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高中全程复习方略课时提能演练:4.5数系的扩充与复数的引入


课时提能演练(二十八)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) a 1+i 1.(2012·宜春模拟)设 a∈R,且 + 是实数,则 a=( 1+i 2 1 (A) 2 (B)1 3 (C) 2 i 对应的点位于( 1+i (B)第二象限 (D)第四象限 ) (D)2 ) ) 100 分)

2.在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限

3.(2011·广东高考)设复数 z 满足(1+i)z=2, 其中 i 为虚数单位, z=( 则 (A)1+i (C)2+2i (B)1-i (D)2-2i )

a+i 4.(2011·辽宁高考)a 为正实数,i 为虚数单位,| |=2,则 a=( i (A)2 (B) 3 (C) 2 (D)1

m 5.(预测题)已知 =1-ni, 其中 m, 是实数, 是虚数单位, m+ni=( n i 则 1+i (A)1+2i (B)1-2i (C)2+i (D)2-i )

)

a+i b-i 6.已知 为纯虚数, 为实数,且 a,b∈R,则 ab=( 1-i 1+i (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) (1-i)(1+2i) 7. = 1+i .

8.已知复数 z 与(z+2)2-8i 均是纯虚数,则 z=
?a c? ? 9.定义运算 ? ?b d? =ad-bc,复数 z 满足 ? ? ?z ? ?1 ?

. i? ? i? ? =1+i,则 z= .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2011·上海高考)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位), 复 数 z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,求 z2. 11.(易错题)复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对 应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的 复数. 【探究创新】 (16 分)已知 A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四点, 且向量 AB , CD 对应的复数分别为 z1,z2. 1+i 1-i (1)若 z1+z2=1+i,求 + . z1 z2 (2)若 z1+z2 为纯虚数,z1-z2 为实数,求 a、b.
??? ?
??? ?

答案解析
a 1+i a(1-i) 1+i 1.【解析】选 B. + = + 1+i 2 (1+i)(1-i) 2

= ∵

a-ai 1+i (a+1)+(1-a)i + = . 2 2 2 a 1+i + 是实数,∴1-a=0,即 a=1. 1+i 2

i i(1-i) 1 1 2.【解析】选 A.因为 z= = = + i,所以 z 对应的点位于第 1+i (1+i)(1-i) 2 2 一象限. 【 方法技巧】复数几何意义的作用 复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机地 结合在一起,能够更加灵活地解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中 在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等. 3.【解题指南】由(1+i)z=2 得 z= 2 ,再由复数的除法运算法则可求得 z. 1+i

2 2(1-i) 【解析】选 B.由(1+i)z=2 得 z= = 1+i (1+i)(1-i) =1-i.故选 B. 【一题多解】选 B.设 z=a+bi(a、b∈R),则(1+i)(a+bi)=a-b+(a+b)i
?a-b=2 ? =2,∴? ? ?a+b=0 ? ?a=1 ∴? ?b=-1 ?



,∴z=1-i.

a+i 4.【解析】选 B.因为| |=2,故可化为|1-ai|=2,又由于 a 为正实数,所 i 以 1+a2=4,得 a= 3,故选 B. 5.【解析】选 C.∵ m m(1-i) m m = = - i 1+i (1+i)(1-i) 2 2

?m=1 ?2 m 又 =1-ni,∴? 1+i m ?-2=-n ?
∴m+ni=2+i. 6.【解析】选 A.∵

? ?m=2 ,即? ?n=1 ?

.

a+i (a+i)(1+i) (a-1)+(a+1)i a-1 a+1 = = = + i, 1-i 2 2 2 2

b-i (b-i)(1-i) (b-1)-(b+1)i b-1 b+1 = = = - i, 1+i 2 2 2 2

?a-1=0 ? 2 ∴? a+1 ? 2 ≠0 ?
∴ab=-1.

b+1 且- =0,∴a=1,b=-1, 2

(1-i)(1+2i) 1+2i-i-2i2 3+i (3+i)(1-i) 3-3i+i+1 7. 解析】 【 = = = = 1+i 1+i 1+i (1+i)(1-i) 2 = 4-2i =2-i. 2

答案:2-i 3+i 【变式备选】 (1)已知复数 z= , 是 z 的共轭复数, z· = 则 z z (1- 3i)2 | 3+i| 1 【解析】方法一:|z|= = , |(1- 3i)2| 2 1 z· z =|z|2= . 4 3+i 3 i 方法二:z= =- + , 4 4 -2(1+ 3i) z· z =(- 3 i 3 i 1 + )(- - )= . 4 4 4 4 4 .

1 答案: 4 z2-2z (2)已知复数 z=1-i,则 = z-1 z2-2z (1-i)2-2(1-i) 【解析】 = z-1 (1-i)-1 = -2i-2+2i -2i = =-2i. -i -i·i .

答案:-2i 8.【解析】设 z=ai,a∈R 且 a≠0,则(z+2)2-8i=4-a2+(4a-8)i. ∵(z+2)2-8i 是纯虚数,∴4-a2=0 且 4a-8≠0.解得 a=-2.因此 z=-2i. 答案:-2i 1+2i 9.【解析】由题意知 zi-i=1+i,∴z= =-(1+2i)i=2-i. i 答案:2-i 10.【解析】设 z2=a+2i(a∈R),由已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i,得 z1=2-i,又已知 z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数,则虚 部 4-a=0,即 a=4,则复数 z2=4+2i. 【变式备选】 复数 z1= 求实数 a 的值. 【解析】 z 1+z2= 3 2 +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a 3 2 +(10-a2)i, 2= z +(2a-5)i, z 1+z2 是实数, 若 a+5 1-a

3 2 =( + )+[(a2-10)+(2a-5)]i a+5 1-a = a-13 +( a2+2a-15)i. (a+5)(a-1)

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5 且 a≠1,故 a=3. 11.【解析】如图,z1、z2、z3 分别对应点 A、B、C. ∴ AB = OB - OA , ∴ AB 所对应的复数为 z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i, 在正方形 ABCD 中, DC = AB , ∴ DC 所对应的复数为-3-i, 又 DC = OC - OD , ∴ OD = OC - DC 所对应的复数为 z3 -(-3-i) =(-1-2i)-(-3-i)=2-i, ∴第四个顶点对应的复数为 2-i. 【变式备选】已知复数 z 满足|z|=1,求|z-(1+i)|的最大值与最小值. 【解题指南】 |z|=1 ? 复数 z 对应的点是以原点为圆心, 为半径的圆上的点 ? 1 所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值. 【解析】因为|z|=1,所以 z 对应的点是单位圆 x2+y2=1 上的点,而|z-(1+ i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离. 所以最大值为 (0-1)2+(0-1)2+1= 2+1, 最小值为 (0-1)2+(0-1)2-1= 2-1. 【探究创新】 【解析】(1)∵ AB =(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),
??? ? CD =(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

??? ?

∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i, ∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i,
?a-4=1 ? 又 z1+z2=1+i,∴? ?b-4=1 ? ?a=5 ? ,∴? ?b=5 ?



∴z1=4-i,z2=-3+2i, ∴ = = 1+i 1-i 1+i 1-i + = + z1 z2 4-i -3+2i (1+i)(4+i) (1-i)(-3-2i) + 42+12 (-3)2+22 3+5i -5+i 46 82 + =- + i. 17 13 221 221

(2)由(1)得 z1+z2=(a-4)+(b-4)i, z1-z2=(a+2)+(2-b)i, ∵z1+z2 为纯虚数,z1-z2 为实数,

?a-4=0 ? ∴?b-4≠0 ?2-b=0 ?

?a=4 ? ,∴? ?b=2 ?

.


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