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2017年高考数学总动员:8-6直线与圆锥曲线的位置关系


8-6直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置线

1.直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲 线方程联立,消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程:

ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有: ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交 ;

②Δ=0?直线与圆锥曲线相切 ; ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离 .
(2)若a=0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.

2.圆锥曲线的弦长问题
设直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点,A(x1,y1), B(x2,y2),则弦长|AB|=
1+k |x1-x2|
2



1 1+k2|y1-y2|

.

3.弦中点问题 对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解, 在使用根与系数的关系时,要注意使用条件是Δ≥0.

x2 y2 (1)在椭圆a2+b2=1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜 b2x0 - 2 率 k = a y0 . x2 y 2 (2)在双曲线a2-b2=1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的 b2x0 2 a y0 . 斜率 k= (3)在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线 p 的斜率 k= y0 . .

?一个方法:有关圆锥曲线弦长问题的求解方法.
(1)[涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不 求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设 而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲 x2 y2 线的定义求解]斜率为 2 的直线经过椭圆 + =1 的右焦点 5 4 F1,与椭圆相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为________.

解析

F1(1,0),直线 AB 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2 2x-y-2=0 ? ? 2 2 =0,由?x y 得 3x2-5x=0, + =1 ? 5 4 ? 5 设 A(x1,y1)B(x2,y2),则 x1+x2=3,x1x2=0,
2 ∴|AB|= (1+k2 ) [ ( x + x ) -4x1x2] AB 1 2



5 5 (1+2) 3 -4×0= 3 . ? ?

2?5?2

? ?

5 5 答案 3

?一个易错点:忽略直线的斜率不存在致误. (2)[解决直线与圆锥曲线相交,相切,相离等问题时,一定要 注意直线垂直于x轴的情形,此时直线的斜率不存在;以免漏 解]直线l过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点,则

直线l的方程为________.

解析

当直线的斜率不存在即直线方程为 x=0 时.符合题意,

当直线的斜率存在设直线 l 方程为 y=kx+1,代入 y2=2x 得 k2x2+2(k-1)x+1=0,当 k=0 时,y=1 符合题意;当 k≠0 1 1 时,由 Δ=0 得 k=2,直线方程为 y=2x+1, 即 x-2y+2=0.

答案 x=0或y=1或x-2y+2=0

曲线与方程 1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适

合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实
数解建立了如下的关系:

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 求动点的轨迹方程一般步骤——“建、设、列、代、证” (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).

(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代入——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其 转化为x,y的方程式,并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.`

2.圆锥曲线的综合问题
(1)最值问题:可结合数形结合或转化为函数最值或线性规则 问题. (2)定值问题:先求出表达式,再化简,据已知条件列出方程 (或不等式),消参. (3)对参数的取值范围问题:据已知条件建立等式或不等式或 函数关系,求参数的范围. (4)对称问题:若A,B两点关于直线对称,则直线AB与对称轴 垂直,且线段AB的中点在对称轴上,即对称轴是线段AB的垂 直平分线.解决对称问题应注意条件的充分利用,尤其是各量 之间的关系. (5)存在性问题:一般采用“假设反证法”或“假设验证法” 来解决.另外,也可先用特殊情况或特殊位置得到所求的值, 再给出一般性的证明,即由特殊到一般的方法.

?五种方法:求曲线或轨迹方程方法. (3)[①直接法(五步法);②定义法;③相关点法(代入法); ④参数法;⑤交轨法]已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动

点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=
|MQ|,则Q点的轨迹方程是________.

解析

由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,

4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0. 答案 2x-y+5=0

?两点注意:求轨迹方程要注意以下两点.

(4)[①求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对
应关系.检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是 同解变形;二是是否符合题目的实际意义 .②求点的轨迹与轨 迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根 据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.]

已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=
3,则顶点A的轨迹方程为________.

解析

直接法.设 A(x,y),则
?x ? 2 y2 ? -5? + =3, 4 ?2 ?

?x y ? D?2,2?, ? ?

∴|CD|=

化简得(x-10)2+y2=36,由于 A,B,C 三点构成三角形, ∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0.
答案 (x-10)2+y2=36(y≠0)

最值与范围问题求解方略

求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似 (1)求最值常见的解法有两种:代数法和几何法 .若题目的条件 和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来 解决,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则

可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值.

(2)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲

线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关
的一些问题.

解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确
定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核 心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范

围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范 围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数, 求其值域,从而确定参数的取值范围.

x2 y 2 【例 1】已知直线 l1:x+y-1 =0 与椭圆a2+b2=1(a>b>0) → =-BM →, 相交于 A,B 两点,M 是线段 AB 上的一点,AM 1 且点 M 在直线 l2:y= x 上. 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设椭圆左焦点为F1,若∠AF1B为钝角,求椭圆长轴长的取 值范围.



设 A、B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) x+y-1=0 ? ? → =-BM → ,知 M 是 AB 的中点,由? 2 (1)由AM x y2 + =1 ? ?a2 b2 得:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0, 2a2 2b2 ∴x1+x2= 2 ,y +y =-(x1+x2)+2= 2 . a +b2 1 2 a +b2 2 ? a2 ? b ? ∴点 M 的坐标为?a2+b2,a2+b2? ?. ? ? a2 2b2 又点 M 在直线 l2 上,∴ 2 2- 2 2=0, a +b a +b 2 2 2 2 2 2 2 ∴a =2b =2(a -c ),∴a =2c ,则 e= 2 ;

(2)由(1)知 b=c,方程化为 3x2-4x+2-2c2=0.
2 2 - 2 c 3 4 由 Δ=16-24(1-c2)>0 得 c> 3 .∴x1+x2=3,x1·x2= 3 ,

2c2 1 y1y2=x1x2-(x1+x2)+1=- 3 +3. → → 由已知可得F (x2+c,y2) 1A·F1B<0,即(x1+c,y1)· =x1x2+c(x1+x2)+c2+y1y2<0. 把根与系数的关系式代入上式得 c2-4c-3>0,
解得 c>2+ 7或 c<2- 7.综上,c>2+ 7,又 a= 2c. ∴2a 的取值范围是(4 2+2 14,+∞).

[ 点评 ]

本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与圆锥曲线

的位置关系,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,常采用 联立直线方程和圆锥曲线方程,化为关于x的一元二次方程后,

利用根与系数的关系求解.

定点与定值问题求解方略
解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程,要注 意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程,如果是双参

数,要注意这两个参数之间的相互关系.
解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确,即定值问题 必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化 的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,其不受

变化的量所影响的一个值,就是要求的定值.解决这类问题的
关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根 据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

定点问题常见的2种解法
(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲 线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标 的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.

定值问题常见的2种求法
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而 得到定值.

【例 2】已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物 2 2 x y 线 y2=16x 的焦点为其中一个焦点,以双曲线16- 9 =1 的焦 点为顶点.

(1)求椭圆的标准方程; (2) 若E , F是椭圆上关于原点对称的两点,则当直线 PE , PF

的斜率都存在,并记为kPE,kPF时,kPE· kPF是否为定值?若是,
求出这个定值;若不是,请说明理由.

解 (1)由抛物线 y2=16x 的焦点为(4,0)可得 c=4.可设椭圆的 x2 y2 标准方程为a2+b2=1(a>b>0). x2 y 2 ∵双曲线 - =1 的焦点为(± 5,0). 16 9 ∴由题意知 a=5,b2=a2-b2=25-16=9. x 2 y2 故椭圆标准方程为25+ 9 =1.

9 (2)kPE·kPF 为定值,该定值为- . 25 理由:E,F 是椭圆上关于原点对称的两点. 设 E(m,n),则 F(-m,-n),又设 P 点坐标为(x,y). m2 n2 x2 y2 则25+ 9 =1,25+ 9 =1. x2-m2 y2-n2 y2-n2 9 两式相减可得 + =0,即 2 . 2=- 25 9 25 x -m (由题意知 x2-m2≠0). y-n y +n y2-n2 9 又 kPE= ,kPF= ,则 kPE·kPF= 2 . 2=- 25 x-m x+m x -m 9 ∴kPE·kPF 为定值,且为-25.

[ 点评 ]

圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型,

运算量较大,解题思维性较强.解决这类问题一般有两种方法: 一是根据题意求出相关的表达式,再根据已知条件列出方程 组 ( 或不等式 ) ,消去参数,求出定值或定点坐标;二是先利 用特殊情况确定定值或定点坐标,再从一般情况进行验证.

圆锥曲线中的探索性问题突破方略 探究性问题是指结论或条件不完备的试题,这类试题不给出 确定的结论,让考生根据题目的条件进行分析判断,从而得 出确定的结论,对分析问题、解决问题的能力有较高的要求, 是高考压轴的热点题型. 解决方案 圆锥曲线中,这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在, 在这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合情合理的推 理结果,就肯定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个

矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面回答.

x2 y2 【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:a2+b2= 2 1(a>b>0)的离心率 e= 3,且椭圆 C 上的点到 Q(0,2) 的距离的最大值为 3.

(1)求椭圆C的方程; (2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1 与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最

大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不
存在,请说明理由.



(1)因为 e=

a2-b2 2 c = = a , 3 a

2 2 x y 所以 a2=3b2,即椭圆 C 的方程可写为 2+ 2=1. 3b b 设 P(x,y)为椭圆 C 上任意给定的一点,

则 d= x2+(y-2)2= 3b2-3y2+(y-2)2 = -2(y+1)2+3b2+6(-b≤y≤b). 当-b≤-1,即 b≥1,dmax= 6+3b2=3 得 b=1; 当-b>-1,即 b<1,dmax= b2+4b+4=3 得 b=1(舍). x2 2 ∴b=1,a= 3,故所求椭圆 C 的方程为 +y =1. 3

(2)存在点 M 满足要求,使△OAB 的面积最大. 假设存在满足条件的点 M,因为直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2 +y2=1 相交于不同的两点 A,B, 1 则圆心 O 到 l 的距离 d= 2 <1. m +n2 因为点 M(m,n)在椭圆 C 上, m2 所以 3 +n2=1<m2+n2,于是 0<m2≤3.

因为|AB|=2 1-d2=2

m2+n2-1 , m2+n2

m2+n2-1 1 所以 S△OAB=2·|AB|·d= m2+n2 2 |m| 3 = 2 ≤ 1+ m2 2 3 2 |m| 3 1 = , 2 2 2 1· m 3

2 2 3 2 当且仅当 1=3m 时等号成立,所以 m =2∈(0,3].

因此当 m=±

6 2 ,n=± 时等号成立. 2 2
? 的坐标为? ? ? 6 6 2? 2? ?,? ,- 2 ? , 2,2? ? 2 ?

所以满足要求的点 M
? ?- ?

6 2? ? 6 2? , ?或?- ,- ?,此时对应的三角形的面积均达到 2 2? ? 2 2 ?

1 最大值2.

1.探索性问题答题模板:

第一步:假设结论存在.
第二步:结合已知条件进行推理求解. 第三步:若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确;若 推出矛盾,即否定假设. 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范. 2.本题是圆锥曲线中的探索性问题,也是最值问题,求圆锥 曲线的最值问题是高考考查的一个重点,通常是先建立一个

目标函数,然后利用函数的单调性或基本不等式求最值.

圆锥曲线中的对称问题
【示例】 在已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M, N 关于 9 直线 l:y=-kx+2对称,求 k 的范围.



由题意知 k≠0,设 M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线上关 1 于直线 l 对称的两点, 则 MN 的方程可设为 y=k x+b(b>0), 代 1 2 2 入 y=x ,得 x -k x-b=0, 1 1 所以 Δ=k2+4b>0,① x1+x2=k .

法一

1 1 设 MN 中点的坐标为(x0,y0),则 x0= ,y0= 2+b, 2k 2k 9 因为(x0,y0)在直线 l:y=-kx+2上, 1 1 9 1 所以2k2+b=-k· 2k+2,所以 b=4-2k2.② 1 2 将②代入①,得 2+16- 2>0. k k 1 所以k2<16,即 k2>16, 1 1 所以 k>4或 k<-4.

法二

2 设 M(x1,x2 1),N(x2,x2)关于直线 l 对称,

2 x1 -x2 1 1 2 因为 MN⊥l,所以 =k ,即 x1+x2=k . x1-x2

又 MN 的中点在 l 上,
2 x2 + x x1+x2 9 1 9 1 2 所以 2 =-k· 2 +2=-k· + =4, 2k 2

因为 MN 的中点必在抛物线内,
2 ?x1+x2? ? 1 ?2 x2 + x 1 2 ? ?2 所以 2 >? ,即 4>?2k? , ? ? ? ? 2 ?

1 1 1 所以 k >16,即 k>4或 k<-4.
2

圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热

点,该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、
点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法 等重要数学知识和思想方法于一体,符合在知识网络交汇 处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题 的命题特点,此类试题综合性强,但难度适中,对数学知 识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆 锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差

法两种解法.


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