit? e du conducteur. En?n, nous pouvons construire le corps de Hilbert. Tout id? eal d’un corps de nombres devient principal dans son corps de Hilbert. Cette propri? et? e remarquable est d? emontr? ee dans le Chapitre 12. On sort un peu des chemins arithm? etiques pour faire une petite incursion dans la th? eorie des groupes, pour bien s? ur revenir au r? esultat qui nous int? eresse. Les notions d’id` ele et d’ad` ele ont ? et? e introduit pour formuler la th? eorie du corps de classe pour les extensions in?nies. Nous avons donc d? ecid? e au Chapitre 13 de “recoller les morceaux” pour des lecteurs voulant peut-? etre se lancer dans cette voie. ii

En?n, voyant qu’il ne fallait plus trop travailler pour obtenir les r? esultats du corps de classe local (en caract? eristique 0), nous avons introduit ce dernier chapitre pour cueillir encore ces r? esultats, non sans s’? etre assur? e que tout corps local est bien le localis? e d’un corps de nombres. Le premier appendice parle des nombres premiers de la forme x2 + ny 2 ou x2 + xy + my 2 et on y prouve que sous certaines conditions, il y a une in?nit? e de tels nombres premiers. On utilise pour la preuve l’existence du corps de la classe d’un groupe qu’on nomme HO dans des corps quadratiques. Le sujet du second appendice est le symbole de Hilbert. Nous en donnons les premi` eres d? e?nitions et les premi` eres propri? et? es. En?n, on pourrait nous ajouter qu’il serait judicieux de parler de la version cohomologique des th? eor` emes du corps de classe introduite par J. Tate. Nous y avons pens? e, mais il nous semble que cela alourdirait notre propos. Mais peut-? etre qu’un jour, nous apporterons un appendice ` a ce texte quand nous aurons trouv? e une mani` ere ? el? egante de pr? esenter cela. On esp` ere bien s? ur que chaque lecteur apprendra quelque chose dans ce texte et qu’il n’h? esitera pas a nous signaler des erreurs, des maladresses ou des suggestions d’am? ` eliorations. Toute remarque est ` a envoyer ` a l’adresse : maurice.mischler@romandie.com ou maurice.mischler@vd.educanet2.ch Par souci de ne pas trop charger le ?cher informatique, nous avons enlev? e un certain nombre d’illustrations non math? ematiques. Vous pouvez les voir sur le site http://mathmontmus.romandie.com/resource/12252/262704

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Table des mati` eres

Chapitre 0 : Rappels et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chapitre 1 : Un r? esultat sur j (x, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chapitre 2 : S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ˇ ebotarev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chapitre 3 : Th? eor` eme de C Chapitre 4 : Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chapitre 5 : Un calcul d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Chapitre 6 : L’? egalit? e fondamentale du corps de classe pour les extensions cycliques et th? eor` eme de la norme de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Chapitre 7 : La loi de r? eciprocit? e d’Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Chapitre 8 : Pr? eparation ` a la formation des classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Chapitre 9 : Quelques r? esultats sur la th? eorie des n-extensions de Kummer, et calcul d’un nouvel indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Chapitre 10 : Le th? eor` eme principal du corps de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Chapitre 11 : Symbole de restes normiques, conducteur et corps de classe de Hilbert . 111 Chapitre 12 : Capitulation des id? eaux d’un corps nombres dans son corps de Hilbert . 125 Chapitre 13 : Interpr? etation id? elique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Chapitre 14 : Corps de classe local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Appendice 1 : Deux mots sur les corps quadratiques et sur des repr? esentations de nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Appendice 2 : Deux mots sur le symbole de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 iv

Glossaire et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

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Chapitre 0 : Rappels et premiers exemples
Le d? ebut de ce premier chapitre est une esp` ece de mise en commun des outils et r? esultats math? ematiques qui sont dits “bien connus”. Le plus simple serait de dire : “on consid` ere connus les r? esultats de [La1], [Sam], [Mar], [Fr-Tay] et [Nar]”. Mais c’est un peu court et pas tr` es gentil pour le lecteur. La volont? e est aussi de se mettre d’accord sur les notations. Le lecteur connaisseur en th? eorie alg? ebrique des nombres pourra sauter les premi` eres consid? erations jusqu’au paragraphe intitul? e “K -modules, application d’Artin et compagnie”. Ce n’est qu’` a partir de l` a que nous donnerons toutes les preuves (ou au moins les r? ef? erences).

G? en? eralit? e sur les corps de nombres et l’alg` ebre ? el? ementaire
Les ensembles N = {0, 1, 2, 3, . . . , }, Z, Q, R et C seront suppos? ee connus. Les notions de groupes,

anneaux, id? eaux, corps, modules, espaces vectoriels, alg` ebres,... aussi. Si A est un anneau. On note A? ou U (A) l’ensemble des inversibles de A.

On rappelle la donn? ee des th? eor` emes d’isomorphismes. Chaque fois que nous dirons “par les th? eor` emes d’isomorphismes...” nous nous r? ef? ererons ` a ceci :

Th? eor` emes d’isomorphismes :
a) Soit G, G′ des groupes et f : G → G′ un homomorphisme de groupe de noyau H . Alors f induit un isomorphisme f ′ : G/H → im(f ) qui factorise f en la suite d’homomorphisme G ?→ G/H ?→ im(f ) ?→ G′ , o` u p et i sont les projections, respectivement les injections canoniques. Plus g? en? eralement, si H ′ est un sous-groupe normal de G′ et H = f ?1 (H ′ ), on en d? eduit un homomorphisme injectif : f : G/H ?→ G′ /H ′ qui est un isomorphisme si f est surjectif. b) Soient G un groupe, et H1 ? H2 des sous-groupes normaux de G (H2 est alors automatiquement normal dans H1 ). Alors on a un isomorphisme
p f′ i

(G/H2 )/(H1 /H2 ) ? G/H1 . c) Soient H1 , H2 des sous-groupes d’un groupe G. Supposons que H1 ? {x ∈ G | xH2 x?1 = H2 }, H1 ∩ H2 est alors un sous-groupe normal de H1 et H1 H2 = H2 H1 est un sous-groupe de G dans lequel H2 est normal. Alors on a :

H1 /(H1 ∩ H2 ) ? (H1 H2 )/H2 .

1

Rappels et premiers exemples Un corps de nombres est un corps de dimension ?nie vu comme Q-espace vectoriel. Il sera souvent not? e K, L, E, M ou H et cette dimension se note [K : Q], pour un corps de nombres K (attention, si consid? ererons que tous ces corps sont inclus dans le m? eme corps alg? ebriquement clos, disons C. On peut G ? H sont des groupes, [G : H ] sera |G/H |, le contexte permettra de distinguer). Pour simpli?er, nous montrer que pour tout corps de nombres K , il existe θ ∈ C tel que K = Q(θ). Si L ? K ? Q sont des quelconques par exemple des corps ?nis).

corps de nombres, alors on a [L : Q] = [L : K ] · [K : Q] (le m? eme r? esultat est aussi vrai pour des corps Si K est un corps de nombres, on note souvent OK l’anneau des ? el? ements de K entiers sur Q.

On suppose connu que OK est un anneau de Dedekind, c’est-` a-dire noeth? erien, int? egralement clos (donc int` egre) et tout id? eal premier non nul de OK est maximal. On peut montrer que dans ce cas-l` a, l’ensemble IK des id? eaux fractionnaires de K est un groupe ab? elien librement engendr? e par les id? eaux premiers de OK . Remarquons que souvent on dira id? eal de K plut? ot que de OK . La graphie est souvent a ou b pour des id? eaux et p et P pour les id? eaux premiers ou les places in?nies. Nous reviendrons plus tard sur la
? notions de places. Les unit? es de OK devraient se noter OK ou U (OK )... mais nous les noterons UK .

appel? e le m-i` eme corps cyclotomique. On sait que [Q(ζm ) : Q] = ?(m), o` u ? est l’indicateur d’Euler. Il est bien connu, mais toujours assez d? elicat ` a prouver que dans ce cas OK = Z[ζm ]. Soit L/K une extension de corps de nombres de degr? e n. Soit p un id? eal premier de K et P un id? eal premier de L. On dit que P est au-dessus de p si p = P ∩ OK , ou ce qui est ? equivalent, P appara? ?t dans la d? ecomposition de l’id? eal pOL et on ? ecrit dans ce cas P|p. On peut alors identi?er OK /p ` a un sous-corps de OL /P (ces corps sont d’ailleurs ?nis). On notera f (P/p) = [OL /P : OK /p], qu’on appelle
r i=1 ei fi

Soit m ∈ N, m > 1. On note ζm une racine m-` eme primitive de l’unit? e. Le corps K = Q(ζm ) est

er 1 le degr? e r? esiduel de P/p. Si on ? ecrit pOL = Pe 1 · · · Pr et notant fi pour f (Pi /p), on a

= n.

Le nombre entier ei , not? e e(Pi /p) s’appelle l’indice de rami?cation de Pi /p. On dit que P n’est pas

rami?? e dans L (ou ne se rami?e pas dans L) si ei = 1 pour tout i. On peut montrer que le nombre de p qui sont rami?? e est ?ni. Par exemple, si K = Q et L = Q(ζm ), et si p est un nombre premier, alors l’id? eal (p) rami?e dans L si et seulement si p divise m. En?n, si K ? L ? E sont des corps de nombres, et il en est de m? eme pour les f . et si p ? P ? P sont des id? eaux premiers des K, L, E respectivement, on a e(P/p) = e(P/P) · e(P/p);

Extensions galoisiennes
Soit L/K une extension alg? ebrique de corps d’indice ?ni n. On dit qu’elle est galoisienne si |AutK (L)| =

[L : K ] = n, o` u AutK (L) est l’ensemble des K -automorphismes de L. Dans ce cas, AutK (L) se note Gal(L/K ) (le groupe de Galois de L/K ). Si L et K sont des corps ?nis, alors L/K est une exten-

sion galoisienne, mieux, elle est cyclique (le groupe de Galois est un groupe cyclique) engendr? e par nombres. On peut voir que tout σ ∈ Gal(L/K ) agit transitivement sur les id? eaux premiers de L qui sont
er 1 au-dessus d’un id? eal p de K ?x? e. Cela implique que si pOL = Pe 1 · · · Pr , on a e1 = e2 = · · · = er =: e et

l’automorphisme de Frobenius x → xq , o` u q = |K |. Supposons maintenant que L et K soient des corps de

f1 = f2 = · · · = fr =: f , et ainsi, e · f · r = n. Quand nous dirons “la th? eorie de Galois implique que...”, nous ferons r? ef? erence ` a un des r? esultats suivants :

2

Rappels et premiers exemples

Th? eor` emes de Galois
Si K et L sont des corps, on note KL le plus petit corps contenant K et L. a) Soit K ? L ? E des corps. Supposons que E/K soit une extension galoisienne de groupe G. Alors seulement si H est un sous-groupe normal de G et dans ce cas, Gal(L/K ) ? G/H . Inversement, si E/L est galoisienne et Gal(E/L) = {g ∈ G | g |L = IdL } := H . De plus L/K est galoisienne si et

le corps ?xe par H1 est tel que Gal(E/L1 ) = H1 .

H1 est un sous-groupe de G, le corps L1 := Fix(H1 ) = {x ∈ E | h(x) = x ?h ∈ H1 }, qu’on appelle

b) Soit K ? L et K ? E deux extensions de corps. On suppose que L/K est galoisienne. Alors EL/L est aussi galoisienne et Gal(EL/E ) ? Gal(L/L ∩ E ) ? Gal(L/K ). Cet isomorphisme est donn? e par injectif. la restriction ` a L. L’application R : Gal(EL/E ) → Gal(L/K ) ainsi d? e?nie est un homomorphisme

c) Soit K ? L et K ? E deux extensions galoisiennes de corps telles que L ∩ E = K . Alors EL/K est une extension galoisienne et Gal(EL/K ) ? Gal(L/K ) × Gal(E/K ).

Normes
a) La norme absolue Soit K un corps de nombres et a un id? eal de K . Alors l’anneau OK /a est ?ni et son cardinal se note prolonge la d? e?nition pour tout id? eal fractionnaire de K . b) La norme relative d’un ? el? ement Soit L/K une extension de corps de nombres et α ∈ L. L’application ?α : L → L d? e?nie par ?α (β ) = α · β est un endomorphisme K -lin? eaire de L. On pose NL/K (α) = det(?α ). Il est clair que α, β ∈ L. Si K ? L ? E sont des corps de nombres et α ∈ E , on a NE/K (α) = NL/K (NE/L (α)). dans C, on a NL/K (α) =
σ ∈G n i=1

N(a), la norme absolue de a. On peut voir que N(a · b) = N(a) · N(b), pour tout id? eal a et b. On

si α ∈ K , NL/K (α) = αn . On peut voir aussi que NL/K (α · β ) = NL/K (α) · NL/K (β ), pour tout

De plus, si α ∈ K ? , on a N(α · OK ) = NK/Q (α) . Si σ1 , . . . , σn sont les K -morphismes de L NL/K (α) = σ (α).

σi (α). En particulier si L/K est galoisienne de groupe G, on a

c) La norme relative d’un id? eal Soit L/K une extension de corps de nombres d’indice n. Si p et P sont des id? eaux premiers de K et L respectivement tels que P|p, on pose NL/K (P) = pf (P/p) , et on prolonge multiplicativement cette norme ` a tous les id? eaux fractionnaires de L (puisque les id? eaux premiers engendrent IK ). On voit imm? ediatement que si a est un id? eal fractionnaire de K , on a NL/K (a) = an . De m? eme, pour tout a ∈ L, on NL/K (a · OL ) = NL/K (a) · OK , o` u NL/K est la norme relative d? e?nie pr? ec? edemment. En?n, si l’extension L/K est galoisienne de groupe G, et a est un id? eal fractionnaire de L, alors
σ ∈G

NL/K (a) =

σ (a).

Rami?cation et d? ecomposition et automorphisme de Frobenius
Soit L/K une extension de corps de nombres et p un id? eal premier de K . On dit que p se d? ecompose totalement dans L si e(P/p) = f (P/p) = 1 pour tout id? eal premier P de L tel que P|p. On a le r? esultat 3

Rappels et premiers exemples suivant :

Lemme “d? ecomposition-rami?cation”
a) Soit L1 /K et L2 /K deux extensions de corps de nombres. Alors l’ensemble des id? eaux premiers de K qui se d? ecomposent compl` etement (resp. qui ne rami?ent pas) dans L1 L2 est l’ensemble de id? eaux premiers de K qui se d? ecomposent compl` etement (resp. qui ne rami?ent pas) dans L1 et dans L2 . b) Soit L/K une extension de corps de nombres et E/K la plus petite extension galoisienne contenant L. Alors l’ensemble des id? eaux premiers de K qui se d? ecomposent compl` etement (resp. qui ne rami?ent pas) dans L est l’ensemble de id? eaux premiers de K qui se d? ecomposent compl` etement (resp. qui ne rami?ent pas) dans E . Cf. [Mar, Thm. 31 + Corollary, pp. 107-108] Soit L/K une extension galoisienne de corps de nombres de groupe G, p un id? eal premier de K et P un id? eal premier de L tel que P|p. On d? e?nit le groupe de d? ecomposition de P sur p (ou de P sur K ), Z (P/p) = Z (P/K ) := {σ ∈ G | σ (P) = P}. (G est ab? elien), alors tous les Z (P/p) sont ? egaux si p est ?x? e, et on note alors ce groupe Z (L/p), ou au cas g? en? eral (G non n? ecessairement ab? elien); nous avons vu que [L : K ] = n = e · f · r. On peut Si P1 , P2 |p, alors il existe σ ∈ G tel que Z (P1 /p) = σ ?1 Z (P2 /p)σ . Ainsi, si l’extension est ab? elienne

m? eme Z (p) s’il n’y a pas d’ambig¨ uit? e, et on l’appelle le groupe de d? ecomposition de p sur L. Revenons aussi voir que [G : Z (P/p)] = r et |Z (P/p)| = e · f . Si σ ∈ Z (P/p), alors il d? etermine un σ ∈ G :=

Gal((OL /P)/(OK /p)), et l’application σ → σ est un homomorphisme surjectif de G sur G. Le noyau de cette application se note T (P/p) ou T (P/K ) et s’appelle le groupe d’inertie de P/p ou de P/K .

Z (P/p)/T (P/p) ? G, de cardinal f . On a donc, pour tout σ ∈ T (P/p), σ (x) ≡ x (mod P) pour tout x ∈ OL . Supposons que p ne rami?e pas, c’est-` a-dire e = 1 et donc le groupe d’inertie est trivial et donc l’application σ → σ est un isomorphisme de Z (P/p) sur G. Nous avons vu que le groupe de Galois G

On a aussi, comme pour Z , T (σ (P)/p)) = σT (P/p)σ ?1 pour tout σ ∈ G. On a donc |T (P/p)| = e et

et l’unique ? el? ement de Z (P/p) qui correspond ` a cet automorphisme s’appelle aussi l’automorphisme de Frobenius de P/p. On le note Frob(P/p). Il est caract? eris? e comme l’? el? ement de G qui satisfait : Frob(P/p)(x) ≡ xN(p) (mod P) pour tout x ∈ OL .

est un groupe cyclique avec un g? en? erateur privil? egi? e qui est l’application ν → ν N(p) pour tout ν ∈ OL /P

FrL/K (p) est une classe de conjugaison dans G. Si G est ab? elien, alors Frob(P/p) ne d? epend que de p, on le notera FrobL/K (p), et on a FrobL/K (p)(x) ≡ xN(p) (mod pOL ) pour tout x ∈ OL .

On a aussi Frob(σ (P)/p) = σ Frob(P/p) σ ?1 et donc l’ensemble {Frob(P/p) | P|p}, qu’on note

et T (P/P) ? T (P/p).

et L respectivement. Alors Frob(P/p) = Frob(P/p)|M , s’ils sont d? e?nis. De m? eme, Z (P/P) ? Z (P/p) 4

De plus, si K ? M ? L sont des corps de nombres et p ? P ? P sont des id? eaux premiers de K , M

Rappels et premiers exemples En?n, soient K ? L et K ? E deux extensions de corps de nombres telles que L/K soit galoisienne.

On sait par la th? eorie de Galois que Gal(LE/E ) peut ? etre vu, via la restriction ` a L, comme un sous-groupe de Gal(L/K ). Mais, il y a mieux : si P est un id? eal premier de LE , alors Z (P/E ) (resp. T (P/E )) est isomorphe (via la m? eme restriction) ` a Z (P ∩ L/L ∩ E ) (resp. ` a T (P ∩ L/L ∩ E )) et peut ? etre vu comme un sous-groupe de Z (P ∩ L/K ) (resp. de T (P ∩ L/K )).

Places et compl? etions
conditions, pour tout x, y ∈ K : (2) |xy | = |x||y |, (1) |x| ≥ 0 et |x| = 0 ? x = 0, Soit K un corps de nombres. Une valeur absolue est une application | | : K → R, satisfaisant les

(3) |x + y | ≤ |x| + |y |.

Si on remplace la condition (3) par la condition plus forte

(3)’ |x + y | ≤ max(|x|, |y |),

on dit que la valeur absolue est non archim? edienne, et archim? edienne sinon.

on ait c|x|1 ≤ |x|2 ≤ d|x|1 . Si deux valeurs absolues sont ? equivalentes, elles induisent sur K la m? eme topologie. L’ensemble des classes d’? equivalences des valeurs absolues de K s’appellent les places de K . Si K est un corps de nombres, nous allons donner l’ensemble de ses places. a) Les places ?nies (non archim? ediennes). A chaque id? eal premier p de K , on associe une valuation vp d? e?nie de la mani` ere suivante : si a est p ? a′ ). Alors on d? e?nit vp (a) = r. Si x ∈ K , on pose vp (x) = vp (x · OK ). La valeur absolue associ? ee ` a cette valuation est d? e?nie ainsi : |x|p = N(p)?vp (x) , x ∈ K. un id? eal fractionnaire de K , on peut ? ecrire de mani` ere unique a = pr · a′ o` u p ne divise pas a′ (on note

Deux valeurs absolue | |1 et | |2 sont dites ? equivalentes s’il existe c, d ∈ R tels que pour tout x ∈ K

On peut montrer que cette valeur absolue est non archim? edienne, que si q = p, les valeurs absolues | |q de celles-ci. On note P0 (K ) l’ensemble des places ?nies. b) Les places in?nies (archim? ediennes). Q-homomorphismes (injectifs)). A chacun de ces plongements on associe une valeur absolue : |x|? = |?(x)|

et | |p sont non-? equivalentes et que toute valeurs absolue non-archim? edienne sur K est ? equivalente ` a une

Supposons que [K : Q] = n. On sait qu’il existe n plongements ? : K → C (c’est-` a-dire des

o` u x ∈ K et | | est la norme complexe. Si ?(K ) ? R, on dit que ? est r? eelle. Si ?(K ) ? R, on dit que ? e?nissent la m? eme place. Autrement, est complexe. Si ? est complexe, le conjugu? e complexe ? de ? et ? d? ces valeurs absolues sont non-? equivalentes. Ainsi, si n = r + 2s, o` u r est le nombre de plongements r? eels de K et 2s est le nombre de plongements complexes, on a en tout r + s places in?nies. Si K est un corps de nombres, on peut montrer qu’il n’y a pas d’autres places. Donc, en r? esum? e, il y a une in?nit? e de places ?nies (autant que d’id? eaux premiers) et un nombre ?ni de places in?nies... 5

Rappels et premiers exemples On note P∞ (K ) (resp PR (K ), PC (K )) l’ensemble des places in?nies (resp. r? eelles, complexes) de K . Souvent, une place in?nie se notera p, comme pour les places ?nies. L’ensemble de toutes les places se note bien s? ur P(K ). Revenons un instant sur les places ?nies. Si p ∈ P0 (K ), on note Kp le compl? et? e topologique (on

attribue une limite ` a chaque suite de Cauchy) relativement ` a la valeur absolue d? e?nie par p. C’est un corps dit “local” sur lequel vp et | |p se prolongent. On d? e?nit Op = {x ∈ Kp | vp (x) ≥ 0} et p = {x ∈ Kp | vp (x) > 0}.

Op est un anneau local d’id? eal maximal p. Cet id? eal est principal, on note souvent π un g? en? erateur de p qu’on appelle “uniformisante”; et tout id? eal de Op est du type π k · Op . On consid` ere que K ? Kp et anneau local et son id? eal maximal se note p, il est aussi principal et chaque id? eal est du type π k · O(p) , a p · O(p) = p et p · Op = p · Op = p. On a aussi, pour tout k ∈ N, k > 0 : OK /pk ? O(p) /pk ? Op /p. Selon l’humeur et le besoin du moment, il aurait aussi ? et? e possible de d? e?nir Op comme la limite du u δk+1,k : OK /pk+1 → OK /pk est l’homomorphisme canonique x syst` eme projectif OK /pk , δk+1,k , o` (mod pk+1 ) → x (mod pk ). Dans le cas o` u K = Q, on retrouve bien s? ur les nombres p-adiques habituels Qp . e de OK en p. C’est aussi on note O(p) := Op ∩ K = { α β ∈ K | α, β ∈ OK et β ∈ OK \ p}, le localis?

pour une uniformisante qu’on notera aussi parfois π (lorsque nous ne devrons pas utiliser les deux). On

Si L/K est une extension galoisienne de corps de nombres, p et P des id? eaux premiers de K et L respectivement tels que P|p. Alors LP /Kp est aussi une extension galoisienne de groupe de Galois canoniquement isomorphe ` a Z (P/p). Et donc la norme vaut NLP /Kp (x) = normes se d? e?nissent de mani` ere identique.
σ∈Z (P/p)

σ (x). Les autres

Si la place p est in?nie, la situation est plus simple : Kp = R si la place est r? eelle et Kp = C sinon. Nous aurons besoin de consid? erations plus ?nes sur les compl? etions, mais nous regarderons ces choses au moment o` u nous en aurons besoin !

Quelques th? eor` emes
Tout d’abord un th? eor` eme facile, tr` es souvent utilis? e:

Th? eor` eme chinois
Soit A un anneau commutatif, a et b des id? eaux de A copremiers (i.e. a + b = A). Alors on a l’isomorphisme : A/(ab) ? A/a × A/b. Cf. [Sam, Lemme 1, §1.3, p. 22] Un autre th? eor` eme plus compliqu? e dont il est toujours utile de relire (ou de se souvenir de) la preuve : 6

Rappels et premiers exemples

Th? eor` eme des unit? es de Dirichlet
Soit K un corps de nombres tel que [K : Q] = r + 2s, o` u r est le nombre de plongements r? eels et 2s, le nombre de plongements complexes. Soit UK le groupe des ? el? ements inversibles de l’anneau OK . Alors on a l’isomorphisme : UK ? W × Zr+s?1 , o` u W est l’ensemble des racines de l’unit? e que K contient. Cf. [Sam, Th? eor` eme 1, §4.4, p. 72]. Un autre grand classique :

Th? eor` eme 90 de Hilbert
Alors NL/K (x) = 1 si et seulement s’il existe y ∈ L? tel que x = Cf. [La1, Thm. 6.6.1, p. 298]. Soit L/K une extension cyclique de corps d’indice ?ni. Mettons que Gal(L/K ) =< σ >. Soit x ∈ L.
y σ (y ) .

A partir de maintenant les choses s? erieuses commencent :

K -modules, application d’Artin et compagnie
Soit K un corps de nombres. Nous allons d? e?nir un objet important. N? eanmoins la nomenclature n’est pas vraiment uniforme dans la litt? erature : Janusz les nomme Modulus, Lang les nomme Cycle, Neukirch, Modul, Koch, Erkl¨ arungsmodul, Washington, Divisors Lorenz Modul... il a bien fallu choisir. La notion de module existe d? ej` a, mais le nom nous a paru assez bon tout de m? eme, apr` es d’? apres discussions, nous nous sommes mis d’accord avec K -module (vous n’allez tout de m? eme pas confondre avec la notion de K -espace vectoriel...).

D? e?nitions (0.1)
Soit K un corps de nombres. Un K -module est une application m : P(K ) → N avec les propri? et? es suivantes : a) m(p) = 0 sauf pour un nombre ?ni de p, b) m(p) = 0 si p ∈ PC (K ), c) m(p) = 0 ou 1 si p ∈ PR (K ).

L’usage est d’? ecrire m comme le produit formel m=
p ∈ P (K )

p m (p ) = m 0 · m ∞ ,

o` u m0 est identi?? e` a un id? eal (l’id? eal {p ∈ PR (K ) | m(p) = 1}) .

p ∈ P 0 (K )

pm(p) ), et m∞ un sous-ensemble de PR (K ) ( c’est l’ensemble 7

Rappels et premiers exemples Si m et m′ sont des K -modules, on d? e?nit pgcd(m, m′ ) comme suit : pgcd(m, m′ ) =
p ∈ P (K ) ′ pmin(m(p),m (p)) = pgcd(m0 , m′ 0 ) · (m∞ ∩ m∞ ).


′ OK · ? =: 1, on dit que m et m′ sont premiers entre eux. En?n, on d? e?nit m · m′ := (m0 · m′ 0 ) · (m∞ ∪ m∞ ).

On d? e?nit ppcm(m, m′ ) de la m? eme mani` ere en rempla? cant min par max et ∩ par ∪. Si pgcd(m, m′ ) =

On v? eri?e facilement que

m · m′ = pgcd(m, m′ ) · ppcm(m, m′ ). S (m) = S0 (m) ∪ S∞ (m). Si p ∈ S (m), on ? ecrit p|m, et on ? ecrit p ? m dans le cas contraire. Posons maintenant S0 (m) = {p ∈ P0 (K ) | m(p) > 0}, S∞ (m) = {p ∈ P∞ (K ) | m(p) > 0} et Si m et m′ sont des K -modules, on dit que m|m′ si m(p) ≤ m′ (p), pour tout p ∈ P(K ). Dans ce cas-l` a,

il existe un K -module n tel que m · n = m′ ; ce n n’est pas unique (` a cause des places in?nies), mais ce n’est pas grave ! on peut prendre par exemple celui dont les places in?nies sont disjointes avec celles de m. Soit p ∈ P0 (K ) et n ∈ N, n > 0. On pose
? ? Kp | vp (α ? 1) ≥ n}. n = {α ∈ K

Soit p ∈ PR (K ). Supposons que le plongement associ? e` a p soit σ : K → R; on pose
? Kp = {α ∈ K ? | σ (α) > 0}.

Et en?n, si m est un K -module, on posera
? Km = p ∈ S (m ) ? Kp m(p) .

Soit maintenant x, y ∈ K ? , on ? ecrira x≡y Cela permet d’? ecrire
? Km = {x ∈ K ? | x ≡ 1 (mod? m)}. ? (mod? m) ?? x · y ?1 ∈ Km ?? x ≡ y

(mod? pm(p) ) ?p ∈ S (m).

Cette relation d’? equivalence est cruciale dans tout ce qui va suivre. C’est une relations d’? equivalence mais pas que x + z ≡ y + z mais
1 3

“multiplicative”, c’est-` a-dire x ≡ y

les ? eventuels ? ou OK qui ne feraient qu’alourdir la notation. localis? e de OK en p. Cela veut aussi dire que x = a ≡ b (mod p
m(p ) a b

+ 3 ≡ 7 + 3 (mod? m)). Si m est r? eduit ` a une seule place, nous noterons pn pour m, en oubliant

(mod? m) (par exemple, si K = Q et m = 5 · ?, on a

(mod? m) implique que x · z ≡ y · z

(mod? m), pour tout z ∈ K ,
1 3

≡7

(mod? m),

Remarquons que vp (x ? 1) ≥ n veut dire que x ∈ 1 + pn · O(p) = 1 + pn o` u, rappelons-le, O(p) est le ). x?y ∈ pn ? x ? y ∈ y · pn = pn+vp (y) y

avec (a, p) = (b, p) = 1 (i.e. vp (a) = vp (b) = 0) et

Remarquons encore que si x, y ∈ K ? , n ∈ N, n > 0, et p ∈ P0 (K ), alors x≡y (mod? pn ) ? (?)

? vp (x ? y ) ≥ n + vp (y ) ? x ≡ y (mod pn+vp (y) ), 8

Rappels et premiers exemples La derni` ere ? equivalence n’? etant bien s? ur vraie que si x, y ∈ OK . De plus, si x ≡ y Si p ∈ PR (K ), dire que x ≡ y (mod? pn ), alors il

est ? evident que vp (x) = vp (y ).

(mod? p) veut simplement dire que σ (x) et σ (y ) ont le m? eme signe, si

σ est le plongement attach? e` a p. L’ensemble des m-entiers se note O(m) et on v? eri?e que O(m) =
p| m 0

Soit m un K -module et x ∈ K . Nous dirons que x est un m-entier si vp (x) ≥ 0 pour tout p ∈ S0 (m).

O(p) ,

est un anneau commutatif.

Lemme (0.2)
(mod? pn ). Soit K un corps de nombres, p ∈ P0 (K ), u ∈ O(p) et n ∈ N \ {0}. Alors il existe a ∈ OK tel que a ≡ u

Preuve on a βOK + p = OK . On montre alors facilement par r? ecurrence que βOK + pn = OK . Il existe donc β ′ ∈ OK tel que β · β ′ ≡ 1 (mod pn ). En posant a = α · β ′ , on v? eri?e que
a?u u

Puisque u ∈ O(p) , on a u =

α β,

avec α ∈ OK et β ∈ OK \ p. Puisque p est un id? eal maximal de OK , = β · β ′ ? 1 ∈ pn ? pn .

Vient maintenant un th? eor` eme qui va souvent ? etre utilis? e. Il est un peu moins fort que le th? eor` eme d’approximation faible, voil` a pourquoi nous l’avons appel? e le

Th? eor` eme (0.3) (Th? eor` eme d’approximation d? ebile)
Soit K un corps de nombres, m et m′ des K -modules, et y , z ∈ K . Alors il existe x ∈ K satisfaisant Preuve
? ? ′ derni` ere inclusion est une v? eri?cation facile : soient α ∈ Km , β ∈ Km ′ et p ∈ P0 . Si min(m(p), m (p)) = 0,


x≡y x≡z

(mod? m) (mod? m′ )

?? y ≡ z

(mod? pgcd(m, m′ )).

? ? ?1 ? ? “ ? ” : par hypoth` ese, xy ?1 ∈ Km et zx?1 ∈ Km z ∈ Km · Km ′ . Ainsi, y ′ ? Kpgcd(m,m′ ) . Cette

pmin(m(p),m (p)) . On a la m? eme chose pour β ? 1. On a donc


il n’y a rien ` a v? eri?er, supposons donc que min(m(p), m′ (p)) > 0. On a, par hypoth` ese α ? 1 ∈ pm(p) ? pmin(m(p),m (p)) ? (α ? 1)(β ? 1) = αβ ? 1 + (1 ? α) + (1 ? β ) .
∈pmin(m(p),m′ (p))

On a donc αβ ∈ Kpmin(m(p),m′ (p)) . Et pour les places in?nies, c’est encore plus facile : si p ∈ m∞ ∩ m′ ∞ , on se souvient que dire que x ≡ y (mod? p) veut simplement dire que σ (x) et σ (y ) ont le m? eme signe, o` u (mod? p). σ est le plongement associ? e` a p; donc, on a y ≡ z

partie. Le lecteur peut tr` es bien faire cela en exercice. Mais ce n’est pas le le genre de la maison que de laisser les parties un peu “laborieuses”. 9

“ ? ” : pour les places ?nies, c’est le th? eor` eme chinois ! voil` a comment on pourrait r? esumer cette

Rappels et premiers exemples Supposons donc que m0 = que y ≡ z (mod
?
i pt i ),

r i=1

pi

m (p i )

o` u ti = min(m(pi ), m (pi )), il faut r? esoudre le syst` eme ? α≡y ? ? ? ? ? ?α ≡ z ? ? α≡y ? ? ? ? α≡z (mod? pi (mod? pi
m (p i )


·

s j =1 ′

qj

m(qj )

et que m′ 0 =

r i=1

pi

m ′ (p i )

·

m ′ (r k ) s′ . k=1 rk

Sachant

)

i = 1, . . . , r1 (+)

m (p i )

) i = r1 + 1, . . . , r j = 1, . . . , s k = 1, . . . , s′ .

m (q ) (mod? qj j )

(mod? rk

m ′ (r k )

)

i = r1 + 1, . . . , r.

En ayant suppos? e que r = r1 + r2 et que m(pi ) ≥ m′ (pi ) si i = 1, . . . , r1 et que m′ (pi ) > m(pi ) si On se souvient que chaque anneau O(pi ) , O(qj ) ou O(rk ) poss` ede une uniformisante qu’on notera

erons l’? el? ement πpi , πqj ou πrk . Consid?
r1

λ=
i=1

vp (y ) πpi i

r

·

vp (z ) πpi i

s

i=r1 +1

·

vq (y ) πqj j

s′

j =1

·

πrk k
k=1

vr (z )

.
y λ

Divisons chaque terme de chaque ? equivalence du syst` eme (+) par λ. On a maintenant que
? ? O( pi ) , O(qj ) ′

pour i = 1, . . . , r1 et j = 1 . . . , s; de m? eme,

z λ

k = 1 . . . , s . En vertu du lemme pr? ec? edent, de la remarque (?) pr? ec? edent le Lemme (0.2) et du th? eor` eme chinois, il existe ai , bj , ck ∈ OK et surtout v ∈ OK satisfaisant le syst` eme ? y m (p i ) ? ) i = 1, . . . , r1 ? v ≡ ≡ ai (mod pi ? ? λ ? ? z ? m ′ (p ) ? ? v ≡ ≡ ai (mod pi i ) i = r1 + 1, . . . , r λ y m (q ) ? ? v ≡ ≡ bj (mod qj j ) j = 1, . . . , s ? ? λ ? ? ? m ′ (r k ) ? ? v ≡ z ≡ ck (mod rk ) k = 1, . . . , s′ λ



? ? O( pi ) , O(rk )

pour i = r1 + 1, . . . , r et



Pour les places in?nies, il su?t de voir la chose suivante : soient σ1 , . . . , σr les plongements in?nis on doit trouver un β tel que σi (β ) doit avoir un signe prescrit, on pose εi = 0 si σi (β ) doit ? etre positif et εi = 1 si σi (β ) doit ? etre n? egatif; le nombre
εr 1 β = αε 1 · · · αr

Ainsi, en posant α = v · λ, on r? esout le syst` eme (+). Donc, la partie “places ?nie” est r? esolue.

r? eels de K et i ∈ {1, . . . , r}. Alors il existe αi tel que σj (αi ) > 0 pour j = i et σi (αi ) < 0. En e?et, si

limiter la g? en? eralit? e que σ1 (θ) < σ2 (θ) < · · · < σr (θ). Choisissons a0 , . . . , ar ∈ Q tels que a0 < σ1 (θ) < a1 < σ2 (θ) < · · · < ar?1 < σr (θ) < ar . On v? eri?e facilement que αi = poss` ede les propri? et? es requises. θ ? ai?1 θ ? ai 10

r? epond ` a la question. Trouvons donc ces αi . Nous savons que K = Q(θ), pour θ ∈ C. On suppose sans

Rappels et premiers exemples Maintenant, il s’agit de recoller les morceaux : supposons qu’α est une solution pour la partie ?nie et nombre β est une solution pour la partie in?nie, posons en outre M = N(p1 · · · pr · q1 · · · qs · r1 · · · rs′ ). Alors le x = α + MN · β avec N su?samment grand pour que sgn(σi (x)) = sgn(σi (β )) pour tous les i n? ecessaires et pour que pour tout p ∈ S (ppcm(m, m′ )) = {p1 , . . . , pr , q1 , . . . , qs , r1 , . . . , rs′ }. Voici maintenant un corollaire que nous utiliserons souvent : les vpi ( Mα β ) , vqj ( Mα β ), vrk ( Mα β ) soient su?samment grand pour que x ≡ α (mod? pmax(m(p),m (p)) )
N N N ′

Corollaire (0.4)
Soient m et m′ des K -modules premiers entre eux. Alors on a l’isomorphisme
? ? ? ? ? K ? /Kmm ′ ? K /Km × K /Km′ .

Preuve L’homomorphisme :
? ? K ? ?→ K ? /Km × K ? /Kn ? ? α ?→ (αKm , αKn )

est surjectif. En e?et, soit (β, γ ) ∈ K ? × K ? . Par le th? eor` eme d’approximation d? ebile, il existe α ∈ K ? tel que α ≡ β (mod? m) et α ≡ γ

? ? ? ? (mod? m′ ) et donc αKm = βKm et αKn = γKn ce qui prouve la

? ? ? surjectivit? e. Le noyau de cet homomorphisme est Km ∩ Kn = Kmn (cela suit directement des d? e?nitions). ? ? ? On a donc un isomorphisme K ? /Kmn ? K ? /Km × K ? /Kn .

D? e?nitions (0.5)
Soit K un corps de nombres. On rappelle que IK est le groupe des id? eaux fractionnaires. Soit S un ensemble ?ni de places ?nies de K . On note
S IK = {a ∈ IK | vp (a) = 0 pour tout p ∈ S }.

Si m est un K -module, on note IK0 a pas d’ambigu¨ ?t? e.

S (m )

= IK (m) , et m? eme parfois, on note IK (m) = I (m), quand il n’y

Soit L/K une extension ab? elienne de corps de nombres et S un ensemble ?ni de places ?nies de K contenant toutes celles qui rami?ent dans L. On d? e?nit l’application d’Artin
S ΦL/K = ΦS L/K : IK → Gal(L/K )

S de Frobenius d? e?nit plus haut; et on prolonge ΦL/K en un homomorphisme de groupe sur IK tout entier, S (m )

comme suit : si p ∈ S est un id? eal premier, ΦL/K (p) = FrobL/K (p); o` u FrobL/K (p) est l’homomorphisme
S car les id? eaux premiers qui ne sont pas dans S engendrent IK . Si m est un K -module, l’application
0 se note Φm eme ΦL/K s’il n’y a pas d’ambigu¨ ?t? e). Disons sans ambages que nous d’Artin ΦL/K L/K (ou m?

montrerons que cette application est surjective (Th? eor` eme (2.16)) et il sera beaucoup question du noyau 11

Rappels et premiers exemples de cette application dans le reste de ce texte. Remarquons un petit r? esultat trivial sur ce noyau : si p est un id? eal premier dans l’ensemble de d? e?nition de ΦL/K , alors on a p ∈ ker(ΦL/K ) ?? Z (P/p) = {IdL } ? P|p ?? f (P/p) = 1 ? P|p ?? p se d? ecompose totalement dans L ?? NL/K (P) = p ? P|p. Mais n’allez surtout pas croire que ce noyau n’est fait que d’id? eaux qui sont des normes d’id? eaux de L, mais nous allons voir tout bient? ot qu’on peut rapidement trouver une inclusion (cf. Corollaire (0.7)). Supposons maintenant que L/K est une extension quelconque de corps de nombres. On note S = SL = {P ∈ P0 (L) | ?p ∈ S, P|p}. Si m est un K -module, on note m = mL = (m0 · OL ) ·
?0 =m

P.
P∈PR (L),P|K ∈m∞ ?∞ =m

On dit que m est le L-module engendr? e par m. Et on a bien s? ur I (m) = IL (m) = IL0
S (m )

.

Quelques r? esultats rapidement prouvables

Th? eor` eme (0.6)
Soit L/K et E/K deux extensions ?nies d’un corps de nombres K . Supposons de plus que L/K soit une extension ab? elienne de groupe de Galois G. La th? eorie de Galois nous apprend que l’extension EL/E est aussi ab? elienne et que H := Gal(EL/E ) s’identi?e ` a un sous-groupe de G via la restriction ` a celles qui rami?ent dans L, on a : L. Notons R : H → G cette restriction. Soit S un ensemble ?nie de places ?nies de K contenant toutes
SE ΦS L/K ? NE/K = R ? ΦEL/E .

Preuve On est dans la situation suivante : EL L ab? elienne de groupe G K E PEL PEL ∩ L p∩K p PL PK P PE

que p ne rami?e pas dans EL. Soit donc PEL un id? eal de EL au-dessus de p. On a vu dans la partie 12

SE Remarquons tout d’abord que ΦEL/E est bien d? e?ni sur IE . En e?et, soit p ∈ SE . Il faut montrer

Rappels et premiers exemples “Rami?cation...” que T (PEL /p) pouvait ? etre vu comme un sous-groupe de T ((PEL ∩ L)/(PEL ∩ K )).

Or, par d? e?nition de SE et de S , PEL ∩ K = p ∩ K ne rami?e pas dans L, ce qui montre que T ((PEL ∩ L)/(PEL ∩ K )) = {IdL }, et donc que T (PEL/p) = {IdEL } ce qui montre que p ne rami?e pas dans EL. Soit, comme dans l’illustration ci-dessus P un id? eal premier de OEL . Posons PL = P ∩ OL , PE =

P ∩ OE et PK = P ∩ OK les id? eaux au-dessous de P. On suppose que PK ∈ S . Posons σ = ΦEL/E (PE ), τ = ΦL/K (PK ), q = N(PK ) et NE/K (PE ) = Pf u f = f (PE /PK ). Alors on a N(PE ) = q f . K o` Par d? e?nition de σ , on a σ (x) ≡ xN(PE ) (mod P) pour tout x ∈ OEL , c’est-` a-dire que σ (x) ≡ xq
f f

(mod P) pour tout x ∈ OEL ; cela implique que σ (x) ≡ xq (mod PL ) pour tout x ∈ OL , car σ |L est un automorphisme de L. De m? eme, τ (x) ≡ xq (mod PL ), donc, en composant f fois, on trouve τ f (x) ≡ xq
f

(mod PL ). On en d? eduit que R ? σ = τ f , car les congruences qu’on vient de montrer donnent que R ? σ

et τ f induisent le m? eme ? el? ement dans le groupe de Galois de l’extension (OL /PL )/(OK /PK ). Puisque

font partie (cf. partie “Rami?cation...”). On en d? eduit que

PK ne rami?e pas dans OL , cette op? eration est injective sur les ? el? ement de Z (L/PK ) dont R ? σ et τ f

R ? ΦEL/E (PE ) = ΦL/K (PK )f = ΦL/K (Pf K ) = ΦL/K ? NE/K (PE ). On conclut par multiplicativit? e.

Corollaire (0.7)
S ) ? ker ΦL/K . d’Artin, alors on a NL/K (IL S Soit L/K une extension ab? elienne de corps de nombres, et ΦL/K : IK → Gal(L/K ), l’application

Preuve le corollaire. On applique le th? eor` eme pr? ec? edent ` a L = E . Cela donne ΦL/K ? NL/K = ΦL/L = IdL , ce qui prouve

D? e?nition (0.8)
principaux de K . Il est bien connu que le groupe quotient IK /PK est un groupe ?ni (cf. [Sam, Thm. 2, groupe ?ni le groupe des classes d’id? eaux; son cardinal se note h = hK .
? {x ∈ K ? | vp (x) = 0 pour tout p ∈ S0 (m)} = ∩p∈S0 (m) O( p) .

Soit K un corps de nombres. On d? e?nit P = PK ? IK le sous-groupe des id? eaux fractionnaires

chap IV, §3, p.71]) et ? evidemment r? eduit au groupe trivial si OK est un anneau principal. On appelle ce Soit m un K -module, on note P (m) = P ∩ I (m). On note encore K ? (m) = {x ∈ K ? | O · x ∈ P (m)} =

radiales modulo m. En allemand Hasse l’appelle Strahlklassengruppe modulo m, et en anglais, on nomme groupe des classes usuel dont on sait qu’il est ?ni. On note aussi hm le cardinal |I (m)/Pm |. Nous allons cela Ray class group modulo m. Remarquons que si m = OK · ? = 1, le groupe des classes radiales est le

? forc? ement que y ∈ Km . Nous allons aussi beaucoup ? etudier I (m)/Pm qu’on appellera groupe de classes

? ? On note Pm = {OK · x | x ∈ Km }. Remarquons que OK · x = OK · y avec x ∈ Km n’implique pas

? montrer que ce cardinal est ?ni et m? eme en donner une formule. En?n, on notera Um pour UK ∩ Km .

13

Rappels et premiers exemples

Lemme (0.9)
modulo PK . Alors il existe c ∈ C tel que c soit premier ` a b, c’est-` a-dire vp (b) · vp (c) = 0 pour tout id? eal Preuve C’est aussi un corollaire du th? eor` eme chinois. Supposons que a soit un “vrai” id? eal de K . Posons a= ou b. Pour tout p ∈ V , on choisit xp ∈ p a ≡ xp (mod p
vp (a)+1 p∈ P 0

Soient K un corps de nombres et a, b deux id? eaux fractionnaires de K . Consid? erons C la classe de a

premier p.

pvp (a) , vp (a) ∈ N, et b =

p∈ P 0 p vp (a)

vp (b)

. Soit V l’ensemble des id? eaux premiers qui divisent a
1 1 r? epond ` a la question, car vp ( a a) = vp ( a ) + vp (a) = 0

). L’id? eal fractionnaire

\p

vp (a)+1

1 aa

. Par le th? eor` eme chinois, il existe a ∈ OK tel que

pour tout p ∈ V ; et si p ∈ V , alors vp (b) = 0.

construisant a′ et a′′ ∈ OK comme ci-dessus pour a′ et a′′ respectivement, on voit que l’id? eal c = poss` ede les propri? et? es requises.

Si a est un id? eal fractionnaire quelconque, alors a = a′ · a′′?1 , o` u a et a′ sont des id? eaux de K . En
a′′ a′

·a

Lemme (0.10)
Soient K un corps de nombres et m un K -module. Alors on a l’isomorphisme
? K ? (m)/Km ? ?

O(p) /pm(p)
p ∈ S 0 (m )

× {±1}s ,

o` u s = |S∞ (m)| est le nombre de place in?nie divisant m. Preuve x ∈ O(p) \ p, donc x · O(p) + p = O(p) (p est un id? eal maximal), par suite et par r? ecurrence, on montre (x mod pm(p) ) ∈ O(p) /pm(p) . Ainsi, l’homomorphisme
? ? ? m (p ) Puisque K ? (m) = ∩p∈S0 (m) O( ) ∈ O(p) /pm(p) . En e?et, p) , tout x ∈ K (m) est tel que (x mod p ?

que x · O(p) + pm(p) = O(p) , donc il existe y ∈ O(p) et α ∈ pm(p) tels que yx + α = 1, ce qui veut dire que

x → (x mod pm(p) )p∈S0 (m) × (sgn(σp (x)))p∈S∞ (m) est bien d? e?ni de K ? (m) dans le groupe de droite de l’isomorphisme cherch? e. Puisqu’on travaille dans th? eor` eme d’approximation d? ebile montre que notre homomorphisme est surjectif et son noyau est claire? ment Km . ?

O(p) /pm(p) , dire que x ≡ y (mod pm(p) ) revient ` a dire que x ≡ y

(mod? pm(p) ). Finalement, le

Lemme (0.11)
Soient K un corps de nombres et a un id? eal de K . Alors (OK /a) Preuve C’est une g? en? eralisation de la formule sur l’indicateur d’Euler. Par le th? eor` eme chinois et le fait que pour tout anneau produit, on a (A × B )? = A? × B ? , on a (OK /a) = 14
? p| a ?

= N(a) ·

p| a

1?

1 N(p)

OK /pvp (a) . Commen? cons

?

Rappels et premiers exemples donc par prouver que si a = pk , k ∈ N, alors OK /pk?1
?

r? ecurrence sur k . Si k = 1, c’est ? evident, car OK /p est un corps. Rappelons le fait ? el? ementaire suivant :

= N(pk ) ? N(pk?1 ). On proc` ede par

ker(f ? ) = (1 + ker(f )) ∩ A? ; et si f est surjectif et que (1 + ker(f )) ? A? , alors f ? est aussi surjective. un homomorphisme f ? : 1 + pk?1 /pk ? OK /pk OK /pk
? ?

tout homomorphisme d’anneau f : A → B d? e?nit un homomorphisme de groupe f ? : A? → B ? tel que

Ainsi, supposons le th? eor` eme vrai pour k ? 1. L’homomorphisme surjectif f : OK /pk → OK /pk?1 induit OK /pk
? ?

par un argument similaire ` a celui du d? ebut du lemme pr? ec? edent. Ainsi,
?

→ OK /pk?1 . Son noyau est 1 + pk?1 /pk (car on montre que
( ?) ? hyp. de rec.

=

OK /pk?1

· 1 + p k ?1 / p k =

OK /pk?1

· N(p)

=

N(pk ) ? N(pk?1 ).

L’? egalit? e (?) vient du fait que 1 + pk?1 /pk = pk?1 /pk = |OK /p| = N(p). Et on conclut, si a est quelconque : (OK /a)
?

=
p| a

N(pk ) ? N(pk?1 ) = N(a) ·

p| a

1?

1 N(p)

.

Th? eor` eme (0.12)
Soient K un corps de nombres et m un K -module. Alors hm est ?ni. Plus pr? ecis? ement, hm = 2s · N(m0 ) ·
p|m0 (1

[UK : Um ]

?

1 N( p ) )

· h,

o` u s est le nombre de places in?nies divisant m et h est cardinal du groupe des classes usuel. preuve dans n’importe quelle classe d’id? eaux usuelle, il est possible de trouver un repr? esentant premier ` a un id? eal fractionnaire ?x? e (ici, il s’agit de m0 (cf. lemme (0.9)). Le noyau est clairement PK (m). Ainsi, IK (m)/PK (m) ? IK /PK . Or, Pm ? PK (m). Donc, on a une suite exacte de groupes ab? eliens : 1 ?→ PK (m)/Pm ?→ IK (m)/Pm ?→ IK (m)/PK (m) ?→ 1. Il su?t ainsi de montrer que PK (m)/Pm est ?ni, de calculer son cardinal et conclure car hm = K ? (m) → P (m) |PK (m)/Pm | · h, par ce qui pr? ec` ede. L’application est par d? e?nition un homomorphisme x → Ox surjectif. Donc en composant avec la projection canonique, on a un homomorphisme surjectif K ? (m) →
? montrent que |K ? (m)/Km | = 2s · N(m0 ) · p|m0 (1

On consid` ere l’application compos? ee IK (m) ?→ I → IK /PK . Elle est clairement surjective, car

incl.

nat.

? P (m)/Pm . Le noyau de cet homomorphisme est clairement UK · Km . Les Lemmes (0.10) et (0.11) nous

? ? ? ? UK · K m /Km ? UK /UK ∩ Km ; et on a par d? e?nition que Um = UK ∩ Km . Cela montre le th? eor` eme.

? ? D’autre part, K ? (m) ? UK · Km ? Km . Par les th? eor` emes d’isomorphismes (partie c)), on a alors que

?

1 N(p) ).

Voici un lemme tr` es important quand on parle de cyclotomie, et c’est ce que nous allons faire les prochains th? eor` emes :

Lemme (0.13)
tel que p ? m. Soit p un id? eal de K au-dessus de p, c’est-` a-dire que p ∩ Z = pZ. L’application 15 Soit m ∈ N et K un corps de nombre contenant une racine m-i` eme de l’unit? e ζm . Soit p ∈ P0 (Q)

Rappels et premiers exemples φ : OK ?→ OK /p := F envoie ? evidemment Z sur Fp = Z/pZ et donc |F| = N(p) = pf = q o` u
i

f = [OK /p : Z/pZ]. Alors on a m|q ? 1. Plus pr? ecis? ement, le groupe {ζm | 1 ≤ i ≤ m} ? OK est envoy? e injectivement par φ. Son image est donc un sous-groupe cyclique d’ordre de m de F? . Preuve ? αi ) un polyn? ome. m a f = Xm ? 1 = Alors le polyn? ome d? eriv? e? evalu? e en α1 vaut f ′ (α1 ) = i=2 (α1 ? αi ). On applique cela ` i i m? 1 m m . Puisque p est un id? eal premier et que ni m, i=1 (X ? ζm ). On trouve alors i=2 (ζm ? ζm ) = mζm i i m ni ζm ne sont dans p, on en d? eduit que i=2 (ζm ? ζm ) ∈ p, donc aucun ζm ? ζm n’est dans p. Il su?t de v? eri?er que ζm ≡ ζm (mod p) pour tout 2 ≤ i ≤ m. Soit f = Nous allons maintenant montrer un exemple important qu’on pourrait quali?er d’exemple g? en? erique.
i m i=1 (x

En e?et, c’est le premier r? esultat qui donne un lien entre le groupe de Galois d’une extension et un groupe de classes radiales. Tous les autres grands r? esultats de la th? eorie du corps de classe seront “inspir? e” de cet exemple.

Th? eor` eme (0.14)
S ? evidemment, IK = IK (m), avec m = mZ · ∞ o` u ∞ est l’unique place in?nie de Q. Alors on a

Soit m ∈ Z, m > 1, m ≡ 2 (mod 4). Posons K = Q, L = Q(ζm ) et S = {p ∈ P0 (Q) | p|m}. Alors

IK (m)/Pm ? Gal(L/K ). Preuve de Q est engendr? e par deux ? el? ements, et on choisit le positif. Soit p ∈ S . Par d? e?nition de l’application
p p ? S a m} est identi?able ` a IK , car tout id? eal fractionnaire L’ensemble { a b ∈ Q | a, b ∈ Z, positifs, premiers `

id? eal premier p de L au-dessus de p. Le Lemme (0.13) nous montre alors que σp (ζm ) = ζm . On compose ΨL/K ( a b) = ΦL/K avec l’isomorphisme Gal(L/K ) ?→ (Z/mZ)? ; on notera cette composition ΨL/K . Il est clair que
a b ≈

d’Artin, on a dans ce cas, ΦL/K (p) = σp ∈ Gal(L/K ) caract? eris? e par σp (ζm ) ≡ ζm (mod p) pour tout

prouv? e que IK (m)/Pm ? Gal(L/K ).

S surjective. Et on a ker ΦL/K = ker ΨL/K = { a u m = mZ · ∞. On a donc b ∈ IK | a ≡ b (mod m)} ? Pm o`

evidemment ∈ (Z/mZ)? , o` u a et b sont les classes de a et b modulo m. Cette application est ?

D? e?nition (0.15)
Soit L/K une extension de corps de nombres. Cette extension est appel? ee cyclotomique s’il existe en particulier ab? elienne aussi. m ∈ N, m ≥ 1 tel que K ? L ? K (ζm ). Puisque l’extension K (ζm )/K est ab? elienne, l’extension L/K est

Th? eor` eme (0.16)
K -module tel que m|m0 (c’est-` a-dire que m · OK ? m0 ) et tel que m∞ est l’ensemble de toutes les Pm ? ker Φm L/K . Preuve Soit K ? L ? K (ζm ) une extension cyclotomique de corps de nombres. Soit m = m0 · m∞ , un

places r? eelles de K . Alors l’application d’Artin Φm e?nie et L/K : IK (m) → G := Gal(L/K) est bien d?

16

Rappels et premiers exemples Les id? eaux de premiers de K qui rami?ent dans L rami?ent aussi dans K (ζm ), donc divisent m. Gal(L/K ) (Th? eor` eme (0.6)), on peut supposer que L = K (ζm ). On prend donc L = K (ζm ). Appelons on sait que Φm L/K (p) = σ tel que σ (ζm ) ≡ ζm
N( p ) m Donc, Φm e?nie. Puisque Φm L/K est bien d? L/K = R ? ΦK (ζ
m

)/K

, o` u R est la restriction Gal(K (ζm )/K ) →

i : Gal(K (ζm )/K ) → (Z/mZ)? l’homomorphisme injectif usuel. Si p est un id? eal premier avec p ∈ IK (m),
N( p )

(mod P) o` u P est n’importe quel id? eal premier de K (ζm )

u au-dessus de p. Par le Lemme (0.13), on en d? eduit que σ (ζm ) = ζm . Ainsi, i(Φm L/K (p)) = N(p), o` N(p) est la classe de N(p) modulo m. Par multiplicit? e, on en d? eduit que i(Φm L/K (a)) = N(a) pour tout

? ? a ∈ IK (m). Soit xOK ∈ Pm . On peut supposer que x ∈ Km . Par d? e?nition de Km , x est totalement

positif, donc NK/Q (x) = |NK/Q (x)| ∈ Q? + . Donc, N(xOK ) = NK/Q (x), et ainsi, i(Φm L/K (xOK )) = NK/Q (x). D’autre part, x ≡ 1
P|m

(i)
p| m

a τ (x) ? 1 ∈ m ·

E/K une extension telle que E/Q soit galoisienne. Notons O = OE . Pour tout ? el? ement τ ∈ Gal(E/Q), on
P|m

(mod? m), cela implique puisque m · OK ? m0 , que x ? 1 ∈ m ·

O(p) . Soit

O(P) (P est bien s? ur un id? eal premier de O ). Par cons? equent, puisque NK/Q (x) est O(P) ∩ Q = m ·
p|m

un produit de certains de ces τ (x), on aura NK/Q (x) ? 1 ∈ m ·

Cela implique que NK/Q (x) ≡ 1 (mod? m) ce qui implique par (i) et puisque Z(m) /mZ(m) ? Z/mZ

Z(p) := m · Z(m) .

m que i(Φm e du groupe de Galois L/K (xOK )) = 1, et donc (puisque i est injectif) que ΦL/K (xOK ) est l’unit?

Gal(L/K ) et donc que Pm ? ker Φm L/K . Remarquons que ce th? eor` eme sera red? emontr? e “en passant” au Chapitre 7 (Proposition (7.6)). Mais ˇ pour une raison technique, nous aurons besoin de ce r? esultat pour montrer le th? eor` eme de Cebotarev pour les extensions cyclotomiques (Proposition (3.2)), c’est pourquoi, nous l’avons d? ej` a mis ici.

Voici encore un r? esultat int? eressant en lui-m? eme qui rel` eve plut? ot de la th? eorie de Galois et que nous utiliserons 2 fois : la premi` ere au Chapitre 3 (Th? eor` eme (3.12)) et la seconde au Chapitre 12 (Th? eor` eme (12.11)) :

Th? eor` eme (0.17)
et H = Gal(L/E ) ? G. On note X l’ensemble des classes ` a droite de G modulo H . Il est clair Soit K ? E ? L des corps de nombres. On suppose L/K galoisienne et on pose G = Gal(L/K )

que |X | = [E : K ]. Soit p un id? eal premier de K et P un id? eal premier de L au dessus de p. On de d? ecomposition de P sur p. On fait agir Z (P/p) sur X qui se d? ecompose en r orbites C1 , . . . , Cr de longueur respectivement f1 , . . . , fr . Pour ?xer le esprits, il existe τ1 , . . . , τr ∈ G tels que Ci = {H · τi , H · τi · σ, . . . , H · τi · σ fi ?1 },

suppose P non rami?? e sur p. Soit encore σ = Frob(P/p) qui est le g? en? erateur de Z (P/p), le groupe

premiers de E au-dessus de p, c’est-` a-dire p · OE = p1 · · · pr . Et de plus, on a fi = f (pi /p). Preuve 17

pour i = 1, . . . , r. Alors, en posant pi = τi (P) ∩ E , pour i = 1, . . . , r, on a la liste exacte des id? eaux

Rappels et premiers exemples Il est clair que les pi sont des id? eaux premiers au-dessus de p. Montrons d’abord que pi ne d? epend que de Ci . Fixons donc une de ces classes Ci . Tout d’abord, si H · τi = H · τi′ , alors τi′ = h · τi pour un h ∈ H . Alors on a, puisque h|E est l’identit? e:
h inj.

τi′ (P) ∩ E = h(τi (P)) ∩ E = h(τi (P)) ∩ h(E ) = h(τi (P) ∩ E ) = τi (P) ∩ E. D’autre part, si on prend un ? el? ement de Ci , disons H · τi · σ j , alors on a : (τi · σ j )(P) ∩ E = τi (σ j (P)) ∩ E
σ∈Z (P/p)

=

τi (P) ∩ E.

Donc, pi ne d? epend bien que de Ci . Fixons donc un H · τ ∈ Ci . Alors fi = |Ci | = l’indice du stabilisateur de H · τ dans Z (P/p). Ce stabilisateur est

{η ∈ Z (P/p) | H · τ · η = H · τ } = {η ∈ Z (P/p) | η ∈ τ ?1 · H · τ } = Z (P/p) ∩ τ ?1 · H · τ. Ainsi, |Ci | = [Z (P/p) : Z (P/p) ∩ τ ?1 · H · τ ] = [τ · Z (P/p) · τ ?1 : τ · Z (P/p) · τ ?1 ∩ H ] = [Z (τ (P)/p) : Z (τ (P)/p) ∩ H ] = [Z (τ (P)/p) : Z (τ (P)/ τ (P) ∩ E )]
=p i

f (τ (P)/p) = f (τ (P)/pi )

f mult.

=

f (pi /p).

Donc les pi on la propri? et? e cherch? ee. En e?et, si p0 est un id? eal premier de E au-dessus de p, alors il qui contient H · τ . En?n, existe τ ∈ G tel que p0 = τ (p) ∩ E (propri? et? e galoisienne). Donc p0 = pi , o` u i est tel que Ci est l’orbite
r r

f (pi /p) =
i=1 i=1

|Ci | = |X | = [E : K ].

De sorte que les pi sont deux ` a deux disjoints.

18

Chapitre 1 : Un r? esultat sur j (x, K)
Ce chapitre est en fait consacr? e` a la preuve d’un unique th? eor` eme qui sera utilis? e au chapitre suivant. Voici l’? enonc? e de ce r? esultat :

Th? eor` eme (1.1)
Soit K un corps de nombres et m un K -module. Alors il existe une constante ρm > 0 telle que si K est Alors une classe de IK (m) modulo Pm , et si j (x, K) est le nombre d’id? eaux (entiers) a ∈ K tels que N(a) ≤ x. j (x, K) = ρm · x + O(x1? n ) o` u n = [K : Q], et si f (x) et g (x) sont des fonctions r? eelles, on ? ecrit f (x) = O(g (x)) lorsqu’il existe une constante B > 0 tel que |f (x)| < B · |g (x)|. Notations Pour tout ce chapitre, ?xons K un corps de nombres, [K : Q] = n = r + 2s, o` u r est le nombres de places in?nies r? eelles et s le nombres de places in?nies complexes. Soit m = m0 m∞ un K -module. Posons r0 le nombre de places r? eelles qui divisent m. Posons v = vm : K → Rn ? Rr × Cs α → (σ1 (α), . . . , σr0 (α), σr0 +1 (α), . . . , σr (α), σr+1 (α), . . . , σr+s (α)) eelles) qui divisent m, σ1 , . . . , σr , les plongeavec σ1 , . . . , σr0 les plongements correspondant aux places (r? ments correspondant aux places r? eelles et σr+1 , . . . , σr+s les plongements correspondant aux places complexes; on pose pour j = 1, . . . , s, σr+s+j = σr+j . On d? e?nit encore l : K ? → Rs+r α → (log |σ1 (α)|, . . . , log |σr (α)|, 2 log |σr+1 (α)|, . . . , 2 log |σr+s (α)|) et l 0 : R ? n ? R ? r × C ? s → R r +s (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) → (log |x1 |, . . . , log |xr |, 2 log |y1 |, . . . , 2 log |ys |) Il est ? evident que si α = 0, on a l(α) = l0 (v (α)). En?n on pose N 0 : R? n ? R? r × C? s → R
1

(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) → |x1 | · · · · · |xr | · |y1 |2 · · · · · |ys |2 .

Si on pose N (α) = |NK/Q (α)|, on a N (α) = N0 (v (α)). Fixons encore K une classe de I (m)/Pm . On remarque d? ej` a qu’il existe b un id? eal entier (i.e. inclus dans OK ) dans la classe K?1 . En e?et, si
c d

est un id? eal fractionnaire d’une classe quelconque de I (m)/Pm

avec c et d des id? eaux entiers, alors il existe t ∈ N tel que dt ∈ Pm , puisque I (m)/Pm est ?ni (cf. 19

Un r? esultat sur j (x, K) Th? eor` eme (0.12)). Alors un de ces b dans K
?1 c d

en?n α0 ∈ OK tel que α0 ≡ 0 (mod b) et α0 ≡ 1 (mod m0 ) (c’est possible gr? ace au th? eor` eme chinois, et puisque b et m0 sont premiers entre eux).

. Soit a ∈ K, un id? eal. On a alors a · b = (α) ∈ Pm , i.e. α ∈

· dt = c · dt?1 est un id? eal entier dans la m? eme classe que

c d. ? Km ∩

Fixons donc OK . Fixons

Lemme (1.2)
Sous les m? emes notations que pr? ec? edemment, on a j (x, K) est ? egal au nombre d’id? eaux principaux (α) avec b) σi (α) > 0 Preuve a) α ≡ α0 (mod m0 · b) i = 1, . . . , r0

c) 0 < N (α) ≤ x · N(b). Si a ∈ K est un id? eal tel que N(a) ≤ x, alors a · b = (α) ∈ Pm , donc α est tel que σi (α) > 0 pour

i = 1, . . . , r0 , α ≡ 1 (mod m0 ); d’autre part α ∈ b et N (α) = N(a · b) = N(a) · N(b) ≤ x · N(b). Cela

prouve que α satisfait les conditions a), b) et c). R? eciproquement, si α v? eri?e ces trois conditions, on a a = b?1 · (α) ∈ K est un id? eal entier, car a = b?1 · (α) ? b?1 · b = OK ; et N(a) = N(b)?1 · N (α) ≤ x. Ce

qui prouve notre lemme.

Notons temporairement U les unit? es de OK . Si α satisfait les conditions a), b) et c), alors l’ensemble des β tels que (α) = (β ) et qui v? eri?ent aussi a), b) et c) est exactement l’ensemble des α · u, avec u ∈ Um
? (= U ∩ Km ). La preuve du th? eor` eme des unit? es de Dirichlet montre que l(U ) est un sous-Z-module libre r +s i=1

de rang r + s ? 1 de Rr+s et le sous-espace qu’il engendre est l’hyperplan H des (xi )1≤i≤r+s tels que

?ni et cyclique). Puisque Um est d’indice ?ni dans U (cf. Th? eor` eme (0.12), il a les m? emes propri? et? es que U , c’est-` a-dire que l’on a Um ? Wm × l(Um ) o` u Wm = W ∩ Um , et l(Um ) est un Z module de rang une Z-base de l(Um ) (donc aussi une R-base de H ) que l’on compl` ete en une R-base de Rr+s en ajoutant e0 = (1, . . . , 1, 2, . . . , 2). En vertu de la premi` ere remarque de ce paragraphe, on peut, pour chaque id? eal
r fois

xi = 0; et alors U ? W × l(U ) o` u W est le sous-groupe de U form? e des racines de l’unit? e (il est

r + s ? 1 qui engendre le R-sous-espace H . Notons wm le cardinal de Wm et on choisit e1 , . . . , er+s?1

principal comme dans le Lemme (1.2), choisir un g? en? erateur α, qui outre a), b), c) v? eri?e la condition l(α) = c0 e0 +
r +s?1 i=1

ci e i

avec 0 ≤ ci < 1 pour i = 1, . . . , r + s ? 1.

Dans ce cas α est enti` erement d? etermin? e` a un facteur w ∈ Wm pr` es. On a ainsi montr? e le

Lemme (1.3)
α ∈ α0 + bm0 tels que Sous les m? emes notations que dans le paragraphe pr? ec? edent, on a wm · j (x, K) est le nombre d’? el? ements

σi (α) > 0 si 1 ≤ i ≤ r0 , l(α) = c0 e0 +
r +s?1 i=1

0 < N0 (v (α)) ≤ x · N(b)

et

ci e i

avec 0 ≤ ci < 1 pour i = 1, . . . , r + s ? 1. 20

Un r? esultat sur j (x, K)

Interrompons-nous un instant dans notre discours pour ? enoncer un petit lemme sur le plongement v vu au d? ebut de ce chapitre.

Lemme (1.4)
Soit K/Q un corps de nombres. Alors v (OK ) est un Z-r? eseau plein de Rn , c’est-` a-dire un sous-Zmodule libre de rang n de Rn contenant une R-base de Rn . Preuve L’homomorphisme v est clairement injectif, donc v (OK ) est ? evidemment un Z-module de rang n. Reste ` a voir qu’il est plein. Soit ω1 , . . . , ωn une Z-base ? σ1 (ω1 ) ··· ? . . ? . ? ? σr (ω1 ) ··· ? ? ?σr+1 (ω1 ) · · · A := ? ? ?σr+1 (ω1 ) · · · ? ? . . ? . ? ? ?σr+s (ω1 ) · · · ?σr+s (ω1 ) · · · de OK . Il su?t de voir que la matrice ? ··· σ1 (ωn ) ? . . ? . ? ··· σr (ωn ) ? ? · · · ?σr+1 (ωn ) ? ? · · · ?σr+1 (ωn ) ? ? ? . . ? . ? · · · ?σr+s (ωn ) ? · · · ?σr+s (ωn )

d? eterminant vaut 2?s · is · det(σi (ωj )1≤i,j ≤n avec une “bonne” num? erotation des σi . donc | det(A)| =
1

est de d? eterminant non nul. On v? eri?e sans peine (en utilisant la relation 2?(z ) + i · z = i · z ) que ce

2?s · |d(K )| 2 , o` u d(K ) est le discriminant de K sur Q qui est non nul (cf. [Sam, §2.7, Proposition 3, p. 47]).

Notation i) les r0 premi` eres coordonn? ees de x sont > 0. iii) l0 (x) = c0 e0 + ii) 0 < N0 (x) ≤ 1.
r +s?1 ci e i , i=1

On notera Γ l’ensemble des x ∈ Rs × Cs ? Rn tels que

avec 0 ≤ ci < 1 pour 1 ≤ i ≤ r + s ? 1.

l’ensemble des x ∈ Rs × Cs qui satisfont les conditions i) et iii) pr? ec? edentes et la condition 0 < N0 (x) ≤ tn . Posons Λ = v (bm0 ). C’est un Z-r? eseau plein de Rn (c’est-` a-dire un sous-Z-module libre de rang n de dans OK . Posons en?n Λ0 = v (α0 + bm0 ) = v (α0 ) + Λ, le translat? e de Λ par v (α0 ). Ce qui pr? ec` ede se traduit alors ainsi :

e0 !!). De sorte que x remplit la condition iii) si et seulement si tx la remplit. Donc l’ensemble t · Γ est

On voit facilement que si t > 0, l0 (tx) = l0 (x) + log(t) · e0 (ceci gr? ace ` a la d? e?nition judicieuse de

Rn contenant une R-base de Rn ), car v (OK ) en est un gr? ace au lemme pr? ec? edent et bm0 est d’indice ?ni

Lemme (1.5)
alors on a Sous les m? emes notations, soit pour tout t > 0, M (t) le nombre d’? el? ements de Λ0 contenu dans t · Γ, wm · j (x, K) = M (t) 21 o` u tn = x · N(b).

Un r? esultat sur j (x, K)

On va faire maintenant un “rappel” sur la mesure de Jordan (voir [Apo] pour les d? etails). Rappel pav? e est le produit des longueurs de ces intervalles (les intervalles peuvent ? etre ouverts, ferm? es, semiouverts ou un point (dans ce cas, le volume est nul)). Le volume ext? erieur de A, v (A), est l’in?mum des
? N i=1 ?

Soit A ? Rn born? e. Un pav? e dans Rn est une produit d’intervalles born? es de R. Le volume d’un tel

int? erieur v (A) est le supremum des
?

vol(Pi ) pris sur tout recouvrement {P1 , . . . , PN } de A par un nombre ?ni de pav? es. Le volume
N i=1 ?

dit alors que A est J -mesurable (J pour Jordan) si v (A) = v (A). On pose alors vol(A) = v (A) = v (A). volume de tout parall? elotope est connu.

P i ∩ P j = ? pour tout i = j (P i veut dire l’int? erieur de Pi ) et ∪i Pi ?A. On a toujours v (A) ≤ v (A). On

vol(Pi ) pris sur toute famille de pav? es {P1 , . . . , PN } telles que

Remarquons que si M est une matrice n × n, et P un pav? e, alors vol(M · P ) = | det(M )| · vol(P), ainsi le

Th? eor` eme (1.6)
A\ A, et A est l’adh? erence de A). Preuve Cf. [Apo, Thm. 14.9, p. 397]. u ?A, le bord de A veut dire Si A ? Rn est born? e, il est J -mesurable si et seulement si v (?A) = 0 (o`
?

D? e?nition (1.7)
tel que dY (f (x), f (y )) ≤ M · dX (x, y ) pour tout x, y ∈ X . On appellera M constante de Lipschitz. Toute partielles existent et sont continues, alors f est lipschitzienne sur tout intervalle compact. Si (X, dX ) et (Y, dY ) sont des espaces m? etriques f : X → Y est dite lipschitzienne s’il existe M > 0

fonction lipschitzienne est en particulier continue. Par exemple, si f : Rn → Rm est telle que les d? eriv? ees

Th? eor` eme (1.8)
Preuve Si f : [0; 1]k → Rn est lipschitzienne et k < n. Alors v (f ([0, 1]k )) = 0.

i1 i1 +1 k n in +1 forme [ N ; N ] × · · · × [i eunion d’au plus N ; N ], avec i1 , . . . , in ∈ Z. Ainsi f ([0; 1] ) est inclus dans la r?

1 . Si C est l’un de ces cubes, alors f (C ) sera de diam` etre D? ecoupons [0; 1]k en N k sous-cubes de c? ot? es N √ √ 1 n n ≤ M · k · N . Si on pose B = (M · k + 2) , alors f (C ) rencontre au plus B sous-cubes de R de la

On a donc par hypoth` ese il existe M > 0 tel que |f (x) ? f (y )| ≤ M |x ? y | pour tout x, y ∈ [0; 1]k .

Ce qui prouve que le volume ext? erieur est aussi petit que l’on veut.

B · N k cubes de c? ot? e

1 N,

donnant un volume inf? erieur ou ? egal ` aB·

Nk Nn

=

B N n ?k

< ε si N est assez grand.

D? e?nition (1.9)
nombre ?ni d’images d’applications lipschitzienne fi : [0; 1]n?1 → Rn . Une partie A ? Rn est dite (n ? 1)-Lipschitz param? etrisable si A est contenu dans la r? eunion d’un

22

Un r? esultat sur j (x, K)

Th? eor` eme (1.10)
translat? e de r? eseau) dans Rn . Posons N (t) le nombre de points de Λ contenu dans t · A. Soit vol(Λ) le volume d’un parall? elotope fondamental de Λ. Alors A est J -mesurable et N (t) = vol(A) n · t + O(tn?1 ). vol(Λ) Soit A ? Rn born? ee. On suppose que ?A est (n ? 1)-Lipschitz param? etrisable. Soit Λ un r? eseau (ou

On rappelle que f (x) = O(g (x)) veut dire qu’il existe une constante B telle que |f (x)| ≤ B · |g (x)|. Preuve Le Th? eor` eme (1.8) et un petit raisonnement sur les recouvrements d’une union ?nie d’ensemble moneor` eme (1.7) que A est J -mesurable. Soit P le parall? elotope fondatrent que v (?A) = 0 donc par le Th? (x + P ) ∩ t · A = ?. Il est clair que n(t) ≤ N (t) ≤ s(t), et donc que n(t) · vol(P ) ≤ vol(t · A) = tn · vol(A) ≤ s(t) · vol(P ), ou encore n(t) ≤
vol(A) vol(Λ)

mental de Λ. Posons n(t) le nombre de x ∈ Λ tels que x + P ? t· A et s(t) le nombre de x ∈ Λ tels que · tn ≤ s(t). Cela implique que |N (t) ?
vol(A) vol(Λ)

?

su?t donc de montrer que s(t) ? n(t) = O(tn?1 ).

· tn | ≤ s(t) ? n(t). Il

est contenu dans la r? eunion d’un nombre ?ni d’images d’applications lipschitzienne fi : [0; 1]n?1 → Rn . Il su?t donc de montrer que si f : [0; 1]n?1 → Rn est lipschitzienne, alors le nombre R(t) des x ∈ Λ tels que (x + P ) ∩ t · f ([0; 1]n?1 ) = ? est un O(tn?1 ). Divisons [0; 1]n?1 en [t]n?1 sous-cubes de c? ot? e
1 [t]

Nous avons que s(t)?n(t) est le nombre de x ∈ Λ tels que (x+P )∩(?tA = t?A) = ?. Par hypoth` ese ?A

(ne pas confondre l’intervalle [0; 1] avec la partie √ enti` ere de t qu’on note [t]). Soit C un de ces sous-cubes. On a que f (C ) est de diam` etre ≤ M · n ? 1· [1 t] ≤ √ √ 2M n?1 (si t ≥ 3). Donc, t · diam(f (C )) = diam(t · f (C )) ≤ 2M n ? 1. Cela implique qu’il existe une t constante B > 0, ind? ependante de C et de t telle que t · f (C ) rencontre au plus B r? egions de la forme x + P (x ∈ Λ). Donc, t · f ([0; 1]n?1 ) rencontre au plus B · [t]n?1 ≤ B · tn?1 r? egions de la forme x + P (x ∈ P ), ce qui veut dire que R(t) ≤ B · tn?1 . Cela prouve notre th? eor` eme.

Th? eor` eme (1.11)
Preuve Soit le Γ du Lemme (1.5). Alors Γ est born? e et ? Γ est (n ? 1)-Lipschitz param? etrisable.

c0 · n ≤ 0 (car la somme des coe?cients d’un vecteur est lin? eaire, les sommes des coe?cients des ei est eres composantes de x sont positives, Ainsi, Γ est l’ensemble des x ∈ R? r × C? s tels que les r0 premi` c’est la condition (i) et l0 (x) = c0 e0 +
r +s?1 ci e i i=1

ii) de la d? e?nition de Γ se traduit en x ∈ R? r × C? s et

Montrons tout d’abord que Γ est born? e. Soit x = (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) ∈ Rr × Cs ? Rn . La condition log |xi | + 2 log |yi | ≤ 0. Cela implique que

nulle pour i = 1, . . . , r + s ? 1 et que celle des coe?cients de e0 vaut n); ce qui est ? equivalent ` a c0 ≤ 0.

appellera (ii)’. On en d? eduit que les composantes (dans la base canonique de Rr+s ) de l0 (x) sont born? es sup? erieurement et par cons? equent aussi les |xi | et les |yi | aussi (` a cause des logarithmes); c’est-` a-dire que Γ est born? e. Montrons maintenant que ? Γ est (n ? 1)-Lipschitz param? etrisable. Pour cela, il su?t de le mon-

avec 0 ≤ ci < 1 et c0 ≤ 0, c’est la condition qu’on

eres composantes de x sont trer pour Γ0 qui est l’ensemble des x ∈ R? r × C? s tels que les r premi` positives et qui satisfait (ii)’; en e?et, si x = (x1 , . . . , xi , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) satisfait la condition (ii)’, alors (x1 , . . . , ?xi , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) le satisfait aussi, donc Γ est sym? etrique par rapport aux hyperplans 23

Un r? esultat sur j (x, K) xi = 0, i = r0 + 1, . . . , r et si d’un c? ot? e, le bord est (n ? 1)-Lipschitz param? etrisable, l’autre c? ot? e le sera aussi. On a en outre que vol(Γ) = 2r?r0 · vol(Γ0 ). Ecrivons ei = (ei , . . . , ei
(i) r +s?1 ck · e k + c0 , k=1 iθj (1) (r +s)

log(xi ) =

Soit x = (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) ∈ Γ0 . Les conditions pour x et l0 (x) sont alors que x1 , . . . , xr > 0, et 1 ≤ i ≤ r et 2 log |yj | =
c0

), i = 1, . . . , r + s ? 1.

k = 1, . . . , r + s ? 1 et c0 ∈] ? ∞; 0]. Rempla? cons e (x1 , . . . , xr , ρ1 e 1 ≤ j ≤ s, y j = ρj e
iθ1

, . . . , ρs eiθs ) ∈ Rr × Cs tels que xi = cr+s · e
k=1 1

( ρj > 0 et 0 ≤ θj < 2π ). On peut alors d? ecrire Γ0 comme ? etant l’ensemble des ? ? ? ? ?

par cr+s , on a alors cr+s ∈]0; 1]. Posons aussi, pour

( r +j ) r +s?1 ck · e k + 2 c0 , k=1

1 ≤ j ≤ s avec ck ∈ [0; 1[,

r + s ?1

ck ek

(i)

r + s ?1 k=1

ρ j = c r +s · e 2

ck ek

θj = 2πcr+s+j

avec cr+s ∈]0; 1] et ck ∈ [0; 1[ pour toutes les valeurs de k = r + s (1 ≤ k ≤ n). Soit f : [0, 1]n ?→ Rr × Cs

1 ≤ j ≤ s ? (?) ? ? ? 1≤j≤s

(r+j )

1≤i≤r

(c1 , . . . , cn ) ?→ (x1 , . . . , xr , ρ1 eiθ1 , . . . , ρs eiθs ) donn? ee par les relations (?). Il est clair que f est continue et f ([0; 1[r+s?1 ×]0; 1] × [0; 1[s?1) = Γ0 et donc f ([0; 1]n ) = Γ0 cela vient du fait que image de tout compact est un compact et l’image de l’adh? erence

est inclu dans l’adh? erence de l’image. On a aussi f (]0; 1[n ) ? Γ0 . La di?? erence entre le cube [0; 1]n et d? erivable. Il su?t donc pour conclure de montrer que f (]0; 1[n ) ? Γ0 , ou encore que f :]0; 1[n → Rn
f1 f2 f3 ?

son int? erieur est 2n cubes ferm? e de dimension n ? 1; de plus f est lipschitzienne car partout contin? ument est une application ouverte (i.e. l’image d’un ouvert est un ouvert). Et pour cela, on observe que f est la compos? ee des quatre applications suivantes, manifestement ouvertes : ]0; 1[n → Rn → Rn →
f4

Rr ×]0; ∞[s ×Rs → Rr × Cs . d? e?nies de la fa? con suivante :

a) f1 ((t1 , . . . , tn )) = (t1 , . . . , tr+s?1 , log(tr+s ), tr+s+1 , . . . , tn ). b) f2 est l’application lin? eaire (u1 , . . . , un ) → (u1 , . . . , un ) · M , o` u

r +s

? ? ? M =? ? ?

?

e1 . . . er+s?1 e0 0s×r+s

? 0 ··· 0 . . ? . . . .? ? . . . . . .? ? 0 ··· 0? Is
1

L’application f2 est ouverte, car M est inversible. c) Pour f3 , on applique x → ex aux r premi` eres coordonn? ees, x → e 2 x aux s suivantes et on multiplie les s derni` eres par 2π . d) f4 ((x1 , . . . , xr , ρ1 , . . . , ρs , θ1 , . . . , θs )) = (x1 , . . . , xr , ρ1 eiθ1 , . . . , ρs eiθs ), l’application (ρ, θ) → ρeiθ 24

? etant une application ouverte de ]0; ∞[×R dans C, car l’image d’un cube ouvert (?ρ, ?θ) donne

Un r? esultat sur j (x, K) le domaine suivant :

?θ ?ρ

Preuve du Th? eor` eme (1.1) On a : j (x, K)
Lemme (1.5)

=

Thm.

1 1 1 · M (x n · N(b) n ) wm 1 1 Vol(Γ) (1.10) et (1.11) 1 · · N(b) · x + O((x n · N(b) n )n?1 ) = wm Vol(Λ0 ) 1

= ρm · x + O(x1? n ) o` u ρm =
Vol(Γ) wm

? evidente; l’id? eal b est dans la classe K?1 et d? epend bien s? ur de K, mais Vol(Λ0 ) = Vol(Λ) = Vol(v (bm0 )) = N(b) · N(m0 ) · Vol(v (OK )). Ainsi,
N( b ) Vol(Λ0 )

·

N( b ) Vol(Λ0 )

ne d? epend que de m. En e?et, Γ et wm ne d? ependent que de m de mani` ere ne d? epend aussi que de m.

25

Chapitre 2 : S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe
Dans ce chapitre, nous ferons un peu d’analyse complexe pour pr? eparer le chapitre suivant o` u nous ˇ d? emontrerons le th? eor` eme de Cebotarev. Le but est aussi de prouver la premi` ere in? egalit? e du corps de classe (Th? eor` eme (2.20))

D? e?nition (2.1)
Tout le monde conna? ?t l’exponentielle complexe ez = plexe. Si t > 0 est un nombre r? eel strictement positif, on pose t = es log(t) o` u log(t) est le logarithme usuel des nombres r? eels. Une s? erie de Dirichlet est une fonction complexe du type a(n) , ns n=1 avec a(n), s ∈ C. Soit b ≥ 0, δ > 0 et 0 < ε <
π 2. ∞ ∞ zn n=0 n! s

qui converge dans tout le plan com-

On d? e?nit aussi π ? ε} . 2

D(b, δ, ε) = {s ∈ C | ?(s) ≥ b + δ et | arg(s ? b)| ≤ Graphiquement, cela donne ceci :

ε D(b, δ, ε) b

δ

Th? eor` eme (2.2)
Soit
∞ a(n) n=1 ns

une s? erie de Dirichlet. Posons s(n) =
b π 2.

n i=1

a(i). On suppose qu’il existe a > 0 et

tout δ, ε tel que δ > 0 et 0 < ε <

b ≥ 0 tels que |s(n)| ≤ a · n pour tout n ≥ 1. Alors la s? erie converge uniform? ement dans D(b, δ, ε) pour

Cela implique que cette s? erie d? e?nit une fonction holomorphe sur le

demi-plan ?(s) > b (cf. [Con, Th. 2.1, p.147]). 26

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe Preuve donc u et v des entiers tels que v ≥ u + 1 > 2; et s ∈ D(b, δ, ε). On a a(n) = ns n=u = ≤ Or,
1 ns v

On posera σ = ?(s). Donc |ts | = tσ si t > 0. On va utiliser le crit` ere de convergence de Cauchy. Soit
v v v ?1

s(n) ? s(n ? 1) = ns n=u
v ?1

s(n) s(n) ? s n (n + 1)s n=u n=u?1 1 1 ? ns (n + 1)s

s(v ) s(u ? 1) ? + s(n) vs us n=u
v ?1

1 s(u ? 1) 1 s(v ) + + |s(n)| · s ? vs us n ( n + 1)s n=u (on se souvient que (g + ih) dt = g dt + i h dt si le domaine

d’int? egration est r? eel). Ainsi, a a a(n) ≤ σ ?b + σ ?b + |s| · a · nb · s n v u n=u n=u ≤ ≤ 2a + |s| · a · u σ ?b n=u
v v ?1 n+1 b n v v ?1 n+1 n

?

1 (n+1)s

= s·

n+1 dt ts+1 , n

dt ts+1

t · dt ts+1

2a + |s| · a · u σ ?b 2a ≤ σ?b + |s| · a · u Or, puisque s est dans D, on a voit facilement que
v 1 cos(θ ) |s| σ ?b

dt σ+1?b t u ∞ 2a |s| · a dt = σ ?b + . σ+1?b t u ( σ ? b)uσ?b u
1 cos(θ ) b +δ , o` u θ = arg(s ? b). Puisque |θ| ≤ π 2

≤ M =:

. cos( π 2 ?ε)
ab δ



1

|s?b|+b σ ?b

Ainsi,



? ε, on

2a + aM + a(n) ≤ s n u σ ?b n=u

<

2a + aM + uδ

ab ement δ uniform?

?→

0 lorsque u → ∞.

Th? eor` eme (2.3)
La fonction ζ (s) = preuve
∞ 1 n=1 ns

ζ (s) sur le demi-plan ?(s) > 0. Il y a un seul p? ole en s = 1 qui est simple et de r? esidu 1.

pour ?(s) > 1 se prolonge en une fonction m? eromorphe, encore not? ee

En vertu du th? eor` eme pr? ec? edent (pour s(n) = n, et a = b = 1), on trouve que ζ (s) converge dans le On voit que |s(n)| ≤ 1. Par le th? eor` eme pr? ec? edent, avec a = 1 et b = 0, on a que ζ 2 (s) est holomorphe demi-plan ?(s) > 1 et y d? e?nit une fonction holomorphe. Consid? erons le s? erie ζ 2 (s) =
∞ (?1)n+1 . n=1 ns

sur le demi-plan ?(s) > 0. Lorsque ?(s) > 1, la convergence est absolue. Dans ce domaine, on trouve 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ? s + s ? s + ··· = s + s ? s + s + s ? s + s + s ? s + ··· s 1 2 3 4 1 2 2 3 4 4 5 6 6 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( s + s + s + s + · · ·) ? 2( s + s + s + · · ·) = ζ (s) ? s · ζ (s) = (1 ? s?1 ) · ζ (s), 1 2 3 4 2 4 6 2 2 27

ζ 2 (s) =

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe
ζ 2 (s) est (1? s1 ) 2 ?1 m? eromorphe sur le demi-plan ?(s) > 0 dont les p? oles (s’il y en a) sont parmi les z? eros de (1 ? 2s1 ?1 ), 2kπ 1 1 2 1 1 2 donc de la forme 1 + log(2) · i, k ∈ Z. On consid` ere ensuite ζ 3 (s) = 1s + 2s ? 3s + 4s + 5s ? 6s + · · ·. n·j 2iπ Si cette d? e?nition ne vous convient pas, vous pouvez poser a(n) = 1 ? 2 , avec ζ = ζ 3 = e 3 j =0 ζ ∞ (n) et ζ 3 (s) = n=1 an s . Evidemment, il y aura toujours collusion de notation entre les ζ n qui sont les

ainsi ζ (s) =

ζ 2 (s) (1? s1 ?1 )
2

lorsque ?(s) > 1. Mais par ce qui pr? ec` ede, on a que la fonction

racines de l’unit? e et la fonction ζ de Riemann, mais le contexte permettra toujours de comprendre de quoi on parle. Le th? eor` eme pr? ec? edent s’applique ` a nouveau et donc, la fonction ζ 3 (s) est une fonction holomorphe sur ?(s) > 0; et lorsque ?(s) > 1, on a

ζ 3 (s) =

1 1 1 3 1 1 1 3 3 1 + s + s ? s + s + s + s ? s + · · · = ζ (s) ? s ζ (s) = (1 ? s?1 )ζ (s). s 1 2 3 3 4 5 6 6 3 3

Donc

nombres 1 +
ζ 2 (s) (1? s1 ?1 )
3

ζ 3 (s) (1? s1 ?1 )
3

2lπ log(3)

est un prolongement m? eromorphe de ζ sur ?(s) > 0. Donc les p? oles sont parmi les · i, l ∈ Z. Par unicit? e du prolongement analytique (cf. [Con, Cor. 3.8, p. 70]) on a en dehors de leurs p? oles. De plus, puisque ces fonctions sont d? e?nies sur des disques
2lπ log(3)

=

entourants ces p? oles, si s est un p? ole de l’une de ces fonctions, il doit ? etre aussi un p? ole de l’autre. Donc, s = 1+
2kπ log(2)

ζ 3 (s) (1? s1 ?1 )
3

k = l = 0. On en d? eduit que le seul p? ole ? eventuel est s = 1; et c’est bien un p? ole car σ → 1 par valeurs > 1. Ce p? ole est simple, car les z? eros de (1 ?
log(2) 2s?1 2s?1 ) 1

·i = 1+

· i pour certains k et l ∈ Z; donc

k log(2)

=

l log(3) ,

ou encore 2l = 3k ; donc
∞ 1 n=1 nσ

sont simples (la d? eriv? ee qui vaut

→ ∞ si

ne s’annule pas en s = 1).

prendre des s r? eels > 1. On consid` ere le graphe de y = x?s .

Calculons le r? esidu en s = 1. On veut donc calculer lims→1 (s ? 1)ζ (s). Pour ce calcul, il su?t de

2

1

... 1 2 3 4 5 6

La somme de aires des rectangles donne ? evidemment ζ (s) et on voit que 28

1 s?1

=

∞ dx 1 xs

≤ ζ (s). Cet

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe autre dessin

2

1

... 1 2 3
∞ dx 1 xs

4 =
1 s?1 .

5

6

montre que ζ (s) ? 1 ≤

On en d? eduit que s 1 ≤ ζ (s) ≤ , s?1 s?1

ainsi, 1 ≤ (s ? 1)ζ (s) ≤ s et donc lims→1 (s ? 1)ζ (s) = 1.

Rappel
Soit K un corps de nombres et m un K -module. Alors il existe une constante ρm > 0 telle que si K est une classe de I (m) modulo Pm , et si j (x, K) est le nombre d’id? eaux a ∈ K tel que N(a) ≥ x. Alors j (x, K) = ρm · x + O(x1? d ) o` u d = [K : Q]. C’est le Th? eor` eme (1.1) qui ? etait l’objet du Chapitre 1.
1

D? e?nition (2.4)
Soit K un corps de nombres, m un K -module et K une classe de I (m) modulo Pm . On d? e?nit ζ m (s, K) =
a∈ K

1 . N(a)s

Evidemment, cette d? e?nition n’a de sens que si le convergence de cette s? erie est absolue. C’est ce que nous allons voir incessamment.

Th? eor` eme (2.5)
m? eromorphe sur ?(s) > 1 ? Preuve La s? erie ζ m (s, K) converge absolument sur le demi-plan ?(s) > 1 et se prolonge en une fonction
1 d

(d = [K : Q]) avec un seul p? ole en s = 1; ce p? ole est simple de r? esidu ρm .

29

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe Consid? erons la s? erie de Dirichlet Dans ce cas, s(n) =
n i=1 ∞ a(n) n=1 ns ,

avec a(n), le nombre d’id? eaux a dans K tels que N(a) = n.
s(n) n

a(i) = j (n, K). Par le Th? eor` eme (1.1),

d? e?nit une fonction holomorphe sur le demi-plan ?(s) > 1. Clairement, la convergence dans ce demi-plan est absolue, donc l’ordre des termes n’importe pas et cela justi?e qu’on ? ecrive simplement Consid? erons maintenant la s? erie Pour cette nouvelle s? erie, on a s(n) =
1

existe A > 0 tel que |s(n)| = s(n) ≤ A · n. Le Th? eor` eme (2.2) s’applique et dit que la s? erie

est born? e, pour n ≥ 1. Donc il
∞ a(n) n=1 ns

1 , Donc, en vertu du Th? eor` eme (2.3), ζ m (s, K) se prolonge en une fonction m? eromorphe sur ?(s) > 1 ? d

1 f ) sur le demi-plan ?(s) > 1 ? d . Lorsque ?(s) > 1, on voit que f (s) + ρm · ζ (s) =

que s(n) ≤ B · n1? d . A nouveau par le Th? eor` eme (2.2), la s? erie d? e?nit une fonction holomorphe (notons-la
∞ a(n) n=1 ns

∞ b(n) etant celui de tout ` a l’heure). n=1 ns , avec b(n) = a(n)?ρm (le a(n) ? n eor` eme (1.1), il existe B > 0 tel i=1 b(i) = j (n, K)? ρm · n. Par le Th?

1 a ∈ K N( a ) s .

= ζ m (s, K).

avec un seul p? ole en s = 1 qui est simple et de r? esidu ρm .

D? e?nitions (2.6)
a) Soit G = (G, ?, 1) un groupe ab? elien ?ni. On appelle caract` ere de G tout homomorphisme χ : G ?→ C? . On note 1 le caract` ere de G qui envoie tout ? el? ement de G sur 1. L’ensemble G des caract` eres est lui-m? eme un groupe isomorphe ` a G : χ1 χ2 (g ) := χ1 (g ) · χ2 (g ). Remarquons que l’on a pour tout χ∈G: 0 si χ = 1 |G| si χ = 1.

χ(g ) =
g ∈G

En e?et, c’est clair si χ = 1. Supposons que χ = 1, donc il existe h ∈ G tel que χ(h) = 1. L’application g → hg est clairement une bijection de G dans lui-m? eme. Donc, χ(g ) =
g ∈G g ∈G

χ(hg ) = χ(h) ·

χ(g ).
g ∈G

Si

De plus, puisque G et G sont isomorphes, on a aussi pour tout g ∈ G χ(g ) =
χ∈G

g ∈G

χ(g ) = 0, on en d? eduirait que χ(h) = 1, ce qui est contradiction.

0 |G|

si g = 1 si g = 1.

b) Soit K un corps de nombres, m un K -module et χ un caract` ere de I (m)/Pm . On d? e?nit Lm (s, χ) =
a ∈ I (m )

χ(a) , N(a)s

o` u χ(a) := χ(a mod Pm ). Comme tout ` a l’heure, cette s? erie n’est d? e?nie que si la convergence est absolue. C’est ? evidemment ce qu’on va voir !

Th? eor` eme (2.7)
1 sur ?(s) > 1 ? d . Si χ = 1 (le caract` ere unit? e), il n’y a pas de p? ole (donc le prolongement est holomorphe).

La s? erie Lm (s, χ) converge absolument sur le demi-plan ?(s) > 1 et admet un prolongement m? eromorphe

Si χ = 1, il y a un p? ole unique, simple en s = 1 et de r? esidu hm ρm , (souvenons nous de hm , c’est le cardinal du groupe I (m)/Pm ). 30

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe Preuve = La convergence est absolue sur ?(s) > 1, car
K∈I (m)/Pm χ(a) N( a ) s

=

1 N( a ) σ ,

ζ m (σ, K); cette somme est ?nie, car I (m)/Pm est ?ni de cardinal hm (cf. Th? eor` eme (0.12)).

o` u σ = ?(s) et parce que

1 a ∈ I ( m ) N( a ) σ

Toujours si ?(s) > 1, en r? earrangeant les termes, on obtient Lm (s, χ) =
K∈I (m)/Pm

χ(K) · ζ m (s, K).

On conclut en vertu du Th? eor` eme (2.5) et en se souvenant que χ(K) =
K∈I (m)/Pm

hm 0

si χ = 1 sinon.

D? e?nitions (2.8)
a) On notera ζ m (s) au lieu de Lm (s, 1) = Et si m = 1 = OK · ?, on note cette fonction ζ K (s) qui est la fonction z? eta de K .
K∈I (m)/Pm

ζ m (s, K). On l’appellera la fonction z? eta de m.

b) Soit z ∈ C. Posons Log(z ) = log |z | + i arg(z ) o` u ?π < arg(z ) ≤ π , o` u log(·) est la fonction logarithme usuelle sur les nombres r? eels. On appelle Log(·) la branche principale du logarithme. On peut voir que eLog(z) = z , pour tout z ∈ C? . Si w ∈ C est tel que ew = z , alors il existe k ∈ Z tel que
∞ zn n=1 n . ∞ n=1 an converge

c) Si (an )∞ n=1 est une suite de nombres complexes non nuls, nous dirons que limN →∞ an existe et est non nulle. Nous utiliserons le ∞ ∞ n=1 an converge. Nous n=1 Log(an ) converge absolument, alors ∞ n=1 an converge absolument.
N n=1

w = Log(z ) + 2kπi. De plus, si |z | < 1, alors ?Log(1 ? z ) = Log((1 ? z )?1 ) =

si

r? esultat suivant : si la somme dirons dans ce cas que le produit

Th? eor` eme (2.9)
Soit K , m et χ comme avant. Alors si ?(s) > 1, on a la repr? esentation Lm (s, χ) =
p?m ?1

1?

χ(p) N(p)s

,

le produit convergeant absolument. Cela prouve que Lm (s, χ) = 0. Posons logLm (s, χ) = au voisinage de 1 telle que
p?m

Log

1?

χ(p) N( p ) s

?1

. Alors logLm (s, χ) est holomorphe sur ?(s) > 1

et il existe gχ (s) une fonction holomorphe sur le demi-plan ?(s) > 1, prolongeable holomorphiquement logLm (s, χ) =
p?m

χ(p) + gχ (s), N(p)s

pour tout s ∈ C tel que ?(s) > 1.

Voir le lemme suivant pour une explication de l’? ecriture logLm (s, χ). Remarquons encore qu’ici (et

pour ce chapitre), l’? ecriture p ? m ne concerne que les places ?nies. Preuve 31

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe Tout d’abord, la s? erie absolument si σ := ?(s) >
∞ p ? m j =2 χ(p) p | m N( p ) s 1 2,

converge absolument sur ?(s) > 1, car c’est une partie de
p?m

qui converge dans ce domaine en vertu du Th? eor` eme (2.7). D’autre part, car 1 1 1 1 · = · · 2 σ σj 2 N(p) N(p) 2 j =0 1 1 1 · ≤ · σ σ N(p) N(p) ? 1 2


∞ χ(pj ) j =2 j ·N(p)sj

χ(a) a ∈ I ( m ) N( a ) s ,

converge

1 ≤ j · N(p)σj

p?m

p?m

1 1 · 1 2 σ N(p) 1 ? N( p )σ

1 4 · . σ N(p) N(p)σ p?m p?m √ La derni` ere in? egalit? e vient de 4(N(p)σ ? 1) = N(p)σ + 3N(p)σ ? 4 ≥ N(p)σ + 3 2 ? 4 ≥ N(p)σ . On a donc prouv? e que
∞ p ? m j =2

1 = · 2

1 ≤2 j · N(p)σj

p?m

1 ≤ 2ζ m (2σ ). N(p)2σ
1 2,

Et donc gχ (s) :=

p?m

absolument et uniform? ement sur tout compact de ce domaine. Maintenant, en appliquant la s? erie de la branche principale du logarithme, avec z = χ(p) + gχ (s) = N(p)s
∞ p ? m j =1 χ(p) N( p ) s

∞ χ(pj ) j =2 j ·N(p)sj

est une fonction holomorphe sur ?(s) >

car elle converge

(qui est de module < 1 si ?(s) > 1), on trouve que Log
p?m

p |m

χ(pj ) = j · N(p)sj

1?

χ(p) N(p)s

?1

= logLm (s, χ)

p ? m (c’est possible de le faire maintenant qu’on a la convergence absolue), on a
n

qui converge absolument et est holomorphe si ?(s) > 1. En choisissant une num? erotation quelconque des

e

logLm (s,χ)

= lim e
n→∞

i=1

Log

1? N(p

χ(pi ) s i)

?1

n

= lim

n→∞

i=1

1?

χ(pi ) N(pi )s
?1

?1

=
p?m

1?

χ(p) N(p)s

?1

.

Il reste ` a v? eri?er que le dernier produit est ? egal ` a Lm (s, χ). Il su?t de montrer que Lm (s, χ) = lim
N →∞

p?m N( p ) ≤ N

1?

χ(p) N(p)s

.

Or, χ(p) 1? N(p)s
?1

=
p?m N( p ) ≤ N

p?m N( p ) ≤ N

? ?

∞ j =0

? χ(p)j ? = N(p)sj

a∈ S N

χ(a) , N(a)s

o` u SN est l’ensemble des id? eaux entiers, premiers ` a m dont les diviseurs premiers sont de norme inf? erieure ou ? egale ` a N ; la derni` ere ? egalit? e venant de la convergence absolue de la somme multiplicativit? e de χ et de la norme. Ainsi,
∞ χ(p)j j =0 N(p)sj

et de la

p?m N( p ) ≤ N

1?

χ(p) N(p)s

?1

? Lm (s, χ) ≤

N(a)>N a ∈ I (m )

1 ?→ 0 si N → ∞, N(a)?(s)

32

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe en vertu du Th? eor` eme (2.7).

Lemme (2.10)
holomorphe et non nulle, alors il existe, sur X , un logarithme de cette fonction, c’est-` a-dire une fonction holomorphe f telle que ef (x) = f (x). De plus, si on ?xe une valeur de f en un point de X , alors cette fonction est unique. Remarquons que si f (x) = f (y ), cela n’implique pas forc? ement que f (x) = f (y ). Lors du th? eor` eme pr? ec? edent, la fonction logLm (s, χ) ? etait un logarithme de la fonction Lm (s, χ), voil` a pourquoi, nous avons ? ecrit logLm (s, χ) plut? ot que log(Lm (s, χ)). Preuve Cf. [Ru, Thm 13.18, p. 263] Si X ? C est un ouvert connexe et simplement connexe et si f : X ?→ C? est une fonction

Corollaire (2.11)
Soit K , m comme avant. Il existe h(s) une fonction holomorphe dans un voisinage V de s = 1 et g (s) une fonction holomorphe sur ?(s) >
1 2

telles que si s est dans V et que ?(s) > 1, alors on a : 1 + g (s) N(p)s (1)

logζ m (s) = ?Log(s ? 1) + h(s) = Preuve

p?m

logarithme de (s ? 1) · Lm (s, χ). Si on prend χ = 1, alors, vu les d? e?nitions qu’on a faites et en vertu du Donc, cette fonction poss` ede un logarithme sur ce voisinage, en vertu du lemme pr? ec? edent. Notons h(s) seconde d? ecoule du Th? eor` eme (2.9). le logarithme qui co¨ ?ncide avec Log(s ? 1) + logζ m (s) sur ?(s) > 1. On en d? eduit la premi` ere ? egalit? e. La Th? eor` eme (2.7), la fonction (s ? 1) · ζ m (s) est d? e?nie, holomorphe et non nulle sur un voisinage de s = 1.

Soit χ un caract` ere de I (m)/Pm . Si ?(s) > 1, alors il est clair que Log(s ? 1) + logLm (s, χ) est un

D? e?nitions (2.12)
est une fonction holomorphe sur ?(s) > 1 et prolongeable en une fonction toujours holomorphe au voisinage de s = 1. Soit K un corps de nombres et S un ensemble d’id? eaux premiers de OK . On dira que S est de densit? e de Dirichlet δ si l’une des conditions suivantes est satisfaite :
1 p ∈ S N( p ) s

Soient f1 et f2 des fonctions complexes d? e?nies sur ?(s) > 1. On ? ecrira f1 ? f2 si g (s) := f1 (s) ? f2 (s)

1) 2)
p∈ S

1 ? ?δ · Log(s?1) N(p)s

s→1

lim +

?Log(s ? 1)



Il est clair que la condition 2) implique la condition 1). Si S satisfait la condition 2), on dit de plus que S est r? egulier. Le Corollaire (2.11) implique que l’ensemble des id? eaux premiers de I (m) est r? egulier de densit? e 1. Il est clair que si S est ?ni, sa densit? e est nulle et que si S et S ′ sont disjoints de densit? eδ et δ ′ , alors la densit? e de S ∪ S ′ vaut δ + δ ′ . Cela implique, puisque l’ensemble de id? eaux premiers I (m) 33

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe contient tous les id? eaux premiers de K sauf un nombre ?ni, que si S est de densit? e δ , on a 0 ≤ δ ≤ 1

et que l’ensemble des id? eaux premiers de K est r? egulier de densit? e 1. On montre aussi facilement que si S ? S ′ sont de densit? e δ et δ ′ , alors δ ≤ δ ′ .

Lemme (2.13)
Soit K un corps de nombres. Alors l’ensemble des id? eaux premiers p tels que f (p/Q) > 1 est un ensemble r? egulier de densit? e de Dirichlet nulle. Preuve Notons A l’ensemble de ces id? eaux. On va montrer que s = 1. Pour tout p ∈ A, la fonction s →
1 N( p ) s 1 p ∈ A N( p ) s

est holomorphe au voisinage de

est clairement holomorphe au voisinage de s = 1. D’autre

part, puisque p ∈ A, il existe p ∈ P0 (Q) tel que N(p) = pf (p,Q) ≥ p2 . De plus, il y a au plus [K : Q] nombres premiers au-dessous de p. Ainsi 1 ≤ [K : Q] · N(p)σ

p∈ A

p∈P0 (Q)

1 1 ≤ [K : Q] · ζ (2σ ), o` u σ = ?(s) > . 2 σ p 2
1 p ∈ A N( p ) s

Ce qui montre , en vertu du Th? eor` eme (2.3), que sur tout compact du demi-plan ?(s) > prouve le lemme.
1 2,

converge absolument et uniform? ement

donc est une fonction holomorphe au voisinage de 1, cela

Lemme (2.14)
compl` etement dans L} est r? egulier de densit? e [E : K ]?1 o` u E est la cl? oture galoisienne de L/K , c’est-` a-dire la plus petite extension E/K , galoisienne, contenant L. Preuve du Chapitre 0, page 3, il se d? ecompose compl` etement dans E . On a donc f (P/p) = 1 pour tout id? eal premier P de E au-dessus de p (il y en a donc [E : K ] et N(p) = N(P)). On trouve alors : [E : K ] · 1 = N(p)s 1 , N(P)s Si p ∈ P(K ) se d? ecompose compl` etement dans L, alors, en vertu du lemme “d? ecomposition-rami?cation” Soit L/K une extension de corps de nombres. Alors l’ensemble S = {p ∈ P0 (K ) | p se d? ecompose

p∈ S

P∈S1

de Dirichlet 1, car pour obtenir S1 , on enl` eve ` a tous les id? eaux premiers de E un nombre ?ni d’id? eaux (ceux qui se rami?ent sur K ) et un sous-ensemble de ceux qui sont de degr? e sur Q sup? erieur ` a 1 qui est de densit? e 0 (cf. Lemme (2.13) et utilisant la relation f (P/P ∩ Q) = f (P/P ∩ K ) · f (P ∩ K/P ∩ Q)). Cela prouve que S est de densit? e
1 [E :K ] .

o` u S1 = {P ∈ P0 (E ) | f (P/P ∩ K ) = 1 et P est non rami?? e sur K }. L’ensemble S1 est r? egulier de densit? e

Corollaire (2.15)
Soit L/K une extension galoisienne de corps de nombres de groupe de Galois G. a) Soit H ? G un sous-groupe normal. Alors l’ensemble S = {p ∈ P0 (K ) | p est non rami?? e dans L et Frob(P/p) ∈ H pour tout P ∈ P0 (L) au-dessus de p} 34

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe est r? egulier de densit? e
1 [G :H ]

=

b) De plus, si H1 et H2 sont des sous-groupes normaux de G, alors l’ensemble S ′ = {p ∈ P0 (K ) | p est non rami?? e dans L et Frob(P/p) ∈ H1 ∪ H1 pour tout P ∈ P0 (L), P|p} est r? egulier de densit? e Preuve
|H1 ∪H2 | . |G|

|H | |G| .

Ce r? esultat se g? en? eralise ` a un nombre ?ni de sous-groupes.

Pour a), posons F le corps ?xe par H . Puisque H est un sous-groupe normal de G, la th? eorie de Galois nous dit que l’extension F/K est galoisienne de groupe de Galois G/H . Si p0 ∈ P0 (F ) est un id? eal premier au-dessus de p, par hypoth` ese, on a Frob(p0 /p) = Frob(P/p)|F = IdF dans G/H , pour tout id? eal P ∈ P(L) au-dessus de p0 . Or, on sait que Frob(p0 /p) engendre Z (p0 /p) qui est de cardinal

f (p0 /p). Ainsi, f (p0 , p) = 1, ce qui veut dire que p se d? ecompose totalement dans F . En r? esum? e, S est l’ensemble des id? eaux premiers de OK qui se d? ecomposent totalement dans OF . Le Lemme (2.14) nous apprend alors que S est r? egulier de densit? e de densit? e de Dirichlet respectivement de
1 [F :K ]

=

1 [G :H ] . |H1 ∩H2 | . |G|

Prouvons b). Les sous-groupes H1 , H2 et H1 ∩ H2 correspondent ` a des ensembles S1 , S2 et S1 ∩ S2
|H1 | |H2 | |G| , |G|

et

Il est clair que S ′ = S1 ∪ S2 et que

p∈ S ′

1 = N(p)s

p∈ S 1

1 + N(p)s

p∈ S 2

1 ? N(p)s

p∈ S 1 ∩ S 2

|H1 | + |H2 | ? |H1 ∩ H2 | 1 ?? · Log(s ? 1) s N(p) |G| =
|H1 ∪H2 | . |G|

Ainsi, S ′ est r? egulier de densit? e de Dirichlet

|H1 |+|H2 |?|H1 ∩H2 | |G|

Voici maintenant un r? esultat annonc? e depuis longtemps :

Th? eor` eme (2.16) (Surjectivit? e de l’application d’Artin)
Soit L/K une extension ab? elienne de groupe G et m un K -module divisible par toutes les places de K qui rami?ent dans L. Alors l’application d’Artin ΦL/K : IK (m) ?→ G est surjective. Preuve l’ensemble S = {p ∈ P0 (K ) | p est non rami?? e dans L et Frob(P/p) ∈ H pour tout P ∈ P0 (L) au-dessus de p} est de densit? e
1 [G :H ] .

Soit σ ∈ G. Notons H =< σ > le sous-groupe engendr? e par σ . Par le Corollaire (2.15), partie a),

de tous les sous-groupes propres de H . Il est ? evident que ∪Hi ? H , mais que ∪Hi = H , car σ ∈ ∪Hi . ∪Hi pour tout P ∈ P0 (L) au-dessus de p}. Ainsi, on trouve, gr? ace au Corollaire (2.15), partie b) : δ (S ) ≤ δ (S ′ ) = ce qui est une contradiction. 35 | ∪ Hi | |H | < = δ (S ), |G| |G|

Supposons par l’absurde que σ ne soit pas atteint par ΦL/K . Notons ∪Hi la r? eunion

Donc, par hypoth` ese absurde, S est inclu dans S ′ = {p ∈ P0 (K ) | p est non rami?? e dans L et Frob(P/p) ∈

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe Voici un autre r? esultat important qui montre en substance que la connaissance des id? eaux premiers qui se d? ecomposent totalement d? etermine une extension galoisienne.

Th? eor` eme (2.17)
Soient L1 /K et L2 /K deux extensions galoisiennes de corps de nombres (plong? ees dans C). Posons, pour i = 1, 2, Si = {p ∈ P0 (K ) | p se d? ecompose compl` etement dans Li }. Alors les conditions suivantes sont ? equivalentes : b) S2 ? S1 Preuve a) L1 ? L2 c) S2 \ S1 est de densit? e de Dirichlet nulle. a)=? b) =? c) est trivial. Prouvons c)=? a). Posons S = {p ∈ P0 (K ) | p se d? ecompose compl` etement
1 [L 1 L 2 :K ]

Donc, par hypoth` ese, δ (S2 ) = δ (S ). Ce qui montre que [L1 L2 : K ] = [L2 : K ], donc L1 L2 = L2 , ce qui veut dire que L1 ? L2 .

“d? ecomposition-rami?cation”, page 3, S = S1 ∩ S2 , et ainsi S2 est la r? eunion disjointe de S et de S2 \ S1 .

dans L1 L2 }. Le Lemme (2.14) nous dit que δ (S ) =

et δ (Si ) =

1 [L i :K ] ,

pour i = 1, 2. Par le Lemme

Corollaire (2.18)
Avec les m? emes notations, On a ? equivalence entre a) L1 = L2 b) S1 = S2 c) S1 △S2 est de densit? e de Dirichlet nulle (ici △ d? esigne la di?? erence sym? etrique). Preuve C’est imm? ediat.

Th? eor` eme (2.19)
S ? H ∩ P0 (K ) ayant une densit? e de Dirichlet δ . Posons h = [I (m) : H ]. Alors on a δ≤ 1 . h Soit K un corps de nombres, m un K -module et I (m) ? H ? Pm , H ? etant un sous-groupe. Soit

Supposons de plus que δ > 0. Soit χ un caract` ere de I (m)/H . On note I (m)/H l’ensemble de ces caract` eres. Si χ = 1, alors on a Lm (1, χ) = 0, et pour chaque classe K de I (m)/H , l’ensemble {p ∈ P0 (K ) | p ∈ K} est r? egulier, de densit? e
1 h.

Remarquons que Lm (s, χ) n’a ? et? e d? e?nie que lorsque χ est un caract` ere de I (m)/Pm . On associera

tout caract` ere χ de I (m)/H ` a χ = χ ? ? o` u ? est l’homomorphisme canonique I (m)/Pm → I (m)/H . Preuve Soit χ ∈ I (m)/H . En identi?ant χ et χ, et gr? ace au Th? eor` eme (2.9), on sait que pour tout s tel que 36

?(s) > 1, on a :

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe χ(p) + gχ (s), N(p)s

logLm (s, χ) =
p |m

(i)

avec gχ (s) une fonction holomorphe au voisinage de s = 1. Si χ = 1, on note n(χ) l’ordre du z? ero de Ainsi, Lm (s, χ) = (s ? 1)n(χ) · fχ (s) o` u fχ (s) est une fonction holomorphe sur un voisinage de 1 et pour tout s tel que ?(s) > 1, on ait : logLm (s, χ) = n(χ) · Log(s ? 1) + log fχ (s), avec log fχ (s) holomorphe sur un voisinage de 1. Si χ = 1, le Corollaire (2.11) nous dit qu’il existe une fonction f (s) holomorphe au voisinage de 1, telle que pour tout s tel que ?(s) > 1, on ait logLm (s, 1) = ?Log(s ? 1) + f (s). Ainsi, en sommant sur tous les χ et en remarquant que (voir D? e?nition (2.6)), on a pour tout s tel ?(s) > 1 : h· 1 = N(p)s
χ∈I (m)/H

Lm (s, χ). Gr? ace au Th? eor` eme (2.7), on sait que n(χ) ≥ 0. On a n(χ) = 0 si et seulement si Lm (1, χ) = 0.

fχ (1) = 0. En vertu du Lemme (2.10), il existe une fonction logarithme (qu’on notera log fχ ) tel que

(ii) 0 h si p ∈ H si p ∈ H

χ(p) =

p ∈ H ∩ P 0 (K )

logLm (s, χ) + g0 (s) = ?(1 ?
χ∈I (m)/H

χ=1

nχ )Log(s ? 1) + g (s),

o` u g0 (s) et g (s) sont des fonctions holomorphes au voisinage de s = 1 (vous aurez remarqu? e que g0 est la somme des ?gχ et g est la somme de g0 , des log(fχ ) et de f ). Par hypoth` ese, si s > 1 est r? eel, il existe une fonction h(s) → 0 lorsque s → 1 telle que :
p∈ S

1 = ?(δ + h(s)) · Log(s ? 1). N(p)s

Si s > 1, on a 0≤ 1 1 = ?( (1 ? s N(p) h n(χ)) ? δ ?h(s)) · Log(s ? 1) + g (s).

p∈(H ∩P0 (K ))\S

χ=1

( ?)

Il est clair que (?) doit ? etre positif, car sinon l’in? egalit? e ≤ devient fausse pour des s → 1. On en d? eduit que
1 h

?δ ≥

(??)

1 h

χ=1

1 n(χ) ≥ 0, ce qui prouve que δ ≤ h . 1 h

et ainsi

Supposons ` a pr? esent que δ > 0. On trouve, en r? eutilisant (??) que
χ=1

>

1 h

n(χ) < 1, ce qui montre que n(χ) = 0, pour tout χ = 1. Par d? e?nition des n(χ), cela

?δ ≥

(??)

1 h

·

χ=1

n(χ);

implique que pour tout χ = 1, Lm (1, χ) = 0 et donc que logLm (s, χ) est holomorphe au voisinage de s = 1.

Soit K une classe de I (m) modulo H , et soit a ∈ K. Il est ? evident que si p ∈ P0 (K ) ∩ I (m), on a h si p ∈ K . Et donc, en r? ?1 ?1 p ∈ K ?? a p ∈ H . Ainsi, χ∈I (m)/H χ (a) · χ(p) = eutilisant (i) et 0 sinon (ii), on trouve : 37

S? eries de Dirichlet et premi` ere in? egalit? e du corps de classe 1 = N(p)s =
χ∈I (m)/H



p∈K∩P0 (K )

χ?1 (a) ·
χ∈I (m)/H

p ∈ I (m )∩ P 0 (K )

χ(p) N(p)s +? g(s)

χ?1 (a)

logLm (s, χ)

holomorphe au vg de 1 si χ = 1 ? = ?Log(s ? 1) + g ?(s), o` ug ?(s) et ? g ?(s) sont des fonctions holomorphes au voisinage de 1. Cela prouve que K ∩ P0 (K ) est r? egulier de densit? e
1 h

et donc le th? eor` eme.

Maintenant, nous pouvons en?n ? enoncer le premier r? esultat important de la th? eorie du corps de classe :

Th? eor` eme (2.20) (premi` ere in? egalit? e du corps de classe)
Soit L/K une extension galoisienne, m un K -module, alors h := [IK (m) : Pm · NL/K (IL (m))] ≤ [L : K ]. K ∈ IK (m)/H alors K ∩ P0 (K ) est r? egulier de densit? e preuve De plus, si on pose H = Pm · NL/K (IL (m)) et soit χ ∈ IK (m)/H , χ = 1, alors Lm (1, χ) = 0 et si
1 h.

que S est de densit? e δ :=

Posons S = {p ∈ P0 (K ) | p se d? ecompose compl` etement dans L et p ? m}. Le Lemme (2.14) montre
1 [L :K ]

(les premiers divisant m, ne changent rien ` a l’a?aire, puisqu’il n’y en a

qu’un nombre ?ni). On applique alors le Th? eor` eme (2.19) dans ce cas (on peut, car souvenons-nous que tout id? eal premier totalement d? ecompos? e est une norme), cela montre notre th? eor` eme.

38

Chapitre 3 : ˇ ebotarev Th? eor` eme de C
ˇ Nous allons (comme le titre peut le faire imaginer) d? emontrer le th? eor` eme de Cebotarev. A priori, ce th? eor` eme ne nous sera pas utile pour prouver les principaux r? esultats de la th? eorie du corps de classe. Mais plusieurs r? esultats obtenus aux chapitres pr? ec? edents nous permettrons de prouver un version a?aiblie de ce th? eor` eme. Nous aurons n? eanmoins recourt ` a un r? esultat que nous montrerons ult? erieurement pour passer de la version faible ` a la version forte de ce th? eor` eme. Mais foin de consid? eration un peu oiseuse, voici de quoi il s’agit : ˇ Th? eor` eme (3.1) (Th? eor` eme de Cebotarev) Soit L/K une extension galoisienne de corps de nombres de groupe de Galois G. Soit C une classe de conjugaison de G. Alors l’ensemble A = {p | p est un id? eal premier de K non rami?? e dans L avec FrL/K (p) = C } est r? egulier et sa densit? e de Dirichlet vaut
|C | |G| .

classe de conjugaison, car tous les Frob(P/p) sont conjugu? es entre eux si p est ?x? e; et en?n Frob(P/p) est l’unique l’? el? ement de G qui satisfait : Frob(P/p)(x) ≡ xN(p) (mod P) Tout cela a ? et? e vu au Chapitre 0 en plus grand d? etail. Nous allons montrer ce r? esultat en trois ? etapes : la premi` ere lorsque L/K est une extension cycloab? elienne et la troisi` eme dans le cas quelconque. Nous n’aurons besoin de la th? eorie du corps de classe que dans le troisi` eme cas. Le premier cas n’est qu’une compilation de r? esultats d? ej` a obtenus tomique (c’est ` a dire que L ? K (ζ ) pour une certaine racine de l’unit? e ζ , la deuxi` eme lorsque L/K est pour tout x ∈ OL .

On rappelle que si p est un id? eal de OK , FrL/K (p) est l’ensemble {Frob(P/p) | P|p}, qui est une

Proposition (3.2)
ˇ Le th? eor` eme de Cebotarev est vrai dans le cas o` u L/K est une extension cyclotomique. Preuve satisfaisant les hypoth` eses du Th? eor` eme (0.16). Nous savons que, dans notre cas, l’application d’Artin
m Φm L/K : IK (m) ?→ G est surjective (cf. Proposition (2.16)), ainsi il existe a ∈ IK (m) tel que ΦL/K (a) = σ .

Soit C une classe de conjugaison de G. Puisque G est ab? elien, C = {σ }, σ ∈ G. Soit m un K -module

IK (m). Posons S = {p ∈ P0 (K ) | p est non rami?? e dans L et FrL/K (p) = {IdG }}. Le Corollaire (2.15), partie a) nous montre que S est r? egulier de densit? e de Dirichlet r? eduit ` a un seul ? el? ement qui est Frob(P/p) o` u P est n’importe quel id? eal de OL au-dessus de p. Il est en?n clair que S ? H ∩ P0 (K ). Soit K la classe de a dans IK (m)/H . Le Th? eor` eme (2.19) s’applique alors 39
1 |G| ,

eor` eme (0.16) que dans notre cas, nous avons Pm ? H ? Posons H = ker Φm L/K . Nous avons vu au Th?

car dans notre cas, FrL/K (p) est

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C et on a donc que S ′ = {p ∈ P0 (K ) | p ∈ K} = {p ∈ P0 (K ) | Φm L/K (p) = σ } = {p ∈ P0 (K ) | FrL/K (p) = C }
1 [IK (m):H ]

est r? egulier de densit? e

=

1 |G| .

Cela prouve notre proposition.

On peut d? ej` a montrer le th? eor` eme de Dirichlet sur les progressions arithm? etiques :

Corollaire (3.3)
Si m et n sont des nombres entiers premiers entre eux, n > 1, alors il existe une in?nit? e de nombres premiers p tels que p ≡ m (mod n). Preuve Posons K = Q et L = Q(ζ n ). Posons encore σm l’? el? ement de Gal(L/K ) qui envoie ζ n sur ζ n . Par le ˇ th? eor` eme de C ebotarev appliqu? e` a L/K (qui est une extension cyclique), l’ensemble des premiers p de P0 (Q) tels que Frob(p/p) = σm (p est un id? eal premier de OL au-dessus de p) est de densit? e ζ n ≡ ζ n (mod p) ce qui veut dire (Lemme (0.13)) que ζ n = ζ n ou encore que p ≡ m (mod n).
p m p m 1 [L :K ] m

= 0,

donc est in?ni. Or, de tels p sont congrus ` a m modulo n, car Frob(p/p) = σm implique en particulier que

Pr? eparations au cas ab? elien Lemme (3.4)
Soit L/K une extension de corps de nombres et m > 1 un entier naturel. Alors il existe une extension M ∩ L = K sont dites lin? eairement disjointes). Preuve M/K cyclotomique et cyclique de degr? e m telle que M ∩ L = K (les extension L/K , M/K telle que

Voyons tout d’abord qu’il su?t de prouver le lemme pour K = Q : supposons donc que ce soit vrai dans ce cas-l` a et montrons le cas g? en? eral. Supposons donc L/K comme dans l’hypoth` ese de ce lemme et qu’il existe M/Q une extension cyclique cyclotomique de degr? e m telle que M ∩ L = Q. On a donc le diagramme suivant :

LM

K (ζ n )

L

KM := M ′

Q(ζ n )

K

M

r? esum? e, M ′ /K est cyclotomique cyclique de degr? e m. Reste ` a voir que M ′ ∩ L = K . De la m? eme mani` ere 40

isomorphe ` a Gal(M/(M ∩ K )) = Gal(M/Q) qui est, par hypoth` ese, un groupe cyclique de degr? e m. En

Q, on a bien s? ur M ∩ K = Q. La th? eorie de Galois dit que l’extension M ′ /K est galoisienne de groupe

Q L’extension (KM = M )/K est ? evidemment cyclotomique, car M ′ ? K (ζ ). De plus, puisque L ∩ M =


ˇ ebotarev Th? eor` eme de C qu’avant et puisque L ∩ M = Q, on a que Gal(LM/L) est isomorphe ` a Gal(M/(M ∩ L)) = Gal(M/Q) LM = LM ′

qui est cyclique d’ordre m. En appliquant ` a nouveau la th? eorie de Galois au diagramme

L

M′

Cela prouve que M ′ ∩ L = K .

K on trouve que Gal(LM /L) ? Gal(M /(M ∩ L)). Donc |Gal(M ′ /(M ′ ∩ L))| = |Gal(M ′ /K )| = m.
′ ′ ′

Prouvons alors le cas K = Q. Soit donc L/Q une extension de degr? e ?nie. Si L1 /Q et L2 /Q sont des sous-extension cyclotomique de L/Q, alors L1 L2 /Q en est aussi une. Il y a donc, parmi les sousp ∈ P0 (Q) tel que p ? n et p ≡ 1 (mod m) (l’existence d’un tel p est un cas particulier du Th? eor` eme de extensions de L/Q, une extension cyclotomique maximale L0 /Q. Soit n tel que L0 ? Q(ζ n ). Soit

Dirichlet sur les progressions arithm? etiques, ou alors de la remarque ci-apr` es). Par maximalit? e de L0 , on degr? e p ? 1, il y a par la th? eorie de Galois et puisque tout sous-groupe d’un groupe cyclique est normal,
p?1 m

a Q(ζ p ) ∩ L ? L0 ? Q(ζ n ). Donc Q(ζ p ) ∩ L ? Q(ζ p ) ∩ Q(ζ n ) = Q. Comme Q(ζ p )/Q est cyclique de

il existe une sous-extension M/Q cyclique d’ordre m, c’est le sous-corps ?xe par l’unique sous-groupe d’ordre de Gal(Q(ζ p )/Q).

Remarque
(mod m) est e?ectivement un cas particulier du Th? eor` eme de Dirichlet sur les progressions arithm? etiques, mais on peut le d? emontrer “` a la main” de mani` ere semblable ` a la preuve historique d’Euclide sur l’in?nit? e des nombres premiers. Dire que p ≡ 1 (mod m) est ? equivalent au fait que F? el? ement d’ordre p contient un ?
? m (car F? p est un groupe cyclique ( [Jac1, Theorem 2.18, p.132])); cela veut dire que Fp contient une

Soit m et n des nombres entiers, le fait de l’existence d’un nombre premier tel que p ? n et tel que p ≡ 1

Montrons qu’il y a une in?nit? e de tels p (parmi ceux-l` a, il y en a qui ne divisent pas n et le tour est jou? e). Si p1 , . . . , pr sont des nombres premiers tels que Φm (X ) ≡ 0 a une solution modulo p1 , . . . , pr (c’est possible, car l’? equation Φm (X ) = 0, ±1 n’a qu’un nombre ?ni de solutions); alors il existe k ∈ Z

racine du polyn? ome cyclotomique Φm , c’est-` a-dire que l’? equation Φm (X ) ≡ 0 (mod p) a une solution.

tel que |Φm (m · p1 · · · · · pr · k )| > 1. Si p|Φm (m · p1 · · · · · pr · k ), alors p = p1 , . . . , pr et p/ |m, car est 1). Cela prouve notre r? esultat.

Φm (m · p1 · · · · · pr · k ) ≡ 1 modulo p1 , . . . , pr et m (le coe?cient constant de tout polyn? ome cyclotomique

Lemme (3.5)
b1 ar br 1 d’ordre m qui ont pour ordre un multiple de n. Si n = pa 1 · · · · · pr et m = p1 · · · · · pr avec ai ≤ bi pour

Soit m et n des entiers tels que n|m, on pose T (m, n) le nombre des ? el? ements du groupe cyclique

tout i = 1, . . . , r. Alors

r

T (m, n) = m ·

i=1

ai ?1?bi ). (1 ? pi

41

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C Preuve Gr? ace au th? eor` eme chinois, on voit que T (m, n) =
r i=1 ai b a i el. T (pb i , pi ). De plus, T (p , p ) = nbre d’?

lemme.

(pa ? pa?1 ) + (pa+1 ? pa ) + · · · + (pb ? pb?1 ) = pb ? pa?1 = pb · (1 ? pa?1?b ), ce qui montre alors notre

d’ordre pa + nbre d’? el. d’ordre pa+1 + · · · + nbre d’? el. d’ordre pb = ?(pa ) + ?(pa+1 ) + · · · + ?(pb ) =

Proposition (3.6)
ˇ ebotarev a?aibli est vrai pour les extensions ab? ˇ ebotarev Le th? eor` eme de C elienne. Par th? eor` eme de C a?aibli, on entend qu’on a la densit? e de Dirichlet, mais pas la r? egularit? e. Preuve un multiple de n. Soit M/K une extension cyclotomique, cyclique de degr? e m telle que M ∩ L = K ; Soit L/K une extension ab? elienne de corps de nombres, G = Gal(L/K ) et σ ∈ G d’ordre n. Soit m

le Lemme (3.4) nous en assure l’existence. Soit τ ∈ Gal(M/K ) tel que n divise l’ordre de τ . Posons F = LM . La th? eorie de Galois nous dit que Gal(F/K ) ? Gal(L/K ) × Gal(M/K ). Soit ρ ∈ Gal(F/K ) l’unique ? el? ement tel que ρ|L = σ et ρ|M = τ . Posons E = F ρ (le sous-corps de F ?xe par ρ). Il est clair

derni` ere ? egalit? e venant de la th? eorie de Galois). Donc, F = EM . On en d? eduit que F/E est une extension Donc, F = EM ? E K (ζ ) = E (ζ ), elle est aussi cyclique (engendr? ee par ρ), par la th? eorie de Galois. Le ˇ th? eor` eme de Cebotarev pour les extensions cyclotomiques s’applique ` a F/E , et donc, l’ensemble A′ τ = {q ∈ P0 (E ) | q ne rami?e pas dans F et ΦF/E (q) = ρ} a une densit? e de Dirichlet δ (A′ τ) =
1 [F :E ] .

F = EM . On a les ? egalit? es : [F : E ] = ordre de ρ = ordre de τ = [M : M τ ] = [M : M ∩ E ] = [EM : E ] (la

que M ∩ E = M τ (le sous-corps de M ?xe par τ ). A priori, on a F ? EM ? E . On va voir, qu’en fait

cyclotomique; en e?et, puisque M/K est cyclotomique, on a M ? K (ζ ) pour une racine de l’unit? e ζ.

Si on enl` eve ` a A′ eaux qui sont rami?? es sur K , on trouve la τ les id?

cela ne change rien non plus ` a la densit? e (cf. Lemme (2.13)). Ainsi

m? eme densit? e. De plus, si on ne prend que les id? eaux q de A′ τ tels que f (q/q ∩K ) = 1 (? N(q ∩K ) = N(q)),

A′′ e sur K , N(q ∩ K ) = N(q) et ΦF/E (q) = ρ} τ = {q ∈ P0 (E ) | q ne rami?e pas dans F , n’est pas rami??
′′ est tel que δ (A′ τ ) = δ (Aτ ). Soit encore

Aτ = {p ∈ P0 (K ) | p ne rami?e pas dans F et ΦF/K (p) = ρ}. x ∈ OF . On a ΦF/K (p)(x) ≡ xN(p) (mod P), o` u P est n’importe quel id? eal premier de F au-dessus de p, Soit q ∈ A′′ et? e de A′′ τ et p = q ∩ K . Alors p ∈ Aτ . En e?et, par propri? τ , p ne rami?e pas dans F . Soit

en particulier pour ceux au-dessus de q. Or, par hypoth` ese, N(p) = N(q). Donc, pour tout P au-dessus de q et tout x ∈ OF , on a ΦF/K (p)(x) ≡ xN(p) ≡ xN(q) ≡ ΦF/E (q)(x) (mod P). Ainsi, ΦF/K (p) = ΦF/E (q) = ρ par hypoth` ese sur q et puisque l’automorphisme de Frobenius est caract? eris? e par ces congruences. 42

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C R? eciproquement, soit p ∈ Aτ et q ∈ P0 (E ) au-dessus de p. En particulier, on a que q ne rami?e pas sur

K et ne rami?e pas dans F . Comme ΦE/K (p) = ΦF/K (p)|E = ρ|E = IdE , on en d? eduit que f (q/p) = 1, ? egalit? e nous permet de montrer comme avant que ΦF/E (q) = ΦF/K (p) = ρ, donc q ∈ A′′ τ . On vient de id? eaux premiers q au-dessus de lui. Et donc, si s > 1, on a [E : K ] prouve que la densit? e de Dirichlet de Aτ vaut δ (Aτ ) =
p ∈ Aτ

car ΦE/K (p) = Frob(q/p) qui est d’ordre f (q/p). Ainsi, N(q) = N(p) = N(q ∩ K ). En particulier, cette

voir aussi que chaque p ∈ Aτ est totalement d? ecompos? e dans E , c’est ` a dire que p a exactement [E : K ] N(p)?s =
q∈A′′ τ

N(q)?s . Cela

1 1 1 1 · δ (A′′ · = . τ) = [E : K ] [E : K ] [F : E ] [F : K ]

Il ? evident que pour tout τ ∈ Gal(M/K ), on a Aτ ? Cσ = {p ∈ P(K ) | p non rami?? e dans L et ΦL/K (p) = σ }. D’autre part, les Aτ sont tous disjoints, lorsque τ varie. Posons T l’ensemble des τ ∈ Gal(M/K ) tels
τ ∈T Aτ

que l’ordre de σ (= n) divise l’ordre de τ . On a 1≥
p∈ C σ

? Cσ . Ainsi, pour s > 1, on a :
p ∈ Aτ

N(p)?s N(p)?s

p ∈ P 0 (K )



τ ∈T

N(p)?s

p ∈ P 0 (K )

N(p)?s

,

et donc, en vertu de cette in? egalit? e et du calcul de δ (Aτ ), on trouve : lim inf +
s→1 p∈ C σ

N(p)?s N(p)?s

p ∈ P 0 (K )



T (m, n) 1 T (m, n) 1 T (m, n) = · = · . [ F : K] [L : K ] [M : K ] [L : K ] m
=LM

au lemme pr? ec? edent, on a

b1 ar br 1 Si n = pa ace 1 · · · · · pr , on choisit m = p1 · · · · · pr avec des bi aussi grands qu’on veut. Ainsi, gr? T (m,n) m

=

r i=1 (1

ai ?1?bi ) → 1. Par cons? equent, pour tout ε > 1, il ? pi
p∈Cσ

existe s1 > 1 tel que si 1 < s < s1 , on ait fσ (s) =
p∈Cσ

N( p ) ?s

N( p )

?s

p∈P0 (K )

N( p ) ?s

>

1 [L :K ]

? ε. Ce qui veut dire, en posant

p∈P0 (K )

N( p ) ?s

que l’on a lim inf fσ (s) ≥
s→1

1 . [L : K ]

a

On va montrer que lim sups→1 fσ (s) ≤
σ ∈G

1 [L :K ] .

Tout d’abord, remarquons que pour tout s > 1, on

fσ (s) = 1 (c’est ? evident, car G est ab? elien et l’application d’Artin est surjective). C’est ce
1 ε |G| ? |G|?1 , si 1 < s |G|?1 ε |G| ? (|G| ? 1) · |G|?1

raisonnement qui nous permettra de conclure : ce qu’on vient de voir nous dit que pour tout ε > 0, il existe sσ (ε) tel que fσ (s) > tout 1 < s < s0 (ε), on a < sσ (ε). Fixons σ0 et soit s0 (ε) = minσ=σ0 sσ (ε). Pour + fσ0 (s) < 1 + ε. |G|
σ ∈G

fσ = 1, ce qui montre que

fσ0 (s) < On a donc prouv? e que pour tout σ ∈ G, on a lim sup fσ (s) ≤
s→1

1 1 = , |G| [L : K ]

43

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C ce qui prouve que lims→1
p∈Cσ

N( p ) ?s N( p ) ?s

=

ab? elien, car l’ensemble des id? eaux premiers de K est de densit? e 1 (voir D? e?nitions (2.12)). Attention ! ici, nous n’avons prouv? ee que la partie “faible” du th? eor` eme , c’est-` a-dire que nous avons la densit? e de Dirichlet, mais pas la r? egularit? e.

p∈P0 (K )

1 |G| ,

ˇ et donc le th? eor` eme de Cebotarev a?aibli, dans le cas

Th? eor` eme (3.7)
ˇ ebotarev a?aibli est vrai pour les extension galoisienne quelconque est vrai. Mieux : si le Le C ˇ ebotarev (fort) est vrai pour les extensions ab? Th? eor` eme de C eliennes, il est vrai pour les extensions galoisiennes quelconques. Preuve Soit donc L/K une extension galoisienne de corps de nombres de groupe G et soit C une classe de conjugaison de G. Posons A = {p ∈ P0 (K ) | p est non rami?? e dans L avec FrL/K (p) = C }. Pour la preuve, ?xons, τ ∈ C et K ′ = Lτ (le corps ?xe par τ ). La th? eorie de Galois nous dit que L/K ′ est galoisienne et Gal(L/K ′ ) =< τ > cyclique. Posons encore

e sur K , f (q/q ∩ K ) = 1 et ΦL/K ′ (q) = τ }. D′ = {q ∈ P0 (K ′ ) | q ne rami?e pas dans L, non rami?? et donc, Frob(P/p) ≡ xN(p) = xN(q) ≡ Frob(P/q) (mod P). Ainsi, puisque les automorphismes de Soit q ∈ D′ et p = q ∩ K . Soit encore P ∈ P0 (L) au-dessus de q. Puisque f (q/q ∩ K ) = 1, on a N(q) = N(p),

Frobenius sont caract? eris? es par ces congruences, on a Frob(P/p) = Frob(P/q) = ΦL/K ′ (q) = τ . On Frob(P/q) = f (P/q). D’autre part, l’ordre de τ = Frob(P/q) vaut [L : K ′ ]. Donc P est le seul id? eal de L au-dessus de q (?). a aussi e(P/p) = e(P/q) · e(q/p) = 1. Donc, p ∈ A. Remarquons encore au passage que l’ordre de

que f (q/p) = 1 (c’est l’ordre du Frobenius). Donc N(p) = N(q) et donc, par le m? eme argument que tout a l’heure, on a Frob(P/p) = Frob(P/q) = ΦL/K ′ (q) = τ . Ainsi, q ∈ D′ . ` Ainsi, on a prouv? e que q → q ∩ K est une application surjective de D′ → A. L’a?rmation (?)

q := P ∩ K ′ n’est pas rami?? e sur K , ni dans L; et Frob(q/p) = Frob(P/p)|K ′ = τ |K ′ = IdK ′ . Cela montre

R? eciproquement, soit p ∈ A. Alors il existe P ∈ P0 (L) au-dessus de p tel que Frob(P/p) = τ . Alors

le centralisateur de τ dans G (c’est-` a-dire les ? el? ements de G qui commutent avec τ ). De la relation que Z (P0 /p) = {ν ∈ G | ν (P0 ) = P0 } est un sous-groupe de CG (τ ) et chaque σ (P0 ) est compt? e D’autre part, |C | = [G : CG (τ )] et |Z (P0 /p)| = f (P0 /p) = f (P0 /q) = [L : K ′ ]. Ainsi, |CG (τ )| · |C | |G| [L : K ] |CG (τ )| = = = . |Z (P0 /p)| [L : K ′ ] · |C | [L : K ′ ] · |C | [L : K ′ ] · |C | 44
| C G (τ )| |Z (P0 /p)| .

P ∈ P0 (L) au-dessus de p tel que Frob(P/p) = τ . Soit P0 l’un de ces P. Soit σ ∈ G. Soit CG (τ )

prouve de plus que pour chaque p ∈ A, le nombre de q dans D′ au-dessus de p est ? egal au nombre de

Frob(σ (P0 ))/p) = στ σ ?1 , on aura Frob(σ (P0 ))/p) = τ si et seulement si σ ∈ CG (τ ). Il est donc clair

|Z (σ (P0 )/p)| = |Z (P0 /p)| fois. En d? e?nitive, le nombre de q ∈ D′ au-dessus de p ∈ A est

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C Ce qui montre que si ?(s) > 1, on a
?s p∈A N(p)

=

|C |·[L:K ′] [L :K ]

·

q∈D′

N(q)?s . D’autre part, si

D = {q ∈ P(K ′ ) | q ne rami?e pas dans L et ΦL/K ′ (q) = τ }, on a e?et, pour obtenir D, on a ajout? e` a D′ un nombre ?ni d’id? eaux (ceux qui rami?ent sur K ) et ceux dont le ˇ f > 1, qui est un ensemble de densit? e nulle (cf. Lemme (2.13)). Par le th? eor` eme de Cebotarev appliqu? e a l’extension L/K ′ et ` ` a D (cette extension est cyclique, donc ab? elienne; mais attention, pas forc? ement cyclique cyclotomique, donc, on ne peut donc pas faire l’? economie de la Proposition (3.6)), l’ensemble D a une densit? e de Dirichlet de de Dirichlet
|C | [L :K ] . 1 [L :K ′ ] . q∈D

N(q)?s =

q∈D′

N(q)?s + g (s) o` u g est une fonction holomorphe sur un voisinage de 1; en

Donc D′ a aussi une densit? e de

1 [L :K ′ ]

et ?nalement, A a une densit? e

Remarque
Dans la d? emonstration pr? ec? edente, on voit que si D est r? egulier, alors A aussi. Il su?t donc de prouver ˇ que le th? eor` eme de Cebotarev fort pour les extensions ab? elienne. La seule preuve que nous connaissons utilise un th? eor` eme fondamental de la th? eorie du corps de classe qui s’? enonce comme suit :

Lemme (3.8)
Soit L/K une extension ab? elienne de corps de nombres. Alors il existe un K -module m, divisible par tous les id? eaux premiers de OK qui rami?ent dans L, tel que Pm ? ker(ΦL/K : IK (m) → Gal(L/K )). Preuve C’est le Th? eor` eme (7.14) (qu’on appelle “th? eor` eme de r? eciprocit? e d’Artin”). On esp` ere que le lecteur ˇ aura v? eri?? e qu’on n’a pas utilis? e le th? eor` eme de Cebotarev fort pour les extensions ab? eliennes pour prouver ce r? esultat.

Corollaire (3.9)
ˇ ebotarev fort est vrai pour les extensions ab? Le th? eor` eme C eliennes Preuve Soit C une classe de conjugaison de G = Gal(L/K ) ab? elien. Puisque par le lemme pr? ec? edent il existe m tel que Pm ? ker(ΦL/K ), on fait le m? eme (exactement le m? eme) raisonnement que pour la preuve ˇ du th? eor` eme de Cebotarev fort pour les extensions cyclotomiques (Proposition (3.2)) et on trouve que vu au lemme pr? ec? edent que m peut ? etre divisible par tout les premiers qui rami?ent dans L, l’ensemble {p ∈ P0 (K ) | p ne rami?e pas dans L et FrL/K = C } est aussi r? egulier et de densit? e entre les deux ensembles est un ensemble ?ni). Cela prouve le corollaire.
1 |G|

l’ensemble {p ∈ P0 (K ) | p ne divise pas m et FrL/K = C } est r? egulier et de densit? e

1 |G| .

Comme on a (la di?? erence

INTERLUDE
Maintenant vient quelques r? esultats “annexes” qui ne sont pas directement n? ecessaires pour la preuve des grands r? esultats que nous nous proposons de d? emontrer, mais qui nous ont paru digne d’int? er? et. Voici 45

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C un premier th? eor` eme dont l’? enonc? e a probablement e?eur? e chacun de nous au moins une fois dans sa vie ˇ et qui a peut-? etre ? et? e` a la base du th? eor` eme de Cebotarev.

Th? eor` eme (3.10)
eduction Th? eor` eme 4.2.3, p.191])) de degr? e n > 1. Soit p ∈ P0 (Q) un nombre premier. Notons f la r? a) Il existe une in?nit? e de premiers p pour lesquels f est totalement scind? e dans Fp [X ] (i.e. est le produit de polyn? omes de degr? e 1) b) Il existe une in?nit? e de premiers p tels que f n’a pas de racine dans Fp . eductible dans Fp [X ]. c) Si n est premier, il existe une in?nit? e de p pour lesquels f est irr? Preuve Posons θ = θ1 , θ2 , . . . , θn les racines de f dans C. Soit L/Q le corps des racines de f (splitting ?eld en anglais cf. [Jac1, p. 225 et suiv.] pour plus de d? etails) et E = Q(θ). Posons G = Gal(L/Q) et H = Gal(L/E ) (= {σ ∈ G | σ (θ) = θ}). L’application τ H → τ (θ) est une bijection bien d? e?nie transitivement sur les racines). C’est une bijection de G-ensembles (action ` a gauche). module qui vaut aussi
2 1≤i<j ≤n (θi ? θj ) );

Soit f ∈ Z[X ] irr? eductible (sur Z[X ], ou sur Q[X ], c’est ? egal gr? ace au lemme de Gauss (cf. [La1,

modulo p de f . Alors les a?rmations suivantes sont vraies :

de {τ H | τ ∈ G} sur {θ1 , . . . , θn } (ils ont le m? eme nombre d’? el? ements et il y a surjection, G agissant a) Soit p un nombre premier ne divisant pas le discriminant de f (c’est le discriminant de Z[θ] comme Za fortiori, p ne divise pas le discriminant de E/Q, donc ne rami?e pas dans E , ni dans L (par d? e?nition du corps des racines et gr? ace au Lemme “d? ecompositionrami?cation”, page 3). Soit p un id? eal premier de L au-dessus de p. Posons G = Gal((OL /p)/Fp ), eduction modulo p des θi et σ le g? en? erateur de G (aussi appel? e Frobenius). σ = Frob(p/p), θi la r? Puisque p ne divise pas le discriminant de f (ce qui veut dire que le discriminant de f est non nul) les θi sont tous disjoints. Il est clair que (par d? e?nition de σ ) σ permute les θi de la m? eme mani` ere que ees ?xes par σ . En particulier, σ permute les θi . Les racines de f qui sont dans Fp sont celles laiss? f est scind? e totalement dans Fp [X ] si et seulement si σ (θi ) = θi donc si et seulement si σ (θi ) = θi pour i = 1, . . . , n; ce qui veut dire que σ = 1 dans G qui est ? equivalent au fait que p se d? ecompose totalement dans L (ou dans E , cf. Lemme “d? ecomposition-rami?cation”, page 3). Or, ces p ont une (cf. Lemme (2.14)). Ce qui prouve qu’ils sont une in?nit? e. Remarquons, qu’ici on ˇ n’a pas utilis? e le th? eor` eme de Cebotarev. a dire que σ (θi ) = θi b) Sous les m? emes notations qu’en a), dire que f n’a pas de racine dans Fp revient ` tout τ ∈ G. On va montrer que de tels σ existent toujours. Le nombre de classes des conjugu? es de
|G| |H | .

densit? e de

1 [L:Q]

ou encore σ (θi ) = θi pour i = 1, . . . , n. Cela veut dire que σ (τ H ) = τ H , ou encore σ ∈ τ Hτ ?1 pour

H est l’indice dans G du normalisateur de H (les τ tels que τ Hτ ?1 = H ). Comme ce normalisateur classes) : contient H , cet indice est ≤ Et alors (petite subtilit? e avec l’identit? e qui est dans toutes les

car

conjugaison d’un de ces sigmas, on voit qu’il existe une in?nit? e de p tels FrL/Q (p) = C ce qui montre la partie b). 46

|G| |H |

|G| |G| · (|H | ? 1) + 1 = |G| ? + 1 < |G|, |H | |H | ˇ = n > 1. Donc de tels σ existent. Appliquant le th? eor` eme de Cebotarev pour C , la classe de | ∪τ τ Hτ ?1 | ≤

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C eductible ? σ agit cycliquement sur les θi (si (θ1 , . . . , θr ) est un cycle de c) Il est clair que f est irr? l’action sur les θi , le polyn? ome (X ? θ1 ) · · · (X ? θr ) est un polyn? ome qui divise f et qui est dans eductible ? σ agit cycliquement sur les θi ? l’ordre de Fp [X ], car laiss? e ?xe par σ ). Donc f est irr? cycliquement sur les θi (en e?et, l’ordre de σ est ? egal au ppcm de l’ordre des sous-cycles disjoints de la permutation des θi par l’action de σ , car les θi engendrent L, et comme cet ordre est premier, eductible. cela veut dire qu’il n’y a qu’un cycle); donc, σ agit cycliquement sur les θi , donc f est irr? Comme n||G| et que n est premier, le th? eor` eme de Cauchy (qui est un corollaire du premier th? eor` eme de Sylow (cf. [La1, Thm. 1.6.2, p. 35]), mais qu’on peut tr` es bien montrer pour lui-m? eme, mais je ne le ferai pas, ce n’est pas digne de vous si vous avez pu lire jusqu’ici) nous assure l’existence d’un ? el? ement τ de G d’ordre n. Chaque ? el? ement de C , la classe de conjugaison de τ , est aussi d’ordre n. ˇ Le th? eor` eme de Cebotarev appliqu? e a ` C nous assure donc une in?nit? e de p ∈ P0 (Q) tels que le eductible dans Fp [X ]. Frob(p/p) agit cycliquement sur les θi , ce qui veut dire que f est irr?

σ est n. R? eciproquement, si σ est d’ordre n et si de plus, n est premier, alors σ agit n? ecessairement

Remarque
Dans la partie c) du th? eor` eme pr? ec? edent l’hypoth` ese n premier est cruciale. En e?et, le polyn? ome X 4 + 1 est irr? eductible dans Z[X ] (c’est le 8e polyn? ome cyclotomique) et il n’est irr? eductible dans aucun Fp : a) Dans F2 , il vaut (X + 1)4 , b) Si p ≡ 1 (mod 8), il est totalement scind? e. En e?et, on a vu ` a la partie a) du th? eor` eme pr? ec? edent que X 4 +1 se scinde totalement si et seulement si p se d? ecompose totalement dans Q[X ]/(X 4 +1) ? Q(ζ 8 ),
p Q(ζ 8 )/Q

si et seulement si f (p/p) = 1 pour tout id? eal p au-dessus de p. Or, f (p/p) est l’ordre de p modulo 8. (p) =: σp , est tel que σp (ζ 8 ) = ζ 8 (cf. preuve du Th? eor` eme (0.14)); l’ordre de

En e?et, Frob

σp est l’ordre de p modulo 8 mais vaut aussi f (p/p) par d? e?nition. Dans notre cas, cet ordre vaut justement 1, ce qui montre l’a?rmation. c) Si p ≡ 1 (mod 8), on a tout de m? eme p2 ≡ 1 (mod 8). Cela veut dire qu’ici f (p/p), qui est l’ordre de Frob dire
Q(ζ 8 )/Q que X 4

(p) vaut 2, il ne peut donc pas agir cycliquement sur les racines de X 4 + 1, ce qui veut + 1 n’est pas irr? eductible.

Le second r? esultat que nous allons pr? esenter est une g? en? eralisation du Th? eor` eme (2.17) et quelques extras.

D? e?nition (3.11)
compl` etement dans L}. Rappelons qu’on a montr? e au Lemme (2.14) que δ (S (L/K )) = Soit L/K une extension de corps de nombres. Notons S (L/K ) = {p ∈ P0 (K ) | p se d? ecompose
1 [E :K ] ,

o` u E est

la cl? oture galoisienne de L/K . On pose ensuite S (L/K ) = {P ∈ P0 (K ) | p ne rami?e pas dans L et il extension galoisienne, alors S (L/K ) = S (L/K ) existe (au moins) un premier P de L au-dessus de p avec f (P/p) = 1}. Il est clair que si L/K est une

Th? eor` eme (3.12)
Soit L/K une extension de corps de nombres. Alors S (L/K ) a une densit? e de Dirichlet 47

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C 1 , [L : K ]

δ (S (L/K )) ≥ avec ? egalit? e si et seulement si L/K est galoisienne. preuve

un id? eal premier de K non rami?? e dans L. Par le Lemme ”d? ecomposition-rami?cation” de la page 3, nous savons que p ne rami?e pas non plus dans E . Soit encore P un id? eal premier au-dessus de p et H · τ · σ = H · τ , i.e. σ ∈ τ ?1 · H · τ . Donc p ∈ S (L/K ) si et seulement si σ ∈ observant que
τ ∈G τ ?1

Soit E/K la cl? oture galoisienne de L/K . Notons G = Gal(E/K ) et H = Gal(E/L) ? G. Soit p

σ = FrobE/K (P/p). Par le Th? eor` eme (0.17), p ∈ S (L/K ) si et seulement s’il existe τ ∈ G tel que ·H ·τ =
τ ∈G τ ?1 h∈ H

Ch , o` u Ch est la classe de conjugaison de h, en s’inspirant de la ˇ preuve du Corollaire (2.15), et gr? ace au th? eor` eme de Cebotarev, on en d? eduit que S (L/K ) a une densit? e
τ ∈G τ ?1

· H · τ . En

de Dirichlet qui vaut |G| ·H ·τ ≥ |H | 1 = , |G| [L : K ]

avec ? egalit? e si et seulement si H est normal dans G, si et seulement si L/K est galoisienne.

D? e?nition (3.13)
Soit L/K une extension de corps de nombres. On dira qu’un id? eal premier p de K non rami?? e dans L a une d? ecomposition du type (f1 , . . . , fr ), avec f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤ fr , si p · OL = P1 · · · Pr , avec f (Pi /p) = fi , pour i = 1, . . . , r.

Th? eor` eme (3.14)
type (f1 , . . . , fr )}. Alors Soit L/K une extension de corps de nombres. Posons A = {p ∈ P0 (K ) | p a une d? ecomposition du

A = ? ?? A a une densit? e de Dirichlet strictement positive, et donc |A| = ∞. Preuve Notons G = Gal(E/K ) et H = Gal(E/L). Soit aussi p ∈ A (suppos? e non vide). Soit encore P un id? eal de E au-dessus de p et σ = FrobE/K (P/p). Gr? ace au Th? eor` eme (0.17), on sait qu’il existe, pour Prouvons la partie ? (l’autre ? etant bien s? ur triviale). Soit E/K la cl? oture galoisienne de L/K .

les id? eaux premiers de E au-dessus de p. Et ?nalement f (pi /p) = fi , pour i = 1, . . . , r. Consid? erons ?1 ˇ C = {ρ · σ · ρ | ρ ∈ G} la classe de conjugaison de σ . Par le th? eor` eme de Cebotarev (Th? eor` eme (3.1)), Q ∈ P0 (E ) au dessus de q. Par d? e?nition de B , il existe ρ ∈ G tel que FrobE/K (Q/q) = ρ?1 · σ · ρ, l’ensemble B := {q ∈ P0 (K ) | FrE/K (q) = C } est de densit? e de Dirichlet δ (B ) > 0. Soit q ∈ B et

de l’action de < σ > sur les classes ` a droite de G modulo H et les pi := τi (P) ∩ L sont exactement

i = 1, . . . , r, τi ∈ Gal(E/K ) tel que les Ci = {H · τi , H · τi · σ, . . . , H · τi · σ fi ?1 } forment les orbites

i.e. FrobE/K (ρ(Q)/q) = σ = FrobE/K (P/p). Cela veut dire que les orbites de l’action de < σ > sont

? evidemment les m? emes (= les Ci ), et donc gr? ace au Th? eor` eme (0.17) que q a une d? ecomposition du m? eme type que p dans E . Ainsi, q ∈ A. On a montr? e que B ? A et donc 0 < δ (B ) ≤ δ (A). 48

ˇ ebotarev Th? eor` eme de C Maintenant nous allons donner une g? en? eralisation du Th? eor` eme (2.17) :

Th? eor` eme (3.15)
Soit K un corps de nombres et L/K et M/K des extensions ?nie de K . a) Supposons que M/K soit une extension galoisienne. Alors on a : L ? M ?? S (M/K ) ? S (L/K ) ?? δ (S (M/K ) \ S (L/K )) = 0. b) Supposons que L/K soit une extension galoisienne. Alors on a : L ? M ?? S (M/K ) ? S (L/K ) (= S (L/K )) ?? δ (S (M/K ) \ S (L/K )) = 0. Preuve Toute les implications ? sont triviales. Montrons la partie b). Il su?t de prouver que δ (S (M/K ) \ S (L/K )) = 0 et L/K ab? elienne ? L ? M .

Soit E/K une extension galoisienne qui contient L et M . En vertu de la correspondance de Galois, il Soit donc σ ∈ Gal(E/M ) ? Gal(E/K ). Soit C = {τ στ ?1 | τ ∈ Gal(E/K )}, la classe de conjugaison ˇ de σ . Par le th? eor` eme de Cebotarev, l’ensemble des p ∈ P0 (K ) tels que FrE/K (p) = C est de densit? e On sait que σ |M = FrobM/K (P′ /p). Or, puisque σ ∈ Gal(E/M ), on a donc FrobM/K (P′ /p) = IdM , i.e. f (P′ /p) = 1 et donc p ∈ S (M/K ). Par hypoth` ese, δ (S (M/K ) \ S (L/K )) = 0, donc puisque l’ensemble dans lequel nous avons ? et? e puiser p est de densit? e strictement positive, on peut supposer que p ∈ S (L/K ). su?t donc de montrer que Gal(E/M ) ? Gal(E/L), ou encore que σ |L = IdL pour tout σ ∈ Gal(E/M ).

strictement positive. Soit donc un tel p et P ∈ P0 (E ) tel que FrobE/K (P/p) = σ et notons P′ = P ∩ OM .

montre la partie b).

Donc FrobL/K (P′′ /p) = IdL , o` u P′′ = P ∩ OL . Mais FrobL/K (P′′ /p) = σ |L , donc σ |L = IdL , ce qui

rami?cation”, page 3, on a que S (L/K ) = S (L′ /K ). De plus, puisque M/K est galoisienne, on a alors que L′ ? M et donc L ? L′ ? M .

montrer que L ? M . Soit L′ /K la cl? oture galoisienne de L/K . En vertu du Lemme “d? ecompositionS (M/K ) = S (M/K ). L’hypoth` ese s’? ecrit alors δ (S (M/K ) \ S (L′ /K )) = 0. La partie b) nous montre

Prouvons la partie a). Par hypoth` ese, on a δ (S (M/K ) \ S (L/K )) = 0 et M/K galoisienne. On doit

Remarque
La partie a) de ce th? eor` eme est connue sous le nom de “Th? eor` eme de Bauer”.

49

Chapitre 4 : Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand
Ici, nous allons donner quelques rudiments de cohomologie cyclique en d? etail pour introduire le quotient de Herbrand. Le lecteur exp? eriment? e (ou press? e) voudra bien ne retenir que les Lemmes (4.4) ` a (4.8), et et passer ` a la section “Calculs explicites dans le cas d’extensions cycliques” Soit G un groupe not? e multiplicativement et A un G-module, c’est-` a-dire un groupe ab? elien (A, ?)

muni d’une action G × A → A, (σ, a) → σ (a) avec la propri? et? e que IdG (a) = 1(a) = a, (στ )(a) = σ (τ (a))

notera encore σ . Puisque A est un groupe ab? elien, on le munit aussi via cette action d’une structure de Z[G]-module : (σ1 + σ2 )(a) := σ1 (a) ? σ2 (a). Supposons ` a partir de maintenant que G =< σ > est cyclique d’ordre n. Posons ?=1?σ Posons aussi : ?|A : A ?→ A a ?→ a ? σ (a) en notation additive a en notation multiplicative, a ?→ σ (a) et N |A : A ?→ A a ?→ a ?→ et N = 1 + σ + σ 2 + · · · + σ n?1 ∈ Z[G].

et σ (a ? b) = σ (a) ? σ (b). Chaque ? el? ement σ de G est associ? e` a un unique ? el? ement de EndZ (A) qu’on

n?1

σ i (a) en notation additive σ i (a) en notation multiplicative.

i=0 n?1 i=0

norme usuelle et si A = L, alors N |A = TrL/K est la trace usuelle.

Par exemple, si L/K est une extension cyclique de groupe G, si A = L? , alors N |A = NL/K est la Puisque G est cyclique d’ordre n, il est ? evident que ?N = N ? = 0; donc Im(?) ? ker(N ) et

Im(N ) ? ker ?. Remarquons aussi que ? d? epend de σ , mais si on prend un autre g? en? erateur de G, il a d? e?nit alors

la m? eme image et le m? eme noyau (tout cela vient de la relation (1 ? σ )(1 + σ + · · · + σ i?1 ) = 1 ? σ i ). On

H 0 (A) = ker(?|A)/N (A) Si f

et

H 1 (A) = ker(N |A)/?(A)

des homomorphismes fi : H i (A) → H i (B ).

f (?(A)) ? ?(B ); les m? emes relations sont v? eri?? ees si on remplace ? par N . Cela implique que f induit 50

tout a ∈ A), alors on a f ? = ?f et f N = N f . On en d? eduit que f (ker(?|A)) ? ker(?|B ) et

: A → B est un homomorphisme de G-module (ce qui veut dire f (σ (a)) = σ (f (a)) pour

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand Sauf mention express, les G-modules seront not? es additivement.

Lemme (4.1) (Lemme de l’hexagone)
δ0 : H 0 (C ) → H 1 (A) et δ1 : H 1 (C ) → H 0 (A) tels que l’hexagone suivant soit exact partout H 0 (A) δ1 H 1 (C ) g1 H 1 (B ) Preuve D? e?nissons δ0 : le diagramme suivant est commutatif : f 0 A ?|A f 0 A B B ?|B g C g C ?|C 0 0 f1 H 1 (A) δ0 f0 H 0 (B ) g0 H 0 (C ) Soit 0 → A → B → C → 0 une suite exacte de G-module. Alors il existe des homomorphismes
f g

dans le diagramme” : puisque g est surjective, il existe b ∈ B tel que g (b) = c. Par commutativit? e du diagramme et puisque ?(c) = 0, on a g (?(b)) = 0; il existe donc a ∈ A tel que f (a) = ?(b). D’autre donc δ0 (c + N (C )) = a + ?(A) ∈ H 1 (A). ?(b) = f (a) et g (b′ ) = c′ , ?(b′ ) = f (a′ ). Par hypoth` ese, c ? c′ = N (d) pour un d ∈ C ; soit b′′ tel que Reste ` a voir que si c′ + N (C ) = c + N (C ), alors a ? a′ ∈ ?(A), avec a, a′ et b, b′ d? e?nis par g (b) = c,

Soit c + N (C ) ∈ H 0 (C ). Alors ?(c) = 0 (puisque par hypoth` ese c ∈ ker(?|C )). Nous allons “chasser

part, 0 = N (?(b)) = N (f (a)) = f (N (a)); cela implique que N (a) = 0, par injectivit? e de f . On posera

Appliquons ? ` a cette derni` ere ? egalit? e. On trouve f (a ? a′ ) = f (a) ? f (a′ ) = f (?(a′′ )), ce qui implique, homomorphisme.

d = g (b′′ ) (g est surjective). On a g (b ? b′ ? N (b′′ )) = 0, donc b ? b′ ? N (b′′ ) = f (a′′ ) pour un a′′ ∈ A.

par injectivit? e de f que a ? a′ = ?(a′′ ). Cela montre que δ0 est bien d? e?nie et on v? eri?e que c’est un En ? echangeant les r? oles de ? et de N , on a la m? eme preuve pour d? e?nir δ1 . Regardons l’exactitude de l’hexagone pour les fonctions ayant un indice 0, les autres se d? eduisent en

permutant N et ?. Cette v? eri?cation se fait en 6 ? etapes : ii) Montrons l’inclusion inverse. Soit b + N (B ) ∈ ker(g0 ). Alors b ∈ ker(?|B ) et g (b) ∈ N (C ), posons donc g (b) = N (c), c ∈ C . Il faut montrer que b ≡ f (a) (mod N (B )), avec a ∈ ker(?|A). Il faut 51 i) Puisque g ? f = 0, on a g0 ? f0 = 0 ce qui implique que Im(f0 ) ? ker(g0 ).

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand donc trouver b0 ∈ B tel que b = f (a) + N (b0 ). Soit b0 ∈ B tel que c = g (b0 ) (g est surjective).

iii) Montrons que Im(g0 ) ? ker(δ0 ). Il faut appliquer δ0 ` a un ? el? ement de la forme g (b) + N (C ) avec b ∈ ker(?|B ). Par d? e?nition, δ0 (g (b) + N (C )) = a + ?(A), avec f (a) = ?(b) = 0, donc, a = 0, par injectivit? e de f . Cela prouve que δ0 (g (b) + N (C )) = 0 + ?(A) ∈ ker(δ0 ).

b + N (B ) = f (a) + N (B ), avec a ∈ ker(?|A). Cela prouve que ker(g0 ) ? Im(f0 ).

0 = ?(f (a)) + 0 = f (?(a)), ce qui implique (f est injective) que a ∈ ker(?|A). On a donc bien

Il existe donc a ∈ A tel que b = f (a) + N (b0 ); appliquant ? ` a cette derni` ere ? egalit? e, on trouve

On a donc g (b) = N (c) = N (g (b0 )) = g (N (b0 )) ce qui veut dire que b ? N (b0 ) ∈ ker(g ) = Im(f ).

iv) Montrons que ker(δ0 ) ? Im(g0 ). Soit c ∈ ker(?|C ) tel que c + N (C ) ∈ ker(δ0 ). Cela veut dire qu’il existe b ∈ B et a ∈ A tels que g (b) = c, ?(b) = f (a) et a ∈ ?(A); disons a = ?(a′ ), avec a′ ∈ A. alors b′ = b ? f (a). On a ?(b′ ) = 0 et g (b′ ) = g (b) = c, ce qui montre que c + N (C ) = g0 (b′ + N (B )). Il su?t de montrer que c = g (b′ ), avec ?(b′ ) = 0. On a ?(b) = f (a) = f (?(a′ )) = ?(f (a′ )); posons

v) Montrons que Im(δ0 ) ? ker(f1 ). Soit c ∈ ker(?|C ). On a f1 (δ0 (c + N (C ))) = f (a)+?(B ) o` u a est tel vi) Il reste ` a voir que ker(f1 ) ? Im(δ0 ). Soit a ∈ ker(N |A) tel que f1 (a + ?(a)) = 0, i.e. tel que g (?(b)) = g (f (a)) = 0. Donc c + N (C ) ∈ H 0 (C ) et δ0 (c + N (C )) = a + ?(A). f (a) ∈ ?(B ). Alors f (a) = ?(b) pour un b ∈ B . Posons c = g (b). On a ?(c) = ?(g (b)) =

que f (a) = ?(b) et g (b) = c; on en d? eduit donc que f (a) ∈ ?(B ) et donc f1 (δ0 (c+N (C ))) = 0+?(B ).

Cela ach` eve la preuve de ce lemme.

Lemme (4.2)
(i = 0, 1) et si f est un isomorphisme alors fi aussi (i = 0, 1) (il en est de m? eme pour g ). D’autre part, diagramme commutatif suivant (les deux lignes ? etant exactes) : f 0 A h 0 A′ f′ B′ B i g′ C′ g C j 0 0 si A → B sont des homomorphismes de G-modules, alors (f + g )i = fi + gi (i = 0, 1). En?n, si on a le
f,g

Si A → B → C est une composition de deux homomorphismes de G-modules, alors on a (g ? f )i = gi ? fi

f

g

Alors le prisme ` a base hexagonale suivant est aussi exact et commutatif : f0 0 H ( A ) H 0 (B ) g0 δ1 i0 h0 ′ f0 H 1 (C ) g1 0 ′ H 0 (C ) H (A ) H 0 (B ′ ) δ0 j0 j1 1 ′ H 1 (B ) ′ H ( A ) 1 ′ 0 δ g 1 0 H (C ) H (C ′ ) f1 i1 h1 ′ ′ 1 ′ g1 H (B ) H 1 (A′ ) δ0 ′ f1 Preuve C’est une cons? equence directe des d? e?nitions et du Lemme de l’hexagone.

52

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand

D? e?nition (4.3)
Soit A un G-module tel que H 0 (A) et H 1 (A) sont ?nis. On appelle quotient de Herbrand le rapport q (A) = |H 1 (A)| |H 0 (A)|

Lemme (4.4)
d? e?nis, alors le troisi` eme aussi, et dans ce cas, on a Soit 0 → A → B → C → 0 une suite exacte de G-module. Si deux des quotients q (A), q (B ), q (C ) sont
f g

q (B ) = q (A) · q (C ). preuve Regardons encore une fois le diagramme du Lemme de l’hexagone : f0 H 0 (B ) g0 δ1 H 0 (A) H 1 (C ) g1 H 1 (B ) f1 H 0 (C ) H 1 (A) δ0

que |H 1 (C )| < ∞; donc q (C ) est d? e?ni. Dans la m? eme veine de raisonnement, on a

| ker(δ1 )||Im(δ1 )|

Il est clair que par exemple si q (A) et q (B ) sont d? e?nis, alors q (C ) l’est aussi, car |H 1 (C )| =
exactitude

=

|Im(g1 )||Im(δ1 )| ≤ |H 1 (B )||H 0 (A)| < ∞. On montre de la m? eme mani` ere

|H 0 (A)||H 0 (C )||H 1 (B )| = | ker(f0 )||Im(f0 )|| ker(δ0 )||Im(δ0 )|| ker(g1 )||Im(g1 )| et |H 1 (A)||H 1 (C )||H 0 (B )| = | ker(f1 )||Im(f1 )|| ker(δ1 )||Im(δ1 )|| ker(g0 )||Im(g0 )|
exactitude

=

|Im(δ0 )|| ker(g1 )||Im(g1 )|| ker(f0 )||Im(f0 )|| ker(δ0 )|.

En quotientant la seconde ? egalit? e par la premi` ere, on trouve q (A) · q (C ) · q (B )?1 ` a gauche et 1 ` a droite, ce qui montre notre lemme.

Corollaire (4.5)
H i (A1 ) ⊕ · · · ⊕ H i (An ), ainsi Si A = A1 ⊕ · · · ⊕ An est une somme directe de G-modules, alors pour i = 0, 1, on a H i (A) =
n

q (A) =
i=1

q (Ai ).

Lemme (4.6)
Si A est un G-module ?ni, alors q (A) = 1 53

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand Preuve On a q (A) = [ker(N |A) : Im(?|A)] | ker(N |A)| |Im(N |A)| |A| = · = = 1. [ker(?|A) : Im(N |A)] |Im(?|A)| | ker(?|A)| |A|

Corollaire (4.7)
seulement si q (B ) est d? e?ni et alors, q (A) = q (B ). Preuve On a la suite exacte 0 ?→ B ?→ A ?→ A/B ?→ 0 et on conclut par le Lemme (4.4) et le Lemme (4.6).
incl. proj.

Soit A un G-module et B un sous-G-module de A tels que [A : B ] < ∞. Alors q (A) est d? e?ni si et

Proposition (4.8)
A= Supposons que G =< σ >, avec n = |G| = m · d. Soit R un anneau int` egre de caract? eristique 0. Soit
d i=1

Rui , un R-module de base u1 , . . . , ud . On suppose que G agit par permutation des ui de la

mani` ere suivante : ui+1 = σ (ui ), pour i = 1, . . . , d ? 1 et u1 = σ (ud ) (on dira alors que A est un module Alors q (A) est d? e?ni et q (A) = [R : mR]?1 . En particulier, si R = Z, q (A) = Preuve Remarquons que N (
n?1 j =0 d i=1 1 m. d i=1

de permutation). Le R-module A devient ainsi un G-module. On suppose de plus que R/mR est ?ni.

λi ui ) =

λi N (ui ) et que, pour tout i = 1, . . . , d, on a N (ui ) =

σ j (ui ) = m ·

d j =1

uj . Ainsi, ? etant en caract? eristique 0, on a :
d d

ker(N |A) = et

i=1

λi ui |

λi = 0
i=1

(i)

d

Im(N |A) = m · R ·

ui .
i=1 d i=1

(ii) λi ui ) =
d i=1

ui+1 ) = (λ1 ? λd )u1 + (λ2 ? λ1 )u2 + · · · + (λd ? λd?1 )ud , alors on a :
d

D’autre part, avec la convention que ui = uj si i ≡ j (mod d), on a ?(

λi (ui ?

d

ker(?|A) =

i=1

λi ui | λ1 = · · · = λd 54

=R·

ui
i=1

(iii)

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand En?n, tout ? el? ement de Im(?|A) est aussi un ? el? ement de ker(N |A) ((λ1 ? λd ) + (λ2 ? λ1 ) + · · · (λd ?
d i=1 i j =1 ?j , pour i = 1, . . . , d, on a d ?( i=1 λi ui ) ∈ Im(?|A). Ce qui

λd?1 ) = 0). Et r? eciproquement, si posant λi =
d i=1

?i ui ∈ ker(N |A), on a vu en (i) que montre que

d i=1

?i = 0, donc en

?i ui =

?i = λi ? λi?1 , avec la convention que λ0 = 0 et on a

Im(?|A) = ker(N |A) Par les ? egalit? es (ii) et (iii) on trouve que H 0 (A) =
ker(N |A) Im(?|A)

(iv ).

= {0}. Ainsi q (A) =

1 [R:mR] .

ker(?|A) Im(N |A)

= R/mR et par l’? egalit? e (iv ) on a H 1 (A) =

Calculs explicites dans le cas d’extensions cycliques
Fixons pour ce paragraphe L/K une extension cyclique de corps de nombres avec G = Gal(L/K ) = < σ >, |G| = [L : K ] = n. On suppose encore que [L : Q] = r + 2s et [K : Q] = r′ + 2s′ , o` u r (resp. complexes de L (resp. de K ) dans C. r′ ) est le nombre de plongements r? eels de L (resp. de K ) dans C, et 2s et 2s′ le nombre de plongements

D? e?nitions (4.9)
Soit p une place in?nie de K (il y en a r′ + s′ ). On dit que p rami?e dans L si elle est r? eelle et s’il existe une place complexe de L qui prolonge p. Comme nous sommes dans un contexte galoisien, c’est donc le cas pour toutes les places de L qui prolongent p. Dans ce cas, nous noterons ep = 2 et fp = 1. Si p est une place in?nie non rami?? ee, nous noterons ep = fp = 1. Cette d? e?nition implique que dans tous les cas (?ni ou in?ni), nous avons n = ep · fp · rp , o` u rp est le nombre de places qui prolongent p. Le lecteur attentif aura remarqu? e que que si p est une place ?nie et l’extension galoisienne, on note fp pour f (P/p), o` u P est n’importe quel id? eal premier au-dessus de p, de m? eme pour ep . Soit m un K -module. Il est clair que les groupes suivants sont de G-modules : L? , IL , OL , UL , IL (m). (Voir le chapitre 0 pour les d? e?nitions). On supposera de plus que m est divisible par tous les id? eaux premiers qui rami?ent dans L. Puisque l’application p → p · OL est un homomorphisme injectif de IK (m) dans IL (m), par abus, on identi?era IK (m) avec son image dans IL (m) qui est l’ensemble des id? eaux
i Pa i est tel que σ (a) = a. On peut regrouper les Pi qui

fractionnaires a de IL (m) tels que σ (a) = a. En e?et, si a est dans l’image de IK (m), alors σ (a) = a, car sont au-dessus d’un m? eme p de P(K ). On a donc a = existe ap ∈ Z tel que ap = ( dans l’image de IK (m). σ |K est l’identit? e. R? eciproquement, si a =
ai Pi |p Pi

p

=:

p

ap . Puisque σ permute les

Pi au-dessus de p, on a σ (ap ) = ap . De plus, puisque G agit transitivement sur les Pi au-dessus de p, il
Pi |p

Pi )ap = pap · OL , car p ne rami?e pas dans OL . Cela montre que a est 55

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand

Proposition (4.10)
Sous les m? emes notations que pr? ec? edemment, On a : a) H 0 (IL (m)) = IK (m)/NL/K (IL (m)) b) H 1 (IL (m)) = 1 c) H 0 (L? ) = K ? /NL/K (L? ) d) H 1 (L? ) = 1. Preuve qui pr? ec` ede la proposition que a ∈ IK (m). pour tout τ ∈ G} = Fix(G)? = K ? . y ∈ L? tel que x =
p ∈ P 0 (K ) y σ (y )

Prouvons a). Dire que a ∈ ker(?|IL (m)) revient ` a dire que σ (a) = a et donc, en vertu de la remarque

Prouvons c). On a ker(?|L? ) = {x ∈ L? | ?(x) = 1} = {x ∈ L? | σ (x) = x} = {x ∈ L? | τ (x) = x

Prouvons d). Dire que H 1 (L? ) = 1 revient ` a dire que pour tout x ∈ L? , si NL/K (x) = 1, alors il existe et c’est le th? eor` eme 90 de Hilbert (cf. Chapitre 0). Prouvons b). Soit a ∈ ker(N |IL (m)). Supposons, comme lors de la remarque pr? ec? edente que a =
r ?1 i=0
i ere que a0 = 0 et Pi = σ i (P0 ), pour i = 0, . . . , r ? 1 (si a0 = 0 Pa i de telle mani`

ap o` u ap est le produit de toutes les puissances des id? eaux premiers de L au-dessus de p.

Notons ap =

est in? evitable, cela veut dire que ap = OL et on posera pour la suite bp = OL , c’est notamment le cas cela impliquerait que dans la factorisation de NL/K (a), p appara? ?trait avec l’exposant f (P0 |p) · a0 = 0. Cela est impossible puisque a ∈ ker(N |IL (m)) veut dire que NL/K (a) = OK . D’autre part, et pour la Calculons : OK = NL/K (ap ) = pfp ·
r ?1 i=0

quand p|m). Remarquons d’abord que r > 1. En e?et, si r = 1, P0 est le seul id? eal de L au-dessus de p,

m? eme raison sur l’exposant de p, le fait que NL/K (a) = OK implique que NL/K (ap ) = OK pour tout p.
ai

Posons alors, pour tout i = 0, . . . , r ? 1, ci = ?(bp ) =

, o` u fp = f (Pi |p) pour tout i. Cela prouve que
i j =0

r ?1 i=0 ai

= 0.

ai et bp =

r ?2 i=0

i Pc i .

On a

r ?2 c i i=0 Pi r ?1 ci?1 i=1 Pi

a1 r ?2 r ?2 0 = Pa = ap , 0 P 1 · · · P r ?2 P r ?1

a

?c

car ?cr?2 = ar?1 . On a montr? e donc que ?(
1

p

bp ) =

p

donc que ker(N |IL (m)) = ?(IL (m)) et H (IL (m)) = 1.

ap = a, ce qui veut dire que a ∈ ?(IL (m)) et

D? e?nitions (4.11)
On a toujours L/K une extension cyclique de groupe G et m un K -module (juste ici, ce n’est pas ι(α) = α · OL , jm : IL → IL (m) par jm (P) = P si P ? m et jm (P) = OL si P|m et en?n, fm = jm ? ι. n? ecessaire qu’il contienne les premiers qui rami?ent). On d? e?nit les applications ι : L? → IL , α →

Puisque m est un K -module, ι, jm et fm sont des homomorphisme de G-modules. Posons S l’ensemble

premiers de S } (on les nomme parfois les S -unit? es).

eaux des places de L qui divisent m et L? S = ker(fm ) = {α ∈ L? | ι(α) n’est divisible que par des id?

Lemme (4.12)
egaux. Sous les m? eme notations et hypoth` eses, si q (ker(jm )) est d? e?ni, alors q (ι(L? S )) aussi et ils sont ? Si de plus q (UL ) existe (UL est l’ensemble des unit? es de OL ) alors q (L? S ) aussi et on a 56

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand

q (L? S ) = q (UL ) · q (ker(jm )). Preuve u On a la suite exacte : 1 → ι(L? S ) → ker(jm ) → C → 1 o` C = ker(jm )/ι(L? S ) ? ker(jm )/(ι(L? ) ∩ ker(jm ))
thm. d′ isom

?

(ker(jm ) · ι(L? ))/ι(L? ),

egaux, en vertu q (C ) = 1, en vertu du Lemme (4.6) et si q (ker(jm )) existe alors q (ι(L? S )) aussi et ils sont ? a cette suite exacte nous permet de conclure. ` e du Corollaire (4.7). On a aussi la suite exacte 1 → UL → L? S → ι(L? S ) → 1. Le Lemme (4.4) appliqu?
incl. ι

le dernier terme est un sous-groupe de IL /ι(L? ) qui est ?ni (cf. [Sam, Thm. 2, chap IV, §3, p.71]), ainsi

Compl? ements (bien utile et un peu redondant) sur les places in?nies
Soit L/K une extension galoisienne (quelconque) de corps de nombre et P une place in?nie de L et donc que deux plongements complexes conjugu? es correspondent ` a la m? eme place). Si σ ∈ G, alors σ (P) est la place qui correspond au plongement ? ? σ ?1 : L → C (ceci pour avoir σ1 (σ2 (P)) = (σ1 ? σ2 )(P)). aP correspondant ` a un plongement ? : L → C (rappelons que ? est aussi un plongement correspondant `

De cette mani` ere, G agit transitivement sur les places in?nie de L qui prolongent une m? eme place in?nie

est le plongement correspondant ` a P). On a alors |x|σ(P) = |?(σ ?1 (x))| = |σ ?1 (x)|P , autrement dit, |σ (x)|P = |x|σ?1 (P) .

de K . Soit | · |P , la valeur absolue qui correspond ` a P (|x|P = |?(x)|, pour x ∈ L et ? : L → C

D’autre part, le groupe de d? ecomposition de P, not? e Z (P) est le sous-groupe des ? el? ements de Gal(L/K )

tels que σ (P) = P, donc tels que ? ? σ ?1 = ? ou ?, ainsi ce sous-groupe est d’ordre 1 ou 2. Si p = P ∩ K , plongements de L. Si p est une place complexe, on aura 2n plongements au-dessus, donc n places et σ (P) = P si et seulement si σ = IdL . Si p est une place r? eelle qui ne rami?e pas (donc qui reste r? eelle), il y aura aussi n places au dessus et on est dans la m? eme situation. En revanche, si p rami?e, il n’y aura que
n 2

alors |Z (P)| = 2 si et seulement si p rami?e, en e?et, tout plongement de K s’? etend en n = [L : K ]

au-dessus de p. Remarquons, qu’ainsi |Z (P)| = ep · fp pour tout P|p, comme pour les places ?nies.

places au-dessus, donc |Z (P)| = 2, car Gal(L/K ) agit transitivement sur toutes les places

Fin des compl? ements Th? eor` eme (4.13)(Minkowski, si K = Q, 1900), (Herbrand,
g? en? eral, 1930)

Soit L/K une extension galoisienne (quelconque) de groupe G et P1 , . . . , Pr+s les places in?nies de que : L (les r premi` eres ? etant r? eelles, les s suivantes ? etant complexes). Alors il existe ω1 , . . . , ωr+s ∈ UL tels a) G permute les ωi de la m? eme mani` ere qu’il permute les Pi (ωi ? Pi est un homomorphisme de G-ensemble). b) On a ω1 · · · ωr+s = 1 et c’est la seule relation (sur Z entre les ωi ), cela veut dire que si on prend c) Si W est le sous-Z-module engendr? e par les ωi , alors W est un G-module d’indice ?ni dans UL . Preuve 57
a1 r +s · · · ωr + r + s ? 1 ωi , il sont lin? eairement ind? ependants sur Z, ou encore ω1 s = 1 ? a 1 = · · · = a r +s . a

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand Il est clair que c) d? ecoule de b) par le th? eor` eme des unit? es de Dirichlet (cf. Chapitre 0). Montrons a). Soit p une place in?nie de K et choisissons P une place de L qui prolonge p. En
′ ′ p.72]), on peut trouver un ? el? ement ωP dans UL tel que |ωP |Q < 1 pour toute place in?nie Q = P de L. ′′ Posons encore ωP = ′ τ ∈Z (P) τ (ωP ). ′′ |ωP |Q =

regardant la preuve classique du th? eor` eme des unit? es de Dirichlet (cf. [Sam, Thm. 1, chap. IV, §4, Si Q est une place in?nie de L di?? erente de P, alors on a
′ |τ (ωP )|Q = ′ |ωP |τ ?1 (Q) < 1,

τ ∈Z (P)

τ ∈Z (P)

car τ ?1 (Q) = P si τ ∈ Z (P). Soit maintenant Q une place in?nie de L au-dessus de p. On choisit par Z (P). Si Q une place in?nie de L au-dessus de p di?? erente de P, et si R est une place in?nie de L
′′ ′′ )|R = |ωP |ρ?1 (R) < 1. |ωQ |R = |ρ(ωP ′′ ′′ En proc? edant ainsi pour chaque place in?nie de K , on obtient des ω1 , . . . , ωr es +s ∈ UL qui sont permut?

′′ ′′ ′′ ρ ∈ G tel que ρ(P) = Q et on pose ωQ = ρ(ωP ); c’est ind? ependant du choix de ρ, car ωP est invariant

di?? erente de Q, alors

′′ ′′ par G de la m? eme mani` ere que les P1 , . . . , Pr+s . On a en outre que ρ1 (ρ2 (ωP )) = (ρ1 ρ2 )(ωP ), faisant ′′ ′′ ′′ de l’application Pi → ωP := ωi un isomorphisme de G-ensemble. Puisque |ωi |Pj < 1 pour i = j , i

′′ sont toujours Z-lin? eairement ind? ependants (cf. preuve du tout choix de r + s ? 1 quelconque des ωi

th? eor` eme de Dirichlet). Notons p1 , . . . , pr′ +s′ les places in?nies de K et pour chaque i = 1, . . . , r′ + s′ , soit vi := r′ + s′ ? 1 sur Z, il existe a1 , . . . , ar′ +s′ ∈ Z tels que Pi |pj pour 1 ≤ i ≤ r + s. On a maintenant
Pj |pi r ′ +s′ i=1

′′ ωj . Alors vi , . . . , vr′ +s′ ∈ UK , car ils sont invariants par G. Comme UK est de rang aj

′′ ′′ eairement ind? ependants. On remplace les ωi par ωi := ωi quelconques des v1 , . . . , vr′ +s′ sont lin? r +s i=1

ai vi = 1. Ces ai sont tous non nuls, car r′ + s′ ? 1

o` u

ωi = 1; et par choix des ai , les ωi sont permut? es de

le m? eme mani` ere que les Pi (c’est pour c ?a qu’on a du faire une incursion par les vi ). Et c’est la seule relation car r + s ? 1 parmi les ωi sont lin? eairement ind? ependants.

Lemme (4.14)
Si L/K est une extension cyclique, alors le quotient de Herbrand de UL vaut q (UL ) = [L : K ] , 2 r0

o` u r0 est le nombre de places in?nies de K qui rami?ent dans L. Preuve Posons W le G-module engendr? e par les ωi du th? eor` eme pr? ec? edent. Pour chaque place in?nie p de
p Zup,i o` u rp est le nombre de places in?nies K , on forme (abstraitement) le Z-module libre Ap = ⊕i=1

r

module de permutation (cf. Proposition (4.8)), donc G agit transitivement sur les up,i , c’est possible, puisque rp divise [L : K ] = |G|. On consid` ere le G-homomorphisme A → W d? e?ni en envoyant les Z·(
p ∈ P ∞ (K ) rp i=1

de L qui prolongent p. Puis, A = ⊕p∈P∞ (K ) Ap . On fait agir G de telle mani` ere que chaque Ap est un

up,i sur les ωi de mani` ere coh? erente avec l’action de G. C’est un homomorphisme surjectif de noyau up,i ) = Z avec l’action triviale de G. En bref, on a la suite exacte 0 → Z → A → W → 1. 58

Cohomologie des groupes cycliques et quotient de Herbrand Or, Z est un module de permutation (au sens de la Proposition (4.8), avec le d = 1). Donc, q (Z) existe et vaut q (Z) =
1 [L :K ] .

(avec d = rp ), donc, q (Ap ) existe et en vertu du Corollaire (4.6), q (A) =
rp [L :K ] 1 ep fp 1 |Z (P)|

D’autre part, A = ⊕Ap , et chaque Ap est un module de permutation
p

q (Ap ). En outre, puisque

= pour P|p. Mais, on a vu lors du rappel bien utile = [L : K ] = rp ep fp , on a q (Ap ) = 1 si p ne rami?e pas dans L que |Z (P)| = . Ainsi, 2 sinon q (A) = 1 2 r0

o` u r0 est le nombre de place in?nies de K qui rami?ent dans L. En?n, puisque W est d’indice ?ni dans UL (partie c) du Th? eor` eme (4.13)), en vertu du Corollaire (4.7) et du Lemme (4.4), on a q (UL ) = q (W ) = q (A) [L : K ] . = q (Z) 2 r0

Th? eor` eme (4.15)
contienne toutes les places in?nies de K qui rami?ent dans L. Soit S l’ensemble de places de L qui divisent m. Alors q (L? S ) existe et vaut q (L? S ) = [L : K ] · Preuve On a montr? e au Lemme (4.12), que si q (UL ) et q (ker(jm )) existaient, alors q (L? S ) aussi et que q (L? S ) = q (UL ) · q (ker(jm )). On a montr? e au Lemme (4.14) que q (UL ) existait et valait calculer q (ker(jm )); et c’est le plus facile ` a voir :
[L :K ] 2r0 .

Soit L/K une extension cyclique de corps de nombres. Soit m = m0 · m∞ un K -module tel que m∞

p| m

1 . ep fp

Il su?t donc de

Par d? e?nition, ker(jm ) est le groupe ab? elien libre engendr? e par les id? eaux premiers de L qui sont dans S . Notons A(p) le groupe ab? elien libre engendr? e par les id? eaux premiers de L qui sont au-dessus de p. permutation (au sens de la Proposition (4.8), avec d = rp ) et G agit transitivement sur la base form? ee des id? eaux premiers de L au-dessus de p. A nouveau, puisque [L : K ] = rp ep fp , la Proposition (4.8) nous montre q (A(p)) existe et vaut
1 ep fp .

Alors A(p) est un sous-G-module de ker(jm ) et ker(jm ) = ⊕p|m0 A(p). Chaque A(p) est un module de

Donc, en vertu du Corollaire (4.5), on a q (ker(jm )) existe et vaut q (A(p)) =
p| m 0 p| m 0

q (ker(jm )) = En?n, en se souvenant que 2r0 =

1 . ep fp

p| m ∞

ep fp , on trouve 1 · ep fp 1 = [L : K ] · ep fp 1 . ep fp

q (L? S ) = q (UL ) · q (ker(jm )) = [L : K ] ·

p| m ∞

p| m 0

p| m

59

Chapitre 5 : Un calcul d’indice
Dans ce chapitre, nous allons calculer (comme son nom l’indique) un indice. Cet indice para? ?t sorti de nulle part, mais il sera crucial pour prouver l’? egalit? e fondamentale du corps de classe au chapitre suivant; et cette derni` ere sera une des briques importantes pour d? emontrer la r? eciprocit? e d’Artin. Ici, le lecteur ferait bien de se souvenir des d? e?nitions faites au Chapitre 0 sur les K -modules aux pages 7 et suivantes.

D? e?nition (5.1)
Soit L/K une extension cyclique de corps de nombres de groupe G =< σ >. Posons N = NL/K la norme de L sur K . Soit m un K -module. On pose
? a(m) = [K ? : N (L? )Km ] ? = {x ∈ K ? | x ≡ 1 o` u, on le rappelle, Km

(mod? m)}.

Lemme (5.2)
le L-module engendr? e par m. Alors on a b)
? a) L? ? 0 ∩ K = Km0 . m ? N (L? ? ) ? Km . m

Soit L/K une extension quelconque de corps de nombres, m = m0 · m∞ un K -module et m = m0 · m∞ ,

Preuve tel que p|m0 . Posons n = np l’exposant de p dans m. Soit P ∈ P(L) tel que P|p. Alors l’exposant de P Prouvons a). L’inclusion ? est ? evidente. Prouvons l’autre inclusion. Soit α ∈ L? ? 0 ∩ K et soit p ∈ P(K ) m

que α = 1 + x, avec x ∈ K et vP (x) ≥ n · e. Or, il est ? evident que vp (x) = e · vP (x). Donc vp (x) ≥ n,

dans m0 vaut n · e, o` u e = e(P/p) est l’indice de rami?cation de P/p. Dire que α ∈ L? ? 0 ∩ K implique m

que si on remplace m0 par m avec d’? eventuelles places ` a l’in?ni, cette ? egalit? e est fausse si une des places in?nie divisant m devient complexe partout par exemple. σ : K → R. Soient σ1 , . . . , σr , σr+1 , σ r+1 , . . . , σr+s , σ r+s les extensions de σ en plongements de L dans in?nies P1 , . . . , Pr qui divisent m, donc σi (x) > 0 pour i = 1, . . . , r, et donc
r s

? ? ? ce qui veut dire que α = 1 + x ∈ Kp n , ceci pour tout p|m0 . Donc α ∈ ∩p|m0 Kpnp = Km . Remarquons 0

eelle) correspondant ` a un plongement Prouvons b). Soit x ∈ L? ? . Si p|m est une place in?nie (donc r? m

C tels que σ1 , . . . , σr soient r? eelles et les autres complexes. Alors σ1 , . . . , σr correspondent aux places

σ (N (x)) =
i=1

σi (x) ·

j =1

σr+j · σ r+j > 0,

galoisienne de L/K (c’est-` a-dire la plus petite extension galoisienne E/K qui contienne L). Si G = Gal(E/K ) et H = Gal(E/L), on a N (x) =
σ

? ce qui montre que N (L? ? ) ? Km∞ Regardons maintenant le cas des places ?nies. Soit E/L l’enveloppe m

σ (x), o` u σ parcourt un syst` eme de repr? esentants de classe 60

Un calcul d’indice
? et que m0 e par m0 . Puisque x ∈ L? de G modulo H (` a gauche). Soit m0 le E -module engendr? ? ? 0 ? Em m ?
0

? est invariant par G, on a aussi σ (x) ∈ Em pour tout σ ∈ G. Ainsi, N (x) = ? ?
0

? ? ? Et cela montre que N (L? ? ) ? Km∞ ∩ Km0 = Km . m

? ? . ∩ K = Km ? σ σ (x) ∈ Em 0 ?
0

a)

Lemme (5.3)
Si m et n sont des K -modules premiers entre eux, alors on a : a(m · n) = a(m) · a(n). Preuve quotient induit un homomorphisme surjectif
? ? ? On se souvient (Corollaire (0.4)) de l’isomorphisme : K ? /Kmn → K ? /Km × K ? /Kn . Le passage au

? ? f : K ? /Kmn → K ? /(N (L? )Km ) × K ? /(N (L)Kn ). ? ? ? ? ? Pour prouver le lemme, il su?t de montrer que ker(f ) = N (L? )Kmn /Kmn . Puisque Km ∩ Kn = Kmn , ? ? ? il est ? evident que N (L? )Kmn /Kmn ? ker(f ). R? eciproquement, soit α · Kmn ∈ ker(f ). On a donc ? ? ? ? α · Km ? N (L? )Km et α · Kn ? N (L? )Kn . Cela veut dire qu’il existe β1 , β2 ∈ L? tels que α ≡ N (β1 )

ainsi, α ≡ N (β ) α ≡ N (β )

idem pour n) (cf. lemme pr? ec? edent), on a alors N (β ) ≡ N (β1 ) (mod? m) et N (β ) ≡ N (β2 ) (mod? m) et
? et le th? eor` eme est prouv? e. (mod? m · n); ce qui montre que α ∈ N (L? ) · Kmn

(mod? m) et β ≡ β2

En vertu du Th? eor` eme d’approximation d? ebile (cf. Th? eor` eme (0.3)), il existe β ∈ L? tel que β ≡ β1

(mod? m) et α ≡ N (β2 ) (mod? n). Puisque m et n sont premiers entre eux, m et n le sont aussi.
?1 ?1 ? ? a-dire β · β1 (mod? n), c’est-` ∈ L? ∈ L? ? et β · β2 ? ) ? Km (et ? . Puisque N (Lm m n

(mod? n),

(mod? n), donc (` a nouveau gr? ace au th? eor` eme d’approximation d? ebile)

entier pour les places ?nies et m = p pour les places in?nies.

En vertu du lemme qu’on vient de voir, le calcul de a(m) se r? eduit au cas o` u m = pm avec m ≥ 1

Lemme (5.4)
Si p est une place in?nie r? eelle et m = p, alors a(m) = ep = ep fp . (voir D? e?nitions (4.9)). preuve
? Si ? est le plongement correspondant ` a p, alors Km est le noyau de l’application surjective

K ? → R → R? / R? + = {±1}.
? Ainsi, [K ? : Km ] = 2.

?

nat.

Supposons que p rami?e dans L. Soit P1 , . . . , Pr les places de L qui prolongent p. Puisque p rami?e, elles sont toutes complexes et r =
n 2,

o` u n = [L : K ]. Soit σ1 , . . . , σr les plongements correspondants 61

Un calcul d’indice aux Pi . Alors, pour tout x ∈ L? , on a ?(N (x)) =
? ? N (L? )Km = Km , donc a(m) = 2 = ep . r i=1 ? , et donc σi (x)σi (x) > 0. Donc, N (L? ) ? Km

Supposons que p ne rami?e pas dans L. A nouveau P1 , . . . , Pr sont les places de L qui prolongent p et σ1 , . . . , σr les plongements correspondants; dans ce cas, r = n et ?(N (x)) =
? r i=1

σi (x). Par le

? ? i = 2, . . . , r. Cela prouve que N (L? ) ? Km , ce qui montre que N (L? )Km = K ? et donc a(m) = 1 = ep .

th? eor` eme d’approximation d? ebile, il est possible de trouver x ∈ L tel que σ1 (x) < 0 et σi (x) > 0, pour

Passons aux places ?nies : Tout d’abord un petit lemme gentil :

Lemme (5.5)
Soit A un anneau de Dedekind ne poss? edant qu’un nombre ?ni d’id? eaux premiers. Alors A est principal Preuve Soit a un id? eal de A. Puisque A est de Dedekind, il existe des id? eaux premiers p1 , . . . , ps et des
ri +1 i , alors OK = pi ...). Par le th? eor` eme chinois, il existe a ∈ A tel que anneau de Dedekind (si pr i = pi ri +1 ri rs 1 ; c’est possible dans un r1 , . . . , rs uniques tels que a = pr 1 · · · ps . Pour i = 1, . . . , s, ?xons ai ∈ pi \ pi

de A, on a vp (a) = vp (a) = vp (aA).

rs i +1 1 ), pour tout i = 1, . . . , s. Alors on a aA = pr a ≡ ai (mod pr eal premier 1 · · · ps = a, car pour tout id? i

Lemme (5.6)
a) [K ? : N (L? ) · K ? (m)] = fp Preuve Soit p une place ?nie et m = pm (m ≥ 1). Alors

? b) a(m) = fp · [K ? (m) : (K ? (m) ∩ N (L? )) · Km ]. ? Montrons que b) d? ecoule de a). On a a(m) = [K ? : N (L? )Km ] = [K ? : N (L? )K ? (m)][N (L? )K ? (m) : ? ? N (L? )Km ] = fp · [N (L? )K ? (m) : N (L? )Km ]. L’application (qui est l’inclusion) K ? (m) → N (L? )K ? (m) a)

donne un isomorphisme

? ? ?→ N (L? )K ? (m)/N (L? )Km . K ? (m)/K ? (m) ∩ N (L? )Km ? Et, ?nalement, puisque Km ? K ? (m), on a ? ? ? ? K ? (m) ∩ N (L? )Km = K ? (m)Km ∩ N (L? )Km = (K ? (m) ∩ N (L? )) · Km

ce qui montre la partie b). Montrons la partie a). Pour simpli?er l’? ecriture, notons R = OK et R(p) le localis? e de R en p. Il est bien connu que R(p) est un anneau de valuation discr` ete (c’est une des propri? et? e fondamentale des anneaux de Dedekind), donc local et principal. Notons π , l’uniformisante de R(p) , c’est-` a-dire l’? el? ement
? qui engendre pR(p) , l’unique id? eal maximal de R(p) . On remarque que dans notre cas, K ? (m) = R( p) .

des id? eaux premiers de T(p) est en bijection avec les id? eaux de T qui ne rencontrent pas (R ? p). Ainsi, 62

que K ? est en bijection avec Z × K ? (m). Notons maintenant T = OL et T(p) = (R ? p)?1 · T . L’ensemble

Ainsi, tout ? el? ement x de K ? s’? ecrit de mani` ere unique x = u · π k , avec u ∈ K ? (m) et k ∈ Z. Ce qui montre

Un calcul d’indice si P1 , . . . , Pr sont les id? eaux de T au-dessus de p, alors P1 T(p) , . . . , Pr T(p) est l’ensemble des id? eaux premiers de T(p) . D’autre part, puisque T est un anneau de Dedekind, alors T(p) l’est aussi. Donc, il est principal (cf. Lemme (5.5)). Posons Pi T(p) = (πi ), pour i = 1, . . . , r. Ainsi, chaque ? el? ement de L? s’? ecrit
? ? et donc N (πi ) = ui · π f , avec ui ∈ R( eduit que p) = K (m). On en d? k1 kr f v · π1 · · · πr , avec v ∈ T(? p) et k1 , . . . , kr ∈ Z. Si f = f (Pi /p) = fp , alors on a N (Pi ) = p , i = 1, . . . , r,

N (L? ) · K ? (m) = {π f k | k ∈ Z} · K ? (m) ? f Z × K ? (m). D’o` u [K ? : N (L? ) · K ? (m)] = [Z × K ? (m) : f Z × K ? (m)] = f = fp .

D? e?nition (5.7)
Mettons-nous sous les m? emes hypoth` eses que pr? ec? edemment, c’est-` a-dire L/K est une extension cyclique de corps de nombres de groupe de Galois G, de cardinal n. On prend p une place ?nie et on LP les corps locaux associ? es aux places p et P respectivement. L’extension LP /Kp est aussi cyclique de Fr-Tay Th. 21, p.118]. Notons encore Op = OKp l’anneau de valuation de Kp et OP celui de LP . Soit p consid` ere le K -module m = pm avec m ∈ N. Soit P une place de L au-dessus de p. Nous notons Kp et

groupe de Galois canoniquement isomorphe ` a Z (P) = {σ ∈ G | σ (P) = P} de cardinal ep fp := np [cf.

l’unique id? eal maximal de Op et P celui de OP . On note O(p) := Op ∩ K le localis? e de OK en p (avant on l’avait not? e R, mais c’? etait parce qu’on avait besoin de T ...) et O(P) := OP ∩ L le localis? e de OL en P. L’id? eal maximal de O(p) se note p et celui de O(P) se note P. Les unit? es de Op devraient se noter
? (0.12)) et celles de OP se notent UP , les unit? es de O(p) devraient se noter U(p) ou O( p) , mais dans notre

? Op , mais se notent Up (attention de ne pas confondre avec le Um de la D? e?nition (0.8) et du Th? eor` eme

cas, c’est K ? (m), o` u m = p · m∞ . En?n, pour k ∈ N, on ? ecrit Up

(k )

le seul id? eal maximal de Op . On a aussi pO(p) = p et pOp = pOp = p et OK /pk ? O(p) /pk ? Op /pk [cf. ee Np ou m? eme N s’il n’y a pas d’ambigu¨ ?t? e. Fr-Tay Th. 11 + Cor, p.77]. La norme NLP /Kp sera not?

pour 1 + pk ? 1 + p ? Up , car p est

? Nous avons aussi besoin d’? etendre la d? e?nition de (mod? ) sur K? p : si x, y ∈ Kp et n > 0 est un x?y ∈ pn . Sur LP on d? e?nit cette ? equivalence de la m? eme entier, alors on dit que x ≡ y (mod? pn ) si y mani` ere.

Avec tout ce petit monde, nous sommes pr? et ` a? enoncer le lemme suivant

Lemme (5.8)
K -module. Alors on a Soit L/K une extension cyclique de corps de nombres, p ∈ P0 (K ), m ∈ N, m > 0 et m = pm un
? K ? (m)/(K ? (m) ∩ N (L? ))Km ? Up /N (UP )Up (m)

o` u P est un id? eal premier de L au-dessus de p. Preuve morphisme de groupe f ? : A? → B ? tel que ker(f ? ) = (1 + ker(f )) ∩ A? . L’homomorphisme surjectif
? ? m ? O(p) → O(p) /pm induit donc un homomorphisme O( p) = K (m) → (O(p) /p ) . Puisque O(p) est local,

Rappelons le fait ? el? ementaire suivant : tout homomorphisme d’anneau f : A → B d? e?nit un homo-

63

Un calcul d’indice alors 1 + pm ? K ? (m), donc cet homomorphisme est surjectif. On a aussi (O(p) /pm )? ? (Op /pm )? =
(m)

Up /(1 + pm ) = Up /Up l’homomorphisme

(l’avant derni` ere ? egalit? e vient aussi du fait que Op est local). En particulier f : K ? (m) ?→ Up /N (UP )Up x ?→ x N (UP )Up
(m)

(m)

? est surjectif. Il nous reste ` a faire la preuve que ker(f ) = (K ? (m) ∩ N (L? ))Km . ? En regardant les d? e?nitions, on observe que Km = 1 + p m ? 1 + p m = Up (m)

α ∈ L? est tel que NL/K (α) ∈ K ? (m), alors vp (NL/K (α)) = 0, (voir le paragraphe suivant ou le Chapitre

? . Donc, Km ? ker(f ). Soit

eal Pi de L au-dessus 0 pour se rem? emorer la d? e?nition de vp ); cela implique que vPi (α) = 0 pour tout id? de p, donc que α ∈ L? (m) (se souvenir de la d? e?nition de m). Soit τ1 , . . . , τr un syst` eme de repr? esentant de G modulo Z (P). Alors
r r r

NL/K (α) =
τ ∈Z (P) i=1

τi τ (α) =
τ ∈Z (P)

τ
i=1

τi (α)

= Np
i=1

τi (α) ,

et

r i=1 τi (α)

? (K ? (m) ∩ N (L? ))Km ? ker(f ).

∈ L? (m) ? UP . On a donc montr? e que K ? (m) ∩ N (L? ) ? Np (UP ) ∩ K ? ? ker(f ). Et ainsi
(m)

Soient P1 = P, P2 , . . . , Pr les id? eaux premiers de L au-dessus de p. Comme L est dense dans LP , il existe β0 ∈ L? tel que β0 ≡ β que
x y

Montrons l’autre inclusion : soit donc α ∈ ker(f ). Il existe donc β ∈ UP tel que αNp (β )?1 ∈ Up
?

.

∈ 1 + Pme . Le th? eor` eme chinois pour OL nous assure l’existence d’un γ ∈ L? tel que γ ≡ β0 (mod? Pme 1 ) et γ ≡ 1 (mod? Pme j ) lorsque j > 1.

(mod? Pme ), o` u e = ep et x ≡ y

(mod? Pme ) veut dire par extension

Prenons, comme tout ` a l’heure τ1 , . . . , τr un syst` eme de repr? esentants de G modulo Z (P), mais en plus,
?1 on impose que τ1 = IdL et τj (P) = Pj , pour tout j > 1. Alors, si j > 1 et τ ∈ Z (P), on a τj τ (γ ) ≡ 1

(mod? Pme ). Alors,

r

NL/K (γ ) =
j =1 τ ∈Z (P)

?1 τj τ (γ ) ≡

τ ∈Z (P)

τ (γ ) ≡

τ (β ) = Np (β )
τ ∈Z (P)

(mod? Pme ).

Puisque NL/K (γ ) et Np (β ) sont dans Kp et que Pe est le seul id? eal au-dessus de p, cette derni` ere m? eme convention pour Up
(m) ? N (L? ))Km .

congruence est vraie modulo pm . On a donc prouv? e que αNp (β )?1 ≡ αNL/K (γ )?1 (mod? pm )). Et, puisque par hypoth` ese αNp (β )?1 ∈ Up

(mod? pm ) (avec la , on a αNL/K (γ )?1 ∈

(m)

? ? ∩ K ? = Km . Donc NL/K (γ ) ∈ ker(f )Km ∩ N (L? ) ? K ? (m) ∩ N (L? ) et donc, α ∈ (K ? (m) ∩

DIGRESSION
Interrompons un court instant notre propos pour un petit r? esultat technique sur les s? eries logarithmes et exponentielles sur Kp . Et rappelons que l’on d? e?nit formellement exp(x) = xn n! n=0


et

log(1 + x) = 64



n=1

(?1)n+1

xn n

Un calcul d’indice De plus, si pZ est l’unique id? eal de Z au-dessous de p, on note e0 = vp (p). Voici quelques r? esultats ? el? ementaires sur Kp (qu’on a d? ej` a d’ailleurs vus au chapitre 0, pour la plupart) : Puisque Op est un anneau de valuation discr` ete, tout ? el? ement x de Kp s’? ecrit de mani` ere unique x = u · π t o` u π est un g? en? erateur de p, appel? e uniformisante et t =: vp (x) ∈ Z ∪ {∞} est la valuation p-adique de x (qui ? etend celle sur K ). On a les propri? et? es suivantes : b) vp (xy ) = vp (x) + vp (y ) a) vp (x) = ∞ ?? x = 0 c) vp (x + y ) ≥ inf(vp (x), vp (y )) avec ? egalit? e si vp (x) = vp (y ). Sur Kp , on d? e?nit une valeur absolue ou norme qui vaut |x|p = N(p)?vp (x) . et |x + y | ≤ sup(|x|p , |y |p ) avec ? egalit? e si |x|p = |y |p . Cette derni` ere propri? et? e implique qu’une somme
∞ n=0

Cette valeur absolue est non-archim? edienne. De a), b) c), on trouve |x|p = 0 ?? x = 0, |xy |p = |x|p ·|y |p xn converge dans Kp pour cette valeur absolue si et seulement si |xn |p tend vers 0.

Proposition (5.9)
Dans Kp , les s? eries exp(x) et log(1 + x) convergent si vp (x) > exp(1) = e n’existe pas dans Kp ). De plus, si vp (x) > b) vp (log(1 + x)) = vp (x). Preuve
n n Soit n ∈ N, n ≥ 1. On v? eri?e facilement que vp (n!) = [ n p ] + [ p2 ] + [ p3 ] + · · ·. Ecrivons n en base p : a 0 + · · · + a l? 1 p l? 1 n + al + · · · + ak p k ?l . n = a0 + a1 p + · · · + ak pk , avec ak = 0 et 0 ≤ ai ≤ p ? 1. Donc p l = pl <1 n k ?l Ainsi, [ p et donc l ] = al + · · · + ak p e0 p?1 ,

on a

e0 p?1

(on peut voir en particulier que

a) vp (exp(x) ? 1) = vp (x)

vp (n!) = a1 + a2 (1 + p) + a3 (1 + p + p2 ) + · · · + ak (1 + p + · · · + pk?1 ) = a1 p?1 p2 ? 1 p3 ? 1 pk ? 1 + a2 + a3 + · · · + ak p?1 p?1 p?1 p?1 1 1 = (n ? a0 ? a1 ? a2 ? · · · ? ak ) = (n ? S ), p?1 p?1

o` uS=

k i=0

ai . On v? eri?e tout aussi facilement que vp (n!) = vp (n!) · vp (p) = vp (n!) · e0 . Calculons donc e0 e0 xn ) = n · vp (x) ? e0 · vp (n!) = n · (vp (x) ? )+ · S ?→ ∞ si n → ∞. n! p?1 p?1
>0 par hyp.
n

vp (

exp(x) ? 1 = x +

Cela prouve que | x erie exp(x) converge. Montrons la partie a) : puisque n! |p tend vers 0, donc, que la s?
x2 2

+

x3 6

+ · · ·, il su?t de montrer que si n ≥ 2, on a vp ( x n! ) > vp (x). Cela est vrai :
k

n

vp (

e0 xn e0 ) ? vp (x) = (n ? 1) (vp (x) ? )+ (?1 + ai ) > 0 , n! p?1 p?1 i=0
>0 >0 ≥0

65

Un calcul d’indice toujours avec n = a0 + a1 p + · · · + ak pk , le d? eveloppement de n en base p. Donc a) est prouv? e.
n

Regardons maintenant le s? erie log(1 + x). Puisqu’on a si bien ? evalu? e vp ( x n! ), pro?tons-en ! on voit
n n

x que vp ( x n ) = vp ( n! ) + vp ((n ? 1)!) → ∞ si n → ∞. Donc, log(1 + x) converge si vp (x) > ≥0

e0 p?1

(en fait on

vient d’observer que le domaine de convergence de log(1 + x) est plus ? etendu que celui de exp(x), ce qui est contraire ` a la situation dans C). Pour la partie b), il su?t d’observer comme pour la partie a) que xn e0 e0 ai ) > 0 . ) ? vp (x) = (n ? 1) (vp (x) ? ) + vp ((n ? 1)!) + (?1 + n p?1 p?1 i=0
>0 >0 ≥0 ≥0 k

vp (

Corollaire (5.10)
Si m > Preuve
vp (p) p?1 ,

alors exp(x) est un isomorphisme de groupe pm → Up

(m)

. La r? eciproque ? etant log(x).

exp(log(1 + x)) = 1 + x et log(exp(x)) = x.

Cela d? ecoule de la proposition pr? ec? edente et des identit? es formelle exp(x + y ) = exp(x) · exp(y ),

Fin de la digression Proposition (5.11)
Soit d > 0 un entier, et m > vp (d) + ? el? ement de Up . En particulier, si d = [LP , Kp ] et m > vp (d) + Up Preuve Puisque m > vp (d) + est un isomorphisme de groupe. Soit 1 + x ∈
vp (p) p?1 (m) vp (p) p?1 .

Alors tout ? el? ement de Up
vp (p) p?1 ,

(m)

est une puissance d-i` eme d’un

alors on a

? Np (UP ).

>

vp (p) p?1 ,

en vertu du corollaire pr? ec? edent, l’application log : Up
(m) Up

(m)

et y = log(1 + x) ∈ pm (donc, vp (y ) ≥ m). Ainsi,

→ pm

vp (p) y > 0, vp ( ) = vp (y ) ? vp (d) ≥ m ? vp (d) > d p?1 donc, d’une part,
y d y d el? ement z = exp( y d ) ∈ 1 + p ? Up . On a alors : z = exp(d · d ) = exp(y ) = 1 + x. Cela montre que tout ? (m) de Up est une puissance d-i` eme d’un ? el? ement de Up . Montrons la seconde partie de la proposition. Si (m) 1 + x ∈ Up , on vient de voir que 1 + x = z d avec z ∈ Up . Or z d = Np (z ) si d = [LP , Kp ]. Cela montre

∈ p (sa valuation est ≥ 1) et on peut en prendre son exponentielle. Posons donc

la proposition.

66

Un calcul d’indice

Corollaire (5.12)
Si d = [LP : Kp ] et si m > vp (d) +
vp (p) p?1 .

Alors

a(pm ) = fp · [Up : Np (UP )] Preuve C’est maintenant du tout cuit : a(pm )
Lemme (5.6) b)

=

Lemme (5.8)

? fp · [K ? (m) : (K ? (m) ∩ N (L? )) · Km ] (m) Proposition (5.11)

=

fp · [Up : N (UP )Up

]

=

fp · [Up : Np (UP )].

Reprenons un peu de cohomologie cyclique (mais cette fois dans le cas o` u l’extension est LP /Kp , le UP | σ (x) = x ?x ∈ Z (P)} = UP ∩ Kp = Up . Ainsi, groupe de Galois est Z (P) et le Z (P)-module est UP ). Suivant les d? e?nitions, on a ker(?|UP ) = {x ∈ [Up : Np (UP )] = |H 0 (UP )| = q ?1 (UP ) · |H 1 (UP )|, o` u q (UP ) est le quotient de Herbrand. Ainsi, il ne nous reste plus qu’` a calculer q (UP ) et |H 1 (UP )|. (?)

Jusqu’ici l’extension L/K ? etait suppos? ee cyclique. Nous allons a?aiblir cette hypoth` ese pour obtenir

des r? esultats int? eressants (les Th? eor` emes (5.16) et (5.17)). Nous supposerons que L/K est une extension galoisienne quelconque, mais nous imposerons seulement que LP /Kp soit cyclique.

Lemme (5.13)
soit cyclique. Alors on a : Soit L/K une extension galoisienne de corps de nombres, p ∈ P0 (K ), P ∈ P0 (L), P|p tels que LP /Kp |H 1 (UP )| = ep . Preuve x ∈ L? P . Puisque τ (P) = P, on a vP (τ (x)) = vP (x); donc ?(x) = ?(L? P) l’application ? UP et donc que ker(N |UP ) =
?

Par le Th? eor` eme 90 de Hilbert, on a ker(N |UP ) = UP ∩ ?(L? P ). Mettons que Z (P) =< τ >. Soit
x τ (x )

?(L? P ),

et ainsi, H (UP ) ?

1

?(L? P )/?(UP ).

∈ UP . Cela prouve que

D’autre part,

? ? L? P ?→ ?(LP ) → ?(LP )/?(UP ) ? est ? evidemment surjective. On pr? etend que le noyau est K? p · UP . Clairement, Kp · UP est inclu dans le x pour un u ∈ UP . Donc, ?( u ) = 1, i.e. x u ? = a ∈ K? e que p , et donc x = a · u ∈ Kp · UP . On a ainsi montr?

noyau, car ?(K? eciproquement, si x est un ? el? ement du noyau, cela veut dire que ?(x) = ?(u) p ) = {1}. R?
? H 1 (UP ) ? L? P /(Kp · UP ).

u u ∈ UP . en? erateur de pOP , tout g? en? erateur de p peut s’? ecrire π ep · u, o` sur Z × UP . Puisque π ep est un g? lemme. Ainsi, l’image de K? u, H 1 (UP ) ? Z/ep Z, ce qui montre le p · UP via cet isomorphisme est ep Z × UP . D’o`

Si π est une uniformisante (un g? en? erateur de P), l’application π k · u → (k, u) est un isomorphisme de L? P

67

Un calcul d’indice

Lemme (5.14)
soit cyclique. Alors on a : Soit L/K une extension galoisienne de corps de nombres, p ∈ P0 (K ), P ∈ P0 (L), P|p tels que LP /Kp q (UP ) = 1. Preuve Puisque OP est local, alors comme lors du Lemme (5.8), on voit que UP /UP unit? es de OP /P q (UP ) =
(m) (m)

est le groupe des

qui est ?ni, ainsi, [UP :
(m)

(m) UP ]

(m) q (UP ),

pour tout m > 1. Le Corollaire (5.10) (appliqu? e ` a LP ) montre que si m est assez → Pm est un isomorphisme de groupe. De plus, tout ? el? ement du groupe

< ∞. Cela prouve, en vertu du Corollaire (4.7), que

grand, l’application log : UP

de Galois Z(P) est continu pour la topologie P-adique (cela se v? eri?e ais? ement en utilisant le fait que

d’o` u l’application log est un isomorphisme de Z (P)-module. On en d? eduit donc (gr? ace au Lemme (4.4), dans le cas o` u C est trivial) que q (UP ) = q (Pm ) si m est assez grand. Ensuite, puisque Pm est d’indice ?ni dans OP , on en d? eduit, gr? ace au Corollaire (4.7), que q (UP ) = q (OP ). Par le th? eor` eme de la base LP sur Kp , o` u d = [LP : Kp ] et τ est un g? en? erateur de Z (P). Quitte ` a multiplier ω par un ? el? ement de Kp (par exemple une bonne puissance de π ep ), on peut supposer que ω ∈ OP . Soit M , le sous-OP module engendr? e par les τ i (ω ). Puisque OP et M sont des Op -modules libres de m? eme rang. Donc M est d’indice ?ni dans OP . On en d? eduit, gr? ace au Corollaire (4.7), que q (UP ) = q (M ). Finalement, M est un Op -module de permutation (dans le sens de la Proposition (4.8)), avec dans notre cas, m = 1, G = Z (P) et R = Op . Et cela prouve que q (UP ) = q (M ) = 1. normale (cf. [La1, Thm. 6.13.1, p. 320]), il existe ω ∈ LP tel que τ 1 (ω ), . . .

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