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函数04函数的奇偶性

基础过关

第 4 课时

函数的奇偶性

一、函数奇偶性的概念: ①设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D , 且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则这个函数叫奇函数。
(如果已知函数是奇函数,当函数的定义域中有 0 时,我们可以得出 f ? 0 ? ? 0 )

②设函数 y ? g ? x ? 的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D , 若 g ? ? x ? ? g ? x ? ,则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出,讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断,看其 定义域是否关于原点对称。也就是说当 x 在其定义域内时, ?x 也应在其定义域内有意义。

③图像特征 如果一个函数是奇函数 ? 这个函数的图象关于坐标原点对称。 如果一个函数是偶函数 ? 这个函数的图象关于 y 轴对称。 ④复合函数的奇偶性:同偶异奇。

⑤对概念的理解: (1)必要条件:定义域关于原点成中心对称。 (2) f ( x) 与 f (? x) 的关系:
f (? x) ? 1 时为偶函数; f ( x) f (? x) ? ?1 时为奇函数。 当 f ( ? x) ? ? f ( x) 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 或 f ( x)

当 f ( ? x) ? f ( x ) 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 或

二、函数的奇偶性与图象间的关系: ①偶函数的图象关于 y 轴成轴对称,反之也成立; ②奇函数的图象关于原点成中心对称,反之也成立。

三、关于函数奇偶性的几个结论: ①若 f ( x) 是奇函数且在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ②偶函数 ? 偶函数=偶函数;奇函数 ? 奇函数=奇函数; 偶函数 ? 偶函数=偶函数;奇函数 ? 奇函数=偶函数; 偶函数 ? 奇函数=奇函数 ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 四.典型问题 (一) 、关于函数奇偶性的判定 方法: ?1? 定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称,则为非 奇非偶函数;若对称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的 恒等式; ? 2 ? 图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性 说明: (1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在 不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。 (2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称。 (3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可。 (4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既 是奇函数也是偶函数。
典型例题
例 1. 判断下列函数的奇偶性.?

(1)f(x)= x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ;? (2)f(x)=log2(x+ x 2 ? 1 ) (x∈R);? (3)f(x)=lg|x-2|.? 解:(1)∵x -1≥0 且 1-x ≥0,∴x=±1,即 f(x)的定义域是{-1,1}.? ∵f(1)=0,f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),? 故 f(x)既是奇函数又是偶函数.? (2)方法一 易知 f(x)的定义域为 R,?
2 2

又∵f(-x)=log2[-x+ (? x)2 ? 1 ]=log2 ∴f(x)是奇函数.?

1 x ? x ?1
2

=-log2(x+ x 2 ? 1 )=-f(x),?

方法二

易知 f(x)的定义域为 R,?

又∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ (? x)2 ? 1 ]+log2(x+ x 2 ? 1 )=log21=0,即 f(-x)=-f(x),? ∴f(x)为奇函数.? (3)由|x-2|>0,得 x≠2.? ∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称,故 f(x)为非奇非偶函数.? 变式训练 1:判断下列各函数的奇偶性:? (1)f(x)=(x-2) (2)f(x)=

2? x ;? 2? x

lg(1 ? x 2 ) ;? | x 2 ? 2 | ?2

?x ? 2 ? (3)f(x)= ?0 ?? x ? 2 ?
解:(1)由

( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 ) .

2? x ≥0,得定义域为[-2,2) ,关于原点不对称,故 f(x)为非奇非偶函数.? 2? x

?1 ? x 2 ? 0, (2)由 ? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1).? ?| x ? 2 | ?2 ? 0.

这时 f(x)= ∵f(-x)=-

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) .? ?? 2 ? ( x ? 2) ? 2 x2

lg?1 ? (? x)2 ? lg(1 ? x 2 ) ? ? ? f ( x), ∴f(x)为偶函数.? ( ? x) 2 x2

(3)x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).? x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1,f(-x)=x+2=f(x).? -1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x).? ∴对定义域内的每个 x 都有 f(-x)=f(x).因此 f(x)是偶函数.? 例2 已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).? (1)求证:f(x)是奇函数;? (2)如果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=(1)证明:
+

1 ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值.? 2

∵函数定义域为 R,其定义域关于原点对称.?

∵f(x+y)=f(x)+f(y) ,令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,? ∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),? ∴f(x)为奇函数.? (2)解:方法一 设 x,y∈R ,∵f(x+y)=f(x)+f(y) ,?
+ +

∴f(x+y)-f(x)=f(y).?∵x∈R ,f(x)<0,? ∴f(x+y)-f(x)<0,?∴f(x+y)<f(x).? ∵x+y>x,?∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,? ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.? ∵f(1)=1 ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2) ]=-3.? 2

∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.? 方法二 设 x1<x2,且 x1,x2∈R.? 则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).?

∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减.? ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=1 ,? 2

∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2) ]=-3.? ∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.? 变式训练 2:已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析 式.? 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.? 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x) ,?

?? x lg(2 ? x) 即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0).∴f(x)= ? ?? x lg(2 ? x)
即 f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). 例3 已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x)?.? (1)求证:f(x)是周期函数;? (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= (1)证明: ∵f(x+2)=-f(x) ,? ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x) ]=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)解: 当 0≤x≤1 时,f(x)=
1 x,? 2 1 1 (-x)=- x.? 2 2

( x ? 0), ( x ? 0).

1 1 x,求使 f(x)=- 在[0,2 009]上的所有 x 的个数.? 2 2

设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)=

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),? ∴-f(x)=故 f(x)=
1 1 x,即 f(x)= x. 2 2

1 x(-1≤x≤1) 2

又设 1<x<3,则-1<x-2<1,? ∴f(x-2)=
1 (x-2), 2

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f( (-x)+2)=-[-f(-x) ]=-f(x) ,? ∴-f(x)= ∴f(x)=1 (x-2) ,? 2 1 (x-2) (1<x<3). 2

?1 x ? ?2 ∴f(x)= ? ?? 1 ( x ? 2) ? 2 ?

(?1 ? x ? 1) (1 ? x ? 3)

由 f(x)=-

1 ,解得 x=-1.? 2 1 的所有 x=4n-1 (n∈Z). 2

∵f(x)是以 4 为周期的周期函数.?故 f(x)=-

令 0≤4n-1≤2 009,则

1 1 005 ≤n ≤ ,? 2 4

又∵n∈Z,∴1≤n≤502 (n∈Z),? ∴在[0,2 009]上共有 502 个 x 使 f(x)=2

1 . 2

变式训练 3:已知函数 f(x)=x +|x-a|+1,a∈R.? (1)试判断 f(x)的奇偶性;? (2)若1 1 ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 2 2
2 2 2

解:(1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x) +|-x|+1=f(x),? 此时,f(x)为偶函数.当 a≠0 时,f(a)=a +1,f(-a)=a +2|a|+1,? f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时,f(x) 为非奇非偶函数.? (2)当 x≤a 时,f(x)=x -x+a+1=(x∵a≤
2

1 2 ) +a+ 2

3 4

,?

1 ,故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减,? 2
2

从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a +1.? 当 x≥a 时,函数 f(x)=x +x-a+1=(x+ ∵a≥2

1 2 3 ) -a+ ,? 2 4

1 ,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的 2
2

最小值为 f(a)=a +1.? 综上得,当1 1 2 ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a +1. 2 2

小结归纳
1.奇偶性是某些函数具有的一种重要性质,对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶 性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断(或证明)函数是否具有奇偶 性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数 a 与-a,验证 f(a)±f(-a) ≠0. 2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究,我们可以重点研究 y 轴一侧的性质,再根据其对称性得到整个定 义域上的性质. 3.函数的周期性:第一应从定义入手,第二应结合图象理解.