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2016届高三数学一轮复习第4篇第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练理

【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 4 篇 第 3 节 平 面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理 【选题明细表】 知识点、方法 平面向量的数量积 平面向量的夹角及垂直问题 平面向量的模 平面向量数量积的综合问题 平面向量与其他知识交汇问题 基础过关 一、选择题 题号 3、4、8 2、5、9 1、6、7 10、11、12 13、14、15、16 1.(2013 高考辽宁卷)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 同方向的单位向量为( A ) (A)( ,- ) (B)( ,- ) (C)(- , ) (D)(- , ) 解析: =(3,-4),则与 同方向的单位向量为 = (3,-4)=( ,- ).故选 A. 2.(2014 高考四川卷)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m 等于( D (A)-2 (B)-1 (C)1 ) (D)2 , 解析:法一 由已知得 c=(m+4,2m+2),因为 cos<c,a>= cos<c,b>= ,所以 = ,又由已知得|b|=2|a|,所以 2c·a=c·b,即 2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得 m=2.故选 D. 1 法二 易知 c 是以 ma,b 为邻边的平行四边形的对角线向量,因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m>0,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故 m=2.故选 D. 3.已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a·b 等于( (A)-10 (B)-6 (C)0 (D)6 A ) 解析:由 a∥b 得 2x=-4,x=-2, 故 a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.故选 A. 4.若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|等于( B ) (A)2 (B) (C)1 (D) 解析:利用向量的运算列式求解. 由题意知 即 将①×2-②得,2a -b =0, ∴b =|b| =2a =2|a| =2, 故|b|= 故选 B. . 2 2 2 2 2 2 5.在△ABC 中, =(cos 18°,cos 72°), =(2cos 63°,2cos 27°),则角 B 等于( B ) (A) (B) (C) (D) 解析: · =2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27° =2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18° =2sin(27°+18°) =2sin 45° = . 2 而| |=1,| |=2,∴cos B= = , 又 B∈(0,π ), ∴B= . 故选 B. 二、填空题 6.(2014 四川成都石室模拟)已知向量 a、b 满足 a=(1,0),b=(2,4),则|a+b|= 解析:|a+b|=|(3,4)|= 答案:5 7.(2014 高考江西卷)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α ,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为β ,则 cos β = 解析:a·b=(3e1-2e2) ·(3e1-e2) =9+2-9×1×1× =8, . =5. . ∵|a| =(3e1-2e2) =9+4-12×1×1× =9. ∴|a|=3. 同理,|b|=2 . 2 2 ∴cos β = = = . 答案: 8. 正三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的点,AB=3,BD=1,则 · = . 3 解析:法一 · =3×3×cos 60°= , = + = + = + ( - ) = + , ∴ · = ·( + ) = 法二 + · = . 以 B 为原点,BC 所在的直线为 x 轴,建立坐标系, 则 B(0,0),A( , ),D(1,0). 所以 =(- ,- ), =(- ,- ), 所以 · =(- )×(- )+(- )= . 2 答案: 9.(2014 安徽巢湖模拟)已知 a=(λ ,2λ ),b=(3λ ,2),如果 a 与 b 的夹角为锐角,则λ 的取值 范围是 . 解析:由题意知,a·b>0 且 a 与 b 不共线, 4 所以 解得λ <- 或 0<λ < 或λ > ,所以λ 的取值范围是(-∞,- )∪(0, )∪ ( ,+∞). 答案:(-∞,- )∪(0, )∪( ,+∞) 10.关于平面向量 a,b,c,有以下命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c. ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a⊥b,则 k= . ③非零向量 a 和 b,满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° ④非零向量 a 和 b,满足|a+b|=|a-b|,则 a⊥b 其中真命题的序号为 . 解析:命题①明显不正确;对于②向量垂直的充要条件易得 k= ,命题②正确;对于③,可结合 平行四边形法则,得 a 与 a+b 的夹角为 30°,命题③不正确;对于④,由|a+b|=|a-b|得 (a+b) =(a-b) ,∴a·b=0,∴a⊥b,命题④正确. 答案:②④ 三、解答题 11.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解:(1)由 a⊥b,得 a·b=0, 故 2x+3-x =0,解得 x=-1 或 x=3. (2)a-b=(-2x-2,2x), 因为 a∥b,所以 x(2x+3)+x=0, 解得 x=0 或 x=-2. 2 2 2 当 x=0 时,a-b=(-2,0),|a-b|= =2. 5 当 x=-2 时,