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www.3656266.com:海南省洋浦中学高中数学联赛模拟试题6新人教版

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海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 6
一. 选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.已知集合 M={x|x∈R,5-|2x-3|∈N+},则 M 的所有非空真子集的个数是( A.254 B.255 C. 510 D. 511 )

?x ? 2 ? 2.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于直线 y=2x 对 ? x ? y ? 10 ? 0 ?

称的区域为 E,则区域 D 和区域 E 中距离最近的两面三刀点的距离为( A.
6 5 5



B.

12 5 5

C.

8 3 5

D.

16 3 5

3.已知△ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角依次为 A,B,C.则 sinB+cosB 的取值范围是( ) 1 1 3 3 A.(1,1+ B.[ ,1+ C. (1, 2 ] D.[ , 2 ] ] ] 2 2 2 2 4.设 M 是正方体各条棱的中点的集合,则过且公过 M 中 3 个点的平面的个数是( ) A.56 B.81 C.136 D.145 n 5.设 an=2 ,bn=n, (n=1,2,3…) ,An、Bn 分别为数列{an}、{bn}的前 n 项和。记 cn=anBn+bnAn —anbn,则数列{cn}的前 10 项和为( ) 10 11 9 10 A.2 +53 B.2 +53 C.110×(2 -1) D.110×(2 -1) 6.将一些半径为 1 的小圆放入半径为 11 的大圆内,使每个小圆都与大圆相内切,且这些小 圆无重叠部分,则最多可以放入的小圆的个数是( ) A.30 B.31 C.32 D.33 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.正四面体 ABCD 的外接球球心为 O,E 为 BC 中点,则二面角 A—BO—E 的大小为__________. 8.函数 f(x)=
x ? x3 1 ? 2x 2 ? x 4

的最大值与最小值的乘积是__________.

9.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为__________. 10.设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上递减。 1 若 f( )=0,f(logax)>0,那么 x 的变化范围是_________________________. 2 11.数列{an}满足 an = 1 ? 12.已知点 P 是双曲线
1 n
2

?

1 (n ? 1) 2

-1,则 a1+a 2+a 3+…+a n =______________.

x2 y2 - =1 上的动点,F、F 分别是其左、右焦点,O 为坐标原点,则 8 4

| PF 1 | ? | PF 2 | 的取值范围_______________________. | OP | 三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分)已知函数 f(x)=2x+alnx
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ?x ≥f( 1 2 )成立; 2 2 1 2 (2)若对任意 x∈[1,e],不等式 f(x)≤(a+3)x- x 恒成立,求 a 的取值范围。 2

(1)若 a<0,证明:对于任意两个正数 x1,x2,总有

14. (本小题满分 20 分)已知椭圆

x2 a2

+

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率 e=

6 ,过点 A(0,-b) 3

3 .(1)求椭圆的方程; 2 (2)已知定点 E(-2,0) ,直线 y=kx+t 与椭圆交于 C、D 两点,证明:对任意的 t>0,都 存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

和 B(a,0)的直线与原点的距离为

15.(本小题满分 25 分)如图。△ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上的点, 且 AD=AC=AE.求证:直线 DE 过△ABC 的内心. A

E D D B 16.(本小题满分 25 分)已知数列{an}中的相邻两项 a2k-1,a2k 是关于 x 的方程 x -(3k+2 ) k x+3k×2 =0 的两个根. (1)求数列{an}的前 2n 项和 S2n. (2)记 f(n)= 求证:
f (3) f ( n ?1) f ( 2) f ( 4) (- 1 ) (- 1 ) (- 1 ) ( - 1) 1 | sin n | ( +3) ,Tn= + + +…+ , a3 a 4 a 2 n ?1 a 2 n a1 a 2 a5 a6 2 sin n
2 k

5 1 ≤Tn≤ (n∈N+) 24 6

海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 6 答案
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. (C) . 2. (B) . 3. (C) . 4. (A) . 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 5. (D) . 6. (B) .

2? 3



8. ?

1 . 16

9.

1 4



10. x ?

1 a

或 a ? x ? 1 . 11.

2009 2010

. 12. (2,

6] .

三.解答题 13(本小题满分 20 分) 解: (I).

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 2 x ? a ln x1 ? 2 x2 ? a ln x2 x ?x x ?x ? f( 1 2) ? 1 ? 2 1 2 ? a ln 1 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x ?x 2 ? a ln x1 x2 ? a ln 1 2 ? a ln( x1 x2 ? ………(5 分) ) ? a ln 2 x1 ? x2 x1 ? x2

因为 x1 ? x2

? 2 x1 x2
故 a ln

所以

2 x1 x2 2 x1 x2 ? 1 , ln ?0, x1 ? x2 x1 ? x2

2 x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? 0 ,所以, ? f ( 1 2 ) ; …(10 分) x1 ? x2 2 2 1 2 (Ⅱ)因为 f ( x) ? ( a ? 3) x ? x 对 x ? [1, e] 恒成立, 2 1 2 1 a ( x ? ln x) ? x 2 ? x , 故 2 x ? a ln x ? ( a ? 3) x ? x , 2 2 1 2 x ?x 因为 x ? [1, e] ,所以 x ? ln x ? 0 ,因而 a ? 2 ,……………………(15 分) x ? lnx 1 2 x ?x x ? [1, e] 设 g ( x) ? 2 x ? lnx 1 1 1 ( x ? 1)( x ? ln x) ? (1 ? )( x 2 ? x) ( x ? 1)( x ? 1 ? ln x) x 2 2 ? 因为 g ?( x ) ? , 2 ( x ? ln x) ( x ? ln x) 2 1 当 x ? (1, e) 时, x ? 1 ? 0 , x ? 1 ? ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 , 2 x ? 1 又因为 g ( x ) 在 和 x ? e 处连续 ,所以 g ( x ) 在 x ? [1, e] 时为增函数, 1 2 e ?e e 2 ? 2e 2 ? 所以 a ? g (e) ? ………………………………(20 分) e ?1 2(e ? 1)
又a

? 0,

14, (本小题满分 20 分)

解: (I)直线

AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,

依题意得

?c 6 , ? ? 3 ?a ? 3 ? ab ? . 2 2 ? 2 ? a ?b

解得 a ?

x2 ? y 2 ? 1.……………………………(5 分) 3 2 2 2 (Ⅱ)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ,

3, b ? 1,

所以,椭圆方程为

由直线与椭圆有两个交点,

t 2 ?1 ,……(1) …………(10 分) ?? ? (6kt ) ?12(1 ? 3k )(t ?1) ? 0 , k ? 3 6kt 3(t 2 ? 1) x x ? 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , ,……(2) 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 以 CD 为直径的圆过 E 点,? EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2= 0,
2 2 2
2



y1 y2=(kx1 ? t ) (kx2 ? t )=k 2 x1x2 ? tk (x1 ? x2 ) ? t 2 ,
2

?(k 2 ?1) x1x2 ? (tk ?1)( x1 ? x2 ) ? t 2 ?1 ? 0 ,将(2)代入,
3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 2 (k ? 1) ? (tk ? 1) ? t ? 1 ? 0 ,解得 k= ,…………(15 分) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3t 4t 4 ? 4t 2 ? 1 4t 4 ? 4t 2 ? 1 t 2 ? 1 (t 2 ? 1)2 ? t 2 2t 2 ? 1 ? ? ? 0 k = k 2= , ,即 满足(1) , 9t 2 3 9t 2 3t 9t 2 所以,对任意的 t ? 0 ,都存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.……(20 分)
15. (本小题满分 25 分)

A

证明:设角 C 的内角平分线与 外接圆的切线,故

DE 交 于 点 I AE AI , IC, CE ,由于 是 ?ABC

,连接

B

D

I

E



?ACB ? 180 ? ?DAE ,……(5 分) AD ? AE ,故

C 180 ? ?DAE ? ?ADE ? ?AED ? 2?AED , ………………………(10 分) 1 故 ?ACI ? ?ACB ? ?AED ,所以 A、E、I、C 四点共圆. ……(15 分) 2 180 ? ?CAE 180 ? ?DAE ?IAC ? ?IEC ? ?AEC ? ?AED ? ? ………………… 2 2

(20 分)

1 1 (?DAE ? ?CAE ) ? ?A , 故 AI 为角 A 的角平分线,I 2 2
(25 分) 16. (本小题满分 25 分) (I)解:方程 分)

为 ?ABC 的内心.

………………

x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k ,
? a2n ? (3 ? 6 ?

…………………(5

S2n ? a1 ? a2 ?
(10 分)

? 3n) ? (2 ? 2 ?
2

?2 ) ?
n

3n2 ? 3n n?1 ? 2 ? 2 .……… 2


1 ) 1 1 1 1 1 ? f(( n? 1 ) ( Ⅱ ) 证 明 : Tn ? , 所 以 T1 ? ? ? ? ? ? a1a2 6 a1a 2 a a 3 a4 a 5 6a n ? a n 2 1 2 1 1 5 T2 ? ? ? . (15 分) a1a2 a3a4 24 当 n ≥ 3 时, ? 1 1 1 1 (?1) f ( n?1) 1 1 1 ? Tn ? ? ? ? ? ≥ ? ?? ? ? ? 6 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n 6 a3a4 ? a5a6 a2 n?1a2 n ?

1 1 1? 1 ≥ ? ? ? 3? 2 6 6 2 6?2

?

1 1 1 ? 1 ? ? ? , n n ? 6 2 ? 6 62

………………………………(20 分)

? 1 (?1) f ( n?1) 5 1 1 ? ≤ ? ?? ? ? ? a2 n?1a2 n 24 a5 a6 ? a7 a8 a2 n?1a2 n ? 1 5 5 1 1? 1 1? 5 ? ? . ≤ ? ? ? 1? ? n?? n 3 24 24 9 2 9 ? 2 2 ? 24 9 2 1 5 综上,当 n ? N ? 时, ≤ Tn ≤ . ………………………………(25 分) 6 24
同时, Tn

?

5 1 1 ? ? ? 24 a5a6 a7 a8

?


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