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机器人第3章思考题解答


思考题
3.1 齐次坐标变换矩阵:

?? ?? T =? ?? ? ??
试求其中未知的第一列元素值。 解:思路:P65 式 3-26

?1 0 ? 0 0 1? ? ? 1 0 ? 2? ? 0 0 1? 0

? nx ?n y T=? ?n ? z ?0 ?

ox oy oz 0

ax ay az 0

px ? py ? ? pz ? ? 1? ?
1 0 0]
T

按一般变换矩阵: n ? n = 1, n × n = 0, n ? a = 0, n ? o = 0; 可得第一列元素为: [ 0

3.2

点 P 在坐标系{A}中的位置为 P=[10 20 30] ,该点相对坐标系{A}做如下齐次变换:
A T

?0.866 ?0.5 T =? ?0 ? ?0

? 0.5 0.866 0 0

0 11 ? 0 ? 3? ? 1 9? ? 0 1?

说明是什么性质的变换,写出 Rot(?,?),Trans(?,?,?),并求变换后 P 点的位置。 解:变换后 P 点的位置:

?0.866 ?0.5 0 11 ? ?10 ? ? 9.66 ? ? 0.5 0.866 0 ?3 ? ? 20 ? ?19.32 ? A ?? ? = ? ? P2 = T P = ? ? 0 0 1 9 ? ? 30 ? ? 39 ? ? ?? ? ? ? 0 0 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 0
由所给 T 的形式可得如下:
? cos θ 1 ? sin θ 1 ? sin θ cos θ 1 1 T = R ot ( Z , θ 1 ) Trans ( X 1 , Y1 , Z 1 ) = ? ? 0 0 ? 0 0 ? ? cos θ 1 ? sin θ 1 0 X 1 cos θ 1 ? Y1 sin θ 1 ? ? sin θ cos θ 1 0 X 1 sin θ 1 + Y1 cos θ 1 ? 1 ? =? ? 0 ? 0 1 Z1 ? ? 0 0 1 ? 0 ?
1

0 0 1 0

0 ? ?1 0 ? ?0 ?? 0 ? ?0 ?? 1 ? ?0

0 1 0 0

0 0 1 0

X1? Y1 ? ? Z1 ? ? 1 ?

通过和 T 的值相比较可得: θ1 = 30 ; X 1 = 8.026;Y1 = ?8.099; Z1 = 9
0

3.3

下面的坐标系矩阵 B 移动距离 d=(5,2,6)T:

0 ?0 1    ?1 0   0 B=? ? 0 0 ?1 ? 0 ?0 0
求该坐标系相对于参考坐标系的新位置。 解:相对运动,右乘

2? 4? ? 6? ? 1?

?0 ?1 B2 = B Trans(5, 2,3) = ? ?0 ? ?0
3.4

1    0 0  0 0 0 ?1 0

2 ? ?1 4 ? ?0 ?? 6? ?0 ?? 1 ? ?0

0 0 5? ?0 1 0 2? ?1 ?=? 0 1 3? ?0 ? ? 0 0 1? ?0

1

4? 0 0 9? ? 0 ?1 3? ? 0 0 1? 0

有一旋转变换,先绕固定坐标系 z0 轴旋转 450,再绕其 x0 轴转 300,最后绕其 y0 轴转 600, 试求该齐次变换矩阵。 解:

T = Rot y, 600 Rot x, 300 Rot z, 450 ? 0.6597 ?0.0474 0.75 0 ? ? 0.6124 0.6124 ?0.5 0 ? ? =? ? ?0.4356 0.7891 0.433 0 ? ? ? 0 0 0? ? 0
3.5

(

)

(

)

(

)

坐标系{B}起初与固定坐标系{A}相重合, 现坐标系{B}绕 zB 旋转 300, 然后绕 xB 轴旋转 450, 试求变换矩阵 BT 的表达式。 解:
A

?0.866 ?0.3536 A T = Rot ( X , 450 ) Rot ( Z , 300 ) = ? B ?0.3536 ? ?0

-0.5

0

0.6124 -0.7071 0.6124 0.7071 0 0

0? 0? ? 0? ? 1?

2

3.6

三自由度空间机械手如下图所示,臂长 l1 和 l2 ,手部中心离手腕中心的距离为 H,关节变 量为 θ1 ,θ 2 ,θ3 。试建立杆件坐标系,写出该机械手的运动学方程和 D—H 参数表,并求 其运动学逆解。

3.6 题图 解:由题意可知:
Y1

三自由度空间机械手

Z3
Y1

Z2

Z0 X1

θ1

Y0

Z1

θ2
Z1

θ3
X1

X3
Y3 X2

X0

Y2

连杆 1 2 3

转角θ

两连杆间距离 d 0 0 0

连杆长度 a

连杆扭角α

0 H 0

A1 = Rot ( Z 0 , θ1 ) Trans ( l1 , 0, 0 ) Rot X 1 , 900 ?cos θ1 ? sin θ 1 =? ? 0 ? ? 0 ?cos θ1 ? sin θ 1 =? ? 0 ? ? 0 ? sin θ1 cos θ1 0 0 0 0 1 0 0? ?1 0? ?0 ?? 0? ?0 ?? 1? ?0 0 1 0 0 0 0 1 0

(

)
0 0 0 ?1 1 0 0 0 0? 0? ? 0? ? 1?

l1 ? ?1 0 ? ?0 ?? 0 ? ?0 ?? 1 ? ?0

0 sin θ1 0 ? cos θ1 1 0 0 0

l1 cos θ1 ? l1 sin θ1 ? ? 0 ? ? 1 ?
3

A2 = Rot ( Z1 , θ 2 ) Trans ( l 2 , 0, 0 )

?cos θ 2 ? sin θ 2 =? ? 0 ? ? 0

0 0 l2 ? cos θ 2 1 0 0? ? 0 0 1 0? ? 0 0 0 1? ?cos(θ 2 ) -sin(θ 2 ) 0 l2*cos(θ 2 )? ? ? sin(θ 2 ) cos(θ 2 ) 0 l2*sin(θ 2 ) ? =? ? ? 0 0 1 0 ? ? 0 0 0 1 ? ? ?cos θ 3 ? sin θ 3 A3 = Rot ( Z 2 , θ 3 )Trans( H , 0, 0) = ? ? 0 ? ? 0 ? sin θ 3 cos θ 3 0 0 0 0 1 0
H cos θ 3 ? H sin θ 3 ? ? ? 0 ? 1 ?

? sin θ 2

0 0 ? ?1 0 0? ?0 ?? 1 0? ?0 ?? 0 1 ? ?0

T3 = A1 A2 A3 ?cosθ1cosθ 2cosθ 3 - cosθ1sinθ 2sinθ 3 ? sinθ cosθ cosθ - sinθ sinθ sinθ 1 2 3 1 2 3 =? ? sinθ 3cosθ 2 - cosθ 3sinθ 2 ? 0 ? -sinθ 3cosθ1cosθ 2 - cosθ1sinθ 2cosθ 3 -sinθ 3sinθ1 cos θ 2 - cosθ 3sinθ 2cosθ1 cosθ 3cosθ 2 - sinθ 2sinθ 3 0 sinθ1 -cosθ1 0 0 l1cosθ1 + l 2cosθ1cosθ 2 + hcosθ1cosθ 2cosθ 3 - hcosθ1sinθ 2sinθ 3 ? l1sinθ1 + l 2cosθ 2sinθ1 + hsinθ1cosθ 2cosθ 3 - hsinθ1sinθ 2sinθ 3 ? ? ? l 2sinθ 2 + hcosθ 2sinθ 3 + hcosθ 3sinθ 2 ? 1 ?

以下式中用q1, q 2, q 3分别代替θ1 , θ 2 , θ 3


A1?1T3 = 1T3 = A2 A3

? nx*cos(q1) + ny*sin(q1) ox*cos(q1) + oy*sin(q1) ax*cos(q1) + ay*sin(q1), px*cos(q1) - l1 + py*sin(q1)? ? ? nz oz az pz ? ? ? nx*sin(q1) - ny*cos(q1) ox*sin(q1) - oy*cos(q1) ax*sin(q1) - ay*cos(q1), px*sin(q1) - py*cos(q1) ? ? ? 0 0 0 1 ? ? ? cos(q2)*cos(q3) - sin(q2)*sin(q3) - cos(q2)*sin(q3) - cos(q3)*sin(q2) 0 l2*cos(q2) + h*cos(q2)*cos(q3) - h*sin(q2)*sin(q3) ? ? cos(q2)*sin(q3) + cos(q3)*sin(q2) cos(q2)*cos(q3) - sin(q2)*sin(q3) 0 l2*sin(q2) + h*cos(q2)*sin(q3) + h*cos(q3)*sin(q2)? ? =? ? ? 0 0 1 0 ? ? 0 0 0 1 ? ?

令等式左、右两边之第三行第四列相等,即

Px sin θ1 ? Py cos θ1 = 0 则θ1 = arctan
由 A2 A1 T3 = T3 = A3 得
2 ?1 ?1

Py Px

4

3.7

为了使球坐标转回,并使它与参考坐标系平行,写出必须采取的正确运动顺序。并说明所 设想的这些旋转应该绕什么轴。

3.8

机器人手的位置用球坐标系来描述,在某些情况下,要求将手转回到平行于参考坐标系的 位置,其表示矩阵为:

?1 ?0 T =? ?0 ? ?0

0 0 3.1375? 1 0 2.195 ? ? 0 1 3.214 ? ? 0 0 1 ?
r

1)求出为获得这个位置所需的 γ、β、α 的值。

r

r

2)求在手转回之前原始矩阵的向量 n 、 o 、 a 。

3.9 假设机器人由直角坐标系和 RPY 组合关节构成, 求出到达下列位姿矩阵所必须的 RPY 角。

0.628  ? 4 ?0.527 ? 0.574    ?0.369 0.819    0.439 6 ? ? ? T= ? ?0.766 0 0.643  ? 9 ? ? 0   0 1? ?0
解:

5

?cα Rxyz (γ , β , α ) = R( Z A , α ) R(YA , β ) R( X A , γ ) = ? sα ? ?0 ?

? sα

cα 0

0? ? cβ 0? ? 0 ?? 1? ? ? sβ ??

0 sβ ? ?1 0 1 0 ? ? 0 cγ ?? 0 c β ? ? 0 sγ ??

0 ? ? sγ ? ? cγ ? ?

?cα c β = ? sα c β ? ? ? sβ ? ? r11 = ? r21 ? ? r31 ?

cα s β sγ ? sα cγ sα s β sγ + cα cγ c β sγ r13 ? r23 ? ? r33 ? ?

cα s β cγ + sα sγ ? sα s β cγ ? cα sγ ? ? ? c β cγ ?

r12 r22 r32

?? sin β = ?0.766 ? 将上式与 T 比较可得 ?cos β sin γ = 0 ?sin α sin β cos γ ? cos α sin γ = 0.439 ?
?α = 350 ? 0 故可得 ? β = 50 ?γ = 00 ?

3.10 设机器人由直角坐标和欧拉角组合关节构成,求出到达下列位姿矩阵所必须的欧拉角。

0.628  ? 4 ?0.527 ? 0.574    ?0.369 0.819    0.439 6 ? ? ? T= ? ?0.766 0 0.643  ? 9 ? ? 0   0 1? ?0
解: Euler (φ , θ ,ψ ) = Rot ( z , φ ) Rot ( y , θ ) Rot ( z ,ψ ) = T

?cos? cosφ cosθ - sin? sinφ - cos? sinφ - cosφ cosθ sin? cosφ sinθ ? ?cosφ sin? + cos? cosθ sinφ cos? cosφ - cosθ sin? sinφ sinφ sinθ ? -cos? sinθ sin? sinθ cosθ ? 0.628   ?0.527 ? 0.574    ? ?0.369 =? 0.819    0.439 ? ? ? ?0.766 0 0.643 ? ? ?
根据对应相等可得 θ = 500 ;? = 00 ;φ = 350

? ? ? ? ?

6

3.11

假设下图中的机器人手臂有 3 个自由度,它设计来在平面上刷漆。 1) 基于 D-H 表示法,建立必要的坐标系。 2) 填写参数表。 3) 求 TH 矩阵。
U

题 3.11 图

Z1

Z3 Z1
Y1

Z0

Z2 X2 Y2 Y1

Z2 X3 Y3 X2 Y2
(c)

X1

θ1

Y0 X0
(a)

X1
(b)

连杆 1 2 3

转角θ 0

两连杆间距离 d 0 0 0

连杆长度 a

连杆扭角α 0

l4 l5 l6

θ1
0

900
0

A1 = Trans( l1 , l 2 , l 3 )Trans(0, 0, l4 )
7

A2 = Rot ( Z1 , θ1 )Trans( l5 , 0, 0) Rot ( X 2 , α 2 ) A3 = Trans(0, 0, l6 ) ?cos θ1 ? sin θ U 1 TH = A1 A2 A3 = ? ? 0 ? ? 0 0 sin θ1 0 ? cos θ1 1 0 0 0 l1 + l5 cos θ1 + l6 sin θ1 ? l2 ? l6 cos θ1 + l5 sin θ1 ? ? ? l 3 + l4 ? 1 ?

3.12

下图为一专用的具有三个自由度的喷涂机器人。 1) 基于 D—H 表示法建立坐标系。 2) 填写参数表。 3) 写出所有 A 矩阵。 4) 根据 A 矩阵写出 TH 矩阵。
U

题 3.12 图 解:由图可建立如下坐标系:
Y1

Y2 Y1 Y2

X3 Z3 Y3
X2

Y0
Z1 X1

θ1
X0
Z0

Z2 X1 Z1

X2

θ2
Z2

连杆 1

转角θ 0

两连杆间距离 d 0

连杆长度 a

连杆扭角α 0

l1

8

2 3

θ1 θ2

0 0

l2 l3

0

900

0 0 l1 ? 1 0 0? ? 0 1 0? ? 0 0 1? ?cos θ1 ? sin θ 1 A2 = Rot ( Z1 , θ1 )Trans( l2 , 0, 0) = ? ? 0 ? ? 0 ? ? sin θ1 ? cos θ 1 =? ? 0 ? ? 0 0 cos θ1 0 sin θ1

?1 ?0 A1 = Trans( l1 , 0, 0) = ? ?0 ? ?0

? sin θ1 cos θ1 0 0

0 l2 cos θ1 ? 0 l2 sin θ1 ? ? 1 0 ? ? 0 1 ?

A3 = Rot ( Z 2 , θ 2 )Trans( l3 , 0, 0) Rot (Y3 , 900 ) Rot ( Z 3 , 900 ) l 3 cos θ1 ? l3sinθ1 ? ? 1 0 0 ? ? 0 0 1 ? ? ? sin θ1 cos θ0 0 cosθ1 cos θ 0 ? sin θ0 sin θ1 ? ? sin θ sin θ 0 sin θ cos θ + sin θ cos θ 1 0 1 0 0 1 = A1 A2 A3 = ? T3 ? 0 1 0 ? 0 0 0 ?

l1 + l 2 cos θ0 + l 3 cos θ 0 cos θ1 ? l 3 sin θ 0 sin θ1 ? l2 sin θ 0 + l3 cos θ 0 sin θ1 + l3 cos θ1 sin θ 0 ? ? ? 0 ? 1 ?

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